高考文科数学练习题古典概型与几何概型
高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)
高中数学概率几何概型古典概型精选题目（附答案）一、古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．1.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.注：解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．2．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝3 10.3．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3 000＝0.15，所以x ＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，则m 500＝603 000.所以m ＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性． (2)几何概型的概率求法公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )| ⎩⎨⎧|x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23.[答案] (1)C (2)23 注：几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．5．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa 2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa 2，故P 1＝P 2.6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.7．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析：选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r ， 则一个三角形的面积为12×r ×32r ＝34r 2， ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2，∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2＝334π.。
古典概型与几何概型-高中数学同步典型例题及训练解析版
古典概型与几何概型高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为A．B．C．D．（2）某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课，每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8:50~9:30之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．B．C．D．（3）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10，飞行才是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等，那么蜜蜂飞行安全的概率是A．B．C．D．【参考答案】（1）B；（2）A；（3）C．（2）由题意得第二节课上课的时间为8:40~9:20，该同学到达教室的时间总长度为40，其中在8:50~9:10进入教室时，听第二节课的时间不少于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为，故选A．（3）记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它在与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10的区域d内飞行时是安全的，故区域d为棱长为10的正方体，所以，故选C．【解题必备】（1）求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件．基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．求古典概型的基本步骤：①算出所有基本事件的个数；②求出事件包含的所有基本事件数；③代入公式，求出．（2）对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．（3）求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等．注意：在寻找事件发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件的概率．（4）求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率．必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法．（5）用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可．一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解．学霸推荐1．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．B．C．D．3．（从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．B．C．D．2．【答案】B【解析】不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，故选B．3．【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为．故选D．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：①列举法；②树状图法，适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；③列表法，适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．。
高考数学一轮复习 专练56 古典概型与几何概型(含解析)文 新人教版-新人教版高三全册数学试题
专练56 古典概型与几何概型命题X围：随机事件概率、古典概型、几何概型基础强化一、选择题1．[2020·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.9253．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.3104．[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.155．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.566．设z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π7．[2020·某某某某高三测试]已知f(x)＝3＋2cos x，f′(x)是f(x)的导函数，则在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π任取一个数x 0使得f ′(x 0)<1的概率为( ) A.14 B.34 C.18 D.788．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.79．两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78二、填空题10．[2020·某某一中高三测试]盒中有三X 分别标有3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一X 记下后放回，再随机抽取一X 记下，则两次抽取的卡片中至少有一个是奇数的概率为________．11．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．12．甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．能力提升13．[2020·全国卷Ⅰ]设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.4514．某袋中有五X 卡片，其中红色卡片三X ，标号分别为1,2,3，蓝色卡片两X ，标号分别为1,2.从以上五X 卡片中任选两X ，则这两X 卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( )A.13B.110C.310D.2315．[2020·某某某某高三测试]已知圆O 的一条直径为线段BC ，A 为圆上一点，∠BCD＝∠CBD＝30°，∠ABC＝45°，则向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为________．16．[2020·某某师大附中高三测试]从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为625，则k的最大值是________．专练56 古典概型与几何概型1．B 由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600＋500＝2 100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1 200份订单配货，所以需要志愿者完成的订单不超过2 100－1 200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名志愿者，故选B.2．B 从5个人中选2人共有10种不同的选法，其中含有甲的有4种，∴所求事件的概率P＝410＝25.3．B 行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满足至少需要15秒才出现绿灯，∴所求事件的概率P ＝2540＝58. 4．B 本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析．记5只兔子分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的3只兔子为A ，B ，C ，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共6种，所以所求事件的概率P ＝610＝35. 5．C 从4种颜色的花中任选2种，共有如下6种不同的情形：(红黄)，(红白)，(红紫)，(黄白)，(黄紫)，(白紫)，共中红色与紫色在同一花坛的情形有两种，故所求事件的概率P ＝1－26＝23. 6．B ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，其面积为π，又直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，其中满足y ≥x 的为图中的阴影部分，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12， ∴所求事件的概率为P ＝14－12π. 7．D 由f ′(x )＝－2sin x <1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，因此所求概率π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝78，选D. 8．B 所求事件的概率P ＝1－0.45－0.15＝0.4.9．C设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率P ＝S 阴影S 正方形＝16－416＝34. 10.89解析：解法一 两次抽取的卡片有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为89. 解法二 所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片都为偶数，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事件的概率为1－19＝89. 11.59解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－－25－－4＝59. 12.58解析：两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为1016＝58. 13．A 从O ，A ，B ，C ，D 中任取3点的情况有(O ，A ，B )，(O ，A ，C )，(O ，A ，D )，(O ，B ，C )，(O ，B ，D )，(O ，C ，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(B ，C ，D )，(A ，C ，D )，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O ，A ，C )和(O ，B ，D )两种情况，所以所求概率为210＝15.故选A.14．C 从五X 卡片中任选两X 的所有可能情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2) ，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种．其中两X 卡片的颜色不同且标号之和小于4的有(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，共3种情况，故所求的概率为310. 15.3＋33π解析：设圆O 的半径为2，则S 阴影＝12×4×(2＋2tan30°)＝43＋33，S 圆＝4π， 由几何概型概率公式可得所求概率为P ＝S 阴影S 圆＝3＋33π. 16．2解析：因为M ＝{(x ，y )|(|x |－1)2＋(|y |－1)2<4，x ，y ∈Z }，所以M ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，所以集合M 中元素的个数为5×5＝25.因为xy ＝1的情况有2种，xy ＝2的情况有4种，xy ＝4的情况有2种，所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625，需1<k ≤2，所以k 的最大值为2.。
数学(文科,人教版)二轮专题复习提分训练：古典概型与几何概型
古典概型与几何概型高考试题考点一求古典概型的概率1。
(2013年新课标全国卷Ⅰ,文3）从1，2，3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )（A)12(B)13（C）14（D）16解析：从1,2，3,4中任取2个不同的数有六种情况：（1，2）,（1,3),（1，4）,(2,3），(2，4），(3,4）,满足条件的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26=13.故选B。
答案：B2.（2013年安徽卷，文5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ）（A)23（B)25（C）35（D)910解析：从五位大学生中录用三位的所有结果为（甲，乙,丙）,(甲,乙,丁），（甲,乙，戊），（甲，丙,丁),(甲，丙，戊），(甲，丁，戊）,(乙，丙,丁)，(乙,丙,戊)，（乙,丁,戊）,（丙,丁,戊)共10种情况,其中甲或乙被录用的情况为9种，所求概率为910。
故选D.答案:D3.(2012年安徽卷，文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ）（A)15（B）25（C)35(D)45解析:若记红球为A,白球为B1,B2,黑球为C1，C2，C3,则任取2个球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1，AC2,AC3，B1B2，B1C1,B1C2,B1C3,B2C1，B2C2,B2C3,C1C2,C1C3,C2C3.共15个。
其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为P=615=25。
答案：B4。
(2011年全国新课标卷,文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )（A）13 (B）12（C)23(D）34解析：甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种，甲、乙参加同一个小组的选法有3种，所以其概率为39=13。
专题28古典概型与几何概型(原卷版)
专题28古典概型与几何概型（原卷版）易错点1：混淆古典概型与几何概型;易错点2：混淆几何概型中的测度（长度、面积、体积）;易错点3：科学设计变量，数形结合解决问题.题组一1．（2013新课标1）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．12B．13C．14D．162．（2014新课标2）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.3．（2014新课标）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．4．（2011新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．13B．12C．23D．345．（2013新课标）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______．6.（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．516B．1132C．2132D．11167．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．1188．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．18B．38C．58D．781 42 49．(2016年全国II)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2mn题组二15．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．∆ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12=p pB ．13=p pC ．23=p pD ．123=+p p p16．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 17．(2016年全国I)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34题组三10．（2019全国I理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．12．（2019全国II理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.13．(2016年全国II)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．14．（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。
2023届高考数学一轮复习作业古典概型与几何概型新人教B版
古典概型与几何概型一、选择题1．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A． B． C． D．A [根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为＝，故选A．]2．“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是( )A． B． C． D．A [幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝．故选A．]3．(2021·湖南雅礼中学高三月考)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是( )A． B． C． D．A [根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：3×3×3＝27种，他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有A＝6种，故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是P＝＝．]4．金字塔(如图1)作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产，著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔高146.5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底面中心230米的圆周上任取一点(圆周上所有点被选取的概率相等)，从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为( )图1 图2A． B． C． D．A [如图所示，中间正方形的边长为230米，可得AB＝CD＝230米，其中在AB处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，又由圆的半径为230米，其中OA＝OB＝230米，所以△ABO为等边三角形，即∠AOB＝60°，其中有四个这样的区域，只能看到金字塔的一个侧面，所以只能看到一个侧面的概率为＝，所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为．]5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A． B． C． D．D [设图中最小正方形的边长为a，则此点取自阴影部分的概率P＝＝＝．故选D．]二、填空题6．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ． [从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－＝1－＝．]7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ． [由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π．圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝ × π×13＝π，所以所求概率P＝＝．]8．角谷猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．例：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝13，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为 ． [若n＝13，根据题中所述过程得出的整数分别为13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，共10个数，其中奇数共有3个，所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为＝．]三、解答题9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝．10．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．[解](1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50×(m＋0.004 0＋0.005 0＋0.006 6＋0.001 6＋0.000 8)＝1，解得m＝0.002 0．(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0)×50＝0.3<0.5，前3组的频率之和为(0.002 0＋0.004 0＋0.005 0)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×＝4人，分别记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P ＝．1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤”发生的概率为( )A． B． C． D．D [在[0，π]上，当x∈∪时，sin x≤，故概率为＝．]2．(2021·奉新县第一中学高三三模)2021年是中国共产党成立100周年，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2)．已知R＝＋1，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为( )图1 图2A． B．C． D．B [如图，A，B是两圆心，C，D是两圆交点，四边形ACBD边长均为＋1，又AB ＝＋2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，四边形ACBD是正方形，R＝＋1，弓形面积为S′＝πR2－R2，两个弓形面积为2S′＝πR2－R2，两圆涉及部分面积为S＝2πR2－＝πR2＋R2，所以所求概率为P＝＝＝．]3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是 ． [因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是．]4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．[解](1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a·b＝－1的概率为＝．(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)| 1≤x≤6,1≤y≤6}．满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为．1．某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则下列说法错误的是( )A．P1·P2＝ B．P1＝P2＝C．P1＋P2＝ D．P1＞P2B [三辆车的出车顺序可能为123,132,213,231,312,321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132,213,231，共3种，所以P1＝＝；方案二坐到“3号”车可能为312,321，共2种，所以P2＝＝．所以P1＞P2，P1·P2＝，P1＋P2＝，故选B．] 2．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是． [第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为＝；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为＝．]。
高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型
古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析 从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析 上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一 古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________． 答案 19解析 列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 考点二 古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________． 答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】 设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析 有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三 古典概型与统计的综合应用【例2】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， 所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224， 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1， 所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四 几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 角度2 与面积有关的几何概型【例4】 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析 设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华 几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． 角度3 与体积有关的几何概型【例5】 有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)， 圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1， 要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析 由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析 由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析 点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析 该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析 作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________． 答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ， 则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 答案 16解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水 金木火 金木土 金水火 金水土 金火土 木水火 木水土 木火土 水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。
高考文数学母题题源训练：古典概型、几何概型
【母题来源】2014重庆卷文-15【母题原题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）所以()1151592202032 DEFABCDSP AS ∆⨯⨯===⨯正方形所以答案应填：932．【命题意图】本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想，同时考查考生运算能力.【方法技巧】将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．1．【2014高考陕西卷文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D2．【2014高考湖北卷文第5题】随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ） A ． 321P P P << B ． 312P P P << C ． 231P P P << D ． 213P P P <<3．【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4．【2014高考湖南卷文第5题】在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D5．【2014高考江西卷文3第题】掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D6．【2014高考辽宁卷文第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．【2014高考广东卷文第12题】从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 ． 【答案】【解析】所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，8．【2014高考浙江卷文第14题】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 ．9．【2014高考上海卷文第13题】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）．10．【2014高考全国1卷文第13题】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．11．【2014高考全国2卷文第13题】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．12．【2014高考江苏卷第4题】 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 ．13．【山东省德州市2014届高三上学期期末考试】如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是（ ）14.【山东省济南外国语学校2014届高三上学期期中考试】已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92 B ．32 C ．31 D ．9115.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n ，记向量()(),,1,1a m n b →→==-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712 D. 5616．【2014高考福建卷文第13题】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．17．【2014高考山东文第16题】海关对同时从C B A ,,三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．（1）求这6件样品中来自C B A ,,各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．地区 ABC数量5015010018．【2014高考陕西文第19题】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 2000 3000 4000车辆数（辆）500 130 100 150 120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．【2014高考四川文第16题】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．+=”的概率；（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．20．【2014高考天津文第15题】某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学A B C 女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．21．【2014高考重庆文第17题】20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率． 【答案】（I ）0.005a =；（II ）2，3；（III ）310． 【解析】。
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。
高三文科数学(通用版)二轮复习：专题限时集训6 古典概型与几何概型 Word版含解析
专题限时集训(六)古典概型与几何概型建议A、B组各用时：45分钟]A组高考达标]一、选择题1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815 B.18C.115 D.130C∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝115.]2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.310 B.58C.710 D.25D由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．(2016·大连双基检测)在区间0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤1 2”发生的概率为()A.34 B.23C.12 D.13D 由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π6π＝13，故选D.]4．(2016·合肥二模)某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为( )A.13B.12C.23D.34C 甲、乙两位同学参加3个社团，共有9种不同的情况，其中两人参加相同的社团的情况有3种，所以两人参加不同的社团的概率为1－39＝23，故选C.]5．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78C 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.]二、填空题6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝__________.23将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”，则C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]7．(2016·河南市联考)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号：85952028】23要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．如图6-2，向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆，若圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝94，则黄豆落入阴影部分的概率为________．图6-21－9π64由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为22－14π⎝ ⎛⎭⎪⎫32222＝1－9π64.] 三、解答题9.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：图6-3甲商场：顾客转动如图6-3所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球，3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外，不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解]如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以，在甲商场中奖的概率为 P 1＝πR 26πR 2＝16.4分如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，8分摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15.10分由于P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大.12分 10．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y ∈R ，且1≤x ≤6,1≤y ≤6，求满足a·b >0的概率；(2)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率．解](1)用B 表示事件“a·b >0”，即x －2y >0.1分试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}，2分 构成事件B 的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}，3分 如图所示．所以所求的概率为P (B )＝12×4×25×5＝425.6分(2)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1. 则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个． 11分∴P (A )＝336＝112.12分B 组 名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A.310 B.15 C.12D.35A 基本事件的总数为10，其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为310.]2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )【导学号：85952029】A.14B.13C.12D.23C 如图所示，取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.]3．(2016·济南模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( )A.136 B.118 C.112D.16C 由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]4．在区间0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.] 二、填空题5．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.512试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.]6．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝__________.14作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为12×10×10＝50，区域A (阴影部分)的面积为12×5×5＝252，所以P (A )＝252÷50＝14.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解](1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件组成.4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}.6分事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝918＝12.8分(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1，B1全被选中”这一事件．由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件N由2个基本事件组成，所以P(N)＝218＝19.11分由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－19＝89.12分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)若直线l：x＋y－5＝0，求点P(b，c)恰好在直线l上的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解](1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率为P 1＝416＝14.6分(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立.7分 ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.10分由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，11分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316.12分。
高中数学题库——古典概型与几何概型
15．（2017·江西新余一中、宜春一中高三联考）把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为___41π-___．6.（2017·江西新余一中高三调研一） 已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．2πD ．以上都不对 6.B 【解析】将2220x y x +-=配方得22(1)1x y -+=,故C(1,0)，所以在圆内且横坐标小于1的点的集合恰为一个半圆面，所以所求的概率为12.8.（2017·江西吉安一中高三月考一）已知函数()cos6xf x π=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，现在从M 中任取两个不同的元素,m n ，则()()0f m f n =的概率为（ A ） A ．512 B ．712 C ．718 D ．794.（2017·江西赣中南五校高三测试一）墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ A ）A. B. C. D.与a 的取值有关（2017·江西高三调研一）10（2017·吉林吉化一中高三检测）．在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上随机取一个数x ，使得0＜tan x ＜1成立的概率是( )A ． 18B ． 13C ． 12D ．2π3.（2017·湖南师大附中高三月考一） 有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 152m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ B ） A ．34B ．38C ．316πD ．12332π+（2017·湖南长沙长郡中学高三周测）4.（2017·湖南长沙长郡中学高三入学考试）分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ A ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25（2017·湖南长沙长郡中学高三周测）A9.（2017·湖南长沙长郡中学高三入学考试）若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ A ）A ．114B ．10C ．150D ．507.（2017·湖南双峰一中高三月考一） 在区间上随机取两个实数y x ,，得82≤+y x 的概率为（ ） A ．41 B ．163 C ．169 D ．43【答案】D12.（2017·湖南衡阳八中、永州四中高三联考一）[文科]在不等式组，所表示的平面区域内随机地取一点M ，则点M 恰好落在第二象限的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B18．（2017·江西九江一中高三测试）（本小题满分12分） 已知函数a bx ax x f +-=2)(2（,a b R ∈ ）（Ⅰ）若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程()0f x =有．实根的概率； （Ⅱ）若b 从区间[0,2]中任取一个数，a 从区间[0,3]中任取一个数，求方程()0f x =没．有．实根的概率． 解：（1） b a ,取值情况是：)3,3(),2,3(),1,3(),0,3)(3,3(),2,2(),1,2(),0,2()3,1(),2,1(),1,1(),0,1)(3,0(),2,0(),1,0(),0,0(其中第一数表示a 的取值，第二数表示b 的取值．即基本事件总数为16．………2分 设“方程()0f x =恰有两个不相等实根”为事件A ，当0,0≥≥b a 时，“方程()0f x =恰有两个不相等实根”即为“a b ≥或0=a ” 于是此时b a ,取值情况：)3,3(),2,2(),1,1(),3,2(),3,1(),2,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0(即A 包含的基本事件数为10．……4分∴“方程()0f x =恰有两个不相等实根”的概率851610)(==A P ．………………6分 （2） b 从区间]2,0[中任取一个数，a 从区间]3,0[中任取一个数，则试验的全部结果构成区域{}20,30),(≤≤≤≤b a b a这是一个长方形区域，其面积632=⨯=ΩS ………………………8分 设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为{}b a b a b a >≤≤≤≤,20,30),(其面积422216=⨯⨯-=MS． (10)分由几何概型的概率计算公式可得：“方程()0f x =没有实根”的概率3264)(==B P ．………………………12分8．(2017·湖北枣阳阳光中学高三质检)在区间[01]，上随机取两个数x y ，，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则A ．1212p p <<B ．2112p p << C ．2112p p << D ．1212p p << 8．D 【解析】 试题分析：试题分析：因为[01]x y ∈，，，对事件“12x y +≤”，如图（1）阴影部分1S ，对为事件“12xy ≤”，如图（2）阴影部分2S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是1212S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得1212p p <<．故选D ．考点：几何概型．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题，解题关键是确定平面区域及其面积．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(2017·湖北枣阳鹿头中学高三月考)从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 14．3136．(2017·湖北枣阳鹿头中学高三月考)在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x,y)满足y kx ≥的概率为34，则实数k ＝( ) (A) 4 (B)2 (C)23 (D)126．D 【解析】试题分析：在平面直角坐标系上画出不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域，区域的面积为4，过原点作直线y kx ≥，可以从选择之中选取一个k 值，在正方形内使直线上方的面积为S ，且3443=⨯=S ，恰好选择D . 17．(2017·湖北枣阳高级中学高三月考)（本题12分）掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．17．点数之和为6”的概率为P=536． 【解析】 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536． 9．(2017·湖北枣阳期中高三开学测试)在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，sin x 的值介于12-与12之间的概率为（ ） (A)13 (B)2π (C)12 (D)23【解析】试题分析：在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个x ，试验结果构成的长度为π，当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值介于12-与12之间，长度为3π，有几何概型的概率计算公式当133P ππ==.考点：几何概型的概率计算公式.6．(2017·湖北利川一中高三月考)如图，矩形长为6,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为A ． 3.84 B. 4.84 C. 8.16 D. 9.16 C5.(2017·湖北重点中学高三起点考试)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（ ). A. 121 B.61 C. 41 D.31C(2017·河南中原名校高三质检一)13.(2017·河北石家庄高三摸底)E 为正方形ABCD 内一点，则AEB ∠为钝角的概率是 。
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(文科)
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型（文科）考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A. 15B.13C.25D. 23【答案】C【试题解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()() 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 15种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62 155=.故选：C.【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 考向二 几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ） A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出． 【详解】 如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111S Ω=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω== 【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率； （4）由角度比求几何概型的概率. 【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义. 真题汇总及解析 一、单选题1．（河南省平顶山市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ） A ．23 B ．12C ．13D ．16【答案】C 【解析】 【分析】将6把钥匙编号为a 、b 、c 、d 、e 、f ，不妨设能打开锁的为钥匙a ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.将6把钥匙编号为a、b、c、d、e、f，不妨设能打开锁的为钥匙a．从中任取2把，有：ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、ef，共15种情况，能将锁打开的情况有5种，分别为ab、ac、ad、ae、af，故所求概率为51 153=．故选：C.2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10， (29)乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10， (30)丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为122305P==．3．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（）A．12B．13C．14D．16【答案】D【解析】【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马A、B、C，田忌有上、中、下三等的三匹马a、b、c，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，所有比赛的方式有：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Ba，Cc；Ab，Bc，Ca；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有Ac，Ba，Cb1种，故此时田忌获胜的概率为16．故选：D.4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（ ）去A 景区旅游 去B 景区旅游 去C 景区旅游 甲 0.4 0.2 乙 0.3 0.6D ．0.52【答案】A 【解析】 【分析】由题可得甲、乙去同一景区旅游的概率，然后利用对立事件的概率公式即得. 【详解】由题可得甲乙去A ，B ，C 三个景区旅游的概率分别如表：去A 景区旅游 去B 景区旅游 去C 景区旅游 甲 0.4 0.2 0.4 乙 0.10.30.60.40.60.34+⨯=， 故甲、乙去不同景区旅游的概率为10.340.66-=. 故选：A.5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））在区间[-2，12]中任取一个数x ，则[]8,13x ∈的概率为（ ）A ．514B ．27C ．25D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式可求出结果. 【详解】根据几何概型的概率公式得[]8,13x ∈的概率为128212(2)7-=--. 故选：B.6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为（ ） A ．152B ．827C ．413D ．1752【答案】C 【解析】 【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果. 【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A ”包含的样本点为16， 所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=，故选：C. 7．（2022·河北邯郸·二模）甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（ ） A ．12 B ．14C ．34D ．38【答案】B 【解析】 【分析】用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】甲手中的两张纸牌数字用{}1,3表示，乙手中的两张纸牌数字用{}2,4表示，一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1）{}{}2,314、，； （2）{}{}4,321、，；（3）{}{}1,234、，：（4）{}{}1,423、，共4种情况， 其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况， 所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为14，故选：B 8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（ ） A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】 【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解. 【详解】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y ->，或12x y -<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P ==； 故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）A ．14B ．12C ．18D ．34【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t 的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t <，即1122t -<<，故所求概率为12P =， 故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（ ）. A ．13B ．16C ．59D ．38【答案】B 【解析】 【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，可得x 、y 满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD ，而甲乙能够见面，x 、y 满足的平面区域是图中的四边形EFGH ．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得． 【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达， 则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤， 该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯=，114422622EFGH BEHBFGS SS=-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGH ABCD S P S ===故选：B．二、填空题11．【2020·天津市红桥区高考二模】一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．【答案】1 12【解析】基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P＝186×6×6＝112.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y 都小于1的正实数对(),x y，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m，最后再根据m来估计π的值．假如统计结果是36m=，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界）， 因此所求概率为113642142120P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______． 【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126= 故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1 所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==. 故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比.三、解答题15．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩，北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，并对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶，现将100名喜爱冰雪运动的学生参赛成绩制成如下频率分布表，若第三组与第五组的频之和是第一组的6倍，试回答以下问题； 成绩分组 （50，60] （60，70] （70，80] （80，90] （90，100] 频率 b 0.26 a 0.18 0.06(2)如果规定竞赛成绩在（80，90]为“良好”，竟赛成绩在（90，100]为“优秀”，从受奖励的15名学生中利用分层抽样抽取5人，现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个“优秀”的概率.【答案】(1)0.08,0.42b a ==，估计值为85 (2)35【解析】【分析】（1）由题意结合频率之和等于1得出,a b ，再由频率、频数的关系得出受奖励的分数线的估计值；（2）分别求出良好、优秀的人数，再由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.(1)0.06610.260.18a b a b +=⎧⎨+=--⎩，∴0.08,0.42b a == 竞赛成绩在[90，100]分的人数为0.061006⨯=，竞赛成绩在[80，90）的人数为0.1810018⨯=，故受奖励分数线在[80，90）之间，设受奖励分数线为x ，则900.180.060.1510x -⨯+= 解得85x =，故受奖励分数线的估计值为85.(2)由（1）知，受奖励的15人中，分数在[85，90]的人数为9，分数在（90，100]的人数为6，利用分层抽样，可知分数在[85，90]的抽取3人，分数在（90，100]的抽取2人，设分数在（90，100]的2人分别为1A ，2A ，分数在[85，90]的3人分别为1B ，2B ，3B ，所有的可能情况有（1A ，2A ），（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，3B ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，3B ），（1B ，2B ），（1B ，2B ），（2B ，3B ），共10种， 满足条件的情况有（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，3B ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，3B ）共6种，故所求的概率为63105P ==.16．（2020·江苏·一模）2021年江苏省高考实行“312++”模式，“312++”模式是指“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史2个科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目.（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；（2）设2220x ax b ++=是关于x 的一元二次方程，若[]0,3a ∈，[]0,2b ∈，求方程有实数根的概率.【答案】（1）16；（2）23【解析】【分析】（1）记学生甲选化学和生物为事件A ，求事件A 包含的基本事件的个数和总的基本事件的个数，由古典概型计算公式即可求解；（2）记方程有实根为事件B ，由几何概型概率公式计算即可求解.【详解】（1）记学生甲选化学和生物为事件A ，学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，包含的基本事件有：（化，生），（化，政），（化，地），（生，政）（生，地），（政，地）共有6个， 事件A 包含的基本事件为（化，生），共1个，所以()16P A =.（2）记方程2220x ax b ++=有实根为事件B ，总的基本事件区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤的面积，若方程2220x ax b ++=有实根，则22440a b ∆=-≥，即220a b -≥， 可得()()0a b a b +-≥，所以a b ≥，事件B 发生包含的区域为(){},|,03,02a b a b a b ≥≤≤≤≤的面积， 作图如下：所以事件B 发生的概率为()1322222323P B ⨯-⨯⨯==⨯，所以方程有实数根的概率为23.。
高考考点 考点33 古典概型、几何概型 含答案
1．(2021·湖北)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 12．(2020·湖北)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78 3．(2020·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2020·新课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.785．(2021·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6．(2021·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．7．(2020·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．8．(2020·福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．9．(2020·辽宁)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．10．(2020·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．11．(2020·山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．1．(2021·四川成都模拟)一个边长为2 m ，宽1 m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为( )A.35 m 2B.65 m 2C.125 m 2D.185 m 22．(2021·广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有5名同学组成，其中有3名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则两名选出的同学来自不同班级的概率为( )A. 0.35B. 0.4C. 0.6D. 0.73．(2021·贵州模拟)设实数a ，b 均为区间[0，1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为( )A.12B.16C.13D.234．(2021·广东广州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤2所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点M (x ，y )，则|OM |≤2的概率是________．5．(2021·青岛一模)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________．6．(2021·江南十校模拟)已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤2，x ，y ∈Z }集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2，x ，y ∈Z }在集合A 中任取一个元素a ，则a ∈B 的概率是________．7．(2021·山东莱芜模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2 恒成立”的概率．考点33 古典概型、几何概型【两年高考真题演练】1.B [在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S 曲边多边形BACDE S 四边形OCDE， p 2＝S 曲边多边形BOAFDG S 四边形OCDE ，p 3＝S 曲边多边形GEOCF S 四边形OCDE， 因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B.]2．D [如图，由题意知平面区域Ω1的面积S Ω1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴S Ω1＝742＝78.故选D.] 3．C [从5个点取2个共有C 25＝10种取法，而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角线，共6种，所以P ＝610＝35.]4．D 由题意知基本事件总数为24＝16，对4名同学平均分组共有C 24A 22＝3(种)， 对4名同学按1，3分组共有C 14种，所以周六、周日都有同学参加共有3×A 22＋C 14A 22＝14(种)．由古典概型得所求概率为1416＝78.]5.56 [这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.]6.512 [由几何概型的概率公式：P ＝1－⎠⎛12x 2d x 4＝512.]7.932 [用x 轴表示小张到校时刻，用y 轴表示小王到校时刻，建立如图直角坐标系．设小张到校的时刻为x ，小王到校的时刻为y ，则x －y ≥5.由题意，知0≤x ≤20，0≤y ≤20，可得可行域如图所示，其中，阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校．由⎩⎨⎧x －y ＝5，x ＝20得A (20，15)． 易知B (20，20)，C (5，0)，D (20，0)．由几何概型概率公式，得所求概率P ＝S △ACD S 正方形ODBE＝12×15×1520×20＝932.]8.2e 2 [根据题意y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，图象关于y ＝x 对称，所以两个阴影部分的面积相等．联立y ＝e 与y ＝e x 得x ＝1，所以阴影部分的面积S ＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x )⎪⎪⎪10＝2[(e －e)－(0－1)]＝2，又正方形面积为e 2，由几何概型可知所求概率为2e 2.]9.23 [由题意可知空白区域的面积为∫1－1[x 2－(－x 2)]d x ＝23x 3⎪⎪⎪⎪1－1＝43.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为4－43＝83，∴所求概率为834＝23.]10.12 [本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.] 11．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3，C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.【一年模拟试题精练】1．B [由几何概型的概率计算公式可知，会标的面积约为60100×2＝65，故选B.]2．D [来自同一班级的3名同学，用1，2，3表示，来自另两个不同班级2名同学用A ，B 表示，从中随机选出两名同学参加会议，共有12，13，1A ，1B ，23，2A ，2B ，3A ，3B ，AB 共10种，这两名选出的同学来自不同班级，共有1A ，1B ，23，2A ，2B ，3A ，3B 共7种，故这两名选出的同学来自不同班级概率P ＝710＝0.7.]3．C [由题意，若b ＝0，a ≠0时不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解； 若b ≠0，则Δ＝a 2－b ＞0；作出平面区域如下，关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，S 阴＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛01a 2d a ＝13a 310＝13；故S 阴S 正方形＝131＝13；故选C.] 4.2π＋3312 [作出可行域如图所示：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤2所表示的平面区域W 是图中正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是2×2＝4.从区域W 中随机取点M (x ，y )，使|OM |≤2，则点M 落在图中阴影部分．在Rt △AOM 中，MA ＝3，∠AOM ＝π3，所以阴影部分的面积是2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×1×3＋12×π6×22＝3＋2π3，故所求的概率是3＋2π34＝2π＋3312.]5.23 [设AC ＝x ，则BC ＝12－x ，矩形的面积S ＝x (12－x )＞20， ∴x 2－12x ＋20＜0，∴2＜x ＜10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20 cm 2的概率P ＝10－212＝23.] 6.913 [满足集合A 的点有：(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)共13个，满足集合B 的有：(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共9个，则a∈B的概率是913.]7．解(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为nn＋2＝12，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝812＝23.②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得概率为P＝4－14π×224＝1－π4.。
高三数学 第75练 古典概型与几何概型练习
第75练 古典概型与几何概型1．(2017·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.182．(2016·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )A.2－32B.32C.14D.123.(2017·长沙调研)如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π64．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作A 1A 2的垂线交椭圆的于点P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为( ) A.12 B.23 C.263D.635．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－12的概率为( ) A.12 B.13 C.34D.146．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( ) A.710 B.15 C.14D.127.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.128．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45二、填空题9．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．10．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．11．已知平面区域D 1＝{(x ，y )||x |<2，|y |<2}，D 2＝{(x ，y )|kx －y ＋2<0}．在区域D 1内随机选取一点M ，若点M 恰好取自区域D 2的概率为p ，且0<p ≤18，则k 的取值范围是______________．12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则点P 到原点O 的距离小于1的概率是__________.答案精析1．C [易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的情况无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.]2．A [易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.]3．B [由题意知，阴影部分的面积为⎠⎛0asin x d x ＝(－cos x )0|a＝－cos a ＋cos 0＝1－cos a ，根据几何概型的概率计算公式知1－cos a a ·8a＝316，即cos a ＝－12，而a ∈(0，π)，故a ＝2π3，故选B.] 4．D [设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→<0⇒(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0⇒x 2－3＋y 2<0⇒x 2－3＋1－x 24<0⇒|x |<263，故所求的概率为4634＝63.]5．D [记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知(a ，b )的所有可能的取值有36种．由直线xa＋y b ＝1的斜率k ＝－b a ≥－12，知b a ≤12，那么满足题意的(a ，b )可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为936＝14.] 6．A [用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个基本事件，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个基本事件，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个基本事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.]7．B [依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.]8．B [语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48(种)摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120(种)摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B.]9.16解析 十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.10.34解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，∴全部基本事件构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，符合题意的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤y －x ≤2，如图所示，由几何概型可知，所求概率为P ＝1－2×12×2×216＝34.11．[－1,0)∪(0,1]解析 如图所示，平面区域D 1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，直线kx －y ＋2＝0恒过定点P (0,2)．由于原点必在区域D 2外，且图中每个阴影三角形的面积与大正方形的面积之比均为18，故当k >0时，k ∈(0,1]；当k <0时，k ∈[－1,0)．从而k 的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．12.π4解析 若点P 到原点的距离小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <10<y <1x 2＋y 2<1，所以符合条件的点P 构成的区域如图中阴影部分所示，所以点P 到原点的距离小于1的概率为14×π×1212＝π4.。
高考数学 试题汇编 第二节古典概型与几何概型 文(含解析)
第二节古典概型与几何概型古典概型考向聚焦对古典概型的考查,主要是等可能事件概率的求解,主要通过列举法或结合互斥事件、对立事件等进行求解,有时与统计中的抽样、频率分布直方图等综合在一起考查.多以解答题的形式出现,12分左右;有时也可能以小题的形式出现,4~5分.为中、低档试题备考指津求古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和事件A包含的基本事件数m,然后代入公式P(A)=求解,确定基本事件个数时常用列举法、树形图法、列表法等1.(2012年安徽卷,文10,5分)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )(A)(B)(C)(D)解析:若记红球为A,白球为B1,B 2,黑球为C 1,C2,C 3,则任取2个球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1,AC2,AC3;B 1B 2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,B2C2,B2C3,C1C2,C1C 3,C2C 3.共15个.其中颜色为一白一黑的事件有6个,所以概率为P==.答案:B.2.(2011年全国新课标卷,文6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )(A)(B)(C)(D)解析:甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为9种,甲、乙参加同一个小组的选法有3种,所以其概率为=.故选A.答案:A.3.(2011年浙江卷,文8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )(A)(B)(C)(D)解析:3个红球记为a,b,c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有可能情况是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共10个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共9个.∴至少有一个白球的概率为.故选D.答案:D.4.(2011年安徽卷,文9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )(A)(B)(C)(D)解析:如图,正六边形ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点有ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共15种选法,基本事件总数为15,其中四边形是矩形的有ABDE,BCEF,ACDF 3种,所以所求概率为P==.故选D.答案:D.5.(2010年北京卷,文3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )(A)(B)(C)(D)解析:从两个集合中分别取一个数a,b,用坐标表示为(a,b),则(a,b)的取值有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),( 5,2),(5,3)共15种,而b>a时有(1,2),(1,3),(2,3)3种结果,故所求概率是=,选D.答案:D.6.(2010年安徽卷,文10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )(A)(B)(C)(D)解析:从正方形的四个顶点中任选两点的连线有6条,四边及对角线依次设为a、b、c、d、e、f,则甲、乙连线的结果有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),( c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e ,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f)共36种,其中甲、乙连线垂直的结果有(a,b),(a,d),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,a),(d,c),(e,f),(f,e)共10种,∴所求概率P==,选C.答案:C.这类试题解答的关键是把基本事件总数计算准确,把随机事件包含的基本事件个数计算准确.7.(2012年浙江卷,文12,4分)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是.解析:本题主要考查了古典概型概率的求法.设五点为A,B,C,D,E,随机取两点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10种情况,两点间的距离是的有4种,所以P=.答案:8.(2012年江苏数学,6,5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.解析:本题考查等比数列的通项公式和等可能事件的概率.因为这10个数是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率等于=.答案:9.(2010年辽宁卷,文13)三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为.解析:将三张卡片随机地排成一行,共有EEB,EBE,BEE三种排法,而排成BEE的情况只有一种,故所求概率为.答案:10.(2012年天津卷,文15,13分)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2所学校均为小学的概率.解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{ A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.所以P(B)==.本小题考查分层抽样方法、列举法求随机事件所含的基本事件数,古典概型及其概率计算,难度较小.11.(2012年江西卷,文18,12分)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;(2)求这3点与原点O共面的概率.解:从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是:x轴上取2个点的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共4种.y轴上取2个点的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共4种.z轴上取2个点的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1,A2B2C2,共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有:A1B1C1,A2B2C2,共2种,因此,这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1==.(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有:A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共12种,因此,这3个点与原点O共面的概率为P2==.12.(2012年山东卷,文18,12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的频率;(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.解:(1)从5张卡片中任取2张的所有可能情况有如下10种;红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2,其中两张卡片的颜色不同,且标号之和小于4的有3种情况,故所求概率为P1=.(2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从6张卡片中任取2张,除上面10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以所求概率为P2=.本题考查利用列举法计算随机事件所包含的基本事件数,以及古典概型的概率求法等基础知识,考查学生运用概率知识求解简单实际问题的能力,难度适中.13.(2011年江西卷,文16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.解:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4、5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则(1)P(D)=.(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.14.(2011年天津卷,文15)编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:区间[10,20) [20,30) [30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;②求这2人得分之和大于50的概率.解:(1)4 6 6(2)①得分在[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13,从中随机抽2人,所有可能抽取的结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15种.②设B=“得分在[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这两人得分之和大于50”,则所有可能的结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共5种.所以P(B)==.15.(2011年福建卷,文19)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布X 1 2 3 4 5f a 0.2 0.45 b c(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c 的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2.现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.解:(1)由频率分布表知a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35,因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,∴b==0.15.等级系数为5的恰有2件,所以c==0.1,则a=0.35-0.1-0.15=0.1,∴a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}共10种情况,其等级系数相等的有4种情况,故所求的概率为P==.16.(2010年福建卷,文18)设平面向量a m=(m,1),b n=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.(1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(2)若“使得a m⊥(a m-b n)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.解:(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),( 4,2),(4,3),(4,4),共16个.(2)由a m⊥(a m-b n)得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2.由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率为P(A)==.本题新颖之处在于概率与平面向量的有机交汇.求解这类问题的关键是通过列举(或画图)的方法,搞清楚基本事件的总数以及欲求概率的事件中所包含的基本事件数,然后套用古典概型的概率计算公式求解.几何概型考向聚焦几何概型是高考一个新的热点,并且它是一个重要的知识交汇点,通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其它数学知识综合起来,重点考查“长度型”和“面积型”,主要以填空题、选择题的形式出现,试题难度为中、低档,所占分值为5分左右17.(2012年湖北卷,文10,5分)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作两个半圆,在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )(A)-(B)(C)1-(D)解析:如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1+S2+S3+S4==π(2a)2=πa2①而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3=πa2.②①-②得S3=S4,由图可知S3=(S扇形EOD+S扇形COD)-S正方形OEDC=πa2-a2,所以S阴影=πa2-2a2.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率为P===1-.故选C.答案:C.18.(2012年北京卷,文3,5分)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )(A)(B)(C)(D)解析:不等式组对应直角坐标系内的区域D为如图所示的正方形ABCD,面积为4,在区域D内随机取一点,此点到原点的距离大于2对应的区域为如图所示的阴影部分,即落在圆x2+y2=4(0≤x≤2,0≤y≤2)外,面积为4-π.∴所求概率为.故选D.答案:D.19.(2012年辽宁卷,文11,5分)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )(A)(B)(C)(D)解析:设AC=x cm且0<x<12,则BC=(12-x)cm,∴以AC、CB为邻边的矩形面积为x·(12-x),令x(12-x)>20,得2<x<10,由几何概型知矩形面积大于20的概率为=.答案:C.20.(2011年福建卷,文7)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( )(A)(B)(C)(D)解析:本题属于几何概型求概率问题,设矩形长为a,宽为b,则点取自△ABE内部的概率P===.故选C.答案:C.21.(2011年湖南卷,文15)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为;(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为.解析:(1)圆心(0,0),∴圆心到4x+3y-25=0的距离d==5.(2)如图l1∥l,l1与圆x2+y2=12相交于M,N两点,且l1与l的距离为2,则当点A位于劣弧上时,A到l的距离小于2.|OD|=|OH|-2=5-2=3,|ON|=2,∴cos∠DON===,∴∠DON=,∴∠MON=,∴的长度为2π×2×=,∴由几何概型概率计算公式得点A到直线l的距离小于2的概率P===.答案:(1)5 (2)22.(2010年湖南卷,文11)在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.解析:∵区间[-1,2]的区间长度为3,区间[0,1]的区间长度为1.∴由几何概型概率计算公式知x∈[0,1]的概率为.答案:23.(2010年全国新课标卷,文14)设函数y=f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,x N和y1,y2,…,y N,由此得到N个点(x i,y i)(i=1,2,…,N).再数出其中满足y i≤f(x i)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为.解析:由0≤f(x)≤1可知曲线y=f(x)与直线x=0,x=1,y=0围成了一个曲边梯形.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1,共有N对数,即有N个点,且满足y i≤f(x i)(i=1,2,…,N)的有N1个点,即在函数f(x)图象上及下方有N1个点,所以由几何概型的概率公式得:曲线y=f(x)与x=0,x=1,y=0围成的面积为×1=.答案:(2011年北京卷,文16,13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注:方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中为x1,x2,…,x n的平均数)解:(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10,1分所以平均数为==;3分方差为s2=×[(8-)2+(8-)2+(9-)2+(10-)2]=.6分第(1)问赋分细则:(1)读茎叶图,获取乙组四名同学的植树棵数得1分;(2)求对乙组同学植树棵数的平均数得2分;(3)求对乙组同学植树棵数的方差得3分.(2)记甲组四名同学分别为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学分别为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4).9分用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2).11分故所求概率为P(C)==.13分第(2)问赋分细则:(1)列对列全所有可能出现的基本事件得3分;(2)找准事件C所包含的基本事件得2分;(3)由古典概型概率公式求对事件C的概率得2分.通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)对茎叶图不懂、获取错误的数据,该题得不到分;(2)平均数求错导致方差求错,扣5分;(3)平均数求对而方差求错,扣3分;(4)不会使用列举法将基本事件一一列出,第(2)问不得分;(5)基本事件总数求对,而事件C所含基本事件数求错,扣4分;(6)求事件C的概率P(C)时没有约分,扣1分.。
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古典概型与几何概型1．【 2018 年理新课标 I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为IIABC的斜边，其余部分记为BC，直角边AB， AC．△ ABCIII．在整个图形中随机取一点，此点取自I ， II， III的概率分别记为p1， p2， p3，则A. p 1=p2B. p1=p3C. p 2=p3D. p1=p2+p3【答案】 A【解析】分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2， p3的关系，从而求得结果 .详解：设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选 A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果 .2．【 2018 年理新课标 I卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】 A详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选 A.3．【 2018 年理数全国卷II 】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30 的素数，再确定两个不同的数的和等于30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30 的素数有2，3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 ，选 C.4.【2017 课标 1，理】 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是1π A ．B ．48 C ．1π D ．24【答案】 B【解析】【考点】几何概型5. 【 2017 山东，理8】从分别标有 1， 2 ， ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取 1 张．则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同 的概率是（A ）5（ B ）4（C ）5（D ）18997 9【答案】 C【考点】古典概型6.【2017 江， 7】函数 f ( x)6 x x2的定域 D .在区[ 4,5]上随机取一个数x ,x D 的概率是▲.【答案】59【考点】几何概型概率7.（ 2016 年全国 I 高考）某公司的班在7:30， 8:00， 8:30 ，小明在7:50至 8:30 之到达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是（ A ）1123 3（B）2（ C）3（ D）4【答案】 B8、（ 2016 年全国 II 高考）从区0,1随机抽取2n 个数x1,x2，⋯，x n，y1，y2，⋯，y n，构成 n 个数x1 , y1， x2 , y2，⋯， x n , y n，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，用随机模的方法得到的周率的近似（ A）4n（ B）2n（C）4m（ D）2m m m n n【答案】 C9.（ 2016 年山高考）在[－1,1]上随机的取一个数k，事件“直y = kx 与( x－5)2 + y2 = 9 相交” 生的概率3【答案】．410.【2015 高考广东，理 4】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5个红球。
高考数学文科二轮分类突破训练：第一篇考点五 考查角度1 古典概型与几何概型
考查角度1古典概型与几何概型古典概型的应用有5个小球(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.个小球中任取2个不同颜色的小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为().A.B.C.D.选取2个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10种,含有红色小球的选法有4种.由古典概型公式,所求概率P==.故选C.古典概型中基本事件数的探求方法:.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化.几何概型的应用设不等式组--所表示的区域为M,函数y=--的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为().A.B.C.D.如图,由题意知区域M为△ABC及其内部,其面积为S=×4×2=8,区域N为半圆及其内部(图中阴影部分),其面积为S1=×π×22=2π∴所求概率P==.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度A区域的几何度量,最后计算P(A).甲、乙两人约定7:10在某处会面,已知甲在7:00~7:20内,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是().A.B.C.D.建立直角坐标系,如图,x,y分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点(x,y)表示甲,乙两人到达的时刻,则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x≥5 其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为P==.故选C.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,.(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.1.(2018年全国Ⅱ卷,文5改编)从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于32的概率为().A.B.C.D.从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,每个结果出现的可能性是相同的,所以该试验属于古典概型.记事件A为“取出两个不同数字组成的两位数大于32” 则A中包含34,41,42,43,共4个基本事件,根据古典概型概率公式,得P(A)==.故选B.2.Ⅲ卷,文5改编)某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是().B.0.7C.0.6D.0.5所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.故选B.答案 B3.(2018年全国Ⅰ卷,理10改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率P2的大小关系是().A.P1>P2B.P1<P22D .不能确定将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重合组合,,所以阴影部分区域的面积等于正,故P1=P2.4.(2017年全国Ⅰ卷,理2改编)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为().A.B.C.D.设大圆的半径为R,函数y=3sin x的周期T==12,则R==6,所以大圆的面积为S1=πR2=36π 两个小圆的面积之和为S2=π×12×2=2π故所求概率P==.故选B.5.(2016年全国Ⅱ卷,理10改编)已知单位圆有一条长为的弦AB,动点P在圆内,则使得·≥2的概率为.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(0,1),则=(1,1),设点P的坐标为(x,y),x2+y2≤1则=(x+1,y),·=x+1+y≥2 故x+y-1≥0=-.则使得·≥2的概率为P=阴影圆-1.(2018衡水三轮模拟)已知某厂产品的合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是().A.合格产品少于8件B.合格产品多于8件8件D.合格产品可能是8件因为某厂产品的合格率为0.8,所以抽出10件产品检查,合10×0.8=8件,根据概率的意义,可得合格产品可能是8件,2.)在区间[-1,1]上随机选取一个实数x,则事件“2x-1<0”的概率为().A.B.C. D.由题意得,2x-1<0,即x<,由几何概型的概率公式可得事件=.故选B.“2x-1<0”的概率为P=----3.)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为().A.B.C.D.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果,分别为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝).他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为=,故选A.4.)下图为射击使用的靶子,靶中最小的圆的半径为1,靶中各圆的半径依次加1,在靶中随机取一点,则此点取自黑色部分(7环到9环)的概率是().A.B.C.D.根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得,此点取自黑色部分的概率是-=.故选A.5.)从2名男生,3名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为().A.B.C.D.设2名男同学为A1,A2(A1是男生甲),3名女同学为B1,B2,B3(B1是女生乙),则总的基本事件有A1A2B1,A1A2B2,A1A2B3,A1B1B2,A1B1B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,B1B2B3,共10种可能,男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动有A1A2B2,A1A2B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,共6种方法.所以由古典概型的公式得P(A)==.故选D.6.(2018江西上饶二模)在-上随机取一个数x,则cos x的值介于与之间的概率为().A.B.C.D.令≤cos x≤,∵-≤x≤,∴-≤x≤-或≤x≤,=.故选A.∴由几何概型的概率公式得P=---7.(2018山东省枣庄市二模)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板” 它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是().A.B.C.D.如图,设AB=4,则OG=GH=FD=HI=IE=,DE=2,所以此S四边形OGHI=×=2,S四边形EDFI=2×1=2,所以此点取自阴影部分的概率是=.故选C.答案 C8.(2018大庆市二模)在古代,直角三角形中较短的直角边称为“勾” 较长的直角边称为“股” 斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图” 如图) 证明了勾股定理,证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 ),四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实).”若弦图中“弦实”为16 “朱实一”为2,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计),则其落入小正方形内的概率为().A.1-B.-C.D.1-∵弦图中“弦实”为16 “朱实一”为2.∴大正方形的面积为16,一个直角三角形的面积为2.∴小正方形的面积为16-8,∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计),则其落入小正方形内的概率为-=1-.故选D.答案 D9.(2018河南安阳二模)若执行如图所示的程序框图,其中rand[0,1]表示区间[0,1]上任意一个实数,则输出数对(x,y)的概率为().A.B.C.D.本题概率类型为几何概型,测度为面积.所求概率为=.故选C.10.(2018 陕西高三联考)在由不等式组 --所确定的三角形区域内随机取一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( ).A .9-B .9-πC .1-D .1-画出关于x ,y 的不等式组 - -所构成的三角形区域,如图所示.△ABC 的面积为S 1=×3×6=9 △ABC 内的点到其三个顶点的距离不都大于1所构成的区域的面积为S 2=π∴该点到此三角形的三个顶点的距离都不小于1的概率为P=-=1-,故选D .11.河南高三一模)如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ).A .B .C .D .设正六边形的边长为2,AC与BE的交点为G,易知AB=2,BG=1,AG=CG=,CD=2,则所求的概率为=.故选D.12.山西一模)某市1路公交车每日清晨6:30于始发站A站发出首班车,随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙两人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班,甲在6:35-6:55内随机到达A站候车,乙在6:50-7:05内随机到达A站候车,则他们能搭乘同一班公交车的概率是().A.B.C. D.建立如图所示的平面直角坐标系,x,y分别表示甲、乙两人到达A站的时刻,则坐标系中每个点(x,y)可对应某日甲、乙两人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲、乙两人到达A站的时刻的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,其中两人可搭乘同一班公交车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为=.故选A.答案 A13.(2018华南师大附中模拟)已知如图所示的矩形,长为12,宽为5,在矩形内随机地投掷1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为600颗,则可以估计阴影部分的面积为.由题意得≈,所以S≈36.14.江苏预测卷)在含甲、乙的6名学生中任选2人去执行一项任务,则甲被选中,乙没有被选中的概率为.眼皮蹦跳跳付费文档眼皮蹦跳跳付费文档眼皮蹦跳跳付费文档眼皮蹦跳跳付费文档利用列举法可知在含甲、乙的6名学生中任选2人有15种方法,其中甲被选中,乙没有被选中的方法有4种,则甲被选中,乙没有被选中的概率为.15.(2018绵阳南山中学模考)在一场比赛中,某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛,其得分的茎叶图如图所示,从上述得分超过10分的队员中任取2名,则这2名队员的得分之和超过35分的概率为 .从得分超过10分的队员中任取2名,一共有以下10种不同的取法:(12,14),(12,15),(12,20),(12,22),(14,15),(14,20),(14,22),(15,20),(15,22),(20,22).其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种:(14,22),(15,22),(20,22).故所求概率P=.。