九年级数学上册第23章图形的相似知识归纳华东师大版.doc

第23章 图形的相似
1． 比例线段的有关概念
==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，
a c
(a b c d )a d b c a c b d
b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =
c ，那么b 叫做a 、
d 的比例中项． 2． 比例性质
①基本性质：
a b c
d
ad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()()⎧=⎪⎪
⎪=⎪=⇒⎨
⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b
c d d c a c
b a d b b d
c a b d
a c
②合比性质：
±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a
b
===+++⇒++++++=()0
3． 黄金分割
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果
AC
BC
AB AC =
，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与
AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 2
1
5-=
≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：
l 1∥l 2∥l 3．则
，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF
DF
=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定
①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：
C
A
B
D C
A
B
D
E E D B
A
C
DE ∥BC
∠B ∠AED
∠B ∠ACD
A
D
B
C
D
O
B
A
C
O D
C
B
A
X 型
母子型
AC ∥BD
∠B ∠C
AD 是Rt △ABC 斜边上的高
8． 射影定理
由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．
9． 中位线
1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的
长是对应中线长的
3
1
． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．
梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似
①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这
样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
A
D B C。