河南省中考数学专题复习专题类比探究题训练
2024年河南省中考数学二轮复习微专题+半角模型探究系列+课件
[答案] 如图(1).
图(1)
证明:连接 .
∵ = , ∠ = ∠ = ∘ , = ,
∴△ ≌△ , ∴ = , ∠ = ∠ ,
半角模型探究系列
以题串模型
例1 一题多问 如图(1),四边形 ABCD 是正方形, ∠MAN = 45∘ ,射线
AM 分别与直线 BC 、直线 BD 交于点 E , G ,射线 AN 分别与直线 CD 、直
线 BD 交于点 F , H .
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
图(5)
(1)当点 E 在线段 BC 上时.
BC 于点 E ,射线 AN 交线段 CD 于点 F .
(1)判断 BE , DF , EF 之间的数量关系,并加以证明.
[答案] = + .
证明:将 △ 绕点 逆时针旋转 ∘ ,得到 △ ,
如图,
则 = , = , ∠ = ∠ ,
∴ − = − = = .
(2)若 AB = 4 , BE =
[答案]
1
BC ,直接写出 EF 的长.
2
的长为 或10.
以题串模型
例2 如图,在四边形 ABCD 中, ∠ABC = ∠ADC = 90∘ ,
∠BAD = 120∘ , AB = AD. ∠MAN = 60∘ ,射线 AM 交线段
点,将射线 AE 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 交
直线 CD 于点 F ,连接 EF .
(1)如图,点 E 在 BC 的延长线上,点 F
河南中考数学类比探究学生精选文档
河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究 实战演练(一)22.(10分)如图1,在矩形ABCD 中,AB =mBC ,E 为BC 上一点,且BC =nBE ,连接AE ,过点B 作BM⊥AE ,交AE 于点M ,交AC 于点N .(1)如图2,当m =1,n =3时,求证:AN =3CN ; (2)如图3,当m =1时,求AN 与CN 之间的数量关系;图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA.中考数学类比探究 实战演练(二)22. (10分)小华遇到这样一个问题:在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,边长为4,在菱形ABCD 内部有一点P ,连接PA ,PB ,PC ,求PA +PB +PC 的最小值.小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是:如图1,将△APC 绕点C 顺时针旋转60°,恰好旋转至△DEC ,连接PE ,BD ,则BD 的长即为所求.(1)请你写出在图1中,PA +PB +PC 的最小值为________. (2)参考小华思考问题的方法,解决下列问题:①如图2,在△ABC 中,∠ACB =30°,BC =6,AC =5,在△ABC 内部有一点P ,连接PA ,PB ,PC ,求PA +PB +PC 的最小值.②如图3,在正方形ABCD 中,AB =5,P 为对角线BD 上任意一点,连接PA ,PC ,请直接写出PA +PB +PC 的最小值(保留作图痕迹).图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究 实战演练(三)22. (10分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =nAC ,CD ⊥AB 于D ,点E 是直线AC 上一动点,连接DE , 过点D 作FD ⊥ED ,交直线BC 于点F ,连接EF .(1)探究发现:如图1,若n =1,点E 在线段AC 上,则tan ∠EFD =____.(2)数学思考:①如图2,若点E 在线段AC 上,则tan ∠EFD =____(用含n 的代数式表示). ②当点E 在直线AC 上运动时,①中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中,任选一种情况,在图3中画出图形,给予相应的证明或理由.(3)拓展应用:若AC,BC=DF=,请直接写出CE 的长.图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究 实战演练(四)22. (10分)已知:在△AOB 与△COD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB =∠COD =90°.(1)如图1,点C ,D 分别在边OA ,OB 上,连接AD ,BC ,点M 为线段BC 的中点,连接OM ,则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________,位置关系是_________.(2)如图2,将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).连接AD ,BC ,点M 为线段BC 的中点,连接OM .请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时,点C 落在OB 上,点M 为线段BC 的中点,请你判断(1)中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练(五)22.(10分)如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.(1)求证:EF=EG.(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求EFEG的值.E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究 实战演练(六)22. (10分)如图1,在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE (CD >BC )中,点C ,B ,D 在同一直线上,点M 是AE 的中点,连接MD ,MB .(1)探究线段MD ,MB 的位置关系及数量关系,并证明.(2)将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°,使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直,如图2,原问题中的其他条件不变,则(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.(3)若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角,如图3,原问题中的其他条件不变,则(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究 实战演练(七)22. (10分)已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ,C 重合),以AD 为边作正方形ADEF ,连接CF .(1)如图1,当点D 在线段BC 上时,求证:①BD ⊥CF ;②CF =BC -CD .(2)如图2,当点D 在线段BC 的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF ,BC ,CD 三条线段之间的关系.(3)如图3,当点D 在线段BC 的反向延长线上时,且点A ,F 分别在直线BC 的两侧,其他条件不变.①请直接写出CF ,BC ,CD 三条线段之间的关系;②若连接正方形的对角线AE ,DF ,交点为O ,连接OC ,探究△AOC 的形状,并说明理由.EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究 实战演练(八)22. (10分)在△ABC 中,∠A =90°,点D 在线段BC 上,∠EDB =12∠C ,BE ⊥DE ,垂足为E ,DE 与AB 相交于点F .(1)如图1,若点D 与点C 重合,AB =AC ,探究线段BE 与FD 的数量关系.(2)如图2,若点D 与点C 不重合,AB =AC ,探究线段BE 与FD 的数量关系,并加以证明;(3)如图3,若点D 与点C 不重合,AB =kAC ,求BEFD的值(用含k 的式子表示). C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究 实战演练(九)22. (10分)点A ,B 分别是两条平行线m ,n 上任意一点,在直线n 上找一点C ,使BC =kAB ,连接AC ,在直线AC 上任取一点E ,作∠BEF =∠ABC ,EF 交直线m 于点F . (1)如图1,当∠ABC =90°,k =1时,判断线段EF 和EB 之间的数量关系,并证明.(2)如图2,当∠ABC =90°,k ≠1时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系.(3)如图3,当0°<∠ABC <90°,k =1时,探究EF 和EB 之间的数量关系,并证明.A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练(十)22.(10分)在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)如图2,若∠ABC=90°,G是EF的中点,连接DB,DG,直接写出∠BDG的度数;(3)如图3,若∠ABC =120°,FG ∥CE ,且FG =CE ,连接DB ,DG ,求∠BDG 的度数.A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究 实战演练(十一)图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. (10分)已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(不与点A ,B 重合),分别过点A ,B 向直线CP 作垂线,垂足分别为E ,F ,Q 是斜边AB 的中点.(1)如图1,当点P 与点Q 重合时,AE 与BF 的位置关系是___________,QE 与QF 的数量关系是______________.(2)如图2,当点P 不与点Q 重合时,试判断QE 与QF 的数量关系,并给予证明.(3)如图3,当点P 在线段BA (或AB )的延长线上时,(2)中的结论是否仍然成立?请画出图形并给予证明.中考数学类比探究 实战演练(十二)22. (10分)问题解决:如图1,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上的点E 处(不与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当12CE CD =时,求AMBN的值. 类比归纳:在图1中,若13CE CD =,则AM BN 的值为__________;若14CE CD =,则AMBN 的值为__________;若1CE CD n =(n 为整数),则AMBN的值为__________.(用含n 的式子表示)联系拓广:如图2,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上的点E 处(不与点C D ,重合),压平后得到折痕MN ,设1AB BC m =(1m >),1CE CD n =,则AMBN的值为_______.(用含m n ,的式子表示)图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。
河南省中招22题 类比、 拓展探究题
中招22题 类比、拓展探究题作图微技能1. 如图①,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,AD =AE ,AB =AC ,点P 为射线BD ,CE 的交点,若把△ADE 绕点A 旋转,请在图②中作出当∠EAC =90°时的图形.第1题图2. 如图①,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =2BC ,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,且DE ∥AB ,将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转,当CE =BC 时,请在图②中作出△EDC 旋转至A ,D ,C 三点共线时的图形.第2题图3. 如图①,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,∠B =30°,E 为AC 上一点,且AE =14AC ,过点E 作DE ∥BC ,交AB 于点D ,连接CD ,分别取DE 、BC 、CD 上中点M ,N ,P ,若△DAE 绕点A 在平面内自由旋转,请在图②中作出当△MPN 面积最大时的图形.第3题图4. 如图①,已知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE =90°,AD =12AB ,连接BE ,BD ,CE ,CD ,点F ,G ,H 分别为DE ,BE ,CD 的中点,连接GF ,FH ,GH .将△ADE 绕点A 自由旋转,请在图②③中作出在旋转的过程中GH最大和最小时的图形.第4题图5. 如图①,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,连接AC,点E、F分别是AB、AC的中点,连接EF.以点A 为旋转中心,将△AEF顺时针转动,连接BE,CF,设直线BE,CF相交于点P,请在图②③中作出当S△PBC面积为最大值和最小值时的图形.第5题图6. 如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB,D,E分别是边AB,AC的中点,若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.请在图②中作出点P到AB所在直线的距离最大时的图形.第6题图7. 如图①,射线OA与OB的夹角为α(0°<α<180°),点P在∠AOB的平分线上,且OP=a,点M 在射线OA上运动,在射线OB上取一点N,使得∠MPN+∠AOB=180°,请在图②中作出△PMN周长的值最小时的图形.。
专题6类比、拓展探究题
类型2 动点引起的探究
(2016·河南)(1)发现 如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b. 填空:当点 A 位于________时,线段 AC 的长取得最大值, 且最大值为________(用含 a,b 的式子表示).
图1
(2)应用 点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1.如图 2 所示, 分别以 AB,AC 为边,作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连 接 CD,BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段 BE 长的最大值.
(3)线段 AM 的最大值为 3+2 2,此时点 P 的坐标为(2- 2, 2).
【提示】 连接 BM,将△APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得 到△PBN,连接 AN,如解图 1 所示. 根据旋转的性质可知, △APN 是等腰直角三角形,PN=PA=2,BN=AM,∴AN=
2AP=2 2.∵点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),∴OA =2,OB=5,∴AB=OB-OA=5-2=3.∵BN=AM,∴线 段 AM 的最大值=线段 BN 的最大值,∴当点 N 在线段 BA 的延长
(2)△PMN 为等腰直角三角形. 理由如下: 由旋转的性质可知,∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE, ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE. ∵点 P,M 分别为 DC,DE 的中点, ∴PM 是△DCE 的中位线,
∴MP=12EC,MP∥EC. 同理可证 NP=12BD,NP∥BD. ∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC, ∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD, ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+ ∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°, ∴△PMN 为等腰直角三角形;
河南省中考数学专题复习专题类比探究题训练
专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M.填空: ①ACBD的值为________; ②∠AMB 的度数为________; (2)类比探究如图②,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC =BD ,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则AC BD =OCOD =3,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画出图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB =90°,ACBD =3,可得AC 的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD ,OA =OB , ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD , ∴ACBD=1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)类比探究ACBD=3,∠AMB=90°,理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴OD OC =tan 30°=33, 同理,得OB OA =tan 30°=33,∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=BOD , ∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD =OCOD=3,∠CAO=∠DBO. ∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA =180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时,如解图①, 同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x , 在Rt△COD 中,∵∠OCD=30°,OD =1, ∴CD=2, ∴BC=x -2.在Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB =7. ∴AB=2OB =27,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即( 3 x)2+(x -2)2=(27)2, 解得x 1=3,x 2=-2(舍去), ∴AC=33;②点C 与点M 重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x ,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即(3x)2+(x +2)2=(27)2解得x 1=-3,解得x 2=2(舍去). ∴AC=2 3.综上所述,AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1.(2016·河南) (1)发现如图①,点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b.填空:当点A 位于________________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为__________(用含a ,b 的式子表示). (2)应用点A 为线段BC 外一动点,且BC =3,AB =1,如图②所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE.①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值. (3)拓展如图③,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),点P 为线段AB 外一动点,且PA =2,PM =PB ,∠BPM=90°,请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠B=90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现①当α=0°时,AE BD =2;②当α=180°时,AE BD =2;(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.3.(2014·河南) (1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段AD ,BE 之间的数量关系为______________. (2)拓展探究如图②,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图③,在正方形ABCD 中,CD =2,若点P 满足PD =1,且∠BPD=90°,请直接写出点A 到BP 的距离.4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________,______________;(2)猜想论证在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=32时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.(1)问题发现①如图①,OFEC=_______;②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②,OFEC =_______;(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出OFEC 的值,并说明理由.(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD =2,△AED 在旋转过程中,存在△ACD 为直角三角形,请直接写出线段CD 的长.类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是________,位置关系是________; (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM =12CE ,PN =12BD ,进而判断出BD =CE ,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD =CE ,同(1)的方法得出PM =12BD ,PN =12BD ,即可得出PM =PN ,同(1)的方法即可得出结论;(3)先判断出MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大=AM +AN ,最后用面积公式即可得出结论. 【自主解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN =12BD.∵点P ,M 是CD ,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM =12CE.∵AB=AC ,AD =AE , ∴BD =CE , ∴PM=PN. ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA. ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC ,AD =AE , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD =CE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12BD ,PM =12CE ,∴PM=PN ,∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC. ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°,∴△PMN 是等腰直角三角形,例2题解图(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴当MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面, ∴MN 最大=AM +AN , 连接AM ,AN ,在△ADE 中,AD =AE =4,∠DAE=90°,在Rt△ABC 中,AB =AC =10,AN =52, ∴MN 最大=22+52=72,∴S △PMN 最大=12PM 2=12×12MN 2=14×(72)2=492.1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E =30°. (1)操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是______________;②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是______________. (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ,CE 边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD =CD =4,DE∥AB 交BC 于点E(如图④).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC 中,BC =AC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别交AC ,CB(或它们的延长线)于E ,F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时,如图①所示,试证明S △DEF +S △CEF =12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG. (1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;猜想论证:(2)如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,猜想S1和S2的数量关系,并加以证明;(3)如图③所示,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP的面积等于△ACD的面积,请写出CP的长.4.(2018·驻马店一模)如图①,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1)观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.参考答案类型一 针对训练1.解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC +AB =a +b. (2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形, ∴AD=AB ,AC =AE ,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ∠CAD=∠EAB AC =AE ,∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上, ∴线段BE 长的最大值为BD +BC =AB +BC =4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN ,如解图①, 则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA =2,BN =AM.∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB =5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值,∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.∵AN=2AP=22,∴线段AM的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).图①图②第1题解图2.解:(1)①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,∴AEBD=254=52.②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵ACAE=BCBD,∴AEBD=ACBC=458=52.(2)当0°≤α≤360°时,AEBD的大小没有变化.∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB. 又∵EC DC =AC BC =52,∴△ECA∽△DCB, ∴AE BD =EC DC =52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②,∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8. ∵AD=BC ,AB =DC ,∠B=90°, ∴四边形ABCD 是矩形, ∴BD=AC =4 5.③如解图③,连接BD ,过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ,过点B 作AC 的垂线交AC 于点P , ∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴A D =AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8, ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点, ∴DE=12AB =12×(8÷2)=12×4=2,∴AE=AD -DE =8-2=6, 由(2),可得AE BD =52,∴BD=652=1255.综上所述,BD 的长为45或1255. 3.解:(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°, ∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE. (2)∠AEB=90°,AE =BE +2CM. 理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CA =CB ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE ,∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CD E =∠CED=45°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. ∵CD=CE ,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵∠DCE=90°,∴DM=ME =CM , ∴AE=AD +DE =BE +2CM.(3)∵PD=1,∴点P 在以点D 为圆心,1为半径的圆上.∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.①当点P在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1 2;②当点P在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1 2.综上所述,点A到BP的距离为3-12或3+12.图①图② 第3题解图4.解:(1)①∵AB=AC ,∠BAC=90°, 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AD=AE ,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD ,∠ACE =∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如解图①,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AE=AD ,∠DAE=90°. ∵AB=AC ,∠BAC=90°, ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD ,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (3)45°;34.过A 作AM⊥BC 于M ,过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ,如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴∠DAE=90°,AD =AE ,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°, ∴四边形MCEN 为矩形, ∴NE=MC ,∴AM=MC , ∴∠ACB=45°. ∵四边形MCEN 为矩形, ∴Rt△AMD∽Rt△DCF, ∴MD CF =AMDC,设DC =x , ∵在Rt△AMC 中,∠ACB=45°,AC =32,∴AM=CM =3,MD =3-x ,∴3-x CF =3x ,∴CF=-13x 2+x =-13(x -32)2+34,∴当x =32时,CF 有最大值,最大值为34.故答案为45°,34;图①图② 第4题解图5.解:(1)①∵△A BC ,△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC.∵O 为BC 的中点,F 为AD 的中点, ∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB =AC ,AE =DE , ∴∠DAE=∠CBA=45°, ∴AD∥BC,∴四边形AFOC 是平行四边形, ∴OF=AC =22EC ,∴OF EC =22; 故答案:22; ②∵AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°, ∴∠DAE=∠CAO. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC,∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; 故答案:22. (2)OF =22EC. 理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD 的中点, ∴AF=12AD =22AE.在等腰直角△ABC 中,O 为BC 的中点, 如解图①,连接AO , ∴AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°. ∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC =2, ∴ED=AE =AB =AC =1,当△ACD 为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时,如解图②,连接CD. 当△ACD 为直角三角形时,AD⊥AC, 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD=2,AC =1,∴由勾股定理可得CD =(2)2+12=3; ②当AE 与AC 重合时,如解图③, 当△ACD 为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°,此时CD =AC =1. 综上所述,CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1.解:(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上, ∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°, ∴∠ACD=∠CDE, ∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°, ∴CD=AC =12AB ,∴BD=AD =AC ,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC ,AD 上的高相等,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2; (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到, ∴BC=CE ,AC =CD ,∠DCE=∠ACB=90°, ∵∠ACN+∠ACE=180°, ∴∠ACN=∠DCM.在△ACN 和△DCM 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90°,AC =CD∴△ACN≌△DCM(AAS), ∴AN=DM ,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;第1题解图(3)如解图,过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1,易求得四边形BEDF 1是菱形,∴BE=DF 1,且BE ,DF 1边上的高相等,此时S△DCF 1=S △BDE ; 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC=60°,F 1D∥BE 交BA 于点F 2, ∴∠F 2F 1D =∠ABC=60°.∵BF 1=DF 1,∠F 1BD =12∠ABC=30°,∠F 2DB =90°,∴∠F 1DF 2=∠ABC=60° ∴△DF 1F 2是等边三角形, ∴DF 1=DF 2.∵BD=CD ,∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点, ∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°, ∠CDF 2=360°-150°-60°=150°, ∴∠CDF 1=∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1=DF 2∠CDF 1=∠CDF 2CD =CD, ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS),∴点F 2也是所求的点. ∵∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,DE∥AB, ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30°=2÷32=433,∴BF 1=433,BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833.故BF 的长为433或833.2.解:当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时,四边形CEDF 是正方形;设△ABC 的边长AC =BC =a ,则正方形CEDF 的边长为12a ,∴S △ABC =12a 2,S 正方形CEDF =(12a)2=14a 2,即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ;(1)上述结论成立;理由如下: 连接CD ,如解图①所示.∵AC=BC ,∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD =12AB =BD ,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90° ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠2CD =BD∠DCE=∠B, ∴△CDE≌△BDF(ASA),∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =12S △ABC ;图①图② 第2题解图(2)S △DEF -S △CEF =12S △ABC ;理由如下:连接CD ,如解图②所示,同(1)得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF =135°, ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , S △CFE +S △DBC , =S △CFE +12S △ABC ,∴S △DEF -S △CFE =12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF -S △CEF =12S △ABC .3.解:(1)如解图①中,∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形, ∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°, ∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形, ∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB =CD ,CE =CG ,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2, ∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠GNC ∠1=∠3EC =CG, ∴△CME≌△CNG(ASA), ∴EM=GN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CB·GN,∴S 1=S 2;故答案为180°,S 1=S 2; (2)猜想:S 1=S 2,证明:如解图②,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的, ∴CE=CB ,CG =CD ,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNB 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠BNC ∠1=∠3EC =CB, ∴△CME≌△CNB(AAS). ∴EM=BN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CG ·BN ,∴S 1=S 2;(3)如解图③,作DM⊥AC 于M ,延长BA ,交EC 于N , ∵AB=AC =10 cm ,∠B=30°, ∴∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°, ∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°, ∴∠BAD=90°,DM =12AD ,∴BN⊥EC.∵AD=tan∠ABD·AB,AB =10 cm , ∴AD=tan 30°×10=103 3 (cm),∴DM=12×1033=533(cm).∵S △ABP =12AB·PN,S △ADC =12AC·DM,S △ABP =S △ADC ,AB =AC ,∴PN=DM =533.在Rt△ANC 中,∠ACN=30°,AC =10 (cm), ∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30°×10=53(cm). ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个,∴P′C=103 3 cm ,P ″C =203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4.解:(1)PM =PN ,PM⊥PN,理由如下: 如解图①,延长AE 交BD 于O , ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE 和△BCD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACE=∠BCD=90°,CE =CD ,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD ,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO, ∴∠CBD+∠BEO=90°, ∴∠BOE =90°,即AE⊥BD,∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点, ∴PM=12BD ,PN =12AE ,∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°,∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形,理由如下: 如解图②,设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠AC B =∠ECD=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD ,∠CAE =∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P ,M ,N 分别为AD ,AB ,DE 的中点, ∴PM=12BD ,PM∥BD,PN =12AE ,PN∥AE,∴PM=PN ,∴∠MGE+∠BHA=180°, ∴∠MGE=90°, ∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形,PM =12BD ,∴当BD 的值最大时,PM 的值最大,△PMN 的面积最大, ∴当B ,C ,D 共线时,BD 的最大值为BC +CD =6, ∴PM=PN =3,。
2024河南考数学二轮中考题型研究 题型四 类比、拓展探究题题(课件)
和三角形的内外角关系,得到∠DPC=2∠BAC,
通过题干得到∠BAC的度数,即可求解.
例1题图①
【解法提示】
∵∠ACB=90°,点P为AE的中点,∴PC为Rt△AEC斜边AE的中线,
∴CP= 1 AE,同理可证,DP= 1 AE,∴DP=CP;
2
2
∴∠DPE=2∠DAE,∠CPE=2∠CAE,
∵AC=BC,∴∠BAC=45°,∴∠DPC=2∠BAC=90°,
例1题图①
填空:①DP与CP的数量关系是________; ②DP与CP的位置关系是____________;
【思维教练】①要求DP与CP的数量关系,通过直角三角形的性质:
斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到CP=1 AE,DP=1 AE,即
2
2
可求解;②要求DP与CP的位置关系,
即求∠DPC的度数,通过等腰三角形性质
பைடு நூலகம்∴DP⊥CP.
填空:①DP与CP的数量关系是_D_P_=__C__P_; ②DP与CP的位置关系是_D__P_⊥__C_P_;
例1题图①
(2)类比探究 把△BDE绕点B逆时针旋转45°至如图②的位置,(1)中的结论是否仍 然成立?若成立,请就图②的情形给出证明;若不成立,请说明理由;
【思维教练】要求DP与CP的数量关系和位 置关系,过点P作AC的垂线,并构造出DP 与PC所在的两个直角三角形,结合旋转的 性质可证明DP和PC所在的两个三角形全等, 即可求解.
②如解图③,由(2)可知DP⊥CP,DP=CP,
例1题解图②
∴△PCD为等腰直角三角形,
∵BC=3BD=3 2,∴CD=BC-BD=2 2,∴CP=2. 综上所述,CP的长为4或2.
2021年河南省中考数学总复习:类比、拓展探究题
(2)类比探究 如图②,当α=90°时,请写出 BD 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的
CP 度数,并就图②的情形说明理由.
中招22题 类比、拓展探究题
(2)【思维教练】要求线段BD与CP的比值,可以转化为求BD和CP所在的
△CAP和△BAD的相似比,根据题意可知∠ACB=90°,CA=CB,△ABC为
得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想 如图①,当α=60°时,BD 的值是
CP 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是
, .
中招22题 类比、拓展探究题
(1)【思维教练】要求 BD 的值,可将转化为求BD和CP所在的△CAP和△BAD
CP
的相似比,由α=60°,结合CA=CB,得到△ABC为等边三角形,由旋转性质 可得,PA=PD,∠APD=60°,得到△APD为等边三角形,结合∠PAB为公共 角,继而证明△CAP≌△BAD,最后利用全等三角形的性质可得BD=CP, ∠ACP=∠ABD,继而求得 BD 的值,最后作直线BD与直线CP的夹角,利用三
的值.
备用图
中招22题 类比、拓展探究题
(3)【思维教练】要求当点C,P,D在同一直线上时 AD 的值,需分两种情况进行
CP
讨论:第一种当点P在线段EF上时,结合第(2)问的结论,和中位线的性质得到CP 与AD的数量关系;第二种当点D在线段PC上时,利用第(2)问的结论和中位线的性 质,得到CP和AD的数量关系,即可求解. 【自主作答】
河南省2019届中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七类比探究题类型一线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①A C的值为________;BD②∠AMB的度数为________;(2)类比探究如图②,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点ACM.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;BD(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS,)得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则A C=BDO C=3,由全等三角形的性质得∠AMB的度OD数;(3)正确画出图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB=90°,A C=3,可得AC的长.BD【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠C OD=40°,∴∠COA=∠DOB.∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS,)∴AC=BD,∴A C =1.BD②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°-( ∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-( ∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°.(2) 类比探究AC=3,∠AMB=90°,理由如下:BD在Rt△OCD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴O D =tan 30 °=OC3 ,3同理,得O B=tan 30 °=OA3,3∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=BOD,∴△AOC∽△BOD,∴A C =BD O C=3,∠CAO=∠DBO. OD∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA=180°-( ∠D AB+∠MBA+∠OBD=)180°-90°=90°.(3) 拓展延伸①点C与点M重合时,如解图①,同理得△AOC∽△BOD,∴∠AMB=90°,A C=3,BD设B D=x,则A C=3x,在Rt△COD中,∵∠OCD=30°,OD=1,∴CD=2,∴BC=x-2.在Rt△AOB中,∠OAB=30°,OB=7.∴AB=2OB=2 7,2 2 2 在Rt△AMB中,由勾股定理,得AC+BC=AB,即( 3 x) 2+(x -2) 2 =(2 7) 2,解得x1=3,x2=-2( 舍去) ,∴AC=3 3;②点C与点M重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,A C=3,BD设BD=x,则AC=3x,2 2 2在Rt△AMB中,由勾股定理,得AC+BC=AB,即( 3x) 2 +(x +2) 2 =(2 7) 2解得x1=-3,解得x2 =2( 舍去) .∴AC=2 3.综上所述,AC的长为 3 3或2 3.图①图②例1 题解图1.( 2016·河南)(1) 发现如图①,点 A 为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点 A 位于________________时,线段AC的长取得最大值,且最大值为__________( 用含a,b 的式子表示) .(2) 应用点A 为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,如图②所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.(3) 拓展如图③,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2 ,0) ,点 B 的坐标为(5 ,0) ,点P 为线段AB 外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标.2.( 2015·河南) 如图①,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1) 问题发现①当α=0°时,AE=__BD5__;2②当α=180°时,A E=__BD5__;2(2) 拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,A E的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.BD(3) 解决问题当△EDC旋转至A,D,E 三点共线时,直接写出线段B D的长.3.( 2014·河南)(1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE均为等边三角形,点A,D,E 在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段A D,BE之间的数量关系为______________.(2) 拓展探究如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E 在同一直线上,CM为△DCE 中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB 的度数及线段C M,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.(3) 解决问题如图③,在正方形ABCD中,CD=2,若点P 满足P D=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.4.( 2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1) 操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时( 不与点 B 重合) ,如图①所示,请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________,______________;(2) 猜想论证在(1) 的条件下,当 D 在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1) 中结论是否成立,并证明你的判断.(3) 拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB 等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立( 点C,E 重合除外) ?此时若作DF⊥AD 交线段CE于点F,且当AC=3 2 时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形( 其顶点B,E 重合) ,∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点, F 为AD的中点,连接OF.(1) 问题发现①如图①,O F=_______;EC②将△AED绕点A逆时针旋转45°,如图②,O F=_______;EC(2)类比延伸将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出O F的值,并说明理由.EC(3)拓展探究将图①中△AED绕点A逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD=2,△AED在旋转过程中,存在△ACD为直角三角形,请直接写出线段CD的长.类型二图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边A B,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图①中,线段PM与PN的数量关系是________,位置关系是________;(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△ADE绕A在平面内自由旋转,若A D=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.图①图②例2题图1 1【分析】(1) 利用三角形的中位线定理得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再2 2利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2) 先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1) 的方法得出PM =12BD,PN=12BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;(3) 先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解:(1) ∵点P,N是BC,CD的中点,∴PN∥BD,PN=12 BD.∵点P,M是CD,DE的中点,∴PM∥CE,PM=12 CE.∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE,∴PM=PN.∵PN∥BD,∴∠DPN=∠ADC,∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCA.∵∠BAC=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,∴PM⊥PN,(2) 由旋转知,∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS,)∴∠ABD=∠ACE,BD=CE.同(1) 的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12 BD,1PM=CE,2∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,同(1) 的方法得,PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,同(1) 的方法得,PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC.∵∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠MPN=90°,∴△PMN是等腰直角三角形,例2 题解图(3) 如解图,同(2) 的方法得,△PMN是等腰直角三角形,∴当MN最大时,△PMN的面积最大,∴DE∥BC且DE在顶点A上面,∴MN最大=AM+AN,连接A M,AN,在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,∴AM=2 2,在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5 2,∴MN最大=2 2+5 2=7 2,∴S△PMN最大=12PM2=1×212MN2=14×(7 2)492=.21.( 2013·河南) 如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30° .(1) 操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是______________;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1 与S2 的数量关系是______________.(2) 猜想论证当△DEC绕点 C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1) 中S1 与S2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB 交BC于点E( 如图④) .若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC中,BC=AC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点 D 旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线) 于E,F. 当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E 时,如图①所示,试证明S△DEF+S△CEF=12S△ABC.(1) 当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2) 直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S之间的数量关系.△ABC3.( 2018·郑州模拟) 如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG. (1) 图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1 与S2 的数量关系为______________;猜想论证:(2) 如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1 ,△BCG的面积为S2 ,猜想S1 和S2 的数量关系,并加以证明;(3) 如图③所示,在△ABC 中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC 沿AC翻折得到△AEC,过点 A 作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP 的面积等于△ACD 的面积,请写出CP的长.4.( 2018·驻马店一模) 如图①,△ABC 与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P 为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1) 观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2) 探究证明将图①中的△CDE 绕着点 C 顺时针旋转α(0 °<α<90°) ,得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3) 拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN 面积的最大值.参考答案类型一练针对训1.解:(1) ∵点 A 为线段B C外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点 A 位于CB的延长线上时,线段A C的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.(2) ①CD=BE,理由:∵△ABD 与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.AD=AB在△CAD和△EAB中,∠CAD=∠EAB,AC=AE∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段B E长的最大值等于线段C D的最大值,由(1) 知,当线段C D的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴线段B E长的最大值为BD+BC=AB+BC=4;(3) ∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接A N,如解图①,则△APN是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM.∵点A 的坐标为(2 ,0) ,点 B 的坐标为(5 ,0) ,∴OA=2,OB=5,∴AB=3,∴线段A M长的最大值等于线段B N长的最大值,∴当点N在线段B A的延长线时,线段B N取得最大值,最大值为A B+AN.∵AN=2AP=2 2,∴线段A M的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点 E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2) .图①图②第1 题解图2.解:(1) ①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,2 2∴AC=AB+BC=(8÷2)2 2+8 =4 5.∵点D、E分别是边B C、AC的中点,∴AE=4 5÷2=2 5,BD=8÷2=4,∴A E=BD2 54=5.2②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵A C=AEBC,BD∴A E=BDAC 4 5==BC 85.2(2) 当0°≤α≤360°时,A E的大小没有变化.BD∵∠ECD=∠ACB,∴∠ECA=∠DCB.又∵EC AC==DC BC5,2∴△ECA∽△DCB,∴A E=BDEC=DC5.2图①图②图③第2 题解图(3) ①如解图②,∵AC=4 5,CD=4,CD⊥AD,∴AD=AC2-CD2=(4 5)2-CD2=(45)2-42=80-16=8.∵AD=BC,AB=DC,∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=4 5.③如解图③,连接BD,过点D作AC的垂线交A C于点Q,过点 B 作AC的垂线交A C于点P,∵AC=4 5,CD=4,CD⊥AD,∴AD=AC2-CD2=(4 5)2-CD2=(45)2-42=80-16=8,∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴DE=1 1AB=×(8 ÷2) =2 212×4=2,∴AE=AD-DE=8-2=6,由(2) ,可得A E=BD5,2∴BD=6=5212 5.512 5综上所述,BD的长为 4 5或.53.解:(1) ∵△ACB 和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC∠ACD=∠BCE,CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS,) ∴∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.(2) ∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,CA=CB∠ACD=∠BCE,CD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS,)∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME.∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.(3) ∵PD=1,∴点P在以点D为圆心,1 为半径的圆上.∵∠BPD=90°,∴点P 在以BD为直径的圆上,∴点P 是这两圆的交点.①当点P 在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点 A 作AE⊥AP,交BP于点 E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2. ∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B 在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45° .∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P 共线,AH⊥BP,∴由(2) 中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1;2②当点P 在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点 A 作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1. 2综上所述,点 A 到BP的距离为3-1或23+1.2图①图②第3 题解图4.解:(1) ①∵AB=AC,∠BAC=90°,线段A D绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE,∴CE=BD,∠ACE=∠B,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段C E,BD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CE⊥BD;(2)(1) 中的结论仍然成立.证明如下:如解图①,∵线段A D绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴AE=AD,∠DAE=90°.∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠CAE=∠BAD,∴△ACE≌△ABD,∴CE=BD,∠ACE=∠B,∴∠BCE=90°,∴线段C E,BD之间的位置关系和数量关系为CE=BD,CE⊥BD;(3)45 °;3 . 4过A 作AM⊥BC于M,过点E作EN⊥MA交MA的延长线于N,如解图②.∵线段A D绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴∠DAE=90°,AD=AE,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°,∴四边形MCEN为矩形,∴NE=MC,∴AM=MC,∴∠ACB=45°.∵四边形MCEN为矩形,∴Rt△AMD∽Rt△DCF,∴M D=CFAM,设D C=x,DC∵在Rt△AMC中,∠ACB=45°,AC=3 2,∴AM=CM=3,MD=3-x,∴3-x 3=,CF x∴CF=-132x +x=-1(x -33)232+,43∴当x=时,CF有最大值,最大值为2 3 . 4故答案为45°,34;图①图②第4 题解图5.解:(1) ①∵△ABC,△AED 是两个全等的等腰直角三角形,∴AD=BC.∵O为BC的中点, F 为AD的中点,∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB=AC,AE=DE,∴∠DAE=∠CBA=45°,∴AD∥BC,∴四边形AFOC是平行四边形,∴OF=AC =2EC,∴2OF=EC2;2故答案:2 ;2②∵AO=2AC,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°,2∴∠DAE=∠CAO. ∵AE=AC,∴AF=AO,∴A F=AEAO,AC∴△AFO∽△AEC,∴O F=ECAO=AC2;2故答案:2 . 2(2)OF =2 EC. 2理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD的中点,∴AF=12AD=2AE.2在等腰直角△ABC 中,O为BC的中点,如解图①,连接AO,∴AO=2AC,∠BAO=∠CAO=45°. 2∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC,∴AF=AO,∴A F=AEAO,AC∴△AFO∽△AEC,∴O F=ECAO=AC2;2(3) ∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形,∴AD=BC=2,∴ED=AE=AB=AC=1,当△ACD为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③第5 题解图①当AD与AB重合时,如解图②,连接CD.当△ACD为直角三角形时,AD⊥AC,即将△ADE绕点 A 逆时针旋转45° .∵AD=2,AC=1,∴由勾股定理可得CD=(2)2+12=3;②当AE与AC重合时,如解图③,当△ACD为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE绕点 A 逆时针旋转90°,此时CD=AC=1.综上所述,CD的长为3或1.类型二针对训练1.解:(1) ①△DEC 绕点C旋转到点D恰好落在AB边上,∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60° .∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°,1∴CD=AC=AB,2∴BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,△ACD的边AC,AD上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC 的面积相等( 等底等高的三角形的面积相等) ,即S1=S2;(2) ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,∴BC=CE,AC=CD,∠DCE=∠ACB=90°,∵∠ACN+∠ACE=180°,∴∠ACN=∠DCM.∠ACN=∠DCM,在△ACN和△DCM中,∠N=∠CMD=90°,AC=CD∴△ACN≌△DCM(AAS,)∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC 的面积相等( 等底等高的三角形的面积相等) ,即S1=S2;第1 题解图(3) 如解图,过点D作DF1∥BE交BA于点F1,易求得四边形BEDF1 是菱形,∴BE=DF1,且BE,DF1 边上的高相等,此时S△DCF1=S△BDE;过点D作DF2⊥BD.∵∠ABC=60°,F1D∥BE交BA于点F2,∴∠F2F1D=∠ABC=60°.1∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,2∴∠F1DF2=∠ABC=60°∴△DF1F2 是等边三角形,∴DF1=DF2.∵BD=CD,∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,∠CDF2=360°-150°-60°=150°,∴∠CDF1=∠CDF2.在△CDF1 和△CDF2 中,DF1=DF2∠CDF1=∠CDF2,CD=CD∴△CDF1≌△CDF2(SAS) ,∴点F2 也是所求的点.∵∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=1×60°=30°. 2又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30 °=2÷3=24 33,4 3∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=3 4 3 4 3+=3 38 3.34 3 8 3故BF 的长为.或3 32.解:当∠EDF绕D点旋转到D E⊥AC 时,四边形CEDF是正方形;设△ABC 的边长AC=BC=a,则正方形1CEDF的边长为a,21∴S△ABC= a 正方形CEDF=(2,S2,S2 12a)2=1a △DEF+S2,即S2,即S△CEF=412S△ABC;(1) 上述结论成立;理由如下:连接C D,如解图①所示.∵AC=BC,∠ACB=90°,D为A B中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=12AB=BD,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°∵∠EDF=90°,∴∠1=∠2,在△CDE和△BDF中,∠1=∠2CD=BD,∠DCE=∠B∴△CDE≌△BDF(ASA,)∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=12S△ABC;图①图②第2 题解图(2)S1△DEF-S△CEF=S△ABC;理由如下:2连接C D,如解图②所示,同(1) 得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF=135°,∴S△DEF=S五边形DBFEC,S△CFE+S△DBC,1=S△CFE+S△ABC,21∴S△DEF-S△CFE=S△ABC.2∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是S△DEF-S△CEF=12S△ABC.3.解:(1) 如解图①中,∵四边形ABCD、EFGC都是正方形,∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°,∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③第3 题解图如解图①,过点E作EM⊥DC于点M,过点G作GN⊥BN 交BN的延长线于点N,∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形,∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB=CD,CE=CG,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3.在△CME和△CNG中,∠EMC=∠GNC∠1=∠3,EC=CG∴△CME≌△CNG(ASA,)∴EM=GN.1 1又∵S1=CD·EM,S2=CB·GN,2 2∴S1=S2;180°,S1=S2;故答案为(2) 猜想:S1=S2,证明:如解图②,过点 E 作EM⊥DC于点M,过点 B 作BN⊥GC交GC的延长线于点N,∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的,∴CE=CB,CG=CD,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3.在△CME和△CNB中,∠EMC=∠BNC∠1=∠3,EC=CB∴△CME≌△CNB(AAS.)∴EM=BN.1 1又∵S1=CD·EM,S2=CG·BN,2 2∴S1=S2;(3) 如解图③,作DM⊥AC于M,延长BA,交EC于N,∵AB=AC=10 cm,∠B=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°,∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°,∴∠BAD=90°,DM=12 AD,∴BN⊥EC.∵AD=tan ∠ABD·AB,AB=10 cm,∴AD=tan 30 °×10=1033 (cm) ,∴DM=1 10×2 33=533(cm) .1∵S△ABP=△ADC=AB·PN,S2 12AC·DM,S△ABP=S△ADC,AB=AC,53∴PN=DM=3.在Rt△ANC中,∠ACN=30°,AC=10 (cm) ,∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30 °×10= 5 3(cm) .∵在EC上到N的距离等于533的点有两个,∴P′C=1033 cm,P″C=″C=2033 cm.10∴CP的长为3 3 cm 或2033 cm.4.解:(1)PM=PN,PM⊥PN,理由如下:如解图①,延长AE交BD于O,∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.在△ACE和△BCD中,AC=BC,∠ACE=∠BCD=90°,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS,)∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO,∴∠CBD+∠BEO=90°,∴∠BOE=90°,即AE⊥BD,∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为A D的中点,∴PM=1 1 BD,PN=AE,2 2∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°,∴∠MPA+∠NPC=90°,∴∠MPN=90°,即PM⊥PN.图①图②第4 题解图(2) △PMN为等腰直角三角形,理由如下:如解图②,设A E交BC于点O.∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,∴PM=12BD,PM∥BD,PN=12AE,PN∥AE,∴PM=PN,∴∠MG+E∠BHA=180°,∴∠MG=E 90°,∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.1 (3) 由(2) 可知△PMN是等腰直角三角形,PM=BD,2∴当BD的值最大时,PM的值最大,△PMN的面积最大,∴当B,C,D共线时,BD的最大值为BC+CD=6,∴P M=PN=3,∴△PMN面积的最大值为12×3×3=92.。
河南中考第22题类比探究题(一)汇编试卷
2020中考第22题类比探究题(一)如图,△ABC 与△CDE 为等腰直角三角形,△BAC=△DEC=90°,连接AD,取AD 的中点P,连接BP,并延长到点M,使BP=PM,连接AM,EM,AE,将△CDE 绕点C 顺时针旋转.(1)如图1,当点D 在BC 上,点E 在AC 上时,AE 与AM 的数量关系是 ,△MAE= ;(2)判断当△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)若CD=21BC,将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α(0°<α<360°),当ME=26CD 时,请直接写出α的值.2020中考第22题类比探究题(二)问题发现:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是 ;拓展探究:(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;解决问题:(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若点A满足AB=AC,∠BAC=90°,请直接写出线段AD的长度.2020中考第22题类比探究题(三)(1)【问题发现】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,△BAC=△DAE=90°,延长CA到点F,使得AF=AC,连接DF,BE,则线段BE与DF的数量关系为,位置关系为;(2)【拓展研究】将△ADE绕点A旋转,(1)中的结论有无变化?仅就(2)的情形给出证明;(3)【解决问题】当AB=2,AD=2,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时,直接写出线段DF的长.图(1)2020中考第22题类比探究题(四)在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,△BAC=△DAE=90°,AB=4,AE=2,其中△ABC固定,将△ADE绕点A作360°旋转,点F,M,N分别为线段BE,BC,CD的中点,连接MN,NF.问题提出:(1)如图1,当AD在线段AC上时,则△MNF的度数为,线段MN和线段NF的数量关系为;深入讨论:(2)如图2,当AD不在线段AC上时,请求出△MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系;拓展延伸:(3)如图3,在△ADE持续旋转过程中,若CE与BD的交点为点P,则△BCP面积的最小值为.2020中考第22题类比探究题(五)(1)问题发现如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,当点D落在BC的延长线上时,连接EC,写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系,并证明;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCF中,△ABC=△ACB=△AFC=45°.若BF=13,CF=5,请直接写出AF的长.2020中考第22题类比探究题(六)如图1,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△BAC=30°,点D是AC边上一点,过点D作DE△AB于点E,连接BD,点F 是BD的中点,连接EF,CF.(1)发现问题线段EF,CF之间的数量关系为;△EFC的度数为;(2)拓展与探究若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,判断(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)拓展与运用如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.2020中考第22题类比探究题(七)已知△AOB=90°,点C是△AOB的平分线OP上的任意一点,现有一个直角△MCN绕点C旋转,两直角边CM, CN分别与直线OA,OB相交于点D,E.(1)如图1,若CD△OA,猜想线段OD,OE,OC之间的数量关系,并说明理由;(2)如图2,若点D在射线OA上,且CD与OA不垂直,则(1)中的数量关系是否仍成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出线段OD,OE,OC之间的数量关系,并加以证明;(3)如图3,若点D在射线OA的反向延长线上,且OD=2,OE=8,请直接写出线段CE的长度.2020中考第22题类比探究题(八)如图1,在Rt△ABC中,△BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点.(1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是;(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请证明,否则请说明理由; (3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值..2020中考第22题类比探究题(九)(1)问题发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在边BC上,连接CE.请填空:△△ACE的度数为;△线段AC,CD,CE之间的数量关系为;(2)拓展探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,△BAC=△DAE=90°,点D在边BC上,连接CE.请判断△ACE的度数及线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在四边形ABCD中,△BAD=△BCD=90°,AB=AD=2,CD=1,AC与BD交于点E,请直接写出线段AC的长度.图1图2图3。
河南省中招数学第22题类比探究(先翻折后旋转型)
变式题演练二
• 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°, AC=4,点D,E分别在AB,AC上,∠ADE=90°,连 接BE,点F为BE的中点,连接DC,DF,CF。
• 观察猜想:线段FD与线段FC的数量关系是 ∠DFC= °;
变式题演练二
• 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°, AC=4,点D,E分别在AB,AC上,∠ADE=90°,连 接BE,点F为BE的中点,连接DC,DF,CF。
变式题演练二
• 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=4,点 D,E分别在AB,AC上,∠ADE=90°,连接BE,点F为BE的 中点,连接DC,DF,CF。
• 拓展延伸:若AD=1,把△ADE绕点A在平面内自由旋转, 请直接写出△CDF面积的最大值。
变式题演练三
• 问题发现:如图1,在Rt△ABC和Rt△BDE中, ∠A=∠DEB=30°,BC=BE=3,
河南省中招数学第22题 类比探究(先翻折后旋转型)
上蔡县大路李初中 九年级数学组
引入:旋转型
如右图,等腰直角三角形A’BA和等腰直角三角形 E’BE 中,求证:△ EBA ≌△ E’B A’
如左图, 若C、D、 F分别为 中点,则 线段CF、 CD的关 系是什么? 写出证明 过程。
பைடு நூலகம்
变式题演练一
• 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,点D在AB上,DE⊥AB交BC 于E,点F是AE的中点。
变式题演练三
• 问题发现:如图1,在Rt△ABC和Rt△BDE中, ∠A=∠DEB=30°,BC=BE=3, Rt△BDE绕点 B逆时针旋转,H为CD的中点。
河南省2019年中考数学专题复习专题七类比探究题训练201812281141
专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M.填空: ①ACBD的值为________; ②∠AMB 的度数为________; (2)类比探究如图②,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC =BD ,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则AC BD =OCOD =3,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画出图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB =90°,ACBD =3,可得AC 的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD ,OA =OB , ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD , ∴ACBD=1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)类比探究ACBD=3,∠AMB=90°,理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴OD OC =tan 30°=33, 同理,得OB OA =tan 30°=33,∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=BOD , ∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD =OCOD=3,∠CAO=∠DBO. ∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA =180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时,如解图①, 同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x , 在Rt△COD 中,∵∠OCD=30°,OD =1, ∴CD=2, ∴BC=x -2.在Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB =7. ∴AB=2OB =27,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即( 3 x)2+(x -2)2=(27)2, 解得x 1=3,x 2=-2(舍去), ∴AC=33;②点C 与点M 重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x ,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即(3x)2+(x +2)2=(27)2解得x 1=-3,解得x 2=2(舍去). ∴AC=2 3.综上所述,AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1.(2016·河南) (1)发现如图①,点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b.填空:当点A 位于________________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为__________(用含a ,b 的式子表示). (2)应用点A 为线段BC 外一动点,且BC =3,AB =1,如图②所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE.①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值. (3)拓展如图③,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),点P 为线段AB 外一动点,且PA =2,PM =PB ,∠BPM=90°,请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠B=90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现①当α=0°时,AE BD =2;②当α=180°时,AE BD =2;(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.3.(2014·河南) (1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段AD ,BE 之间的数量关系为______________. (2)拓展探究如图②,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图③,在正方形ABCD 中,CD =2,若点P 满足PD =1,且∠BPD=90°,请直接写出点A 到BP 的距离.4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________,______________;(2)猜想论证在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=32时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.(1)问题发现①如图①,OFEC=_______;②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②,OFEC =_______;(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出OFEC 的值,并说明理由.(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD =2,△AED 在旋转过程中,存在△ACD 为直角三角形,请直接写出线段CD 的长.类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是________,位置关系是________; (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM =12CE ,PN =12BD ,进而判断出BD =CE ,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD =CE ,同(1)的方法得出PM =12BD ,PN =12BD ,即可得出PM =PN ,同(1)的方法即可得出结论;(3)先判断出MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大=AM +AN ,最后用面积公式即可得出结论. 【自主解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN =12BD.∵点P ,M 是CD ,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM =12CE.∵AB=AC ,AD =AE , ∴BD =CE , ∴PM=PN. ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA. ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC ,AD =AE , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD =CE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12BD ,PM =12CE ,∴PM=PN ,∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC. ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°,∴△PMN 是等腰直角三角形,例2题解图(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴当MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面, ∴MN 最大=AM +AN , 连接AM ,AN ,在△ADE 中,AD =AE =4,∠DAE=90°,在Rt△ABC 中,AB =AC =10,AN =52, ∴MN 最大=22+52=72,∴S △PMN 最大=12PM 2=12×12MN 2=14×(72)2=492.1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E =30°. (1)操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是______________;②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是______________. (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ,CE 边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD =CD =4,DE∥AB 交BC 于点E(如图④).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC 中,BC =AC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别交AC ,CB(或它们的延长线)于E ,F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时,如图①所示,试证明S △DEF +S △CEF =12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG. (1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;猜想论证:(2)如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,猜想S1和S2的数量关系,并加以证明;(3)如图③所示,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP的面积等于△ACD的面积,请写出CP的长.4.(2018·驻马店一模)如图①,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1)观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.参考答案类型一 针对训练1.解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC +AB =a +b. (2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形, ∴AD=AB ,AC =AE ,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ∠CAD=∠EAB AC =AE ,∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上, ∴线段BE 长的最大值为BD +BC =AB +BC =4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN ,如解图①, 则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA =2,BN =AM.∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB =5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值,∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.∵AN=2AP=22,∴线段AM的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).图①图②第1题解图2.解:(1)①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,∴AEBD=254=52.②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵ACAE=BCBD,∴AEBD=ACBC=458=52.(2)当0°≤α≤360°时,AEBD的大小没有变化.∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB. 又∵EC DC =AC BC =52,∴△ECA∽△DCB, ∴AE BD =EC DC =52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②,∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8. ∵AD=BC ,AB =DC ,∠B=90°, ∴四边形ABCD 是矩形, ∴BD=AC =4 5.③如解图③,连接BD ,过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ,过点B 作AC 的垂线交AC 于点P , ∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴A D =AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8, ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点, ∴DE=12AB =12×(8÷2)=12×4=2,∴AE=AD -DE =8-2=6, 由(2),可得AE BD =52,∴BD=652=1255.综上所述,BD 的长为45或1255. 3.解:(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°, ∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE. (2)∠AEB=90°,AE =BE +2CM. 理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CA =CB ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE ,∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CD E =∠CED=45°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. ∵CD=CE ,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵∠DCE=90°,∴DM=ME =CM , ∴AE=AD +DE =BE +2CM.(3)∵PD=1,∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.①当点P在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1 2;②当点P在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1 2.综上所述,点A到BP的距离为3-12或3+12.图①图② 第3题解图4.解:(1)①∵AB=AC ,∠BAC=90°, 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AD=AE ,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD ,∠ACE =∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如解图①,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AE=AD ,∠DAE=90°. ∵AB=AC ,∠BAC=90°, ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD ,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (3)45°;34.过A 作AM⊥BC 于M ,过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ,如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴∠DAE=90°,AD =AE ,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°, ∴四边形MCEN 为矩形, ∴NE=MC ,∴AM=MC , ∴∠ACB=45°. ∵四边形MCEN 为矩形,∴Rt△AMD∽Rt△DCF, ∴MD CF =AMDC,设DC =x , ∵在Rt△AMC 中,∠ACB=45°,AC =32, ∴AM=CM =3,MD =3-x ,∴3-x CF =3x ,∴CF=-13x 2+x =-13(x -32)2+34,∴当x =32时,CF 有最大值,最大值为34.故答案为45°,34;图①图② 第4题解图5.解:(1)①∵△A BC ,△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC.∵O 为BC 的中点,F 为AD 的中点, ∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB =AC ,AE =DE , ∴∠DAE=∠CBA=45°, ∴AD∥BC,∴四边形AFOC 是平行四边形, ∴OF=AC =22EC ,∴OF EC =22; 故答案:22; ②∵AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°, ∴∠DAE=∠CAO.∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; 故答案:22. (2)OF =22EC. 理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD 的中点, ∴AF=12AD =22AE.在等腰直角△ABC 中,O 为BC 的中点, 如解图①,连接AO , ∴AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°. ∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC =2, ∴ED=AE =AB =AC =1,当△ACD 为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时,如解图②,连接CD. 当△ACD 为直角三角形时,AD⊥AC, 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD=2,AC =1,∴由勾股定理可得CD =(2)2+12=3; ②当AE 与AC 重合时,如解图③, 当△ACD 为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°,此时CD =AC =1. 综上所述,CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1.解:(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上, ∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°, ∴∠ACD=∠CDE, ∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°, ∴CD=AC =12AB ,∴BD=AD =AC ,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC ,AD 上的高相等,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2; (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到,∴BC=CE ,AC =CD ,∠DCE=∠ACB=90°, ∵∠ACN+∠ACE=180°, ∴∠ACN=∠DCM.在△ACN 和△DCM 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90°,AC =CD∴△ACN≌△DCM(AAS), ∴AN=DM ,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;第1题解图(3)如解图,过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1,易求得四边形BEDF 1是菱形,∴BE=DF 1,且BE ,DF 1边上的高相等,此时S△DCF 1=S △BDE ; 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC=60°,F 1D∥BE 交BA 于点F 2, ∴∠F 2F 1D =∠ABC=60°.∵BF 1=DF 1,∠F 1BD =12∠ABC=30°,∠F 2DB =90°,∴∠F 1DF 2=∠ABC=60° ∴△DF 1F 2是等边三角形, ∴DF 1=DF 2.∵BD=CD ,∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点, ∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°, ∠CDF 2=360°-150°-60°=150°, ∴∠CDF 1=∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1=DF 2∠CDF 1=∠CDF 2CD =CD, ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS),∴点F 2也是所求的点. ∵∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30°=2÷32=433,∴BF 1=433,BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833.故BF 的长为433或833.2.解:当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时,四边形CEDF 是正方形;设△ABC 的边长AC =BC =a ,则正方形CEDF 的边长为12a ,∴S △ABC =12a 2,S 正方形CEDF =(12a)2=14a 2,即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ;(1)上述结论成立;理由如下: 连接CD ,如解图①所示.∵AC=BC ,∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD =12AB =BD ,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90° ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠2CD =BD∠DCE=∠B, ∴△CDE≌△BDF(ASA),∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =12S △ABC ;图①图② 第2题解图(2)S △DEF -S △CEF =12S △ABC ;理由如下:连接CD ,如解图②所示,同(1)得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF =135°, ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , S △CFE +S △DBC , =S △CFE +12S △ABC ,∴S △DEF -S △CFE =12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF -S △CEF =12S △ABC .3.解:(1)如解图①中,∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形, ∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°, ∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形, ∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB =CD ,CE =CG , ∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2, ∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠GNC ∠1=∠3EC =CG, ∴△CME≌△CNG(ASA), ∴EM=GN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CB·GN,∴S 1=S 2;故答案为180°,S 1=S 2; (2)猜想:S 1=S 2,证明:如解图②,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的, ∴CE=CB ,CG =CD ,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNB 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠BNC ∠1=∠3EC =CB, ∴△CME≌△CNB(AAS). ∴EM=BN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CG ·BN ,∴S 1=S 2;(3)如解图③,作DM⊥AC 于M ,延长BA ,交EC 于N , ∵AB=AC =10 cm ,∠B=30°, ∴∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°, ∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°, ∴∠BAD=90°,DM =12AD ,∴BN⊥EC.∵AD=tan∠ABD·AB,AB =10 cm , ∴AD=tan 30°×10=103 3 (cm),∴DM=12×1033=533(cm).∵S △ABP =12AB·PN,S △ADC =12AC·DM,S △ABP =S △ADC ,AB =AC ,∴PN=DM =533.在Rt△ANC 中,∠ACN=30°,AC =10 (cm), ∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30°×10=53(cm). ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个,∴P′C=103 3 cm ,P ″C =203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4.解:(1)PM =PN ,PM⊥PN,理由如下: 如解图①,延长AE 交BD 于O , ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE 和△BCD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACE=∠BCD=90°,CE =CD ,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD ,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO, ∴∠CBD+∠BEO=90°, ∴∠BOE =90°,即AE⊥BD,∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点, ∴PM=12BD ,PN =12AE ,∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°, ∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形,理由如下: 如解图②,设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠AC B =∠ECD=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD ,∠CAE =∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P ,M ,N 分别为AD ,AB ,DE 的中点, ∴PM=12BD ,PM∥BD,PN =12AE ,PN∥AE,∴PM=PN ,∴∠MGE+∠BHA=180°, ∴∠MGE=90°, ∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形,PM =12BD ,∴当BD 的值最大时,PM 的值最大,△PMN 的面积最大, ∴当B ,C ,D 共线时,BD 的最大值为BC +CD =6, ∴PM=PN =3,∴△PMN 面积的最大值为12×3×3=92.。
2010-2019年河南中考数学(类比归纳题)汇总
2010年-2019年(10年)河南省中考数学(类比归纳)整理2019河南在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD ,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当α=60°时,的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.(2)类比探究如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D 在同一直线上时的值.2018河南(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.(2017•河南)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是PM⊥PN;(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.2016河南(1)问题如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b。
河南省2019届中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M.填空: ①ACBD的值为________; ②∠AMB 的度数为________; (2)类比探究如图②,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC =BD ,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则AC BD =OCOD =3,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画出图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB =90°,ACBD =3,可得AC 的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD ,OA =OB , ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD , ∴ACBD=1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)类比探究ACBD=3,∠AMB=90°,理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴OD OC =tan 30°=33, 同理,得OB OA =tan 30°=33,∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=BOD , ∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD =OCOD=3,∠CAO=∠DBO. ∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA =180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时,如解图①, 同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x , 在Rt△COD 中,∵∠OCD=30°,OD =1, ∴CD=2, ∴BC=x -2.在Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB =7. ∴AB=2OB =27,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即( 3 x)2+(x -2)2=(27)2, 解得x 1=3,x 2=-2(舍去), ∴AC=33;②点C 与点M 重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x ,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即(3x)2+(x +2)2=(27)2解得x 1=-3,解得x 2=2(舍去). ∴AC=2 3.综上所述,AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1.(2016·河南) (1)发现如图①,点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b.填空:当点A 位于________________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为__________(用含a ,b 的式子表示). (2)应用点A 为线段BC 外一动点,且BC =3,AB =1,如图②所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE.①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值. (3)拓展如图③,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),点P 为线段AB 外一动点,且PA =2,PM =PB ,∠BPM=90°,请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠B=90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现①当α=0°时,AE BD =2;②当α=180°时,AE BD =2;(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.3.(2014·河南) (1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段AD ,BE 之间的数量关系为______________. (2)拓展探究如图②,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图③,在正方形ABCD 中,CD =2,若点P 满足PD =1,且∠BPD=90°,请直接写出点A 到BP 的距离.4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________,______________;(2)猜想论证在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=32时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.(1)问题发现①如图①,OFEC=_______;②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②,OFEC =_______;(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出OFEC 的值,并说明理由.(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD =2,△AED 在旋转过程中,存在△ACD 为直角三角形,请直接写出线段CD 的长.类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是________,位置关系是________; (2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM =12CE ,PN =12BD ,进而判断出BD =CE ,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD =CE ,同(1)的方法得出PM =12BD ,PN =12BD ,即可得出PM =PN ,同(1)的方法即可得出结论;(3)先判断出MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大=AM +AN ,最后用面积公式即可得出结论. 【自主解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN =12BD.∵点P ,M 是CD ,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM =12CE.∵AB=AC ,AD =AE , ∴BD =CE , ∴PM=PN. ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA. ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC ,AD =AE , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD =CE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12BD ,PM =12CE ,∴PM=PN ,∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC. ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°,∴△PMN 是等腰直角三角形,例2题解图(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴当MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面, ∴MN 最大=AM +AN , 连接AM ,AN ,在△ADE 中,AD =AE =4,∠DAE=90°,在Rt△ABC 中,AB =AC =10,AN =52, ∴MN 最大=22+52=72,∴S △PMN 最大=12PM 2=12×12MN 2=14×(72)2=492.1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E =30°. (1)操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是______________;②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是______________. (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ,CE 边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD =CD =4,DE∥AB 交BC 于点E(如图④).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC 中,BC =AC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别交AC ,CB(或它们的延长线)于E ,F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时,如图①所示,试证明S △DEF +S △CEF =12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG. (1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;猜想论证:(2)如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,猜想S1和S2的数量关系,并加以证明;(3)如图③所示,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP的面积等于△ACD的面积,请写出CP的长.4.(2018·驻马店一模)如图①,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1)观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.参考答案类型一 针对训练1.解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC +AB =a +b. (2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形, ∴AD=AB ,AC =AE ,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ∠CAD=∠EAB AC =AE ,∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上, ∴线段BE 长的最大值为BD +BC =AB +BC =4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN ,如解图①, 则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA =2,BN =AM.∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB =5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值,∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.∵AN=2AP=22,∴线段AM的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).图①图②第1题解图2.解:(1)①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,∴AEBD=254=52.②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵ACAE=BCBD,∴AEBD=ACBC=458=52.(2)当0°≤α≤360°时,AEBD的大小没有变化.∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB. 又∵EC DC =AC BC =52,∴△ECA∽△DCB, ∴AE BD =EC DC =52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②,∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8. ∵AD=BC ,AB =DC ,∠B=90°, ∴四边形ABCD 是矩形, ∴BD=AC =4 5.③如解图③,连接BD ,过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ,过点B 作AC 的垂线交AC 于点P , ∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8, ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点, ∴DE=12AB =12×(8÷2)=12×4=2,∴AE=AD -DE =8-2=6, 由(2),可得AE BD =52,∴BD=652=1255.综上所述,BD 的长为45或1255. 3.解:(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°, ∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE. (2)∠AEB=90°,AE =BE +2CM. 理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CA =CB ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE ,∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. ∵CD=CE ,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵∠DCE=90°,∴D M =ME =CM , ∴AE=AD +DE =BE +2CM.(3)∵PD=1,∴点P 在以点D 为圆心,1为半径的圆上.∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.①当点P在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1 2;②当点P在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1 2.综上所述,点A到BP的距离为3-12或3+12.图①图② 第3题解图4.解:(1)①∵AB=AC ,∠BAC=90°, 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AD=AE ,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD ,∠ACE =∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如解图①,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AE=AD ,∠DAE=90°. ∵AB=AC ,∠BAC=90°, ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD ,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (3)45°;34.过A 作AM⊥BC 于M ,过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ,如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴∠DAE=90°,AD =AE ,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°, ∴四边形MCEN 为矩形, ∴NE=MC ,∴AM=MC , ∴∠ACB=45°. ∵四边形MCEN 为矩形, ∴Rt△AMD∽Rt△DCF, ∴MD CF =AMDC,设DC =x , ∵在Rt△AMC 中,∠ACB=45°,AC =32,∴AM=CM =3,MD =3-x ,∴3-x CF =3x ,∴CF=-13x 2+x =-13(x -32)2+34,∴当x =32时,CF 有最大值,最大值为34.故答案为45°,34;图①图② 第4题解图5.解:(1)①∵△ABC,△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC.∵O 为BC 的中点,F 为AD 的中点, ∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB =AC ,AE =DE , ∴∠DAE=∠CBA=45°, ∴AD∥BC,∴四边形AFOC 是平行四边形, ∴OF=AC =22EC ,∴OF EC =22; 故答案:22; ②∵AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°, ∴∠DAE=∠CAO. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC,∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; 故答案:22. (2)OF =22EC. 理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD 的中点, ∴AF=12AD =22AE.在等腰直角△ABC 中,O 为BC 的中点, 如解图①,连接AO , ∴AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°. ∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC =2, ∴ED=AE =AB =AC =1,当△ACD 为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时,如解图②,连接CD. 当△ACD 为直角三角形时,AD⊥AC, 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD=2,AC =1,∴由勾股定理可得CD =(2)2+12=3; ②当AE 与AC 重合时,如解图③, 当△ACD 为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°,此时CD =AC =1. 综上所述,CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1.解:(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上, ∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°, ∴∠ACD=∠CDE, ∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°, ∴CD=AC =12AB ,∴BD=AD =AC ,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC ,AD 上的高相等,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2; (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到, ∴BC=CE ,AC =CD ,∠DCE=∠ACB=90°, ∵∠ACN+∠ACE=180°, ∴∠ACN=∠DCM.在△ACN 和△DCM 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90°,AC =CD∴△ACN≌△DCM(AAS), ∴AN=DM ,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;第1题解图(3)如解图,过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1,易求得四边形BEDF 1是菱形,∴BE=DF 1,且BE ,DF 1边上的高相等,此时S△DCF 1=S △BDE ; 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC=60°,F 1D∥BE 交BA 于点F 2, ∴∠F 2F 1D =∠ABC =60°.∵BF 1=DF 1,∠F 1BD =12∠ABC=30°,∠F 2DB =90°,∴∠F 1DF 2=∠ABC=60° ∴△DF 1F 2是等边三角形, ∴DF 1=DF 2.∵BD=CD ,∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点, ∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°, ∠CDF 2=360°-150°-60°=150°, ∴∠CDF 1=∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1=DF 2∠CDF 1=∠CDF 2CD =CD, ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS),∴点F 2也是所求的点. ∵∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,DE∥AB, ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30°=2÷32=433,∴BF 1=433,BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833.故BF 的长为433或833.2.解:当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时,四边形CEDF 是正方形;设△ABC 的边长AC =BC =a ,则正方形CEDF 的边长为12a ,∴S △ABC =12a 2,S 正方形CEDF =(12a)2=14a 2,即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ;(1)上述结论成立;理由如下: 连接CD ,如解图①所示.∵AC=BC ,∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD =12AB =BD ,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90° ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠2CD =BD∠DCE=∠B, ∴△CDE≌△BDF(ASA),∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =12S △ABC ;图①图② 第2题解图(2)S △DEF -S △CEF =12S △ABC ;理由如下:连接CD ,如解图②所示,同(1)得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF=135°, ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , S △CFE +S △DBC , =S △CFE +12S △ABC ,∴S △DEF -S △CFE =12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF -S △CEF =12S △ABC .3.解:(1)如解图①中,∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形, ∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°, ∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形, ∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB =CD ,CE =CG ,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2, ∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠GNC ∠1=∠3EC =CG, ∴△CME≌△CNG(ASA), ∴EM=GN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CB·GN,∴S 1=S 2;故答案为180°,S 1=S 2; (2)猜想:S 1=S 2,证明:如解图②,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的, ∴CE=CB ,CG =CD ,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNB 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠BNC ∠1=∠3EC =CB, ∴△CME≌△CNB(AAS). ∴EM=BN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CG ·BN ,∴S 1=S 2;(3)如解图③,作DM⊥AC 于M ,延长BA ,交EC 于N , ∵AB=AC =10 cm ,∠B=30°, ∴∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°, ∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°, ∴∠BAD=90°,DM =12AD ,∴BN⊥EC.∵AD=tan∠ABD·AB,AB =10 cm , ∴AD=tan 30°×10=103 3 (cm),∴DM=12×1033=533(cm).∵S △ABP =12AB·PN,S △ADC =12AC·DM,S △ABP =S △ADC ,AB =AC ,∴PN=DM =533.在Rt△ANC 中,∠ACN=30°,AC =10 (cm), ∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30°×10=53(cm). ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个,∴P′C=103 3 cm ,P ″C =203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4.解:(1)PM =PN ,PM⊥PN,理由如下: 如解图①,延长AE 交BD 于O , ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE 和△BCD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACE=∠BCD=90°,CE =CD ,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD ,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO, ∴∠CBD+∠BEO=90°, ∴∠BOE =90°,即AE⊥BD,∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点, ∴PM=12BD ,PN =12AE ,∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°,∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形,理由如下: 如解图②,设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD ,∠CAE =∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P ,M ,N 分别为AD ,AB ,DE 的中点, ∴PM=12BD ,PM∥BD,PN =12AE ,PN∥AE,∴PM=PN ,∴∠MGE+∠BHA=180°, ∴∠MGE=90°, ∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形,PM =12BD ,∴当BD 的值最大时,PM 的值最大,△PMN 的面积最大, ∴当B ,C ,D 共线时,BD 的最大值为BC +CD =6, ∴PM=PN =3,∴△PMN 面积的最大值为12×3×3=92.。
河南省2019届中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七类比探究题类型一线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①错误!的值为________;②∠AMB的度数为________;(2)类比探究如图②,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断错误!的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC=BD,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则错误!=错误!=错误!,由全等三角形的性质得∠AMB的度数;(3)正确画出图形,当点C与点M重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB =90°,错误!=错误!,可得AC的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°,∴∠COA=∠DOB。
∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC=BD,∴错误!=1.②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB,∴∠CAO=∠DBO。
∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°.(2)类比探究错误!=错误!,∠AMB=90°,理由如下:在Rt△OCD中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴错误!=tan 30°=错误!,同理,得错误!=tan 30°=错误!,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=BOD,∴△AOC∽△BOD,∴错误!=错误!=错误!,∠CAO=∠DBO。
豫备中考:22类比探究(10分)
【2010•河南22,10】(1)操作发现:如图,矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ,且点G 在举行ABCD 内部.小明将BG 延长交DC 于点F ,认为GF=DF ,你同意吗?说明理由.(2)问题解决:保持(1)中的条件不变,若DC=2DF ,求ABAD 的值; (3)类比探求:保持(1)中条件不变,若DC=nDF ,求ABAD 的值.【2012•河南22,10】类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.(1)尝试探究:在图1中,过点E 作EH△AB 交BG 于点H ,则AB 和EH 的数量关系是 ,CG 和EH 的数量关系是 ,的值是 (2)类比延伸:如图2,在原题的条件下,若则的值是 (用含的代数式表示),试写出解答过程。
(3)拓展迁移如图3,梯形ABCD 中,DC△AB ,点E 是BC 延长线上一点,AE 和BD 相交于点F ,若,则的值是 (用含的代数式表示).(1)(2)作EH△AB 交BG 于点H ,则 △ △AB=CD ,△ EH△AB△CD , △△, △CG=2EH △ (3)【提示】过点E 作EH△AB 交BD 的延长线于点H 。
CD CG(0)AF m m BF=>CD CG m ,(0,0)AB BC a b a b CD BE==>>AF EF ,a b 33;2;2AB EH CG EH ==2m EFH AFB ,AB AF m AB mEH EH EF ===CD mEH =BEH BCG 2CG BC EH BE ==.22CD mEH m CG EH ==ab A B【2013•河南22,10】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中△C=90°,△B=△E=30°.(1)操作发现:如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:△线段DE与AC的位置关系是_________;△设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是________________.(2)猜想论证:当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究:已知△ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE//AB交BC 于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出....相应的BF的长.【2022•青海26,10】两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现:如图15-1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边.求证:BD=CE;图15-1图15-2(2)解决问题:如图15-2,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,△ACB=△DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断△AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.【2014•河南22,10】(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE填空:(1)△AEB的度数为;(2)线段BE之间的数量关系是。
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专题七 类比探究题类型一 线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD=40°,连接AC ,BD 交于点M.填空: ①ACBD的值为________; ②∠AMB 的度数为________; (2)类比探究如图②,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M ,若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS),得AC =BD ,比值为1;②由△COA≌△DOB,得∠CAO=∠DBO,根据三角形的内角和定理,得∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°;(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD,则AC BD =OCOD =3,由全等三角形的性质得∠AMB 的度数;(3)正确画出图形,当点C 与点M 重合时,有两种情况:如解图①和②,同理可得△AOC∽△BOD,则∠AMB =90°,ACBD =3,可得AC 的长.【自主解答】解:(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB=∠COD=40°, ∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD ,OA =OB , ∴△COA≌△DOB(SAS), ∴AC=BD , ∴ACBD=1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB, ∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°, ∴∠OAB+∠ABO=140°,在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)类比探究ACBD=3,∠AMB=90°,理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°, ∴OD OC =tan 30°=33, 同理,得OB OA =tan 30°=33,∵∠AOB=∠COD=90°, ∴∠AOC=BOD , ∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD =OCOD=3,∠CAO=∠DBO. ∴∠AMB=180°-∠CAO-∠OAB-MBA =180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD)=180°-90°=90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时,如解图①, 同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x , 在Rt△COD 中,∵∠OCD=30°,OD =1, ∴CD=2, ∴BC=x -2.在Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB =7. ∴AB=2OB =27,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即( 3 x)2+(x -2)2=(27)2, 解得x 1=3,x 2=-2(舍去), ∴AC=33;②点C 与点M 重合时,如解图②,同理得:∠AMB=90°,ACBD =3,设BD =x ,则AC =3x ,在Rt△AMB 中,由勾股定理,得AC 2+BC 2=AB 2, 即(3x)2+(x +2)2=(27)2解得x 1=-3,解得x 2=2(舍去). ∴AC=2 3.综上所述,AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1.(2016·河南) (1)发现如图①,点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b.填空:当点A 位于________________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为__________(用含a ,b 的式子表示). (2)应用点A 为线段BC 外一动点,且BC =3,AB =1,如图②所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE.①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值. (3)拓展如图③,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),点P 为线段AB 外一动点,且PA =2,PM =PB ,∠BPM=90°,请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.2.(2015·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠B=90°,BC =2AB =8,点D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现①当α=0°时,AE BD =2;②当α=180°时,AE BD =2;(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AEBD 的大小有无变化?请仅就图②的情形给出证明.(3)解决问题当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.3.(2014·河南) (1)问题发现如图①,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点A ,D ,E 在同一直线上,连接BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段AD ,BE 之间的数量关系为______________. (2)拓展探究如图②,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A ,D ,E 在同一直线上,CM 为△DCE 中DE 边上的高,连接BE ,请判断∠AEB 的度数及线段CM ,AE ,BE 之间的数量关系,并说明理由. (3)解决问题如图③,在正方形ABCD 中,CD =2,若点P 满足PD =1,且∠BPD=90°,请直接写出点A 到BP 的距离.4.(2018·南阳二模)在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.(1)操作发现若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________,______________;(2)猜想论证在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.(3)拓展延伸如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于________度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C,E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=32时,请直接写出线段CF的长的最大值是____.5.已知,如图①,△ABC,△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B,E重合),∠BAC=∠AED=90°,O为BC的中点,F为AD的中点,连接OF.(1)问题发现①如图①,OFEC=_______;②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②,OFEC =_______;(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置,请计算出OFEC 的值,并说明理由.(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,0°≤α≤90°,AD =2,△AED 在旋转过程中,存在△ACD 为直角三角形,请直接写出线段CD 的长.类型二 图形面积关系问题(2017·河南)如图①,在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点. (1)观察猜想图①中,线段PM 与PN 的数量关系是________,位置关系是________; (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM =12CE ,PN =12BD ,进而判断出BD =CE ,即可得出结论,再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE,继而得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD =CE ,同(1)的方法得出PM =12BD ,PN =12BD ,即可得出PM =PN ,同(1)的方法即可得出结论;(3)先判断出MN 最大时,△PMN 的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大=AM +AN ,最后用面积公式即可得出结论. 【自主解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN =12BD.∵点P ,M 是CD ,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM =12CE.∵AB=AC ,AD =AE , ∴BD =CE , ∴PM=PN. ∵PN∥BD, ∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCA. ∵∠BAC=90°, ∴∠ADC+∠ACD=90°,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC ,AD =AE , ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD =CE.同(1)的方法,利用三角形的中位线定理,得PN =12BD ,PM =12CE ,∴PM=PN ,∴△PMN 是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE, ∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD, ∴∠PNC=∠DBC.∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC. ∵∠BAC=90°, ∴∠ACB+∠ABC=90°, ∴∠MPN=90°,∴△PMN 是等腰直角三角形,例2题解图(3)如解图,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形, ∴当MN 最大时,△PMN 的面积最大, ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面, ∴MN 最大=AM +AN , 连接AM ,AN ,在△ADE 中,AD =AE =4,∠DAE=90°,在Rt△ABC 中,AB =AC =10,AN =52, ∴MN 最大=22+52=72,∴S △PMN 最大=12PM 2=12×12MN 2=14×(72)2=492.1.(2013·河南)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E =30°. (1)操作发现如图②,固定△ABC,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是______________;②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是______________. (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ,CE 边上的高,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究已知∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,BD =CD =4,DE∥AB 交BC 于点E(如图④).若在射线BA 上存在点F ,使S △DCF =S △BDE ,请直接写出相应的BF 的长.2.已知Rt△ABC 中,BC =AC ,∠C=90°,D 为AB 边的中点,∠EDF=90°,将∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别交AC ,CB(或它们的延长线)于E ,F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时,如图①所示,试证明S △DEF +S △CEF =12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时,如图②所示,上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,试说明理由.(2)直接写出图③中,S△DEF,S△CEF与S△ABC之间的数量关系.3.(2018·郑州模拟)如图①所示,将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置,连接DE,BG. (1)图中∠DCE+∠BCG=__________°;设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,则S1与S2的数量关系为______________;猜想论证:(2)如图②所示,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG,连接DE,BG,设△DCE的面积为S1,△BCG的面积为S2,猜想S1和S2的数量关系,并加以证明;(3)如图③所示,在△ABC中,AB=AC=10 cm,∠B=30°,把△ABC沿AC翻折得到△AEC,过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点P,使△ABP的面积等于△ACD的面积,请写出CP的长.4.(2018·驻马店一模)如图①,△ABC与△CDE都是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD,PM,PN,MN.(1)观察猜想图①中,PM与PN的数量关系是______________,位置关系是______________;(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G,H,判断△PMN的形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转,若AC=4,CD=2,请直接写出△PMN面积的最大值.参考答案类型一 针对训练1.解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC =a ,AB =b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC +AB =a +b. (2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形, ∴AD=AB ,AC =AE ,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AB ∠CAD=∠EAB AC =AE ,∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上, ∴线段BE 长的最大值为BD +BC =AB +BC =4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN ,如解图①, 则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA =2,BN =AM.∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB =5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值,∴当点N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值为AB+AN.∵AN=2AP=22,∴线段AM的长最大值为22+3.如解图②,过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).图①图②第1题解图2.解:(1)①当α=0°时,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∴AC=AB2+BC2=(8÷2)2+82=4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴AE=45÷2=25,BD=8÷2=4,∴AEBD=254=52.②如解图①,当α=180°时,得可得AB∥DE,∵ACAE=BCBD,∴AEBD=ACBC=458=52.(2)当0°≤α≤360°时,AEBD的大小没有变化.∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB. 又∵EC DC =AC BC =52,∴△ECA∽△DCB, ∴AE BD =EC DC =52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②,∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴AD=AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8. ∵AD=BC ,AB =DC ,∠B=90°, ∴四边形ABCD 是矩形, ∴BD=AC =4 5.③如解图③,连接BD ,过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ,过点B 作AC 的垂线交AC 于点P , ∵AC=45,CD =4,CD⊥AD,∴A D =AC 2-CD 2=(45)2-42=80-16=8, ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点, ∴DE=12AB =12×(8÷2)=12×4=2,∴AE=AD -DE =8-2=6, 由(2),可得AE BD =52,综上所述,BD 的长为45或1255. 3.解:(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上,∴∠ADC=120°, ∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE. (2)∠AEB=90°,AE =BE +2CM. 理由如下:∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形, ∴CA=CB ,CD =CE ,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧CA =CB ∠ACD=∠BCE CD =CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE ,∠ADC=∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CD E =∠CED=45°. ∵点A ,D ,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°. ∵CD=CE ,CM⊥DE,∴DM=ME. ∵∠DCE=90°,∴DM=ME =CM , ∴AE=AD +DE =BE +2CM.(3)∵PD=1,∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.∵∠BPD=90°,∴点P在以BD为直径的圆上,∴点P是这两圆的交点.①当点P在如解图①所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=2.∵DP=1,∴BP= 3.∵∠BPD=∠BAD=90°,∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上,∴∠APB=∠ADB=45°.∴△PAE是等腰直角三角形.又∵△BAD是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD,∴3=2AH+1,∴AH=3-1 2;②当点P在如解图②所示位置时,连接PD、PB、PA、作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,同理可得:BP=2AH-PD,∴3=2AH-1,∴AH=3+1 2.综上所述,点A到BP的距离为3-12或3+12.图①图② 第3题解图4.解:(1)①∵AB=AC ,∠BAC=90°, 线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AD=AE ,∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE, ∴CE=BD ,∠ACE =∠B, ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下: 如解图①,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴AE=AD ,∠DAE=90°. ∵AB=AC ,∠BAC=90°, ∴∠CAE=∠BAD, ∴△ACE≌△ABD, ∴CE=BD ,∠ACE=∠B, ∴∠BCE=90°,∴线段CE ,BD 之间的位置关系和数量关系为CE =BD ,CE⊥BD; (3)45°;34.过A 作AM⊥BC 于M ,过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ,如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE , ∴∠DAE=90°,AD =AE ,∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA, ∴NE=AM.∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠MCE=90°, ∴四边形MCEN 为矩形, ∴NE=MC ,∴AM=MC , ∴∠ACB=45°. ∵四边形MCEN 为矩形,∴Rt△AMD∽Rt△DCF, ∴MD CF =AMDC,设DC =x , ∵在Rt△AMC 中,∠ACB=45°,AC =32, ∴AM=CM =3,MD =3-x ,∴3-x CF =3x ,∴CF=-13x 2+x =-13(x -32)2+34,∴当x =32时,CF 有最大值,最大值为34.故答案为45°,34;图①图② 第4题解图5.解:(1)①∵△A BC ,△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC.∵O 为BC 的中点,F 为AD 的中点, ∴AF=OC.∵∠BAC=∠AED=90°,AB =AC ,AE =DE , ∴∠DAE=∠CBA=45°, ∴AD∥BC,∴四边形AFOC 是平行四边形, ∴OF=AC =22EC ,∴OF EC =22; 故答案:22; ②∵AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°,∠DAE=45°, ∴∠DAE=∠CAO.∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; 故答案:22. (2)OF =22EC. 理由:在等腰直角△ADE 中,F 为AD 的中点, ∴AF=12AD =22AE.在等腰直角△ABC 中,O 为BC 的中点, 如解图①,连接AO , ∴AO=22AC ,∠BAO=∠CAO=45°. ∴∠DAE=45°,∴∠DAE=∠CAO,即∠DAO=∠CAE. ∵AE=AC , ∴AF=AO , ∴AF AE =AO AC, ∴△AFO∽△AEC, ∴OF EC =AO AC =22; (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形, ∴AD=BC =2, ∴ED=AE =AB =AC =1,当△ACD 为直角三角形时,分两种情况:图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时,如解图②,连接CD. 当△ACD 为直角三角形时,AD⊥AC, 即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD=2,AC =1,∴由勾股定理可得CD =(2)2+12=3; ②当AE 与AC 重合时,如解图③, 当△ACD 为直角三角形时,AC⊥CD,即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°,此时CD =AC =1. 综上所述,CD 的长为3或1. 类型二 针对训练1.解:(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上, ∴AC=CD.∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,又∵∠CDE=∠BAC=60°, ∴∠ACD=∠CDE, ∴DE∥AC;②∵∠B=30°,∠C=90°, ∴CD=AC =12AB ,∴BD=AD =AC ,根据等边三角形的性质,△ACD 的边AC ,AD 上的高相等,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2; (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到,∴BC=CE ,AC =CD ,∠DCE=∠ACB=90°, ∵∠ACN+∠ACE=180°, ∴∠ACN=∠DCM.在△ACN 和△DCM 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN=∠DCM,∠N=∠CMD=90°,AC =CD∴△ACN≌△DCM(AAS), ∴AN=DM ,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S 1=S 2;第1题解图(3)如解图,过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1,易求得四边形BEDF 1是菱形,∴BE=DF 1,且BE ,DF 1边上的高相等,此时S△DCF 1=S △BDE ; 过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC=60°,F 1D∥BE 交BA 于点F 2, ∴∠F 2F 1D =∠ABC=60°.∵BF 1=DF 1,∠F 1BD =12∠ABC=30°,∠F 2DB =90°,∴∠F 1DF 2=∠ABC=60° ∴△DF 1F 2是等边三角形, ∴DF 1=DF 2.∵BD=CD ,∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点, ∴DBC=∠DCB=12×60°=30°,∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°, ∠CDF 2=360°-150°-60°=150°, ∴∠CDF 1=∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中, ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1=DF 2∠CDF 1=∠CDF 2CD =CD, ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS),∴点F 2也是所求的点. ∵∠ABC=60°,点D 是角平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos 30°=2÷32=433,∴BF 1=433,BF 2=BF 1+F 1F 2=433+433=833.故BF 的长为433或833.2.解:当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时,四边形CEDF 是正方形;设△ABC 的边长AC =BC =a ,则正方形CEDF 的边长为12a ,∴S △ABC =12a 2,S 正方形CEDF =(12a)2=14a 2,即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ;(1)上述结论成立;理由如下: 连接CD ,如解图①所示.∵AC=BC ,∠ACB=90°,D 为AB 中点,∴∠B=45°,∠DCE=12∠ACB=45°,CD⊥AB,CD =12AB =BD ,∴∠DCE=∠B,∠CDB=90° ∵∠EDF=90°, ∴∠1=∠2, 在△CDE 和△BDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠1=∠2CD =BD∠DCE=∠B, ∴△CDE≌△BDF(ASA),∴S △DEF +S △CEF =S △ADE +S △BDF =12S △ABC ;图①图② 第2题解图(2)S △DEF -S △CEF =12S △ABC ;理由如下:连接CD ,如解图②所示,同(1)得:△DEC≌△DFB,∠DCE=∠DBF =135°, ∴S △DEF =S 五边形DBFEC , S △CFE +S △DBC , =S △CFE +12S △ABC ,∴S △DEF -S △CFE =12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF -S △CEF =12S △ABC .3.解:(1)如解图①中,∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形, ∴∠BCD=∠ECG=90°.∵∠BCG+∠BCD+∠DCE+∠ECG=360°, ∴∠BCG+∠ECD=180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形, ∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°,CB =CD ,CE =CG , ∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2, ∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNG 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠GNC ∠1=∠3EC =CG, ∴△CME≌△CNG(ASA), ∴EM=GN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CB·GN,∴S 1=S 2;故答案为180°,S 1=S 2; (2)猜想:S 1=S 2,证明:如解图②,过点E 作EM⊥DC 于点M ,过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N , ∴∠EMC=∠N=90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的, ∴CE=CB ,CG =CD ,∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°,∴∠1=90°-∠2,∠3=90°-∠2,∴∠1=∠3. 在△CME 和△CNB 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC=∠BNC ∠1=∠3EC =CB, ∴△CME≌△CNB(AAS). ∴EM=BN.又∵S 1=12CD·EM,S 2=12CG ·BN ,∴S 1=S 2;(3)如解图③,作DM⊥AC 于M ,延长BA ,交EC 于N , ∵AB=AC =10 cm ,∠B=30°, ∴∠ACB=∠ABC=30°, ∴∠BAC=120°,根据翻折的性质,得∠ACE=∠ACB=30°, ∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=30°, ∴∠BAD=90°,DM =12AD ,∴BN⊥EC.∵AD=tan∠ABD·AB,AB =10 cm , ∴AD=tan 30°×10=103 3 (cm),∴DM=12×1033=533(cm).∵S △ABP =12AB·PN,S △ADC =12AC·DM,S △ABP =S △ADC ,AB =AC ,∴PN=DM =533.在Rt△ANC 中,∠ACN=30°,AC =10 (cm), ∴NC=cos∠ACN·AC=cos 30°×10=53(cm). ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个,∴P′C=103 3 cm ,P ″C =203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4.解:(1)PM =PN ,PM⊥PN,理由如下: 如解图①,延长AE 交BD 于O , ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠ACB=∠ECD=90°. 在△ACE 和△BCD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACE=∠BCD=90°,CE =CD ,∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD ,∠EAC=∠CBD,∵∠EAC+∠AEC=90°,∠AEC=∠BEO, ∴∠CBD+∠BEO=90°, ∴∠BOE =90°,即AE⊥BD,∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点, ∴PM=12BD ,PN =12AE ,∴PM=PN.∵PM∥BD,PN∥AE,AE⊥BD,∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,∠EAC+∠BDC=90°, ∴∠MPA+∠NPC=90°, ∴∠MPN=90°, 即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形,理由如下: 如解图②,设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形, ∴AC=BC ,EC =CD ,∠AC B =∠ECD=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∴△ACE≌△BCD, ∴AE=BD ,∠CAE =∠CBD. 又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD, ∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P ,M ,N 分别为AD ,AB ,DE 的中点, ∴PM=12BD ,PM∥BD,PN =12AE ,PN∥AE,∴PM=PN ,∴∠MGE+∠BHA=180°, ∴∠MGE=90°, ∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN,即△PMN 为等腰直角三角形.(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形,PM =12BD ,∴当BD的值最大时,PM的值最大,△PMN的面积最大,∴当B,C,D共线时,BD的最大值为BC+CD=6,∴PM=PN=3,。