《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计
山西省太原师范学院附属中学薛翠萍
一、教学内容解析
椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点
学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点
圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位
通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础
学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
二、教学目标设置：
1．知识与技能目标
(1)学生能掌握椭圆的定义明确焦点、焦距的概念．
(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．
(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．
2．过程与方法目标：
(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．
(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．
(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．
（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．
（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．
三、学生学情分析
1．能力分析
①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，
②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．
2．认知分析
①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，
②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，
③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．
3．情感分析
学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．
四、教学策略分析
教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用”的过程，发现新的知识，又通过实际操
作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．
课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：
1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．
2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．
这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．
在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．
五、教学过程：
（一）复习引入
1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．
（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；
2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图
板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．
意图：
(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性
(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．
（二）讲解新课
由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．
1 椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离
之和等于8，则P点的轨迹是
练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离
之和等于6，则P点的轨迹是
通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于）
意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．
（1）、当2a>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在．
2．根据定义推导椭圆标准方程：
要求
（1）学生在画板上建立适当的坐标系，
（2）根据定义推导椭圆的标准方程．
同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤
意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．
正确推导过程如下：
解：取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴
设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）．
则，又设M与距离之和等于()（常数）
，
，
化简，得，
由定义,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意义）
令代入，得，
两边同除得
此即为椭圆的一个标准方程
它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程
学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得
，也是椭圆的标准方程
请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．
理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，因而焦点在哪个轴上即看分母的大小
3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值
①；②；③；④
意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．
（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）
A． 5 B． 6
C．4 D．10
意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．
（3）椭圆的焦点坐标是（）
A．(±5，0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12，0)
意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．
（4）化简方程：
意图：培养学生运用知识解决问题的能力．。