14.1变量与函数 (第4课时)函数的三种表示方法
函数的表示(求值和解析式)
函数的表示方法一：函数的三种表示方法：（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）；如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等．优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变 求解解析式的常用方法有：换元法，代入法，待定系数法等（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）；如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等． 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）．如：优点：直观形象地表示自变量的变化．（4）.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。
二：【典例示范】例1. 画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x xx x 的图象. 例2. 作出分段函数21++-=x x y 的图像． 例3. 求解函数值①．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为 ．②．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= ．③． 已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是④．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = ．例4 求下列函数的解析式：（1）．设函数3,(1)()62,(1)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，()21g x x =-， 求①3(2),(())2f f f 的值；②试求)]([x g f 和[()]g f x 解析式(2)已知：f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )＝a .x 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．变式1 已知f (2x ＋1)＝x 2＋1，求f (x )的解析式． 三 课堂练习1. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ） A 1 B 1或32 C 1，32或 D2．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为______3.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__ ________；4.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x5.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式．6.已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。
14.1变量与函数练习(第四课时)
14.1变量与函数第四课时（画图）
◆随堂检测
1、由函数解析式画其图像的一般步骤：① ② ③
2、函数的表示方法有 、 、 三种
3、画函数图象时，我们不能描出图象上所有的点，通常我们描出 个点，然后用 连接这些点。
4、解答点（3，5）在函数1522-=x y 的图像上吗?
5、画出函数22+-=x y 的图象，根据图象回答（1）随着x 的由小变大，y 如何变化（2）当x>1时，y 的取值范围
◆课下作业
1、小强家与学校相距1200米，小强从家以每分钟120米的速度向学校走去。
用S 表示小强到学校的距离，t 表示小强用去的时间，（1）请列出S 随t 变化的函数。
（2）写出自变量的取值范围。
（3）画出函数图象
2、用列表法和解析式法表示多边形的内角m （度）与边数n （条）的函数
3、画出下列函数的图象，并结合图象分别说明y 值随x 值的变化情况。
（1）2x y = （2）x y 6=
4、已知函数y=4-2x 。
（1）画出这个函数的图象 （2）写出图象与x 轴的交点坐标 （3）判断点（2.5，-1）是否在函数图象上
5、某工厂现在年产值35万元，计划今后每年增加2万元。
（1）写出年产值y(万元)与年数x 的函数关系 （2）画出函数图象 （3）求计划7年后的年产值。
函数的表示方法有三种
函数的表示方法有三种在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数的表示方法有三种，分别是解析式表示、图像表示和数据表表示。
下面我们将逐一介绍这三种表示方法。
首先，解析式表示是最常见的函数表示方法之一。
通过解析式，我们可以清晰地看到函数的定义和运算规则。
通常，解析式表示为y=f(x)，其中f(x)表示函数关于自变量x的表达式，y表示因变量。
例如，y=2x+1就是一个解析式表示的函数，它表示了自变量x和因变量y之间的线性关系。
解析式表示方法简洁明了，能够直观地表达函数的特征，因此在数学中被广泛应用。
其次，图像表示是另一种常见的函数表示方法。
通过图像，我们可以直观地看到函数的走势和特点。
函数的图像通常是在直角坐标系中绘制的，自变量x沿横轴，因变量y沿纵轴。
例如，y=x^2就是一个抛物线函数的图像表示，它展现了自变量和因变量之间的二次关系。
图像表示方法直观生动，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
最后，数据表表示是一种较为特殊但同样重要的函数表示方法。
通过数据表，我们可以将函数的输入和输出对应关系清晰地呈现出来。
数据表通常以表格的形式呈现，列出自变量和因变量的取值，并标明它们之间的对应关系。
例如，对于函数y=3x+2，我们可以列出x和y的取值，并展示它们之间的对应关系。
数据表表示方法直接明了，能够直接呈现出函数的输入输出情况，为进一步分析函数提供了便利。
总的来说，函数的表示方法有三种，分别是解析式表示、图像表示和数据表表示。
每种表示方法都有其独特的优势，能够从不同角度展现函数的特征和规律。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方法，以便更好地理解和分析函数的性质和变化规律。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法
表示方法有列表法、图象法、解析式法。
用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
用图像的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
扩展资料
1、解析式法
用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。
并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的。
优点：能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；
缺点：求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。
2、列表法
用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。
意义，第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数。
优点：通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；
缺点：只能列出部分对应值，难以反映函数的'全貌。
3、图像法
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
这种表示函数关系的方法叫做图象法。
所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。
在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。
优点：通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点：从图象观察得到的数量关系是近似的。
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~。
函数的三种表示方法课件
03
表格法
通过表格列出函数在不同 自变量值下的对应函数值。
优点
能够直观地展示函数的变 化趋势和数值特征。
缺点
对于连续函数，需要大量 的数据点才能准确反映函 数关系。
图象法
图象法
通过绘制函数图象来表示 函数关系。
优点
直观、形象，能够清晰地 展示函数的形态和变化规 律。
缺点
对于复杂函数，可能难以 准确绘制其图象。
抛物线开口向下。
接这些点即可得到函数的图象。
高次函数图象法表示
01
高次函数图象是一个连续曲线，其一般形式为y=anx^n+a(n-1)x^(n1)+...+a1x+a0，其中an至a0为常数且an≠0。
02
根据n的奇偶性，高次函数的增减性不同：当n为奇数时，函数在x>0时单调递 增，在x<0时单调递减；当n为偶数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调 递增。
通过实例分析，加深 对函数表示方法的理 解和应用。
能够根据实际需求选 择合适的函数表示方 法。
02
函数的数学表示方法
解析法
解析法
缺点
使用数学表达式来表示函数关系，如 $y = f(x)$。
对于复杂函数，可能难以找到准确的 数学表达式。
优点
精确、明了，能够准确表达函数的数 学关系。
表格法
01
02
03
解析法实例
一次函数解析法表示
一次函数解析法表示：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。 实例：$y = x + 1$，其中$a = 1$，$b = 1$。
图像：直线。
函数的表示方法
x … 10 20 30 40 50 60 …
y … 45 40 35 30 25 20 … 000000
x … 10 20 30 40 50 60 …
y … 45 40 35 30 25 20 … 000000
描点、连线.
10
描点、连线：
8
6
4
2
O 12 345x
3.甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现 甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y 米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函 数图象.
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：甲车为20x
米，乙车为25x米，两车行驶路程差为：25x-20x=5x(米)， 两车之间距离为(500-5x)米.所以y随x变化的函数关系式为： y=500-5x （0≤x≤100）.
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点
是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律吗？ (2)水位高度y是否为时间t的函数? 如果是，试写出一个
符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函
数能表示水位变化的规律吗？
老张讲数学
函数的表示
函数的表示
表示函数有哪三种方法？
列表法、解析式法和图象法.
这三种表示的方法各有什么优点？
列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量之间的 关系；
解析式法比较准确、全面地表示出函数中两个变量之间的 关系；
图象法比较形象、直观地表示出函数中两个变量之间的关 系.
从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总 结归纳函数三种表示方法的优缺点，填写下表：
什么是函数函数有几种表示方法
什么是函数函数有几种表示方法
函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出
之间的映射关系。
在数学中，函数被用来描述不同数值之间的关系，也被广泛应用在计算机科学、物理学、经济学等各个领域。
一个函数通常表示为f(x)，其中x是输入，f(x)是输出。
函数有多种表示方法，包括解析式、图像、表格和公式等。
下面将逐一介绍这些表示方法：
解析式表示
解析式是最常见的函数表示方法。
通过解析式，我们可以
直接得到函数的表达式，从而方便计算。
例如，一个线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
图像表示
函数的图像表示了函数的输入和输出之间的关系。
图像通
常用坐标系表示，其中横轴表示输入，纵轴表示输出。
通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质，如增减性、奇偶性等。
表格表示
函数的表格表示了函数输入和输出的对应关系。
通过表格，我们可以直观地看出不同输入对应的输出是什么，从而更好地理解函数的性质。
公式表示
函数还可以通过数学公式表示。
数学公式是用数学符号和
运算符描述函数的关系，是一种抽象和形式化的表示方法。
通过以上几种表示方法，我们可以更加全面地了解函数的
概念和性质。
函数是数学中一个非常重要的概念，也是解决各
种问题的基本工具之一。
不同的表示方法可以帮助我们更好地理解和运用函数。
函数的三种表示法(数学)上海教育版
【本讲教育信息】函数的三种表示法1、解析式法——用数学式子表示函数的关系。
2、列表法——通过列表给出函数与自变量的对应关系。
3、图象法——把自变量作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象。
用图象来表示函数与自变量的对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1、用解析法表示函数关系：优点：简单明了。
能从解析式清楚地看到两个变量之间的全部对应关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。
2、用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3、用图象法表示函数关系优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
【知识要点】1、知道函数图象的意义；2、能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；3、能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
【考点分析】认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
对已画图象能读图、识图，用图象解释函数变化关系。
【典型例题】例1、在中，，，，为上一点，且，若用表示的面积．求：⑴与之间函数关系式．⑵函数的定义域．分析：函数的表示常有三种表示方法：解析法、列表法、图象法。
解：⑴在中，，，∴∵，∴．⑵．例2、某同学带50元钱去新华书店买数学辅导书，已知每册定价9元4角，写出买书册与余下钱数之间的函数关系式，并画出函数图象．分析：要根据实际问题的含义，确定出自变量的取值范围．这里代表买书的册数，因此的取值是非负整数，为钱数也是非负数，因此图形是一些孤立点．解：所求函数关系式为．因为表示买书的册数，所以的取值范围为且为整数．此函数的图象为如图所示的六个点．例3、如图所示，周长为24的凸五边形被对角线分为等腰三角形及长方形，且．设的长为，长为，求与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并在所给出的坐标系中画出这个函数的图象．分析：这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到自变量的取值范围对实际问题的影响。
人教版八年级数学十四章变量与函数
活
想一想
动 30 分 时 间 消 耗 的 热 量 W （焦 ）
588 504
420
336
400
P
如图所示的图象表 示骑车时热量消耗W(焦 示骑车时热量消耗 焦) 与身体质量x 千克 千克)之间 与身体质量 (千克 之间 的函数关系: 的函数关系
252
168
84
0Leabharlann 102030
40
50
60
70
身体质量x 千克 千克) 身体质量 (千克
汽车由丽水开往上海， 汽车由丽水开往上海，丽水和上海相距 丽水开往上海 500公里，汽车的平均速度是 公里， 公里/小时 小时； 公里 汽车的平均速度是100 公里 小时； 与上海的距离 （1）求汽车与上海的距离 （公里）与行驶 ）求汽车与上海的距离s（公里） 时间t（小时）的函数关系式? 时间 （小时）的函数关系式
千克时,对应的函数值 求x=50千克时 对应的函数值。 千克时 对应的函数值。
景宁市民用水的水费的价格是1.6元 立方米 立方米,小红 景宁市民用水的水费的价格是 元/立方米 小红 准备收取她所居住大楼各用户这个月的水费.设用水量 准备收取她所居住大楼各用户这个月的水费 设用水量 立方米,应付水费为 应付水费为m元 在这个问题中 关于n的 在这个问题中,m关于 为 n 立方米 应付水费为 元.在这个问题中 关于 的 函数解析式是________.当小明家月用水量 函数解析式是 m=1.6n 当小明家月用水量 n=15时, 时 函数值是_______,这一函数值的实际意义是 这一函数值的实际意义是 函数值是 24 ________________________.当小明家月付水费 用水量为15立方米 应付水费用24元 立方米,应付水费用 用水量为 立方米 应付水费用 元 当小明家月付水费 m=32元时，n= ________。 元时， 。 元时 20
函数的三种表示方式
函数的三种表示方式函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在计算机科学中，函数也是一种重要的概念，它可以帮助我们组织和管理程序中的代码。
函数有三种表示方式，分别是数学表示法、图形表示法和程序表示法。
一、数学表示法数学表示法是最基本的函数表示方式，它使用公式来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，y = f(x) 就是一个常见的函数表示方式，其中y 是函数的输出，x 是函数的输入，f(x) 是函数的表达式。
在数学中，我们可以使用各种符号和运算符来表示函数，例如加减乘除、指数、对数、三角函数等等。
二、图形表示法图形表示法是一种直观的函数表示方式，它使用图形来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，我们可以使用坐标系来绘制函数的图像，其中横轴表示函数的输入，纵轴表示函数的输出。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，例如函数的单调性、极值、零点等等。
三、程序表示法程序表示法是一种计算机科学中常用的函数表示方式，它使用代码来描述函数的输入和输出之间的关系。
例如，在Python 中，我们可以使用 def 关键字来定义一个函数，例如：```def f(x):return x ** 2```这个函数的输入是x，输出是x 的平方。
通过调用函数，我们可以得到输入对应的输出，例如：```>>> f(2)4>>> f(3)9```程序表示法可以帮助我们组织和管理程序中的代码，使得程序更加模块化和可维护。
同时，程序表示法也可以帮助我们实现各种算法和数据结构，例如排序、搜索、图论等等。
函数有三种表示方式，分别是数学表示法、图形表示法和程序表示法。
每种表示方式都有其独特的优点和适用范围，我们可以根据具体的需求来选择合适的表示方式。
一次函数及其图像知识点总结
12、 函数与方程、不等式之间的关系
指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。
例1：画出函数 的图像，根据图像，指出：
（1） 取什么值时，函数值 等于0
（2） 取什么值时，函数值 大于0
备注：上下平移（即 值不变， 值的变化），我们可以从函数与 轴交点的变化更容易观察出结论。
向左平移1个单位______________；向右平移2个单位_________________
备注：左右平移（即 值不变， 值的变化），我们可以从函数与 轴交点的变化更容易观察出结论。
7、直线之间的位置关系
已知直线：
思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90°之后的坐标。
5、点的平移： 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）
6、两点之间的距离
在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离
例、如图所示：直线 与 、 轴轴分别交于点 、 ，其中点E的坐标为 点A的坐标 。点P为直线 上的一动点。
（1）、求 的值
（2）、若点 是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积 与 轴的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。
（2）、探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由。
例2、如图14，已知 ， 是一次函数 的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线 与 轴的交点 的坐标及△ 的面积；
变量与函数的概念以及函数的三种表示方法
变量与函数的概念
变量和常量：
世界是变化的，客观事物中存在大量的变量。
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，称数值变化的量为变量。
函数：
在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，某些变量的变化会引起其他变量的变化。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说，x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a 时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
函数的三种表示方法
(1)列表法
①若自变量的取值范围为有限的几个数值，则将自变量的所有取值和对应的函数值填写在表格中；
②若自变量的取值范围为含无限数值的一个区间，则从自变量的取值范围中选取（有代
(2)解析式法
y=… (x的取值范围，若没有则默认x的取值范围为全体实数)
(3)图像法
函数的图像：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
描点法绘制函数图像：
①从x的取值范围中取出一些数值，并计算出y的对应值；
②在平面直角坐标系中描出点（x，y）；
③用平滑曲线连接这些点。
表示函数时，要根据情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法
函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数可以用不同的方式来表示，下面我们将介绍函数的三种表示方法。
一、显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来表示函数。
例如，函数y = 2x + 3就是一个显式表示法的函数。
在这个表示法中，我们可以直接通过公式或者表达式来计算函数在任意一点的取值，非常直观和方便。
二、参数方程表示法。
参数方程表示法是指用另外一个变量t来表示函数的自变量和因变量。
例如，对于圆的参数方程表示为x = rcos(t)，y = rsin(t)，其中r为圆的半径，t为参数。
这种表示方法在描述一些曲线、曲面等几何图形时非常方便，可以将复杂的曲线简化为参数方程的形式。
三、隐式表示法。
隐式表示法是指用一个方程来表示函数，其中自变量和因变量之间的关系并不是直接展现出来的。
例如，对于圆的隐式表示为x^2 + y^2 = r^2。
在这种表示方法中，函数的形式可能会比较复杂，但是在一些情况下，隐式表示法可以更好地描述函数的性质。
总结。
以上就是函数的三种表示方法，它们分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有着自己的特点和适用范围，选择合适的表示方法可以更好地描述和应用函数。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的表示方
法来进行分析和计算，从而更好地理解和利用函数。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
人教版数学八年级上14.1 一次函数
一次函数
怎样用描点法画函数的图像： 函数的表示方法有三种，列表法、图像法，还有解析法，在中 学都是常见而又重要的表示函数的方法，为了更深入的了解一 个函数的性质，通常我们都是利用其图像的特点来进行分析的， 因为通过图像，我们可以直观的获取函数的信息，所以函数的 图像在函数中具有举足轻重的作用． 一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成，图 像上每一个点的坐标（x,y）代表了函数的一对对应值，它的横 坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与这个自变量对应 的函数值． 用描点法画函数的图像，一般分三步：列表、描点、连线，但 在此过程中需要注意以下五点：
6.(12.0) (1)已知2x－3y=6，则y关于x的函数关系式为 ______________，x关于y的函数关系式为______________．
一次函数
(2)一个弹簧不挂物体时长10cm，挂上物体后，每挂1kg物体，弹簧 就伸长1.5cm． ①如果所挂物体的总质量是x(kg)，那么弹簧伸长的长度y(cm)可表示 为______，在这个问题中，自变量是______，函数是______． ②如果所挂物体的总质量为x(kg)，那么弹簧的总长度y(cm)关于x的 函数关系式为___．这其中__是自变量，__是函数． (3)列函数关系式． ①球的体积V表示半径R的函数关系式为___________． ②圆的面积S是圆的周长C的函数关系式为___________． ③已知等腰三角形的周长为18，则腰长a关于底边长b的解析式为 ___________，在这个问题中自变量的取值范围是___________． ④等腰三角形的顶角a (度)与底角b (度)之间的函数关系为 ___________，自变量的取值范围___________． ⑤等腰三角形的底角β(度)与顶角a (度)的关系为__，自变量的取值范 围是__．列函数关系式时，要分清谁是函数及要求的意义．
函数的表示方法
表格能否直观地分析出三位同学成绩高低？如何才 能更好的比较三个人的成绩高低？
y
100
90 80
.
班♦ 平 均 分
■
▲
. . . .
▲
.
■ ▲
王伟
♦
▲
♦ ▲
■ ■
♦
♦ 张城
▲ ■
■
♦
70
60 0
赵磊 1
2
3
4
5
6
x
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示 出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城 同学的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较大；赵 磊同学的成绩低于班级平均水平，但成绩在稳步提高。
y 5x, x 1,2,3,4,5
用图象法可将函数表示为下图 yy
25 20
15 10 5 0
． ． ．
1 2 3
.
4
．
5
x
问题 （1）用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？
函数的定义域是函数存在的前提，在写函数 解析式的时候，一定要写出函数的定义域。
三、学习例4，学会利用表格画出函数的图象
图象法
列表法
二、由例6引入分段函数的概念
例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
问题 ①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分 成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段上的函数 解析式是怎样求出的？
函数的表示方法课件
202X
2.1.2 函数的表示方法
3.你知道函数的表示方法通常有几种吗?
复习
函数的表示方法通常有三种,它们是列表法、图像法和解析法。
解析法的优点： （1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2
3
4
5
5
10
15
20
X
y
1
0
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
图公交车票价.gsp
注意:
有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个式子表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它称为分段函数. 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。
它的图像如图所示,由五个孤立的点 A (1, 5),B (2,10),C(3,15),D(4,20), E(5,25)组成.
点评： 1、作图时一定要注意 函数的定义域。 2、函数图像可以是一 些孤立的点。
E
D
C
B
A
.
.
1
2
4
3
5
0
5
10
15
20
25
.
.
.
.
2
1
3
4
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
1.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一 个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式， 简称解析式.
函数的三种表示方法
函数的表示法
函数的表示法【知识点】一、函数的三种表示法1.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系，二是可以通过解析式求出任何一个自变量所对应的函数值.但是不是所有的函数都能用解析式表示. 2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法具体易用，即使不懂数学运算的人也能查表做事，缺点是不够全面. 3.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况.缺点：只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大.二、分段函数：自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数. 分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数. 【例题】题型一 分段函数例1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+=)4(2)40(2)0(4)(2x x x x x x x x f（1）求)]}5([{f f f 的值; （2）画出函数的图象.练习：已知函数⎩⎨⎧≥+<+=1,1,23)(2x ax x x x x f ，若()a f f 4)0(=，则实数a = .例2.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),4(log )(2x x f x f x x x f ，则)3(f 的值为（ ）A.-1B.-2C.1D.2练习：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x f x 。
若0)1()(=+f a f ,则实数a 的值等于（ ）A.-3B.-1C.1D.3 题型二 函数的解析式的求法1、根据某实际问题建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的相关知识找出函数关系式.2、有时题中给出函数的特征，求函数的解析式，可用待定系数法 .如函数是二次函数，设为)0()(2≠++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出c b a ,,即可.例3.已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f .练习：已知)(x f 是一次函数，且满足14)]([-=x x f f ，求)(x f .3、①已知)(x f 的表达式，求)]([x g f 的表达式：直接把)(x f 中x 换成)(x g 即可. ②已知)]([x g f 的表达式，求)(x f 的方法：(i)代换法：设t x g =)(，求出),(t h x =，则)]}([{)(t h g f t f =，即)]}([{)(x h g f x f =. (ii)整体代换法：在)]([x g f 的表达式，把每一个含有x 的项配凑成)(x g 的形式，直接把)(x g 换成x 即可.例4.求下列函数的解析式：（1）已知12)(2++=x x x f ，求)1(+x f .（2）已知x xf lg )12(=+，求)(x f .（3）已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练习：已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f .(4)解方程组法，已知)(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他未知量，如)(x f -、)1(xf 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f .例5.（1）已知)0()()1(2≠=+x x x f xf ，求)(x f .练习：若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f .例6 .已知函数)0()(≠+=a b a bax xx f 为常数，且、满足1)2(=f ，方程x x f =)(有唯一解，求函数)(x f 的解析式，并求)]3([-f f 的值.题型三 列表法例7.已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出.则)]1([g f 的值为 ；当==x x f g 时，2)]([ 练习：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是题型四 函数图象的作法 1、描点法 2、变换作图法①平移：左加右减②对称：关于x 轴对称：)()(x f y x f y -=→=关于y 轴对称：)()(x f y x f y -=→= 关于原点对称：)()(x f y x f y --=→=③其他：|)(|)(x f y x f y =→=)()(x f y x f y =→=例8. 作出①|82|2-+=x x y ,②5||42+-=x x y 的图象.练习：画出函数||x y =的图象例9：作出下列函数函数的图象并求函数的值域.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=)1()10(1x xx x y练习：作出函数|2||1|-++=x x y 的图象并求函数的值域.例10.用min },,{c b a 表示c b a ,,三个数中最小值，设)0}(10,2,2min{)(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为 （ ）A.4B.5C.6D.7练习：若R x ∈,)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数的较小者，则)(x f 的最大值为（ ） A.2 B.1 C.-1 D.无最大值 例11.已知函数)1(|2|)(+-=x x x f . （1）作出函数)(x f 的图象.（2）判断关于x 的方程a x x =+-)1(|2|的解的个数.练习：直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是 . 三、映射1.映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个映射.2.象，原象的概念：给定一个集合A 到集合B 的一个映射，且B b A a ∈∈,，如果在对应法则f 的作用下，元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.例12.以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应;（2）集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B=},|),{(R y R x y x ∈∈，对应关系f ： 直角坐标系中的点与它的坐标对应;（3）集合A={x|x 是新华中学的班级}，集合B={x|x 是新华中学的学生},对应关系f ：每个班级都对应班里的学生.练习：1.集合A= },,{c b a ,集合B={-1，1}的映射的个数.2.已知原象),(y x 在映射f 下的象是),(y x y x -+,则（2，-3）的原象是【课后作业】1. 已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为 （ ）A 2B 3C 4D 52.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是 （ ）A 0个B 1个C 2个D 无法确定3. 某学生离家去学校，因怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学走法的是（ ）4.函数f(x)=|x|+1的图象是 （ ）ABD5.函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上 6.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ） A ．21x + B ．21x - C ．23x - D ．27x +7.已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A ．15 B ．1 C ．3 D ．308已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+-9.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是（ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,110.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9， 则这个二次函数的表达式是 。
函数的三种表示方法-经典教学教辅文档
第2课时函数的三种表示方法教学目标一、基本目标1．总结函数三种表示方法，并总结三种表示方法的优缺点．2．会根据具体情况选择适当方法．3．积极参与活动，进步学习兴味．4．在数学活动过程中构成合作交流认识及独立考虑习气．二、重难点目标【教学重点】函数三种表示方法．【教学难点】会根据具体情况选择适当方法．教学过程环节1 自学提纲，生成成绩【5 min浏览】浏览教材P79～P81的内容，完成下方练习．【3 min反馈】1．函数的三种表示方法分别是解析式法、列表法、图象法．2．用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法．3．把一系列自变量x的值与对应的函数值y列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．4．用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．5．函数的三种表示方法的优缺点有哪些？活动1 小组讨论(师生互学)【例1】有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下方表格中的一些数据回答以下成绩：(1)(2)当所挂重物为x(克)时，用h(厘米)表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量．【互动探求】(引发先生考虑)能从表格中直接读出挂重物体的质量与对应的弹簧总长度的值吗？如何根据表格写出所挂物体的质量与弹簧的总长度之间的函数关系？【解答】(1)5÷0.5×1＝10(克)，即要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克．(2)h＝10＋0.5x(0≤x≤50)．(3)令10＋0.5x＝25，解得x＝30，即当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．【互动总结】(先生总结，老师点评)列表法的优点是不需求计算就可以直接看出与自变量的值绝对应的函数值，简洁明了．列表法在实践消费和生活中也有广泛运用，如成绩表、银行的利率表等．【例2】如图描述了一辆汽车在某不断路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s (千米)和行驶工夫t (小时)之间的关系，请根据图象回答以下成绩：(1)汽车一共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长工夫？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长工夫？【互动探求】(引发先生考虑)从函数图象中我们得到哪些信息？这些信息与所求成绩有何关系？【解答】(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往复共行驶的路程是120×2＝240(千米)．(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时．(3)①由纵坐标看出汽车到达B 点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B 点所用的工夫是1.5小时，由此算出平均速度80÷1.5＝1603(千米/时)； ②由纵坐标看出汽车从B 到C 没动，此时速度为0千米/时；③由横坐标看出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1＝40(千米/时)；④由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)．(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．【互动总结】(先生总结，老师点评)图象法的优点是直观抽象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有益于我们经过图象来研讨函数的性质．图象法在消费和生活中有许多运用，如企业消费图，股票指数走势图等．【例3】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？(3)这辆车在半途不加油的情况下，最远能行驶多少千米？【互动探求】(引发先生考虑)剩余油量为y(升)与行驶路程为x(千米)之间满足甚么样的等量关系？根据自变量的取值怎样求函数值？由函数值怎样求出自变量的取值？【解答】(1)由题意，得y＝－0.6x＋48.(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升．当y＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．(3)令y＝0，即－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在半途不加油的情况下，最远能行驶80 km.【互动总结】(先生总结，老师点评)解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以经过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．活动2 巩固练习(先生独学)1．下方说法中正确的是( C )A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的函数关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对2．某学习小组做了一个实验：从一幢100 m高的楼顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：则以下说法错误的是( B )A．苹果每秒着落的路程越来越长B．苹果每秒着落的路程不变C．苹果着落的速度越来越快D．可以揣测，苹果落到地面的工夫不超过5秒3．如图，直角边长为2的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一程度线上，等腰直角三角形沿程度线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过工夫为t，两图形重合部分的面积为S，则S关于t的图象大致为( B )A BC D4．如图1，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6 cm，E是一个动点，由B向C挪动，其速度与工夫的变化关系如图2.(1)求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动工夫x之间的关系式；(2)当点E挪动3.5秒后中止，且速度变化趋势与前2秒分歧，求此时△ABE的面积．图1 图2解：(1)由图2知，E点的运动速度没有发生变化，是3 cm/s，∴BE的长为3x cm，∴S△ABE＝12BE·AD＝12×3x·6＝9x(cm2)，即y＝9x.(2)当x＝3.5时，y＝9×3.5＝31.5 (cm2)．活动3 拓展延伸(先生对学)【例4】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A中止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求点M、点N的坐标；(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，求满足条件的x的值．图1图2【互动探求】(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，阐明BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4到9，阐明CD的长为5，从而求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求，可得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，进而得出点M的坐标，利用AD，BC，CD的长得出点N的坐标；(3)当点P在BC、CD、AD上时，分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x即可．【解答】(1)结合图形可知，点P在BC上时，△ABP的面积y 不断增大．当4≤x≤9时，△ABP的面积不变，∴BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20.(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，即点M 的纵坐标为10，∴点M的坐标为(4,10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，∴点N的坐标为(13,0)．(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的15，则△ABP的面积为20×15＝4.①当点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝12AB·PB＝12×5x＝5x2.令5x2＝4，解得x＝1.6.②当点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝12AB·PB＝12×5×4＝10(不合题意，舍去)．③当点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度(13－x)，y＝12AB·PA＝12×5×(13－x)＝52(13－x)．令52(13－x)＝4，解得x＝11.4.综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.【互动总结】(先生总结，老师点评)函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型成绩，图象运用信息广泛．经过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实践成绩，还可以进步分析成绩、解决成绩的能力．用图象解决成绩时，要理清图象的含义．环节3 课堂小结，当堂达标(先生总结，老师点评)函数的三种表示方法⎩⎪⎨⎪⎧ 解析式法列表法图象法练习设计请完成本课时对应训练！。
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第十四章一次函数
14.1变量与函数（第4课时）
引入 1、 汽车以60千米/时的速度匀速 行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间 为t 小时，写出s与t的函数解析式。
S = 60t
解析法表示函数 解析式主要能反映数量关系
２、 下表是某种股票一周内周一 至周五的收盘价。
时间 收盘价 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
12
12.5
12.9
12.45 12.75
列表法表示函数
表格主要能反映对应关系
３、下图测温仪记录的图象，它反映了 北京的春季某天气温T如何随时间t的变化 而变化。
T/℃
8
0 -3
4
14 变 化 规 律
24 t/时
图象法表示函数
图象主要能反映什么？
归纳 表示函数关系的方法：
1、解析法：准确地反映了函数与 自变量之间的数量关系。 2、列表法：具体地反映了函数与 自变量的数值对应关系。
0
1
2
3
… …
-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
2、描点
3、连线
请画出函数y= x+0.5的图象
y
7 6 5
y= x+0.5
如何判断一
点是否在某个 函数的图象上?
4
3
2 C 1 1
D
(2, 2.5)
(1, 1.5)
B
-5 -4 -3
(0, 0.5)
-2 A -1 0 (-1, -0.5) -1
3、图象法：直观地反映了函数随 自变量的变化而变化的规律。
观察与思考：
观察函数的图象要注意一些什么事 项呢？
(1)弄清横、纵坐标表示的意义； (2)自变量的取值范围； (3)图象中函画出函数 y = x + 0.5 的图象
解： 1、列表
x y
… …
-3
-2
-1
2
3
4
5x
课堂归纳(一)： 如何判断一点是否在某个函数的图象上?
若一个点在某个函数图象上,那么这一点的横、 纵坐标一定满足这个函数的解析式,反之则不在。
.
课堂练习(一)：
.
1、下列各点中，在函数y= x 图象上的是（ D ） A、（—2，—4） B、（4，4） C、（—2，4） D、（4，2） 2、点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则点的坐标是（B ） A、（1，） B、（1，2） C、（1，1） D、（2，1） 3．下列四个点中在函数y=2x—3的图象上有（ B ）个。 (1,2) , (3,3) , (—1, —1), (1.5,0) A．1 B.2 C.3 D.4
课本P106练习第1题、 第2题；P108习题14.1 第10题。
今日作业
《数学周报》
精彩不断
创意无限
再
见
配合《数学周报》使用 效果更佳
某水库的水位在最近的5小时持续上涨，下表记录 了这五小时的水位高度。
t/时 y/米 0 10 1 2 3 4 5
10.05 10.10 10.15 10.20 10.25
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y(单位： 千米）随时间t(单位：时）变化的函数解析式， 并画出函数图象； （2）按估计按这种上涨规律还会持续上涨2小 时，预测再过2小时水位高度将达到多少米。