数学必修4平面向量PPT课件
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
（× ）
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
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说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意 对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
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1．概念 (1)向量：既有__大__小____，又有__方__向____的量叫做向量，如力、位移等． (2)数量：只有大小，没有__方__向____的量称为数量，如年龄、身高、长度、
面积、体积、质量等．
[知识点拨]向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可
数 学
以比较大小，而向量之间不能比较大小．
修
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小也有方向，是向量，(1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．
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第二章 平面向量
2．单位向量的长度等于
A．0
B．1
C．2
D．不确定
3．设 O 是等边三角形 ABC 的外心，则向量O→A，O→B，C→O是
A．相同起点的向量
新课标导学
数学
必修④ ·人教A版
第二章
平面向量
第二章 平面向量
帆船运动是借风帆推动船只在规定距
离内竞速的一项水上运动.1900 年第二届
奥运会开始列为正式比赛项目，帆船的最
大动力来源是“伯努利效应”，如果一帆
船所受“伯努利效应”产生力的效果可使
船向北偏东 30°以 20 km/h 的速度行驶，而
单位后，用一个实数就可以确切地表示；而后者则不同，除说明它的大小外，
同时还必须说明它的方向．回顾学习数的概念我们可以从一支笔、一棵树、一
本书……中抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移……这
数
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些量进行抽象，形成一种新的量，即本节知识——向量．
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第二章 平面向量
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平行 规定：零向量与任何向量都__平__行____
0∥a
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向量 说明：任一组平行向量都可以平移到同一__直__线____
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上，因此，平行向量也叫__有__线____向量
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第二章 平面向量
[知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样
此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不
数 考虑其他因素，可求得帆船的速度的大小和方向．
学
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在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量是只有大小而没有方
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向，这类量叫做数量；另一类量是既有大小又有方向，即本章要学习的向量.
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第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
面标上箭头．
(4)有向线段的三个要素：__起__点____、___方__向___、__长__度____.知道了有向线段的
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起点、方向、长度，它的__终__点____就唯一确定．
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第二章 平面向量
[知识点拨]有向线段与向量的区别和联系 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、
区别 方向、长度三个要素．因此，这是两个不同的量．在空间中，有 向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的
有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有 联系
向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段
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第二章 平面向量
2．向量的表示法
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点和终点字母表示，如以 A 为起点，以 B 为终点的向量记为A→B．
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3．有关概念
名称
定义
记法
零向量 长度为__0___的向量叫做零向量
0
Байду номын сангаас
单位向量 长度等于__1___个单位的向量，叫做单位向量 __长__度____相等且方向相同的向量叫做相等向量
__________
的向量可以作任意平移．
(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量．
2．对平行向量、相等向量概念的理解
(1) 平 行 向 量 是 指 方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 ， 规 定 零 向 量 与 任 意 向 量 平
行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且
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与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示
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同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．
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(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．
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第二章 平面向量
1．下列物理量中不是向量的有
(A)
(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度 (7)功 (8)电流强
度
A．5
B．4
C．3
D．2
[解析] 看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和
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方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，(2)(3)(4)既有大
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第二章 平面向量
自主预习学案
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第二章 平面向量
你昨天听天气预报了吗？今天白天的天气情况如何？温度15～32℃，东南
风3～4级．天气情况中涉及两个量：一个是温度，另一个是风速．前者在选定
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第二章 平面向量
(3)有向线段：带有___方__向___的线段叫做有向线段．其 方向是由___起__点___指向___终__点___，以 A 为起点、B 为终点 的有向线段记作_A_→_B___(如图所示)，线段___A_B____的长度
也叫做有向线段A→B的长度，记作|A→B|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上
(1)几何表示：用__有__向__线__段____表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向
量的大小就是向量的__长__度____(或称模)，如果向量A→B的长度记作___|A→_B_|___．
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母 a、b、c、…表示向量，书写
时，可写成带箭头的小写字母→a 、→b 、→c ，….还可以用表示向量的有向线段的起
说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条 相等向量 ____a_＝__b_____ 来 表 示 ， 并 且 与 有 向 线 段 的 起 点 无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线
段表示同一个向量
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方向有__向__线__段__或__相__同____的非零向量叫做平行向量 __a_∥__b___