概论项目题

大连东软信息学院
2015-2016 学年第 1 学期《概率论与数理统计》课程（单元）项目研究报告
项目名称 通过程序实践进一步探究高尔顿钉板与二项分布关系
【项目内容】引言：高尔顿钉板与二项分布
高尔顿钉板问题：
高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。

从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。

如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。

在等可能性下，小球落下后满足正态分布。

探究问题，当以不同的概率向左右偏转时对整个分布的影响（通过程序实验进行实践），首先进行等可能性时理论的证明
【相关知识点】
随机事件与概率-条件概率，乘法原理，离散型随机变量及其分布，高中知识-数学归纳法
【模型假设与分析】
设（如图）高尔顿（钉）板有n 行钉，第n 行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。

把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。

【模型建立】
观察i=0（即第一列第一个空）这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （
2
1）n (2
1)0。

观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为 P （i=1）=C 1n （2
1
）n —1(2
1)1。

【模型求解】先进行等可能性分析：
猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （2
1）n —i (2
1)i 。

（i=0，1，2，…，n ）
现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （2
1）n —i (2
1)i 。

（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。

由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=2
1
，a 1，1=2
1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1n 0,n
0,1,0n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明： 1．当n=1时，已如上证。

当n=2时，a 2，0=21
a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(2
1)0 a 2，1=21 a 1，0+21 a 1，1=21 =C 12（
21）2—
1(2
1)1 a 2，2=2
1 a 1，1=（21
）2= C 22
(21)0（2
1）2—0
显然成立。

2．假设n=k （k ≥2）成立（即假设第n 行每一个数据都成立）。

即a k ，i = C i k （2
1）k —i (2
1)i 当n=k+1时，a k+1，0=2
1 a k ，0=
21C 0k （21）k —0 (2
1)0 = C 01k +（
21
）(k+1)－0 (2
1
)0
a k+1，k+1=21
a k ，k =21 C k k （
21）k —k (2
1)k = C k k （21）（k+1）—（k+1）(2
1)k+1 = C 1k 1k ++（
21）（k+1）—（k+1）(2
1)k+1 a k+1，i =21 a k ，i-1+2
1 a k ，i =2
1 C 1-i k （2
1）k-(i-1)(2
1)i-1+2
1 C i k （2
1）k-i (2
1)i =（ C 1-i k + C i k ）（2
1）k+1
= C i 1k +（2
1
）(k+1)-i （21）i
∴在n=k 成立的条件下，n=k+1也成立。

【结论及分析】当小球落下的概率左右相同时，小球的分布满足二项分布，下面通过实
践进一步研究当小球落下几率不等时的分布情况 实验软件，高尔顿实验模拟器（下载）
预计进行三次实验，小球数量为1000，碰撞后落到右面的几率分别为0.5，0.3, 0.7，下面是软件实验截图：
概率为0.5时的分布规律(1000个小球)：
概率为0.3时的分布情况(1000个小球)
概率为0.7时的分布情况（1000个小球）
【心得与体会】
通过这个项目，我们小组进一步理解了概率论与数理统计的知识，同时也体会到到了计算机与数学密不可分的联系，也领略到了统计学的魅力，在这次实践中，充分了解到前人的智慧是我们巨大宝藏。

同时项目的完成也提高了我们的小组合作能力
【参考文献】
【1】《高等数学》（上、下）--同济大学教研室第四版
【2】《概率论与数理统计》龚晓庆王炳兴--浙江大学出版社
【3】高尔顿钉板实验模拟器及其源代码--csdn程序员论坛 【4】高尔顿钉板实验证明--百度文库。