几何概型(有答案)
几何概型例题及解析
几何概型例题及解析题目：在边长为2的正方形内随机取一个点，则该点到正方形四个顶点的距离都大于1的概率是( )。
A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 1/16解析：在边长为2的正方形内，到四个顶点距离都大于1的区域是一个边长为1的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即1/4。
题目：在半径为2的圆内随机取一条弦，则弦长小于等于2√3的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √3/2解析：在半径为2的圆内，弦长小于等于2√3的弦对应的圆心角为120°。
因此，所求概率为120°/360° = 1/3，但选项中并没有这个值，可能题目有误或选项不完整。
题目：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，则满足x^2 + y^2 ≤ 2的概率是( )。
A. π/4B. π/2C. 1 - π/4D. 1 - π/2解析：在区间[0, 2]上随机取两个数x和y，对应的平面区域是一个边长为2的正方形。
满足x^2 + y^2 ≤ 2的区域是一个半径为√2的圆在正方形内的部分。
所求概率为圆的面积与正方形面积之比，即π*(√2)^2 / (2*2) = π/2。
题目：在边长为1的正方形内随机取一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为( )。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. √2/2解析：在边长为1的正方形内，到中心距离小于1/2的区域是一个边长为1/2的正方形。
因此，所求概率为小正方形的面积与大正方形面积之比，即(1/2)^2 = 1/4。
题目：在三维坐标系中，随机取一个点P(x, y, z)，其中x, y, z ∈ [0, 1]，则点P到原点O的距离小于等于√2/2的概率为( )。
A. π/6B. π/4C. π/3D. π/2解析：在三维坐标系中，到原点距离小于等于√2/2的点构成一个半径为√2/2的球在[0, 1]^3内的部分。
所求概率为球的体积与[0, 1]^3的体积之比，即(π*(√2/2)^3) / 1^3 = π/6。
高一 几何概型知识点+例题+练习 含答案
1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)(2015·烟台模拟)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为1A A BD V V －长方体＝16.12．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分]要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0， 则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为__________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4. 5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45. 6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12 解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n . 如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12. 8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______． 答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．答案 24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24. 10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21， 故满足a ·b <0的概率为2125. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则下列正确的是________． ①p 1<p 2<12 ②p 2<12<p 1③12<p 2<p 1 ④p 1<12<p 2 答案 ④ 解析 在直角坐标系中，依次作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2. 13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10， 所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－(－74)6＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率．解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4， 所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242 ＝506.5576＝1 0131 152.。
几何概型例题分析及习题(含答案)
几何概型例题分析及练习题 (含答案)[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167604560222=-=P[例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。
解：R AC AB 2||||==. ∴ 212===⋂R R BCDP ππ圆周[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为21。
事件“三段的长度都不超过21”所对应的几何区域可表示为Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}211,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为81)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过21”的概率为412181==P[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25，下午3：00张三在基地正东30内部处，向基地行驶，李四在基地正北40内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x故19225120025412ππ==P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02=++b ax x 两根均为正数的概率。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.如图所示是一飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是．【答案】【解析】由图形可知：黑色区域所占的面积是整个面积的一半，所以飞镖落在黑色区域的概率.考点:几何概型.2..如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是A．B．C．D．【答案】D【解析】设阴影部分的面积为，圆的面积，由几何概型的概率计算公式得，得.【考点】几何概型的概率计算公式.3.在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故概率为p=．【考点】几何概型．4.已知平面区域，.在区域内随机选取一点区域,则点恰好取自区域的概率是【答案】【解析】依题意可在平面直角坐标系中作出集合所表示的平面区域是正方形与所表示的平面区域是个圆（如图），由图可知则点落入区域的概率为【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域5.如图，在△中，，，点在边BC上沿运动，则的面积小于的概率为．【答案】【解析】解：点在边上沿运动，落线段上任何一点的可能性是相等的，全部基本事件的集可用线段表示；设事件为“则的面积小于”，则事件所包含的基本事件的集合对应长度为2的线段；由几何概型知：=所以答案应填：【考点】几何概型.6.在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为()A．B．C．D．【答案】B【解析】设阴影部分的面积为x，则，解得x=．故选B．【考点】概率的应用点评：简单题，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题7.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为；第二个转盘中奖的概率为；第三个转盘中奖的概率为；第四个转盘中奖的概率为，所以中奖最高为A。
教师版几何概型(内含答案排好版了已经)
3.3 几何概型1．向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于2S 的概率为 。
答案：21 2．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的概率。
思路解析：该题属几何概型。
如图，AB=OA=R ，则弧AB 的长÷圆O 的周长=61。
3．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
答案：4π 1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升自来水放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。
答案：0.0054．甲乙两人约定在6时到7时之间在某一处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时方可离去。
求两人能会面的概率。
P （A ）=Q A A S =222604560- =167 1．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形。
试求这正方形的面积介于36与812cm 之间的概率。
答案：41 图3-3-1-24．现向图3-3-1-2中所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率。
答案：14425 5．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得的两段的长度都不小于1m 的概率有多大？ 答案：2/36．在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机抽取10mL ，含有麦锈病种子的概率是多大？ 答案：含有麦锈病种子的概率为1001 8．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明家一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐。
（1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大？（2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多大？思路解析：运用几何概型。
如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人到达的时间，纵坐标表示小明一家开饭时间，假设随机试验落在方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。
几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)
几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面）1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π42．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC ＜12V S-ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.143.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A .12 B.32 C .13 D.144．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.585．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x |＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________．8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA ―→·OP ―→≤4的概率为( )A.12B.14C.13D.189．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．12.在面积为S 的ABC ∆ 的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率为 .13．在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率.（2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM<AC 的概率.（3）已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．1216.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。
归纳与技巧：几何概型(含解析)
归纳与技巧：几何概型基础知识归纳1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).基础题必做1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16解题方法归纳1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．与长度、角度有关的几何概型典题导入[例1] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 5 16本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P (A )＝π×232π×23＝12.解题方法归纳求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1) 已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A ′，则AA ′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为________．解析：(1)如图，满足AA ′的长度小于半径的点A ′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO 为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13. (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD ＝12，且点M 在BD 上时，满足∠AMB ≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14. 答案：(1)13 (2)14与面积有关的几何概型典题导入[例2] (1) 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a (a ＞0)表示平面区域M ，若点P (x ，y )在所给的平面区域M 内，则点P 落在M 的内切圆内的概率为( )A.(2－1)4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π [自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a )r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a .所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a ]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S＝(3－22)π.[答案] (1)A (2)B解题方法归纳求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2． 点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|P A |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.与体积有关的几何概型典题导入[例3] (1) 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C解题方法归纳与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3． 在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB ＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231． 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.2． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x (12－x )<32⇒0<x <4或8<x <12，故所求概率为812＝23.3． 在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0，即(a ＋2b )(a －2b )＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.4． 已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f (x )≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f (x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0，f (1)≥0，有－1≤k ≤1，所以所求概率为1－(－1)1－(－2)＝23. 5． 在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概率P ＝15.6． 一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128． 如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39. 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A 发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P (A )＝⎝⎛⎭⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12． 已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个．故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形， 矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x ≤1得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12. 由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，因此当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD ×AB ，S 矩形ABCD ＝AD ×AB ，所以P (A )＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈[0,1]，∴a ≥b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123． 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y )，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4.为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.。
几何概型 - 简单 - 习题
几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图，在半径为，弧长为的扇形中，以为直径作一个半圆．若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中，，，，在边上任取一点，则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域的面积．若每次在正方形内随机产生个点，并记录落在区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯，红灯时间为秒，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数，使得的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某路公共汽车每发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过的概率为．14. 在区间上随机选取一个数，则的概率为．15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则．16. 在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．17. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现将直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．19. 已知在等腰直角三角形中，．（1）在线段上任取一点，求使的概率；（2）在内任作射线，求使的概率．20. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．21. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型，无包含关系．2. B3. B 【解析】长方形的面积，以为直径的半圆的面积，所以．4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有，，，，，六种情况，其中两数字之和为奇数的有，，，四种情况，故所求概率为．5. C【解析】方程有实根，则，解得或（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为．6. B 【解析】阴影部分的面积为，扇形的面积为，所以在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．7. C 【解析】过点作，垂足为，则；过点作，交于点，则，，易知当点在线段和上时（不包括线段端点，，），为钝角三角形，故所求概率为．8. B 【解析】设区域的面积约为，根据题意有，所以，，所以区域的面积约为．9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点，求点落入内的概率．设某乘客候车时间不超过，所以．14.15.【解析】如图，设，根据对称性，由题中条件知，点的活动范围为，即．当时，，解得，所以．16.【解析】分别以点，，为圆心，以为半径作圆，与构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点落在其内时符合要求．所以．17.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为，则小等边三角形的边长为．由几何概型的概率计算公式得．19. （1）设，，则．若，则，故的概率．（2）设，则．若，则，故的概率．20. 在上截取，于是，．21. 记：“与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米所以．22. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．。
几何概型经典练习及解答
几何概型1．几何概率模型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；2．几何概型的概率公式P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3．几何概型的特点1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4．几何概型和古典概型的区别与联系联系：两种概率模型的思路是相同的，同属于“比例解法”，并且都是在随机事件“等可能”的前提下； 区别：古典概型中试验的基本事件的个数是有限的，而几何概型中试验的基本事件的个数是无限的，在具体问题的求解中要严格区别．5．计算几何概型的概率的步骤1）判断是否是几何概率，尤其是判断等可能性；2）计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积或体积）；3）代入公式计算．1．下列概率模型中，几何概型的个数为（ C ）注：①不是几何概型①从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率．A ．1B ． 2C ． 3D ．42．某公共汽车站每隔5min 有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3min 的概率为（ C ）A ．51 B ． 52 C ． 53 D ．54 3．在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（ C ） A ．13 B ．19 C ．127 D ．344．在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率是（ C ） A ．14 B ．12 C ． 34 D ．235．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（ A ） A ．13 B ．2π C ．12 D ．23 6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ A ）A ．π21- B ．π121- C ．π2 D ．π1 7．在区间[1-，2]上随机取一个数x ，则||x ≤1的概率是 ．328．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 ．）（161431613+= 9．分别计算下列三个小题的概率：①设p 在[0,5]上随机地取值，求方程21042p x px +++=有实根的概率． ②在[1,1]-上任取两个实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=有两个非负实根的概率．③在区间[0,1]上任取三个实数,,x y z ，事件222{(,,)|1}A x y z x y z =++<．（1）构造出此随机事件A 对应的几何图形；（2）利用此图形求事件A 的概率． 答案：①35 ；②14 ；③6π．。
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。
高考复习几何概型复习题(含答案)
几何概型试题汇编一、单选题（共27题；共54分）1.在区间上随机取一个数x，则事件“ ”不发生的概率为（）A. B. C. D.2.在区间内的所有实数中随机取一个实数，则这个实数满足的概率是（）A. B. C. D.3.在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B. C. D.4.设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.5.如图，矩形中，点的坐标为．点的坐标为．直线的方程为：且四边形为正方形，若在五边形内随机取一点，则该点取自三角形 (阴影部分)的概率等于（）A. B. C. D.6.如图，六边形是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.7.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)。
设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 134B. 866C. 300D. 5008.我们可以用计算机产生随机数的方法估计的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（中用函数来产生的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计的近似值为（）A. 3.144B. 3.154C. 3.141D. 3.1429.如图，在矩形区域的两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.10.在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，则y＞2x的概率为（）A. B. C. D.11.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.12.在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）A. B. C. D.13.设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A. +B. +C. ﹣D. ﹣14.如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）A. B. C. D.15.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.16.圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为（）A. B. C. D.17.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A. 1﹣B.C. 1﹣D. 与a的取值有关18.不等式6﹣5x﹣x2≥0的解集为D，在区间[﹣7，2]上随机取一个数x，则x∈D的概率为（）A. B. C. D.19.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）A. B. C. D.20.如图，点A为周长为3的圆周上的一定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为（）A. B. C. D.21.如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC与∠BOC都不小于30°的概率是（）A. B. C. D.22.在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A. B. C. D.23.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）A. 80mB. 100mC. 40mD. 50m24.在平面直角坐标系中，记抛物线y=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx（k＞0）所围成的平面区域为N，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域N内的概率为，则k的值为（）A. B. C. D.25.在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于的概率为（）A. B. C. D.26.在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（）A. B. C. D.27.如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）28.已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．29.在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为________．30.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校，且每人在该时间段任何的时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________31.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为________32.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率________．33.如图所示，为了求出一个边长为10的正方形内的不规则图形的面积，小明设计模拟实验：向这个正方形内均匀的抛洒20粒芝麻，结果有8粒落在了不规则图形内，则不规则图形的面积为________．34.矩形区域ABCD 中，AB 长为2 千米，BC 长为1 千米，在A 点和C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为________．三、解答题（共8题；共65分）35.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00～8:00到达，乙船将于早上7:30～8:30到达，请求出甲船先停靠的概率36.如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.37.某同学在上学路上要经过A、B、C三个带有红绿灯的路口．已知他在A、B、C三个路口遇到红灯的概率依次是、、，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．（1）求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间．38.设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．39.设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．40.已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．41.已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．42.某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：区间上随机取一个数x，对应区间长度为，满足事件“ ”的x范围为x+1≤3，即≤x≤2，对应区间长度为2+ ，所以事件不发生的概率为1﹣= ；故选D．【分析】由题意，本题是几何概型，首先求出事件对应的区间长度，利用长度比求概率．2.【答案】C【考点】几何概型【解析】【解答】由题意可得，该问题为长度型几何概型，则所求问题的概率值为：.故答案为：C.【分析】根据题目中所给的条件的特点，分别计算出区间（15，25]的长度，区间（17，20）的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．考查几何概型的概率计算．其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键．3.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】画出关于的不等式组所构成的三角形区域，如图所示．的面积为离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为故答案为：D．【分析】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出距三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）=称为事件A的几何概率．4.【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．5.【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】在中，令，得，即，则，所以，，由几何概型的概率公式，得在五边形内随机取一点，该点取自三角形 (阴影部分)的概率.故答案为：D.【分析】根据题意求出点D的坐标，再由两点间的距离公式代入数值求出结果，结合四边形的面积代入数值求出结果把数值代入到几何概型的概率公式求出结果即可。
苏教版必修3单元测试卷【12】几何概型(A)(含答案)
几何概型(A)时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为 .2．在500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 .3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 . 4．在区间]2,2[-上随机取一个数x ，则事件“1||≤x ”发生的概率是 .5．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 .6．在平面直角坐标系中，45=∠AOB （o 为坐标原点），任作射线OP ，则OP 落在AOB∠内的概率为 .7．设x 是一个锐角，则sin x >12的概率为 .8．(2010·陕西宝鸡)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离PA <1的概率为 .9．已知f (x )＝x 2＋x －2 x ∈D ，其中D ＝[－3,3]，在D 内任取x 0，使f (x 0)≥0的概率为 . 10．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是 .11. 设b 是区间()1,0内的任一实数，则方程02=++b x x 有实根的概率为 .12．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 为圆心，3为半径画一弧，分别交AB 、AC 于D 、E ，若在△ABC 这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．13． 矩形ABCD 中，8,6==AD AB ，向该矩形内随机投一点P ，则90>∠APD 的概率为 .14．在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于12的概率 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．设有一个正方形网格，其中每个小正方形的边长都是6cm ，现用直径为2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.16.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，令边长分别等于线段AC ，CB 的长，求该矩形面积小于32cm 2的概率.17．在区间))(5,(R a a a ∈+上任取一个数x . （1）若1=a ，求5>x 的概率； （2）若x 比3.5大的概率为54，求x 比4小的概率.18．已知函数()[]1,1,-∈+=x b x x f ，若b 是从区间[]2,0上任取一个实数，求函数()x f y =有零点的概率.19．在ABC ∆中，3=AB ，3=AC ，30=∠BAC ，在边AB 上任取一点D ， （1）求CDB ∠为钝角的概率； （2）求CDB ∆为钝角三角形的概率.参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1.31；2.0.004；3. 34 ；4.0.5；5.25408；6.81；7.32；8. π4；9.0.5；10. 1211.41；12.3π6；13.6π；14.18二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．解答 取其中一格，把正方形的各边向内缩1cm ，得到一个边长为4cm 的小正方形，若硬币的圆心落在小正方形内，则硬币与格线没有公共点，否则与格线有公共点，故所求概率为95646222=-. 16.设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)32x x -<，解得48x x <>或.又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23. 17．（1）若1=a ，则区间()5,+a a 为()6,1，故5>x 的概率.511656=--=P（2）由题意可得5455.35=-+-+a a a ，解得5.2=a ，此时区间()5,+a a 为()5.7,5.2，所以x比4小的概率为1035.25.75.24=--.18. 函数()[]1,1,-∈+=x b x x f 有零点，即方程[]()1,10-∈=+x b x 有解， 又由[]2,0∈b ，得[]0,2-∈-b ，故[]0,1-∈-=b x ，即[]1,0∈b .故试验的全部结果构成的区域为[]2,0，构成事件“()x f y =有零点”的区域为[]1,0，所求概率210201=--=P . 19．解 （1）作AB CF ⊥于F ，则当D 在线段BF（不含F ）上时，CDB ∠为钝角，所以所求概率为21323'==AB BD .（2）若CDB ∆为钝角三角形，则可以是CDB ∠为钝角， 或BCD ∠为钝角.作BC CE ⊥交AB 于E ，可求得1=AE ，故所求概率为653231'=+=+ABBDAE . 20．（1）把能取到的所有整数对()n m ,看做是平面直角坐标系上的点.。
古典概型和几何概型(含参考答案)
古典概型和几何概型湖北省监利县第一中学 胡先平1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．12．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7123．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12(x ＋12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.144．已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为A.45B.35C.π60D.π35．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于12的概率是( ) A.916 B.34 C.1516 D.15326．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.237．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．8．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．10．两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．11．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100)．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．12．已知关于x 的一次函数y ＝ax ＋b.(1)设集合A ＝{－2，－1，1，2}和B ＝{－2，2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数作为a ，b ，求函数y ＝ax ＋b 是增函数的概率；(2)若实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，求函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率．参考答案1B 2 A. 3 A. 4 A 5 C 6 D 7． π40 8．π40. 9． π6. 10．【解析】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－（13）212＝89. 11．答案 (1)0.006 (2)0.4 (3)11012．解析 (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(－2，－2)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，(2，－2)，(2，2)，共8个．设函数是增函数为事件A ，需a>0，有4个， 故所求概率为P(A)＝12. (2)实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，要函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限，则需使a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，对应的图形为正方形，面积为1，作出不等式组对应的平面区域如图：则根据几何概型的概率公式可得函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率为S 正方形OFBC S 多边形ABCDE ＝172＝27.。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率P=．故选A．【考点】几何概型.2.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为７点x分钟,则，设乙到达会面处的时该为７点y分钟,则；根据题意知所有可能情况为不等式组，两人能会面则必须满足，画出不等式组所表示的平面区域：，则所求的概率为：，故选C．【考点】几何概率．3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：P=．故选C．【考点】几何概型．4.在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是【答案】【解析】设在区间（0,1）中随机地取出的两个数为，满足条件的为图中阴影部分，所以概率为阴影部分面积：总面积=．【考点】几何概型．5.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为；第二个转盘中奖的概率为；第三个转盘中奖的概率为；第四个转盘中奖的概率为，所以中奖最高为A。
人教a版必修三分层训练：3.3.1几何概型(含答案)
3.3 几何概型3.3.1 几何概型一、基础达标 1．下列概率模型：①在区间[－10，10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．其中，是几何概型的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①是．因为区间[－10，10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0. ②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同．③不是．因为[－10，10]上的整数只有21个，不满足无限性．④是．因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同．2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )答案 A解析 对A ，P (A )＝38，对B ，P (B )＝13；对C ，P (C )＝4－π4＜14；对D ，P (D )＝1π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A.3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19C.111D.18答案 A解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110. 4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34 D.23答案 C解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝345．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)． 答案 785解析 设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有 1 000×π4≈785(粒)．6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． 答案 0.005解析 由几何概型知P ＝2400＝0.005. 7．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r ＜|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝（r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －ra.二、能力提升8．(2013·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝（π－2）r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－（π－2）r 28＝（π－2）r 28，所以所求概率为2×（π－2）r 2814πr 2＝1－2π.9．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( )A ．1－3π12B ．1－3π24C.3π12D.3π24答案 B解析 设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24. 10．(2013·湖北高考)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________． 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16， 又S 四边形ABCD ＝1，则h <12M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.三、探究与创新12．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81. 13．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】以直角顶点为圆心，1为半径作圆，与三角形相交部分设为，当点在内时，到顶点的距离小于等于1，因此该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为.【考点】几何概型的概率计算公式.2. x的取值范围为[0，10]，给出如图所示程序框图，输入一个数x．求：（Ⅰ）输出的x（x＜6）的概率；（Ⅱ）输出的x（6＜x≤8）的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知中的程序框图，我们根据选择结构的功能，可分析出程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，输出的x（x＜6），可得x＜5，即可求出输出的x（x＜6）的概率；（Ⅱ）由输出的结果在区间6＜x8上，我们可以分当x7时和x＞7时两种情况，分别讨论满足条件的x的取值范围，得到输出结果的范围，最后根据输入x的取值范围利用几何概型求出概率即可．试题解析：（Ⅰ）由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜6时，输出x+1，此时输出的结果满足x+1＜6，所以x＜5，所以输出的x（x＜6）的概率为P==；（Ⅱ）当x≤7时，输出x+1，此时输出的结果满足6＜x+1≤8解得5＜x≤7；当x＞7时，输出x﹣1，此时输出的结果满足6＜x﹣1≤8解得7＜x≤9；综上，输出的x的范围中5＜x≤9．则使得输出的x满足6＜x≤8的概率为P==．【考点】1．程序框图；２．几何概率．3.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为_______．【答案】【解析】3a-1＜0即a＜，则事件“3a-1＜0”的概率为P==．故答案为：．【考点】几何概型．4.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为；【答案】【解析】距离三角形的三个顶点的距离均超过1即在如图所示的阴影区域内爬行：三角形面积为，阴影面积为，∴概率为.【考点】5.向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】以A为圆心、AC为半径作圆，令圆与AB边相交于点D，则点M在扇形ACD内时，小于，因为在等腰直角三角形ABC中，，所以扇形的面积，又等腰直角三角形ABC的面积，所以所求概率。
几何概型参考答案
3-3-1几何概型参考答案1[答案] B [解析] 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.2.[答案] C [解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为35. 3.[答案] B [解析] 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB ，且C 、D 是线段AB 上的点，AC ＝2m ，BD ＝2m ，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型．设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ，设M 是事件E 的一个剪断点，则M ∈CD ，则事件E 构成线段CD ，则P (E )＝CD AB ＝5－2－25＝15.4.[答案] C [解析] 矩形的面积S ＝6×4＝24，设椭圆的面积为S 1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A ，则P (A )＝S 1S ＝S 124＝300－96300，解得S 1＝16.32.5.[答案] C [解析] 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若0≤sin x ≤1，则0≤x ≤π2，设“0≤sin x ≤1”为事件A ，则P (A )＝π2－0π2－(－π2)＝π2π＝12.6.[答案]B[解析]正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43π×13＝23π，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：23π8＝π12，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－π12.7. B；8.C；9.C；10.B ；11.13[解析][－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是1 3.12.0.005 ；[解析]大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝2400＝0.005.13.3π6[分析]解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算．[解析]边长为2的正三角形ABC内，到顶点A的距离等于或小于1的点的集合为以点A为圆心，1为半径，圆心角为∠A＝60°的扇形内．同理可知到顶点B、C的距离等于或小于1的点的集合．故使点P到三个顶点的距离都大于1的概率为12×2×3－3×16×π×1212×2×3＝1－3π6，故所求的概率为1－(1－3π6)＝3π6.14.53125[解析]由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝43πR3＝500π3，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝500π3－96π500π3＝53125.15.[在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3 5.16.记事件C＝{钻到油层面}，在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型．事件C构成的区域面积是40平方千米，全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则P (C )＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架的面积＝4010 000＝0.004.17.[分析] 由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为其内一点； ②求四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率． 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．[解析] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S四边形ABCD ×h <16，又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.18.[解析] (1)设事件A ＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P (A )＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.。
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A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
３０２－２０２ ＝ ３０２
９ ５
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫，现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
例9、（1）在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P，则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是＿＿＿； （2）向面积为S的三角形ABC内任投一点P， 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是＿＿＿；
典型例题讲解
例10、下图的矩形，长为5，宽为2， 在矩形内在随机地撒300颗黄豆，数 得落阴影部分的黄豆数为138颗，则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 ．
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
练习
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口时，看见下列三种情况的 概率 各是多少？ （1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题， 利用几何概型公式求解。
例2:在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取 一点M，求AM小于AC的概率。
分析：点M随机地落在线段AB上，故线段 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上 时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。 解： 在AB上截取AC’=AC，于是 P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）
AC' AC 2 = = = AB AB 2
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型,简称为几何概型. • 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
则AM小于AC的概率为
2 2
思考：假设车站每隔 10 分钟发 一班车，随机到达车站，问等车时 间不超过 3 分钟的概率 ？ 思考：地铁每隔3分钟发一班列
车,到站停留时间15秒.你到站 马上就能坐上车的的概率有多 大？
探究规律：
几何概型公式（2）：
构成事件A的区域面积 P A 全部结果所构成的区域 面积
探究规律：
几何概型公式（3）： 构成事件A的区域体积 P(A)= 试验的全部结果构成的区域体积
例6 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
p=
0.1 1
=
1 10
探究规律：
公式（1）：
P A 构成事件A的区域面积 全部结果所构成的区域 面积
构成事件A的区域长度 面积或体积) ( P(A) 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体积）
几何概型的特点
a) 试验中所有可能出现 的基本事件有无限个 b) 每个基本事件出现的 可能性相等
古典概型的特点: a)试验中所有可能 出现的基本事件只 有有限个. b)每个基本事件出 现的可能性相等.
古典概型与几何概型的区别
相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型 要求基本事件有无限多个。
练习： 判下列试验中事件A发生的概率是古典概 型，还是几何概型。 （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率 （2）地铁列车每3 分钟一班，在车站停1分钟. 求乘客到达站台立即上车的概率 ． （3）奥运会射击比赛中箭靶的直径为22cm， 而靶心的直径只有12.2cm，运动员在70米外 射箭，假设每箭都能射中靶面任意一点，求射 中靶心的概率为多少？ （4）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计 硬币正面朝上的概率。
典型例题讲解
z C A D y o B
x
典型例题讲解
半球的体积 p= 1圆柱的体积 =
1 3
典型例题讲解
典型例题讲解
例8、在一个回字形的的桌面上任意掷 一枚硬币。已知大正方形的边长为 10CM，小正方形的边长为8CM，硬币半 径为2CM，球此时硬币整个在小正方形 内的概率。
典型例题讲解
解：解利用几何概
型
138 23 5 2 300 5
。
典型例题讲解
例11、圆心角为90度的扇形AOB中，则 使得∠AOC和∠ BOC都不小于30度的 概率为＿＿。
Hale Waihona Puke 典型例题讲解例12、设D是半径为R的圆周上一定点，在 圆周上随机取一点C，连CD得一弦，若A表 示“所得的弦长大于圆的内接等边三角形 的边长”，则P(A)=＿＿。
40
p= 10000 =
1
250
例5、甲乙二人相约定6:00-6:30在约定地点 会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方 可离开。求甲乙二人能会面的概率(假定他 们在6:00-6:30内的任意时刻到达约定地点 y 的机会是等可能的)。 ，
解: 以6点为计时原点，(x，y)分别
30
表示甲乙二人到达约定地点的
练习
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
图3.3-2
小结
• 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是 等可能发生的概率类型。 • 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有 关的题目。
探究规律：
几何概型公式（1）：
构成事件A的区域长度 P A 全部结果所构成的区域 长度
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机， 想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的 概率。
解：设上次报时时刻为0,经过60分钟后,下次报时时刻 为60.总区间为[0,60] t [ ] 0 50 60 他开机时刻是t,事件A:“等待的时间不多于10分钟” 等价于事件B :“t∈[50,60]”。 LA 10 1 故P(A)=P(B)= LS 60 6
(1)
(2)
问题: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？
(3) (1) (2)
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关， 而与区域的位置无关。在转转盘时，指针指向圆 弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻， 还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。 ⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关， 与图形的大小无关。
公式（2）：
公式（3）：
构成事件A的区域长度 P A 全部结果所构成的区域 长度
构成事件A的区域体积 P A 全部结果所构成的区域 体积
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
典型例题讲解
典型例题讲解
典型例题讲解
典型例题讲解
问题１：下图是卧室和书房地板的示意图， 图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳 虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞 去，并随意停留在某块方砖上，问 在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室 卧室
书房
问题:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规 定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
3.3几何概型
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、计算古典概型的公式：
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率应如果求呢?
创设情境： 例如一个人到单位的时间可能是 8：00至9：00之间的任何一个时刻； 往一个方格中投一个石子，石子可 能落在方格中的任何一点……这些试 验可能出现的结果都是无限多个。