机械制图-直线的投影

三峡大学
c′ ′
k′
b′ ′ d′ ′ B
交点是两直线 的共有点
c′ ′ a′ ′
b′ ′ k′ ′ d′ ′
k
a c k
d b
d′ ′ a′ ′ c’ c b a d b′ ′
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作水平线CD AB相交 CD与 相交。 例：过C点作水平线CD与AB相交。
b′ ′ c′● ′ a′ ′ k′ ′ d′ ′
●
b′ ′
b″ ″
一、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A● M● B●
●
a● b
B ● A●
● ● ●
B
A● b a●
α
●
b
a≡b≡m
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 实形性ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 类似性ab=Abcosα
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b′ c′ C X a′ A a c b c
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B
O
判断点C是否在线段AB AB上 例1：判断点C是否在线段AB上。
① a′ ′ c′ ′ ● b′ ′ ② a′ ′ c′ ′
●
b′ ′ b a c● b
a
c
●
点C在直线AB上 在直线AB上 AB
点C不在直线AB上 在直线AB上 AB
根据点的从属性， 根据点的从属性，若点的投影有 一个不在直线的同名投影上， 一个不在直线的同名投影上， 则该 点必不在此直线上。 点必不在此直线上。对于一般位置直 线两个投影就可以判断了。 线两个投影就可以判断了。
V
b’ b’’ a’
β αγ
b′ ′
b″ ″ a″ ″
B
a′ ′ W
a’’ b
A
b
a
a H 投影特征： 投影特征：三斜无实长
投影特性： 投影特性：
1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜； 1.三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜； 三个投影长度都缩短 2.其投影与投影轴的夹角 不反映直线对投影面的倾角。 其投影与投影轴的夹角， 2.其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。 三峡大学
小结： 小结：点的投影
Z 前 上 下 a′ ′
●
Z a z
V
a″ ″
●
a′
●
az A
●
Z
Y ax X Y O ay ay
X
O
●
a″
W
X
后 前
Y
X
ax Z
●
ay H
a
●
a Y
Y
1.点的投影特性 两个垂直，一个相等 点的投影特性: 两个垂直， 点的投影特性
a⊥OX轴 ⊥OZ轴 ① a′a⊥OX轴 a′a″⊥OZ轴 a″ ② aax= a″az=y
水平线的点Z坐标相等, 水平线的点Z坐标相等, 即正面投影//OX //OX轴 即正面投影//OX轴.
a c k
●
d b
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均相交。 例：作一正平线，使其与已知直线AB、CD和 EF均相交。 作一正平线，使其与已知直线AB、CD和 EF均相交 AB
1’ 2’ 3’ 正平线的点Y 正平线的点Y坐 标相等, 标相等,即水平 投影//OX //OX轴 投影//OX轴.
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判断点K是否在线段AB AB上 例2：判断点K是否在线段AB上。
a′ ● ′
●
a″ ″ 方法一： 方法一：应用从属性
●
k′● ′ b′ ′ a k● b
k″ ″
b″ ″
因k″不在a″ b″上， 不在a 故点K不在AB AB上 故点K不在AB上。
方法二： 方法二：应用定比性
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例3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 的正面投影。
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2)正垂线（ 2)正垂线（⊥V面,所有点的X.Z相等） 正垂线 所有点的X.Z相等） X.Z相等
a ′ ( b′ )
●
b″
a″
b
a a’b 积聚成一点 积聚成一点; 1. a b’积聚成一点; ab⊥OX,a”b ⊥OZ 都反映实长。 2. ab⊥OX,a b”⊥OZ,都反映实长。
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应用定比性（相似△ 应用定比性（相似△）求
V
b′ c′ a′
A C B
b′ c′ X O a c b H c a
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cb ac
a′ b
X
空间两直线的相对位置分为： 四、空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、 平行、相交、交叉
投影特性： 投影特性： ⒈
a′ ′ A a b
直 线 平 行
两直线平行
3)侧垂线（ 3)侧垂线（⊥W面,Y和Z相等） 侧垂线 ,Y和 相等）
a′ b′ a″(b″)
●
a b 1.a”b”积聚成一点； 1.a b 积聚成一点； 积聚成一点 2. ab⊥OYH,a’b’⊥OZ,都反映实长。 ,a b ⊥OZ,都反映实长。 ⊥OZ,都反映实长
投影特性: 投影特性:
在其垂直的投影面上，积聚为一点。 ① 在其垂直的投影面上，积聚为一点。 另外两个投影，反映线段实长 且垂直于相应的投影轴。 反映线段实长， ② 另外两个投影 反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。 投影特征： 投影特征：一点两垂直
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a 方法2：判断两线段是否同向且成比例。 方法 ：判断两线段是否同向且成比例。 方法3 判断两直线是否在同一平面。 方法3：判断两直线是否在同一平面。 判断四点同面即可。 判断四点同面即可。 方法1 方法1：求出侧面投影 AB与CD不平行。 AB与CD不平行。 不平行 b′ ′ b″ ″ c″ ″
3
2
1
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作一直线EF与直线AB GH相交 并与直线MN平行。 EF与直线AB、 相交， MN平行 例. 作一直线EF与直线AB、GH相交，并与直线MN平行。
各种位置直线的投影特性（三大类七种） 二、 各种位置直线的投影特性（三大类七种）
水平线（平行于Ｈ 水平线（平行于Ｈ面） 正平线（平行于Ｖ 投影面平行线 正平线（平行于Ｖ面） 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 侧平线（平行于Ｗ 侧平线（平行于Ｗ面） 统称特殊位置直线
（注意两者区别） 注意两者区别）
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判断图中两条直线是否平行。 例1：判断图中两条直线是否平行。
b′ ′ a′ ′ a c′ ′ c b d d′ ′ 对于一般位置直线， 对于一般位置直线，只 一般位置直线 要有两个同面投影互相平行， 要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。 空间两直线就平行。
AB//CD
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判断图中两条直线是否平行。 例2：判断图中两条直线是否平行。
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3.投影面垂直线 3.投影面垂直线
1)铅垂线（ 1)铅垂线（⊥H面,所有点的X.Y相等） 铅垂线 所有点的X.Y相等） X.Y相等
a′ a″
b′
b″
●
a(b)
1.ab积聚成一点； 1.ab积聚成一点； 积聚成一点 2.a’b ⊥OX,a ⊥OX,a”b ⊥OY 都反映实长。 2.a b’⊥OX,a b”⊥OYw,都反映实长。 问α、β、γ？ 、 、 ？
4.重影点 重影点: 重影点
上遮下，左遮右，前遮后。 上遮下，左遮右，前遮后。
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直线的投影
两点确定一条直线， 两点确定一条直线，将两点的同面 投影用直线连接， 投影用直线连接，就得到直线的同面投 粗实线2b,b细线宽) 2b,b细线宽 影(粗实线2b,b细线宽)。 a′ ′ ●
● ●
a″ ″
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α=？ ？
2)正平线（//V,所有点的Y坐标相等） 2)正平线（//V,所有点的Y坐标相等） 正平线 所有点的
a′
γ
实长 b′
a″ b ″
α
b
a
V面具有实形性,H、W有类似性. 面具有实形性,H、 有类似性. ,H 1.V面 b =AB,反映倾角α.γ =AB,反映倾角α.γ； 1.V面a’b’=AB,反映倾角α.γ； 2.ab//OX,a”b”//OZ，长度缩短。 2.ab//OX,a b //OZ，长度缩短。 //OZ
b′ ′ B c′ ′ D C c d H 等比性——空间两线段平 空间两线段平 等比性 行，其长度之比等于同面 投影长度之比。 投影长度之比。 d′ ′ V 平行性——空间两直线平 空间两直线平 平行性 则其各同面投影 同面投影必相 行，则其各同面投影必相 互平行，反之亦然。 互平行，反之亦然。
//c’d //c”d . 即：AB//CD，ab//cd，a’b’//c d’，a”b”//c d”. AB//CD，ab//cd， b //c ， b //c AB/CD=ab/cd=a b / d =a =a”b / d AB/CD=ab/cd=a’b’/c’d’=a b”/c”d”
铅垂线（垂直于Ｈ 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面而 正垂线（垂直于Ｖ 投影面垂直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 与其余两投影面平行 侧垂线（垂直于Ｗ 侧垂线（垂直于Ｗ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
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1.一般位置直线 1.一般位置直线
如图,直线AB与三个投影面都倾斜。 面投影a b ,H面投影ab,W面投影a b 。 ,H面投影ab,W面投影 如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影a’b’,H面投影ab,W面投影a”b”。 AB与三个投影面都倾斜 设直线段AB对 设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为α、β、γ，则 AB 三个投影面的倾角分别为α a’b =ABcosβ, a”b =ABcosγ .三个投影都具有类似性 三个投影都具有类似性. ab=ABcosα, a b’=ABcosβ, a b”=ABcosγ .三个投影都具有类似性.
3.点的相对位置 点的相对位置: 点的相对位置
前后(大拇指), 上下， ),Z X:左右, Y:前后(大拇指),Z:上下， 左右, 坐标大者为左、 坐标大者为左、前、上.
2.点的坐标与投影 点的坐标与投影: 点的坐标与投影
点A到W面的距离= x = oax 面的距离= 面的距离= 点A到V面的距离= y = aax 面的距离= 点A到H面的距离= z = a’ax a
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3)侧平线（//W,所有点X坐标相等） 3)侧平线（//W,所有点X坐标相等） 侧平线 所有点 相等
a′ b′ a b W面具有实形性,H、V有类似性. 面具有实形性,H、 有类似性. ,H 1.W面 b =AB,反映倾角α.β =AB,反映倾角α.β； 1.W面a”b”=AB,反映倾角α.β； 2.a’b //OZ,ab//OY 长度缩短。 2.a b’//OZ,ab//OYH，长度缩短。 a″ 实长
β
α
b″
投影特性： 投影特性：
在其平行的那个投影面上的投影反映实长 反映实长， ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的大小。 并反映直线与另两投影面倾角的大小。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 平行于相应的投影轴。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。 投影特征：一斜两平行 投影特征：
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三、 直线与点的相对位置
直线上的点具有两个特性： 直线上的点具有两个特性：
1. 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 若点在直线上， 投影上。利用这一特性可以在直线上找点， 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。 直线上。 2.定比性 直线上的点 分线段之比在投影中不变。 2.定比性 直线上的点,分线段之比在投影中不变。 即 A C: C B = a c : c b= a′c′ : c′b′ = a″c″ : c″ b″
2.投影面平行线 2.投影面平行线
1)水平线(//H,直线上点的Z坐标都相等) 1)水平线(//H,直线上点的Z坐标都相等) 水平线(//H,直线上点的
b′ a″
与H面的倾角: α 面的倾角: 与V面的倾角: β 与W面的倾角: γ
a′
b″
a
β
γ
b
b 实长 H面具有实形性,V、W有类似性。 面具有实形性,V、 有类似性。 ,V 1.H面ab=AB,反映倾角β.γ； 反映倾角β.γ 1.H面ab=AB,反映倾角β.γ； 2.a b //OX,a”b //Oy 长度缩短。 //OX,a 2.a’b’//OX,a b”//Oyw，长度缩短。
对于投影面平行线 投影面平行线， 对于投影面平行线，只有两 a″ ″ 个同名投影互相平行， 个同名投影互相平行，不能判断空 d″ 间直线平行。 ″ 间直线平行。
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⒉ 两直线相交
V a′ ′ C A a c K D d b H 判别方法： 判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点 的投影必符合点的投影特性，反之亦然。 的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即两个垂直一 个相等——交点的连线垂直于投影轴）。 交点的连线垂直于投影轴）。 个相等 交点的连线垂直于投影轴