数与形相结合的原则
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
浅谈数形结合的思想
浅谈数形结合的思想摘要"数形结合百般好,隔离分家万事非"——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的.关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形一、引言数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用.“数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果.二、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.三、数形结合的原则数形结合一般遵循以下三个原则：1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.例题方程132sinX x=的实数根的个数为（）A、3个B、5个C、7个D、9个错解图象法，作函数13y x=与2siny x=的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作0x≥的部分，又因为x>8时，13x>22sin x≥.故图形只需取[0,3π]就行了（如图1）.除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C.x x 图1 图2分析当18x=时，13111122sin8288⎛⎫=>⨯>⎪⎝⎭.因此在(0,)2π内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示.2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索.3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了.四、数形结合思想及其内涵“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想.事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决.给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性.五、数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题.（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质.（3）构造几何模型.通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc.（4d=，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有点到直线的距离关性质.2、由形到数的转换途径（1）解析法建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系.（2）三角法将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径.（3）向量法将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题.把抽象的几何推理化为代数运算.特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循.六、数形结合的应用数形结合思想在课本中，具有突出的地位.“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系.比如：在集合运算中的应用.涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷.又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质.1、利用数形结合思想解决集合的问题（1）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：即所以()1=nCAB即参加数理化小组的有1人．（2）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例2 已知集合⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．分析 先在数轴上表示出集合A 的范围，要使，由包含于的关系可知集合A 应该覆盖集合A ， 从而有，这时的值不可能存在．要使，当0>a 时集合A 应该覆盖集合B ，应有⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥0331a a a 成立．即 10≤<a当0≤a 时，Φ=B ，显然成立.故 时2、利用数形结合思想解决方程和不等式问题（1）利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题 通过的相互转化，利用函数)(x f y =的图象直观解决问题．例3 如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式．分析 我们可联想对应的二次函数，的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：())4,(,,2221-+--+--a a a P k a a P ．故 求出与应满足的关系式为．（2）利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集． 例4 解不等式．分析 我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：．（3）利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题通过构造函数，把求方程解的问题，转化为两函数图像的交点问题.例5 解方程分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为．例6设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当时，与没有交点，这时原方程无解;②当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解;③当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．（4）利用三角函数的图像解不等式．通过构造函数，把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.例7解不等式分析从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像，得到四个不同的交点，横坐标分别为：，而当在区间内时，的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：．3、利用函数图像比较函数值的大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．例8试判断三个数间的大小顺序．分析这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．4、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行．例9 解不等式21sin ->x .分析 因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示．我们先在轴上取一点P ，使，恰好表示角的正弦线，过点P 作轴的平行线交单位圆于点，在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为21-)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P 向上平移至与单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．5、利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形,找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．例10 求证：（a 与c 、b 与d 不同时相等）分析 考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设),(b a A ，)0,0(),,(o d c B .如图，()22)(AB d b c a -+=-=22b a AO +=，22d c BO +=当A 、B 、O 三点不共线时，BO AO AB +<.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点同侧时，BO AO AB +>.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点异侧时，或A 、B 之一与原点O 重合时，BO AO AB +=．综上可证.例11 求函数84122+-++=x x x y 的最小值．分析 考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为＝令A （0，1），B （2，2），P （x ，0），则问题转化为在X 轴上求一点P ，使｜PA ｜+｜PB ｜有最小值.如图，由于AB 在X 轴同侧，故取A 关于X 轴的对称点，故（｜PA ｜+｜PB ｜）min=．例12 已知点P （x ，y ）在线性区域内，求（1）U ＝；（2）V ＝的值域分析 由线性规划可知P （x ，y ）在OAB Rt ∆内（包括边界），Umin 实质上是点M （4，3）到直线AB的距离；V的值域实质上是直线PM 斜率的取值范围.通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了.数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平.在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在渗透数形结合的思想时，应掌握以下几点：1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微.”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长，避呆板单调解法之短.在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥.参考文献：[1] 袁桂珍. 数形结合思想方法及其运用[J]. 广西教育, 2004,(15) .[2] 陈喜娥, 尹雪峰. 浅谈数学思想方法的培养[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2006,(02)[3] 刘焕芬. 巧用数形结合思想解题[J]. 数学通报, 2005,(01) .[4] 施献慧. 数形结合思想在数学解题中的应用[J]. 云南教育, 2003,(35) .[5] 王银篷. 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学, 2004,(12) .[6] 赵玲. 数形结合思想及其应用[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2004,(03)[7] 吴雅平. 浅谈数形结合的解题思想[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2004,(01)11。
数形结合知识点
数形结合知识点数形结合是指数学中数与图形的结合，通过运用数学知识解决与图形和空间有关的问题。
在数形结合中，数与图形的关系相互补充，相互依存，共同呈现出独特的数学魅力。
一、数形结合的基本概念数形结合是数学中的一个重要概念，它主要包括以下几个方面的内容：1.几何图形与数量关系：通过几何图形可以了解到其中的数量关系，例如平行线的性质、多边形的各种角度关系等。
通过数学思维和分析方法可以研究这些数量关系，从而更好地理解和应用几何图形。
2.数学模型与几何形状相结合：数学模型是指利用数学方法来模拟和解决实际问题的过程。
而几何形状则是模型的基础，通过数学建模和分析，可以将问题转化为几何形状的关系，进而获得问题的解答。
3.平面几何与立体几何的结合：在数形结合中，平面几何和立体几何的知识相互交叉、相互渗透。
例如在计算一个立体图形的体积时，需要运用到平面几何中的面积计算公式，而在分析一个平面图形的特征时，也需要考虑到其所在平面的空间性质。
4.空间想象与数学推理的结合：数形结合还要求我们能够在思维中准确地理解和想象几何图形的形状、大小和位置。
在这个过程中，我们需要结合空间想象能力和数学推理能力来分析和解决问题。
二、数形结合的应用领域数形结合的知识点在数学学科的多个领域都有广泛的应用，下面以几个典型的应用领域来介绍：1.建筑设计与规划：建筑设计中需要考虑到空间形状、比例、尺寸等因素，这些都需要通过数形结合的方法进行分析和解决。
例如，设计师在确定建筑物的尺寸和布局时，常常需要运用到数学几何的知识。
2.工程测量与绘图：在进行工程测量与绘图时，需要准确地测量和绘制各种几何形状，例如房屋平面图、道路工程图等。
在这个过程中，运用到的就是数形结合的方法。
3.地理与地貌研究：地理和地貌研究中需要考虑到地球表面的形状、地貌特征等因素，而这些都可以通过数学几何的知识进行研究和分析。
4.数据可视化与分析：在进行数据可视化与分析时，常常需要利用图表来呈现数据的分布和关系。
(完整版)数形结合思想
数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化-浅谈数形结合思想在数学解题中的应用
以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。
数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。
数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。
它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
【关键词】数形结合思想；数学解题；应用一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。
总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。
如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。
教材中的主要体现教材体系梗概以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。
因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。
例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。
在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。
数形结合思想总结
数形结合思想总结数形结合思想，即数学与几何的相互结合，是一种抽象思维方式，可以帮助我们理解和解决问题。
在现实生活中，我们经常会遇到需要进行量化和图像表示的情况，数形结合思想就可以发挥非常重要的作用。
首先，数形结合思想可以帮助我们更好地理解数学概念。
数学是一门抽象的学科，有时很难理解其中的概念。
但是，通过将数学问题与几何图形相结合，我们可以用图形的形式来直观地表示和理解抽象的数学概念。
例如，在学习几何题目时，我们经常使用图形来表示给定条件，然后通过数学方法来求解未知量。
这样，就可以更加直观地理解和应用数学概念。
其次，数形结合思想可以在解决实际问题时发挥重要作用。
在现实生活中，我们常常需要通过数学方法来解决各种实际问题。
然而，有些问题很难用纯数学方法解决，因为涉及到很多具体的情况和变量。
这时，数形结合思想就可以帮助我们将问题转化为几何图形，从而更加直观地分析和解决问题。
通过将问题用图形表示，我们可以更好地观察问题的特点和规律，从而找到解决问题的方法。
另外，数形结合思想在培养创造力和创新思维方面也是非常有益的。
数学和几何本质上都是一门创造性的学科，通过将数学和几何相结合，我们可以激发学生的创造力和创新思维。
通过探索不同的数学问题和几何图形，学生可以学会思考和解决问题的方法，培养他们的创新思维能力。
数形结合思想可以帮助学生发现问题的多种解决途径，从而提高他们的思维灵活性和创造性。
此外，数形结合思想对于培养学生的空间想象能力也非常重要。
在学习几何和立体几何时，学生需要通过观察和分析图形，并将其转化为数学表达式。
这就要求学生具备一定的空间想象能力。
数形结合思想可以帮助学生在思维中形成几何的空间感，从而提高他们的空间想象能力。
通过不断练习和探索，学生可以逐渐提高他们的空间想象能力，从而更好地理解和应用几何以及其他相关的数学概念。
综上所述，数形结合思想是一种非常有用的思维方式，它可以帮助我们更好地理解和应用数学概念，解决实际问题，并培养学生的创造力和空间想象能力。
巧用数形结合
148巧用数形结合★ 王静静在小学数学课堂上，数字与形状相结合的思想可以使抽象的数学概念直观，帮助学生形成概念。
在理解计算理论的基础上，使计算公式形象化，帮助学生掌握算法。
它可以简化复杂的问题，提高学生在解题过程中的思维能力和数学素养。
它能使我们班在数与形的结合中得到升华，达到事半功倍的效果。
“数”与“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。
“数与数的结合”是解决数学问题的有效方法，即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而把抽象思维与形象思维结合起来。
著名数学家华罗庚曾说过：“数无形式时，直觉较差；数少时，难以精微。
”一些定量关系借助图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观、直观、简化。
而图的一些性质，在定量测量和分析的帮助下，可以是严谨的。
可以看出，数字与形状的结合在数学教学中起着非常重要的作用，尤其是对于注重形象思维的小学生来说。
因此，我们的教师应该站在学生发展的全局的高度，系统地渗透数与形的结合思想，培养学生积极运用数的结合意识，形成良好的思维品质。
一、在创设情境时渗透数学是一门抽象的知识，在学生眼中是枯燥而抽象的。
只有使学生对数学产生兴趣，对知识产生渴望，课堂教学才能取得良好的效果。
如果能根据教材的特点讲一些生动的故事，引入巧妙的数学，就能使学生在较短的时间内思维活跃，达到“形”的效果。
如教学《圆柱的认识》时，作者收集生活中圆柱形物体，如蜡烛，灯笼，茶叶罐，等，并要求学生观察，研究其特点，澄清概念的含义，然后问他们举例子等特色在生活中或周围。
课堂气氛活跃，每个学生都渴望尝试，这不仅充分激发了学生的学习兴趣，也让学生知道数学在现实生活中无处不在，数字和形状是密不可分的。
对平移、旋转，如教学生感到抽象、难以理解，老师可以使用媒体课件演示，然后让学生开始画一幅画，然后形式结合起来分析，总结、推理、判断，让学生知道上升到理性的高度，并掌握翻译的特点，旋转，也培养学生的美感，想象力和创新能力。
浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用
浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用概述数学教学中除了纯粹的运算之外，数形结合思想也是非常关键的一个部分。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，加深学生的数学记忆，同时也可以促进学生的思维发展。
本文将从数形结合思想的定义、特点以及在小学数学课堂中的应用等方面进行探讨。
数形结合思想的定义数形结合思想是指将数学符号与几何形状相结合，以帮助学生更好地理解数学的概念。
在这种思想中，数学符号不只是一个抽象的符号，还有着具体的形状和含义，有着更加生动形象的表现方式。
数形结合思想的特点•生动形象数形结合思想注重把抽象符号转化为具体的表现形式，这使得学生对于数学概念会有更加生动形象的理解。
•真实可感数形结合思想使数学概念可以具体地映射到我们生活中的事物上，这使得学生能够较为真实地感受到数学的存在和应用。
•离散结合连续在数学中，有许多连续的变化与单位的离散值变化有着密切的联系。
在数形结合思想中，通过把离散的单位结合到连续的图形中，可以提高学生对于连续变化的理解能力。
数形结合思想在小学数学课堂中的应用在小学数学教学中，数形结合思想可以较好地应用于以下几个方面：整数和分数之间的转化在小学数学教学中，整数和分数之间的转化是一个比较重要的概念，但对于一些学生来说这是一个比较抽象的概念。
可以通过把这个概念与长方形的面积及宽度相结合，让学生更好地理解这种转化的含义。
面积与周长的计算在小学数学教学中，面积与周长的计算也是一个重要的内容。
可以通过构建相应的图形让学生对于面积和周长的计算有直观的理解。
三角形、矩形和圆的面积在小学数学教学中，三角形、矩形和圆的面积也是一个重要的概念。
可以通过把这些图形与具体的生活实例相结合，让学生更加深入地理解这些几何图形的意义。
结论数形结合思想使得数学教学变得生动、真实可感，同时也提高了学生的记忆力和思维发展能力。
在小学数学课堂中，它的应用可以帮助学生更好地理解数学概念，加深学生对于数学的兴趣和认识。
高中数学四大思想
⾼中数学四⼤思想⾼中数学四⼤思想1.数形结合思想数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与⼏何图形的直观描述相结合，使代数问题、⼏何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
实质：将抽象的数学语⾔与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。
抽象问题具体化，复杂问题简单化。
应⽤数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）⽅程（多指⼆元⽅程）及⽅程的曲线.以形助数常⽤的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析⼏何⽅法.以数助形常⽤有：借助于⼏何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与⼏何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.原则：化整为零，各个击破。
⽆重复、⽆遗漏、最简。
步骤：1）明确讨论对象，确定对象范围；2）确定分类标准，进⾏合理分类，做到不重不漏；3）逐类讨论，获得阶段性结果；4）归纳总结，得出结论。
常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.3.函数与⽅程思想函数思想，即将所研究的问题借助建⽴函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解⽅程以及讨论参数的取值范围等问题；⽅程思想，即将问题中的数量关系运⽤数学语⾔转化为⽅程模型加以解决.运⽤函数与⽅程的思想时，要注意函数，⽅程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。
（2）密切注意⼀元⼆次函数、⼀元⼆次⽅程、⼀元⼆次不等式等问题；掌握⼆次函数基本性质，⼆次⽅程实根分布条件，⼆次不等式的转化策略。
4.转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采⽤某种⽅式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进⽽达到解决问题的思想。
数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略研究
数形结合思想方法在小学数学教学中的应用策略研究一、数形结合思想方法的基本理念数形结合思想是指在数学教学中将数与形（即图形）相结合，通过图形的呈现和分析使学生更加直观地理解各种数学概念和问题。
数形结合思想方法强调将抽象的数学概念与具体的图形相结合，帮助学生建立直观的数学概念，提高数学学习的兴趣和效果。
1. 引导学生观察和发现在小学数学教学中，教师可以通过引导学生观察和发现的方式，让学生通过图形直观地感受数学概念。
在教授平行线的概念时，可以通过展示图形让学生观察并发现平行线之间的关系，从而深刻理解平行线的概念。
2. 培养学生的空间想象能力数形结合思想方法还可以帮助学生培养空间想象能力，提高其解决数学问题的能力。
教师可以通过展示立体图形或者平面图形，引导学生进行思考和讨论，从而提高学生的空间想象能力和问题解决能力。
3. 设计生动有趣的教学活动在小学数学教学中，数形结合思想方法可以通过设计生动有趣的教学活动来吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。
可以通过拼图游戏或者数学实验等形式，让学生在玩中学，提高学生的学习效果。
4. 促进跨学科的融合数形结合思想方法还可以促进数学与其他学科的融合。
在小学数学教学中，可以通过将数学与美术、科学等学科结合起来，让学生在不同学科之间建立联系，丰富学生的数学学习内容，提高学生的跨学科综合能力。
5. 注重实际问题的应用在小学数学教学中，教师可以通过数形结合思想方法引导学生关注实际问题的数学运用，让学生通过图形直观地理解实际问题，并通过数学方法进行解决，从而提高学生的数学应用能力和实际问题解决能力。
三、数形结合思想方法在小学数学教学中的实际效果通过数形结合思想方法，在小学数学教学中可以取得良好的教学效果。
数形结合思想方法可以激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的主动性。
数形结合思想方法可以让学生更加直观地理解数学概念，帮助学生建立数学概念的空间感和形象意识。
数形结合思想方法可以提高学生的解决问题能力和创新意识，促进学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。
数学广角——数与形
8 数学广角——数与形(一个“算”字，使学生的思维顺利地实现了由形到数的第一次转换。
)师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，第5个方格阵有多少个方格呢？第6个呢？第7个呢？第100个呢？……师：好像很有规律哦？谁发现了？(有了前面的铺垫，学生很容易总结出“第几个方格阵就用几乘几”。
也有的学生可能会说：“第几个方格阵就是几的平方。
)师：那第n个方格阵呢？(通过画方格阵的过程，体现由数到形的转换，培养学生主动进行数形转换的意识。
)师：能不能换个角度观察？2．二探斜着看又可以得到什么样的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。
教师板书：第1个1＝12第2个1＋2＋1＝4＝22第3个1＋2＋3＋2＋1＝9＝32第4个1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42师：谁发现了什么规律呢？(如“第2个方格阵就从1加到2再加回来，第3个方格阵就从1加到3再加回来，第4个方格阵就是从1加到4再加回来”。
“第几个方格阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。
)3．三探师：刚才同学们发现了方格阵中的两个规律，这些方格阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？(课件演示)小组讨论，列出算式，全班汇报。
第1个：1＝12第2个：1＋3＝4＝22第3个：1＋3＋5＝9＝32第4个：1＋3＋5＋7＝16＝42第5个：1＋3＋5＋7＋9＝25＝52有的学生可能会说：“这次都是奇数相加。
”师：从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？(引导学生说出“第几个方格阵就从1开始加几个连续奇数”)4．小结：刚才我们从三个不同的角度观察同一组正方形方格阵，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，课余大家可以自己去研究。
（2）通过上图我们可以发现，如果无限期的加下去，这道算式的结果就是一个圆，也就等于1。
②也可以用一条线段来表示“1”。
通过这个线段图我们也可以发现，如果无限期的加下去，这道算式的结果就是这条线段，也是等于1。
让“数”与“形”和谐交融
让“数”与“形”和谐交融中图分类号：g623.5 文献标识码：a 文章编号：一、问题的提出数形结合是数学重要思想方法之一。
它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。
数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。
“数形结合思想方法”的重要性是不言而喻。
在现阶段，小学数学教师对“数形结合思想方法”在小学数学“数与代数”领域教学中运用的情况如何？现状产生的原因的是什么？教师应该如何进行有效的渗透数形结合思想方法？本文将对教师在“数与代数”领域中运用“数形结合思想方法”的现状展开调查,并由此引发一些思考。
二、调查对象、内容和方法1、调查对象本次调查抽样了三所学校（县嘉兴实验小学、镇中心校、村小）三、四、五年级学生总共168名，三所小学数学教师共30名。
2、调查内容本调查内容分为三大块：运用数形结合思想方法的意识，运用数形结合思想方法的范围，运用数形结合思想方法的方式。
3、调查方法：问卷调查和个别访谈相结合4、调查过程在学生不知情的情况下，抽取三所学校三、四、五年级共168名学生进行调查。
共发放问卷168份，回收有效问卷168份（占100％）。
对三所学校教师的调查和学生的调查同步进行，共发放问卷30份，回收30份（占100％），并对30位老师进行个别访谈。
三、调查结果与分析对回收问卷的逐项统计，发现当前小学数学教师对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域教学中的运用存在着以下几个较为普遍的现象：（一）运用范围狭窄教师在教学中对“数形结合思想方法”运用范围比较狭窄，已成为一个非常突显的问题。
调查的30位教师中，选择只有在某一个方面运用数形结合思想方法的有15位教师，占了总人数的50％，选择两个方面来运用教师占了28％，选择在三个方面来运用教师占了15.5％，选择在三个方面以上来运用教师仅占了6.5％。
从访谈中还了解到大部分老师局限于在解决问题方面来运用比较多，可以看出教师在教学过程中数形结合思想方法的运用范围比较狭窄。
数形结合的思想
1、数形结合思想的概念。
数形结合思想就就是通过数与形之间的对应关系与相互转化来解决问题的思想方法。
数学就是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数与形之间就是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。
这里的数就是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形就是指几何图形与函数图象。
在数学的发展史上,直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具,直角坐标系与几何图形相结合,也就就是把几何图形放在坐标平面上,使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示,这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质,堪称数形结合的完美体现。
数形结合思想的核心应就是代数与几何的对立统一与完美结合,就就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题就是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题就是最佳的。
如解决不等式与函数问题有时用图象解决非常简捷,几何证明问题在初中就是难点,到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。
2、数形结合思想的重要意义。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维与形象思维的协调发展与优化解决问题的方法。
数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。
”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。
众所周知,小学生的逻辑思维能力还比较弱,在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题;教材的编排与课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现,借助数形结合思想中的图形直观手段,可以提供非常好的教学方法与解决方案。
如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题,经常要借助图形来理解与分析,也就就是说,在小学数学中,数离不开形。
另外,几何知识的学习,很多时候只凭直接观察瞧不出什么规律与特点,这时就需要用数来表示,如一个角就是不就是直角、两条边就是否相等、周长与面积就是多少等。
代数式数形结合
代数式数形结合是一种重要的数学思想，它通过代数式与图形之间的联系，将抽象的代数式问题与具体的图形相结合，从而更直观地理解和解决代数问题。
下面将从以下几个方面阐述代数式数形结合：1. **直观理解**：代数式通常是抽象的符号语言，而图形则是具体的形式表达。
通过将代数式与图形相结合，我们可以更直观地理解代数式的意义和求解方法。
例如，对于二次函数y = x2，我们可以将其在平面直角坐标系中表示出来，通过观察图形的变化趋势，更直观地理解二次函数的性质和特点。
2. **简化问题**：代数式数形结合可以简化一些复杂的问题。
通过将抽象的代数式问题转化为具体的图形问题，我们可以更容易地找到问题的解决方案。
例如，在求解一元二次方程时，我们可以将方程的根与图形的交点相对应，从而更直观地找到方程的解。
3. **培养数学思维**：代数式数形结合有助于培养数学思维。
通过将代数式与图形相结合，我们可以更好地理解数学问题的本质，从而更有效地解决问题。
此外，这种思维方式还可以应用于其他数学领域，如几何、三角函数等。
4. **应用领域广泛**：代数式数形结合在许多领域都有应用。
在物理、化学、生物等自然科学领域，以及在工程、经济、金融等社会科学领域，都有大量的代数式问题需要解决。
通过代数式数形结合，我们可以更直观地理解和解决这些问题。
5. **促进学科交叉**：代数式数形结合有助于促进学科交叉。
在解决某些问题时，仅依靠单一的数学领域知识可能无法得到全面解答。
通过将代数式与图形相结合，我们可以将不同学科的知识相互融合，从而更全面地解决实际问题。
综上所述，代数式数形结合是一种非常重要的数学思想。
它通过将抽象的代数式问题与具体的图形问题相结合，有助于更直观地理解和解决数学问题，培养数学思维，并在许多领域得到广泛应用。
未来，随着科技的进步和数学的发展，代数式数形结合的应用范围还将不断扩大，为解决实际问题提供更多可能。
小学计算教学中“数形结合”三讲究
小学计算教学中“数形结合”三讲究小学计算教学中，“数”和“形”被认为是两个最基本的数学要素。
随着现代教育理念的发展和教育技术的不断更新，教师们开始重视“数”和“形”之间的联系和互动，将二者相结合，发掘数与形融合的教学价值。
本文将针对小学计算教学中“数形结合”的重要性和特点，提出三条讲究。
一、数形结合要求形数统一数与形结合，首先要求形数统一。
因为形象化的表达可以帮助学生对抽象的数字有更深刻的理解，而数字可以帮助学生更好地掌握形状的特征和度量。
在教学过程中，教师可以通过绘制各种几何图形或由学生自己绘制，然后将已知的数据与图形联系起来，引导学生理解如何将数字具体化。
例如，一道简单的题目：“这个正方形的周长是20cm，它的面积是多少平方厘米？”通过画图很容易就可以找到正方形的长宽各为5cm，进而求解出面积为25平方厘米。
如果没有形象化的引导，学生们可能会盲目地使用公式，从而导致误解和错误。
二、数形结合要注重实际应用数形结合的教学应当是贴近实际的。
教师应当挑选与学生日常生活中相关的实际问题，通过数学模型来解决这些问题，让学生在理解数学知识的基础上更好地理解实际问题。
例如，教师可以选取一件物品或者任一地点，设计数形结合的问题，如：某一家庭的房间总面积是100平方米，其中厨房面积为20平方米，客厅面积为30平方米，卧室面积为25平方米。
请画出这个家庭的房间设计图，并计算出还未确定的房间部分的面积。
这种问题会让学生在实践中运用数学方法，进一步切实体会和掌握数形结合的基本思想。
三、数形结合要进行分层次教学数形结合难度相对较大，需要进行分层次的教学。
初步的教学可以通过维度化的方法，引领学生了解不同的形状及其性质，如几何图形的直线、面、体的概念；几何图形的名称、分类及特点等。
在学生熟练掌握基本概念的时候，可以纵向挖掘深层次的数学知识，使学生得到系统化、具体化的训练，例如面积、周长、体积的计算和关于三角形、平行四边形、梯形、圆、矩形等几何图形的相关题目。
数学中的数与形的关系
数学中的数与形的关系数学作为一门科学的学科，研究数与形的关系已经有着悠久的历史。
数与形之间的关系体现了人类对于事物的观察、理解和表达方式。
本文将探讨数学中的数与形的关系，并举例说明这种关系在各个领域中的重要性。
一、基本的数与形的关系在数学中，数与形的关系主要体现在几何学中。
几何学研究的是空间与形状的关系，其中包括图形的构造、性质以及数学定理的证明等。
几何学的基础是空间的概念和各种几何图形的定义。
数与形的关系在几何学中得到了广泛应用。
比如，平面直角坐标系中的点可以用有序的数对表示，这种表示方式被称为笛卡尔坐标系。
通过坐标系，我们可以将点与数一一对应，进而将几何图形转化为代数表达式，实现对几何图形的精确描述与计算。
除了坐标系，还有许多其他的数与形的关系。
例如，对于平面图形而言，周长和面积与它们的形状有密切的关系。
在数学中，我们发现了一系列计算周长和面积的公式，根据不同形状的特点进行推导得出。
这些公式成为了计算几何图形的基本工具。
二、数与形的关系在实际应用中的重要性数与形的关系不仅仅停留在理论层面，它在各个领域中都有着重要的应用价值。
以下是几个典型的例子。
1. 建筑与设计建筑与设计领域离不开数与形的关系。
建筑师在设计建筑物时，需要考虑到其形状、大小与各个部分之间的比例关系。
数学的几何知识能够帮助建筑师理解和计算建筑物的结构，确保建筑的稳定性和美观性。
同时，在室内设计中，数学的对称性和比例往往是考虑的重要因素。
通过数学的方法，设计师可以将家具、摆设和装饰物放置在空间中，创造出和谐美观的室内环境。
2. 艺术与绘画艺术和绘画也离不开数与形的关系。
很多经典的艺术作品都运用了黄金分割比例，这是一个数学上的比值关系，被认为能够带给人们视觉上的和谐感。
艺术家在作品中运用这种比例，能够使观者感受到一种美的平衡与和谐。
3. 电脑图形学电脑图形学是一门将数学和计算机科学相结合的学科，它研究如何在计算机上生成、操作和显示图像。
让“数”与“形”融为一体
让“数”与“形”融为一体摘要：本文运用一些例子来说明数形结合思想方法在解决小学数学问题中的渗透：一是将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象，直观地揭示出来，以达到“形帮数”的目的；二是运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。
关键词：小学数学教学数形结合数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。
“数”属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；“形”属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。
在小学阶段，小学生的思维正是以具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。
学生理解和掌握概念，性质，求积公式，形成空间观念，都是从大量具体的，形象的感性材料开始的。
利用数形结合的思想，可以帮助学生建立空间观念，帮学生理解题意，寻找解题方法。
数形结合是一个重要的数学方法，是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，即通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图等图形来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观，同时也是人们存在大脑中的两种基本思维形式。
在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用、浓缩升华的过程。
这就要求我们重视数形结合的数学思想方法，让学生的逻辑思维和形象思维水平得到提高。
所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数想形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
数和形的内在联系，不仅使几何学获得了有力的代数化工具，同时也使许多代数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，进一步开拓出新的研究方向。
数形结合思想的实质即：一通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题；二把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。
曲靖市教师考试教法技能知识
1。
高中课程基本理念:1）构建共同基础，提高发展平台；2）提供多样课程，适应个性选择;3)倡导积极主动,勇于探索的学习方式；4）注重提高学生的数学思维能力;5）发展学生的数学应用意识；6）与时俱进地认识“双基”;7)强调本质，注意适度形式化；8)体现数学的文化价值;9）注重信息技术与数学课程的整合；10）建立合理、科学的评价体系。
2。
高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展和社会进步的需要.3。
必修课程内容确定原则是:满足未来公民的基本数学需求，为学生的进一步的学习提供必要的数学准备。
选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。
高中数学课程标准的基本理念要突出数学课程的基础性、多样性、选择性、时代性。
4.教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导着、组织者和合作者。
在教学中应把握以下几个方面：（教学建议）1）以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划;2)帮助学生打好基础，发展能力；3)注重联系,提高对数学整体的认识；4）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力；5)关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成；6）改善教与学的方式,使学生主动地学习；7）恰当运用现代信息技术,提高教学质量5。
数学教学评价建议:数学教学的评价应有利于营造良好的育人环境,有利于数学教与学活动过程的调控，有利于学生和教师的共同成长。
1）重视对学生数学学习过程的评价；2)正确评价学生的数学基础知识和基本技能;3）重视对学生能力的评价;4)实施促进学生发展的多元评价；5)根据学生的不同选择进行评价；中学数学教材教法（赵振威编，华东师范大学出版社2000年6月第一版)1.中学数学的教学目的,是根据中学教育的任务和培养目标、中学数学所能起的作用，对中学数学在基础知识、基本技能、基本能力以及个性品质和世界观等方面所应该完成的任务做出的规定.（三句话:学好双基，培养能力,进行思想教育)2.中学数学教学内容的确定原则：1）基础性原则；2）可接受性原则；3）衔接原则;4)可行性原则；5）统一性和灵活性相结合原则3.中学数学教学的基本原则:具体与抽象相结合的原则；理论与实践相结合的原则;严谨性与量力性相结合的原则;数与形相结合的原则;传授知识与培养能力相结合的原则；发展与巩固相结合的原则.4。
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应用数与形相结合的原则
在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。
数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。
从表面上看来，中学数学内容可分为数与形两大部分，中学代数是研究数和数量的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科，实际上，在中学数学各科教学中都渗透了数与形相结合的内容。
如：
例：在正三角形ＡＢＣ外接圆的弧ＢＣ上任取一点Ｐ，求证： （１）ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＡ；（２）ＰＢ·ＰＣ＋ＡＢ２＝ＰＡ２ 分析：设正△ABC 边长为a ，PA=X PB=Y PC=Z 由∠B PA=∠CPA=60°
对△PAB 和△PAC 使用余弦定理，有：x 2+y 2-xy=a 2 x 2+z 2-xz=a 2
即：y 2-xy+ x 2- a 2=0 z 2-xz +x 2- a 2=0 如图：
过说明Y 、Z 是关于U 的方程：u 2-xu+ x 2- a 2=0的两个根。
由韦达定理有：Y+Z=X Y-X=X 2-A 2
C
即：PB+PC=PA PB·PC+AB2=PA2这是几何问题转化为代数问题中的三角法。
又如：对每个实数，设F（X）取4Ｘ+1 X-Z -2X+4中的最小值，那么+（X）的最的最大值是（）
A、8/3
B、1/3
C、2/3
D、2/5
分析：如图
函数Y=F（X）的图象是图中的实线，联立：Y=—2X+4、Y=X+ 2解得：X=2/3 Y=8/3，故此题应选“A”。
这是由代数问题转化为几何题图解法。
以上两题证明数与形之间的联系是密不可分的，两者相畏相承同生共长。
在教学中应注意利用它们之间的关系来解决问题。
另外，实数与数轴相结合，复数与坐标平面相结合；函数与其图象相结合。
代数方程可表示各种数量关系，它可解决有关长度、面积、体积等问题。
二元一次方程，二元一次方程分别表示平面直线，二次曲线等。
都应运用到教学中来。
以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研都材，理解数学中的有关概念，公式与法则，掌握数形相结合进行分析问题与解决问题的方法，从而提高运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力。
三、数形结合在解题中的应用。
运用数形结合能揭示数学问题的条件和法论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式的巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合寻找解是思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
运用数形结合思想，包含两方面的内容：一、是运用代数，三角知识，通过数量关系的讨论，去处理几何图形的问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题，就具体的实施方法而论，前者常用的方法有图表法、图解法等。
以下几个例子是关于数形结合解题研究的。
例：解不等式
分析：若局限于用代数解不等式，增加了解题难度，我们转换角度。
设： 对轴线：C 1： C 2： √ a 2-4x 2
＞x+a (a ＞0) y 1=√ a 2-4x 2 Y 2=x+a
y 1=
√ a 2-4x 2 Y 2=x+a
当C 1在C 2上方时，对立X 取值范围。
由 将：x 1=0 x 2=—2a/5 (a ＞0)
显然有当—2a/5＜X ＜0时 Y 1≥Y 2
例：若过满足X 2+ Y 2—2Y=0的一切实数X 、Y 不等式X+Y+M ≥0时成立，求实数M 的取值范围。
分析：当X 、Y 满足X 2+ Y 2—2Y=0，有序实数对（X 、Y ）对应的点
上的所有点都在直线
e ：X+Y+M=0的上方
，极限位置是相切。
设直线e 0= X+Y+M 0M 0=
e 、e －M 、－M 0、故－M ≤－M 0、即M ≥M 0 所以M ≥ 另外数形结合由于疏忽也容易产生一些错解。
例如：方程X 2=2X 的解的个数为……（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
错解：在同一坐标系内做出系数Y= X 2和Y= 2X 的图象，如下图，它们有两个交点，故选（C 正确分析：事实上 当X ＜0个交点，当X ＞0时考察函
√ a 2-4x 2 = a +x 即 5 x 2+ 2a x =0
x
√ 2 －
1 √
2 －1
数Y= X2和Y= 2X的增长“速度”变化，
即知它们有两个交点即（2、4）和（4、6），故正确答案应为（D）
四、数形结合在课堂教学
数形结合的方法作为数学学科里最常用的一种方法，在课堂教学中要通过数形结合的教学培养学生的思维品质，善于把问题加以转换化的能洞察事物的本质，描示出被掩盖的某些特征。
善于结合题目的条件，突破思维定势，及时调整以前的思维途径。
能独立地发现、分析和解决问题。
解决问题过程中，有意识地进行数形构造，提出新方法，解决新问题。
在教学中应充分调动学生的积极性，在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。
数形结合的教学应当循序渐进，与知识教学学生认识水平相适应，按照反复孕育渗透，初步形成，应用发展，系统整理的顺序逐步完成。
在不同的教材中提出不同的教学要求，落实到学生的认知活动中去。
精心识但学生训练，并注意与其它的方法综合运用。
让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。