2016-2017学年高中数学人教A版必修4课件：2.1 平面向量的实际背景及基本概念

[导入新知] 1．向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模)： 向量 AB的大小，也就是向量 AB的长度(或模)，记作 | AB| . (2)两个特殊向量： ①零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ，零向量的 方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线 段表示出来． ②单位向量：长度等于 1个单位 的向量，叫做单位向量．
[解] (1)12 (2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为|OA|＝4 2， 小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格 数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量OA如图所示． ②由于点 B 在点 A 正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标纸 上点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出向量 AB如图所示．
[例 1] 下列说法正确的是
()
A．向量 AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一
直线上
B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反
C．向量 AB与向量 BA是两平行向量
D．单位向量都相等 [答案] C
[类题通法] 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方 向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限 制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是 方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向 没有限制，长度是 0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓 住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
[活学活用] 已知汽车从 A 地按北偏东 30°的方向行驶 200 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30°的方向行驶 200 km 到达 C 地，再 从 C 地按西南方向行驶 100 km 到达 D 地，作出向量 AB，BC ， CD (用 1 cm 表示 100 km)． 解：向量 AB， BC ，CD如图．
[化解疑难] 理解向量的概念应关注三点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特 定的位置，这样的向量可以作任意平移． (2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方 向两个要素． (3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而 向量与向量之间不能比较大小．
[提出问题]
2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用 有向线段 表示，此时有向线段 的方向就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c，… 表示向量，书写时用→a ，→b ，→c ，…表示向量；也可以用表示 向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如 AB，CD.
[化解疑难] 向量与有向线段的区别和联系 (1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而 有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不 同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由 平移的． (2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就 是有向线段．
1．有下列说法：
[随堂即时演练]
①若向量 a 与向量 b 不平行，则 a 与 b 方向一定不相同；
②若向量 AB，CD满足| AB|>|CD|，且 AB与CD同向，则
AB > CD ；
③若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等且方向相，正确说法的个数是
2．1
平面向量的实际背景及基本概念
[提出问题]
(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等 地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距 离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．
(2)汽车向东北方向行驶了 60 km，行驶速度的大小为 120 km/h，方向是东北．
(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用， 同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
(2)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知 DC ， ED 与 AB长度相等且方向相同，所以与向量 AB相等的向量为 DC 和 ED.
[类题通法] 寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行 或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以 表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度 相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2．相等向量与共线向量 (1)相等向量： 长度 相等且方向相同的向量叫做相等向 量，向量 a 与 b 相等，记作 a＝b .任意两个相等的非零向量， 都可用同一条 有向线段 来表示，并且与有向线段的起点无 关．因为向量完全是由它的 方向和模 确定的．
(2)平行向量： ①定义：方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量， 向量 a 与 b 平行，通常记作 a∥b . ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量 a， 都有 0∥a . ③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线 上，因此 平行向量 也叫做共线向量．
()
A．1 B．2 答案：A
C．3
D．4
2．如图所示，在正三角形 ABC 中，P、Q、
R 分别是 AB、BC、AC 的中点，则与向
量 PQ 相等的向量是

A. PR与QR
B. AR与 RC
C. RA与CR
D. PA与QR
答案：B
3．当向量 a 与任一向量都平行时，向量 a 一定是________． 答案：零向量
[例 3] 如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形．
(1)找出与向量 AB共线的向量； (2)找出与向量 AB相等的向量．
[解] (1)依据图形可知 DC ，ED，EC 与 AB方向相同，BA， CD， DE ，CE 与 AB方向相反，所以与向量 AB共线的向量为 BA，CD， DC ， ED， DE ， EC ，CE .
[活学活用] 下列说法正确的序号有________． ①若向量 a＝ AB，b＝BA，则|a|＝|b|； ②若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同 或相反； ③若向量 AB是单位向量，则BA也是单位向量； ④以坐标平面上的定点 A 为起点，所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心的单位圆． 答案：①③④
7.混淆向量的模与绝对值
[典例] 给出下列四个命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若
|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；③若 a∥b，则|a|＝|b|；④若 a∥b，
b∥c，则 a∥c.其中，正确的命题有
()
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
[解析] ①忽略了 0 与 0 的区别，a＝0；②混淆了两个向量 的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们 的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得 出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当 b＝0 时，a，c 可以为任意向量，故 a 不一定平行于 c.
问题 1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试
想：有向线段应包含什么要素？ 提示：起点、方向、长度． 问题 2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地
表示出来？ 提示：利用有向线段表示． 问题 3：如何表示向量？ 提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量
的大小．
[导入新知]
1．有向线段 (1)有向线段是带有 方向 的线段，如图所 示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它 的方向．以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB . (2)有向线段包含三个要素： 起点 、方向、长度，知道了有 向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．
③由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|BC |＝6，依据勾 股定理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3， 纵向小方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出 向量 BC 如图所示．
[类题通法] 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后 依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角 形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例 关系作出向量．
4．已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，则|BD| ＝________. 答案：2 3
5．如图，O 是正方形 ABCD 的中心． (1)写出与向量 AB相等的向量； (2)写出与OA的模相等的向量．
答案：(1) DC (2)OB，OC ，OD，BO，CO ，DO ，AO
[答案] A
[易错防范] 1．本题若将向量的模错误地理解为绝对值，则会认为①② ③都正确，从而误选 D. 2．判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相 同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量， 则只要判断它们是否同向或反向即可．
[成功破障] 有下列说法： ①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； ②若 AB＝ DC ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在▱ABCD 中，一定有 AD＝ BC ； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑤共线向量是在一条直线上的向量． 其中，正确说法的序号是________． 答案：③④
[活学活用] 如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的13 处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边 长为 a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则 (1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________． 答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
[化解疑难] 平行(共线)向量的含义 (1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称．根据定义可 知，平行(共线)向量所在的直线可以平行，也可以重合． (2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线” 含义不同． (3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平 行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点．