浙江省2019届中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)第三节分式方程及其应用课前诊断测试
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
13．(2020·泰安)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅 力的茶文化.2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届 国际茶日在中国召开．某茶店用 4 000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8 400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶 每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍．
D．无解
( A)
3. (2021·巴中)关于 x 的分式方程2m－＋xx－3＝0 有解，则实数 m 应满足的
条件是
( B)
A．m＝－2 B．m≠－2 C．m＝2 D．m≠2
4. (2021·鄂尔多斯)2020 年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了
满足全体员工的需要，花 1 万元购买了一批口罩，随着 2021 年疫情的缓
D.10 x000－100＝6x－00100
5．(2020·自贡)某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎
接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提
前 40 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，
则下面所列方程中正确的是
( A)
A.80（1＋x 35%）－8x0＝40
10．(2020·扬州)如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单
已被墨水污染．
进货单
商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7 200
乙
3 200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50%. 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
解：设小明骑自行车的平均速度为 x km/h，则妈妈开车的平均速度为 4x km/h， 依题意得1x6－41x6＝1， 解得 x＝12， 经检验，x＝12 是原方程的解，且符合题意， ∴4x＝48. 答：妈妈开车的平均速度为 48 km/h.
7．(2021·永州第 23 题 10 分)永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队 的指导下，根据市场需求，计划在 2022 年将 30 亩土地全部用于种植 A， B 两种经济作物．预计 B 种经济作物亩产值比 A 种经济作物亩产值多 2 万 元，为实现 2022 年 A 种经济作物年总产值 20 万元，B 种经济作物年总产 值 30 万元的目标，问：2022 年 A，B 两种经济作物应各种植多少亩？
第三节 分式方程及其应 用
1．已知关于 x 的分式方程mx－－31＝1. (1)若此分式方程的解为 x＝2，则 m 的值为 4 4； (2)若此分式方程有增根，则 m 的值是 3 3 ； (3)若此分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是 m>m2>且2且m ≠3.
m≠3
2．(RJ 八上 P153 例 4 改编)甲、乙两地相距 1 000 km，如果乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 3 h，已知高铁列车的平均速度是特快列 车的 1.6 倍．若设特快列车的平均速度为 x km/h，则根据题意，可列方 程为 －1 3x0＝00－3＝11.060x0 .
5．(2021·衡阳第 17 题 3 分)“绿水青山就是金山银山”．某地为美化 环境，计划种植树木 6 000 棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵 数比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务．则实际每天植树 5500 00 棵．
6．(2021·岳阳第 21 题 8 分)星期天，小明与妈妈到离家 16 km 的洞庭 湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1 h 后妈妈开车从家出发，沿相 同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小 明骑自行车平均速度的 4 倍，求妈妈开车的平均速度．
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第三节 分式方程及其应用同步测试
第三节 分式方程及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列属于分式方程的是( )A.x 2＋y 2＝1 B ．x ＋2＝0 C.1x ＋3 D.1x ＋2＝5 2．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的解，则a 的值是( ) A ．5B ．－5C ．3D ．－33．分式方程2x －1x －2＝1的解为( ) A ．x ＝－1B ．x ＝12C ．x ＝1D ．x ＝24．若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m 3－x＝2有增根，则m 的值是( ) A ．m ＝－1B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝35．(2018·贵州黔南州中考)施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是( )A.1 000x －1 000x ＋30＝2 B.1 000x ＋30－1 000x ＝2 C.1 000x －1 000x －30＝2 D.1 000x －30－1 000x＝2 6．分式方程2x ＝5x ＋3的解是__________. 7．若分式方程x －m x －2＝1x －2有增根，则这个增根是x ＝______. 8．制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x 个零件，则可列方程为_____________.9．(2018·浙江衢州模拟)解方程：1x －2＋2＝1－x 2－x.10．某火车站北广场将投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6 600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)种植A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？11．(2018·山东德州中考)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( ) A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．无解12．(2019·创新题)对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程 x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝713．(2018·山东淄博中考)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( )A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x ＝30C.60×（1＋25%）x －60x ＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30 14．分式方程1x －5－1x 2－10x ＋25＝0的解是__________. 15. (2018·云南中考)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？16．为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A ，B 两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A ，B 两型自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B 型车的成本单价比A 型车高10元，A ，B 两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1 000人投放8a ＋240a辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值．17．(2019·易错题)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( )A ．a≥1B ．a>1C ．a≥1且a≠4D ．a>1且a≠4参考答案【基础训练】1．D 2.A 3.A 4.A 5.A6．x ＝2 7.2 8.220x ＋20＝180x9．解：方程两边都乘以x －2得1＋2(x －2)＝x －1，解得x ＝2，检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以x ＝2不是原方程的解，即原方程无解．10．解：(1)设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是(2x －600)棵．根据题意得x ＋(2x －600)＝6 600，解得x ＝2 400，∴2x－600＝4 200.答：A 种花木的数量是4 200棵，B 种花木的数量是2 400棵．(2)设安排y 人种植A 种花木，则安排(26－y)人种植B 种花木．根据题意得4 20060y ＝ 2 40040（26－y ），解得y ＝14.经检验，y ＝14是原方程的解，且符合题意．∴26－y ＝12.答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务．【拔高训练】11．D 12.B 13.C 14.x ＝615．解：设乙工程队每小时能完成x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x 平方米的绿化面积， 根据题意得300x －3002x ＝3，解得x ＝50，经检验，x ＝50是分式方程的解，且符合题意．答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．16．解：问题1：设A 型车的成本单价为x 元，则B 型车的成本单价为(x ＋10)元，依题意得50x ＋50(x ＋10)＝7 500， 解得x ＝70，∴x＋10＝80，答：A ，B 两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：由题可得，1 500a ×1 000＋1 2008a ＋240a×1 000＝150 000，解得a ＝15，经检验，a ＝15是所列方程的解，且符合题意，故a 的值为15.【培优训练】17．C。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
命题点 2：分式方程解的运用(近 6 年考查 4 次)
5 ． (2020 · 荆 门 第
11
题
3
分)已经关于
x
的
分
式
方
程
2x＋3 x－2
＝
（x－2）k（x＋3）＋2 的解满足－4<x<－1，且 k 为整数，则符合条件的
所有 k 值的乘积为
(A )
A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
6．★(2021·荆州第 15 题 3 分)若关于 x 的方程 2xx－＋2m＋x2－－1x＝3 的解是
【分层分析】设第二次购买材料 x t，由②得第二次购买的单价为x2211x0000
元，由③得第一次购买材料的吨数为 2x2 t，由①，③得第一次购买的
45210000 单价为x 2x
元，由④可列方程为x452x0x00－211000＝0021
000 x
.
45 000 解：设第二次购买材料 x t，则第一次购买材料 2x t．根据题意得 2x
周
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.分式方程的解法，应用分式方程 解决简单的实际问题．分式方程的解法考查形式有：直接解分式方程； 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围；2.分式方程的应用主要 以选择题的形式考查列方程，常在解答题中与不等式、函数的实际应用 结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
4 是原来每天用水量的5，这样 120 t 水可多用 3 天．求现在每天用水量是 多少吨？
4 解：设原来每天的用水量为 x t，则现在每天的用水量为5x t，由题意可 列方程： 1542x0－1x20＝3，解得 x＝10， 经检验，x＝10 是原方程的解．
44 而5x＝5×10＝8. 答：现在每天的用水量为 8 t.
浙江专用2019年中考数学总复习第二章方程组与不等式组2.2分式方程试卷部分
合并同类项得7x=7.
系数化为1得x=1. 经检验x=1是分式方程的解.故答案为x=1. 思路分析 将分式方程转化为整式方程,求出整式方程的解,检验即可得到分式方程的解.
2.(2017杭州,14,4分)若 · |m|= ,则m= 答案 3或-1
m3 m 1
m3 m 1
.
解析 由题意得m-3=0或|m|=1,解得m=3或±1,又由m-1≠0得m≠1,∴m=3或-1.
中考数学
(浙江专用)
第二章
方程（组）与不等式（组）
§2.2 分式方程
五年中考 A组
考点一
2014-2018年浙江中考题组
2x 1 3 = 的解是 3 x 2
分式方程及其解法
.
1.(2017宁波,14,4分)分式方程 答案 x=1 解析 去分母得2(2x+1)=3(3-x). 去括号得4x+2=9-3x. 移项得4x+3x=9-2.
获利不少于2 460元,问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?
解析 (1)设甲种商品的每件进价为x元,则乙种商品的每件进价为(x+8)元.根据题意,得
2 400 , x 8
2 000 = x
(2分)
解得x=40. (3分) 经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意. (4分) ∴x+8=48.
5.(2016台州,18,8分)解方程: - =2.
解析
x 1 x7 7 x x 1 原方程可变形为 + =2, x7 x7
去分母,得x+1=2(x-7),解得x=15, 经检验,x=15是原方程的解, ∴原方程的解是x=15.
6.(2016绍兴,17(2),4分)解分式方程: + =4. 解析 去分母,得x-2=4(x-1), 解得x= ,
浙江省2019年中考数学 第二单元 方程(组)与不等式(组)课时训练06 分式方程练习 (新版)浙教版
课时训练(六) 分式方程|夯实基础|1.[2018·荆州] 解分式方程-3=时,去分母可得()A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=42.[2018·德州] 分式方程-1=的解为 ()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解3.[2018·益阳] 体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是x米/秒,则所列方程正确的是 ()A.40×1.25x-40x=800B.-=40C.-=40D.-=404.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是()A.m>2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m>2且m≠35.若关于x的方程+=2有增根,则m的值为()A.2B.0C.-2D.-46.[2017·宁波] 分式方程=的解是.7.[2017·宿迁] 若关于x的分式方程=-3有增根8.[2018·嘉兴] 甲、乙两个机器人检测零件,甲比乙每小时多检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个.则根据题意,可列出方程:9.对于非零的两个实数a,b,规定a⊕b=-.若2⊕(2x-1)=1,则x的值为.10.(1)[2018·镇江] 解方程:=+1.(2)[2018·黄石] 解分式方程:-=1.11.小明解方程-=1的过程如图K6-1.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.图K6-112.[2018·东营] 小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院1200 m和2000 m,两人分别从家中同时出,已知小明和小刚的速度比是3∶4,结果小明比小刚提前4 min到达剧院.求两人的速度.13.[2017·黄冈] 黄麻中学为了创建全省“最美书屋”,购买了一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元.已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等.求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元?|拓展提升|14.[2018·重庆A卷] 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的分式方程+=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为()A.-3B.-2C.1D.215.[2018·眉山] 已知关于x的分式方程-2=有一个正数解,则k的取值范围为.16.[2018·达州] 若关于x的分式方程+=2a无解,则a的值为.17.[2017·绥化] 甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路.已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米,乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元,乙工程队每天的修路费用为0.4万元,要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元,则甲工程队至少修路多少天?参考答案1.B2.D[解析] 去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,所以x=1,此时(x-1)(x+2)=0,所以原方程无解.故选D.3.C4.C5.B6.x=1[解析] 去分母,得2(2x+1)=3(3-x),去括号,得4x+2=9-3x,移项并合并同类项,得7x=7,系数化为1,得x=1.经检验x=1是分式方程的解,故填x=1.7.1[解析] 解方程得x=,∵分式方程有增根,∴x==2,得m=1.8.=×(1-10%)9.[解析] 因为a⊕b=-,所以2⊕(2x-1)=-,故有-=1,所以=,解得x=,经检验,x=是原方程的根.10.解:(1)x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1).解得x=-.检验:当x=-时,(x+2)(x-1)≠0.∴x=-是原分式方程的解.(2)去分母,得:8x+2-5(x+1)=2x2-2,整理,得2x2-3x+1=0,解得x=或1,当x=1时,x2-1=0,故x=1不是该方程的根.当x=时,x2-1≠0,故x=是原分式方程的根.11.解:步骤①去分母时,没有在等号右边乘x;步骤②括号前面是“-”号,去括号时,没有变号;步骤⑥前没有检验.正确解答过程如下:解:方程两边都乘x得,1-(x-2)=x.去括号得,1-x+2=x.移项,合并同类项得,-2x=-3,解得x=.经检验,x=是原分式方程的根.∴原分式方程的解为x=.12.解:设小明和小刚的速度为3x m/min,4x m/min,由题意,得=-4.解这个方程,得:x=25,经检验x=25是所列方程的解,且符合题意.所以小明的速度为3x=3×25=75(m/min),小刚的速度为4x=4×25=100(m/min)答:小明的速度为75 m/min,小刚的速度为100 m/min.13.[解析] 本题中涉及的基本数量关系是:购书的总额=购书的册数×单价,由于购书的册数与单价均未知,设其中的一个量为x,用分式表示出另一个量,故考虑运用分式方程解决问题.根据“用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等”这一等量关系来列方程.解:设文学类图书平均每本的价格为x元,则科普类图书平均每本的价格为(x+5)元,依题意可列方程=,解得x=15.经检验,x=15是所列分式方程的解,且符合题意.∴x+5=15+5=20(元).答:科普类图书和文学类图书平均每本的价格分别为20元和15元.14.C[解析] 解不等式组得≤x<5.∵该不等式组有且只有四个整数解:4,3,2,1,∴0<≤1,从而-2<a≤2.解方程,得y=2-a,且2-a≠1,即y=2-a(a≠1).∵方程的解为非负数,∴2-a≥0,解得a≤2.又∵-2<a≤2,且a≠1,a为整数,∴符合条件的整数a的值为-1,0,2,其和为1.故选C.15.k<6且k≠3[解析] 去分母得:x-2(x-3)=k,解得x=6-k.由题意得x>0且x≠3,∴6-k>0且6-k≠3,即k<6且k≠3.16.1或[解析] 去分母得x-3a=2a(x-3),整理得(1-2a)x=-3a.由整式方程无解得1-2a=0,a=,由分式方程有增根,得到x=3,把x=3代入整式方程得:3-3a=2a(3-3),解得a=1.17.[解析] (1)设乙工程队每天修路x千米,则甲工程队每天修路(x+0.5)千米;根据乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍,可列方程×1.5=,解之即可.(2)设甲、乙两个工程队修路天数分别为a,b,则:①必须完成修路任务,即1.5a+b=15;②所需要的总费用不超过5.2万元,即0.5a+0.4b≤5.2,联立方程和不等式,求出a的取值范围即可.解:(1)设乙工程队每天修路x千米,则甲工程队每天修路(x+0.5)千米.依题意得×1.5=,解得x=1.经检验,x=1是原方程的解,且符合题意.所以x+0.5=1.5(千米).答:甲工程队每天修路1.5千米,乙工程队每天修路1千米.(2)设甲工程队修路a天,乙工程队修路b天,依题意得由①得b=15-1.5a,代入②得0.5a+0.4(15-1.5a)≤5.2,解得a≥8.答:甲工程队至少要修路8天.。
中考数学复习：第二章：方程与不等式专题复习
分式方程及其应用
•中考预知 •1、分式方程的解法； •2、分式方程实际的应用。
考点1：分式方程的解法
• 1．分式方程:分母中含有字母的方程叫分式方程. • 2．解分式方程的一般步骤： • （1）去分母，在方程的两边都乘以分母的最小公倍数，约去分母，
化成整式方程；
• （2）解这个整式方程； • （3）验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使
一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
典例精讲
• 1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
• A．ax2 bx c 0
• B．x2 2x x2 1
• C．x 1x 3 0
• D． 1 x 2 x2
• 2、分别用下列方法解方程
• （1）(2x 1) 2 9（直接开平方法）
（2）4x2–8x+1=0（配方法）
2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0，不可能都有两个相等的实数根．
• 七、判定三角形的形状 • 例7 设a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程c（x2＋n）＋b（x2－n）
－2ax＝0(n>0)有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
• 八、讨论方程有理根的问题 • 例8 m为有理数，讨论后为何值时，方程x2＋4(1－m)x＋3m2－2m＋4k＝0
典例精讲
• 1、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的 是（ ）
• A．a＋c＞b＋c
B．c－a＜c－b
• C．
D．a2＞ab＞b2
• 2、若a＞b，则下列不等关系一定成立的是（ ）
• A. ac bc
B. a b cc
C. c a c b D. a c b c
(浙江)中考数学复习第二单元方程组与不等式组 课时训练一元一次不等式组
课时训练(八) 一元一次不等式(组)|夯实基础|1.[2019·凉山州]不等式1-x ≥x-1的解集是 ( ) A .x ≥1B .x ≥-1C .x ≤1D .x ≤-12.[2019·乐山]不等式组 2 -2- -1的解集在数轴上表示正确的是 ( )图K8-13.[2019·无锡]某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a 个零件(a 为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成这次任务,由此可知a 的值至少为 ( ) A .10B .9C .8D .74.[2019·聊城]若不等式组 12-1 ①②无解,则m 的取值范围为( ) A .m ≤2B .m<2C .m ≥2D .m>25.[2019·重庆B 卷]若数a 使关于x 的不等式组-2 1--2 1-有且仅有三个整数解,且使关于y 的分式方程1-2-1- 1- =-3的解为正数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 ( )A .-3B .-2C .-1D .16.定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a ⊕b=a (a-b )+1,其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,如:2⊕ =2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5.那么不等式 ⊕x<13的解集为 .7. 1 [2019·淄博]解不等式:- 2+1>x-3.2 [2018·丽水]解不等式组: 22 2 -18.[2019·凉山州]根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若ab>0或>0,则 0 0或 0 0 ②若ab<0或<0,则 0 0或 0 0根据上述知识,求不等式(x-2)(x+3)>0的解集. 解:原不等式可化为: ①-2 0 0或② -2 0 0 由①得,x>2,由②得,x<-3, ∴原不等式的解集为:x<-3或x>2.请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题: (1)不等式x 2-2x-3<0的解集为 . (2)求不等式 1-<0的解集(要求写出解答过程).9.[2018·济宁]“绿水青山就是金山银山” 为保护生态环境,A ,B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元. (2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员的方案?10.[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m;(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.|拓展提升|11.我们用[a]表示不大于a的最大整数,例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3.用<a>表示大于a的最小整数,例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解决下列问题:(1)[-4.5]= ,<3.5>= .(2)若[x]=2,则x的取值范围是;若<y>=-1,则y的取值范围是.(3)已知x,y满足方程组 []2[]--则x的取值范围为,y的取值范围为.12.阅读下列材料:解答“已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法:解:∵x-y=2,∴x=y+2.又∵x>1,∴y+2>1,∴y>-1.又∵y<0,∴-1<y<0.①同理得1<x<2.②由①+②得-1+1<y+x<0+2,∴x+y的取值范围是0<x+y<2.请按照上述方法,完成下列问题:(1)已知x-y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是;(2)已知y>1,x<-1,若x-y=a成立,求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示).【参考答案】1.C2.B3.B [解析]设原计划m 天完成,开工n 天后有人外出,则15am=2160,am=144,15an+12(a+2)(m-n )<2160,化简可得:an+4am+8m-8n<720,将am=144代入得an+8m-8n<144,an+8m-8n<am ,a (n-m )<8(n-m ),其中n-m<0,a>8,至少为9,故选B .4.A [解析]解不等式①,得x>8,由不等式②,知x<4m ,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2 故选A .5.A [解析]第一部分:解一元一次不等式组 -2 1- ①-2 1- ②解不等式①,得:x ≤ 解不等式②,得:x> 211. 因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以 211的范围为0≤ 2 11<1, 解得-2. ≤a<3. 第二部分:求分式方程1-2-1- 1- =-3的解,得y=2-a ,根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得 0 1 即 2-0 2- 1解得:a<2且a ≠1.第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2. ≤a<2且a ≠1所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3.故选A . 6.x>-17.解:(1)去分母,得x-5+2>2x-6, 移项,得x-2x>-6+5-2, 合并同类项,得-x>-3,解得x<3.(2)2 ①2 2 -1 ②由①可得x+6<3x ,解得x>3,由②可得2x+2≥ x-3,解得x ≤ .∴原不等式组的解为3<x ≤ . 8.解:(1)-1<x<3[解析]原不等式可化为(x-3)(x+1)<0, 从而可化为①- 0 1 0或② - 0 1 0 由①得不等式组无解;由②得-1<x<3, ∴原不等式的解集为:-1<x<3. 故答案为:-1<x<3. (2)原不等式可化为①0 1- 0或② 01- 0由①得x>1;由②得x<-4, ∴原不等式的解集为x>1或x<-4.9.解:(1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x 元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为y 元,根据题意列方程组,得:1 9 000 10 1 8000 解得 2000 000答:清理养鱼网箱的人均支出费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为3000元. (2)设清理养鱼网箱人数为m ,则清理捕鱼网箱人数为(40-m ),根据题意,得: 2000 000 0- 102000 0-解得18≤m<20,∵m 是整数,∴m=18或19,当m=18时,40-m=22,即清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22; 当m=19时,40-m=21,即清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.因此,有2种分配清理人员的方案,分别为①清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22;②清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.10.解:(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又 0- 0= 8 >8,所以m<35,依题意得,30+8m+12(35-m )=370,解得m=20,故该车间的日废水处理量为20吨. (2)设一天生产废水x 吨.①当0<x ≤20时,依题意得,8x+ 0≤10x ,解得x ≥1 所以1 ≤x ≤20. ②当x>20时,依题意得,12(x-20)+20×8+ 0≤10x , 解得x ≤2 .所以20<x ≤2 . 综上所述 1 ≤x ≤2 .故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.11.(1)-5 42 2≤x<3-2≤y<-1(3)-1≤x<02≤y<3[解析]解方程组 []2[]--得[]-1∴x,y的取值范围分别为-1≤x<0 2≤y<3.12.解:(1)1<x+y<5(2)∵x-y=a,∴x=y+a.又∵x<-1,∴y+a<-1,∴y<-1-a.又∵y>1,∴1<y<-1-a.①同理得1+a<x<-1.②由①+②得2+a<y+x<-2-a.∵y>1,x<-1,∴x-y<-2,∴a<-2.∴2+a<x+y<-2-a(a<-2).。
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第二单元 方程(组)与 不等式(组)
（六）分式方程的解法及应用
知识梳理
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
知识梳理
一、分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 二、分式方程的解法
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
例 解方程：21x＝x－2 3. 解：方程两边乘2x(x－3)，得x－3＝4x. 解得x＝－1. 检验：当x＝－1时，2x(x－3)≠0. ∴原分式方程的解为x＝－1.
用3
700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的
3 2
倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(2)原定以每件225元的价格销售第二批仙桃，但为 了 尽 快 售 完 ， 决 定 打 折 促 销 ． 要 使 得 销 售 利 润 为 350 元，则第二批仙桃每件应打几折出售？(利润＝售价－ 进价)
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
3．解分式方程： (1)x＋1 2＝x－3 1； (2)xx＋ －22－2－4 x＝2. 解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－1)，得x－1＝3(x ＋2)． 解得x＝－72. 检验：当x＝－72时，(x＋2)(x－1)≠0. ∴x＝－27是原分式方程的解．
(2)工程问题
基本数量关系：工作时间＝工工作作效总率量 常量见关等系注则原甲甲工工意工的的作作：作工工总1时题效作作量间干率总效＝中量率－未工－改告作乙乙善工诉效的的后作工率工工工总作作作作量总总效效量量率率时＝＝工提时作前间总完差量成可的以时看间作整体“1”，
2019年中考数学第二章方程(组)与不等式(组)2.2分式方程(讲解部分)素材
㊀９
ɦ ２． ２㊀ 分式方程
２５
考点一㊀ 分式方程及其解法
我们称它为原方程的增根．
㊀ ㊀ １． 定义：分母中①㊀ 含有未知数㊀ 的方程叫做分式方程． ２． 解分式方程的一般步骤： （１） 去分母化分式方程为②㊀ 整式方程㊀ ； （２） 解这个整式方程，求出③㊀ 整式方程㊀ 的根； （３）检验，作出结论．一般代入原方程的④㊀ 最简公分母㊀ 进行检验． ３． 增根：整式方程的根，但使得原分式方程的 ⑤㊀ 分母为零 ㊀ ，
转化 ㊀
பைடு நூலகம்
２． 解分式方程的一般步骤： 第一步：用方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边， 去 掉方程的分母； 第二步：解这个整式方程，求出这个整式方程的根； 第三步：将整式方程的根代入最简公分母 （ 或原方程 ） 进行 检验，并作出结论． ｘ ＋３ ２ － ＝ １． 例 １㊀ （ ２０１７ 陕西，１６，５ 分） 解方程： ｘ －３ ｘ ＋３ 思路分析㊀ 先把方程两边同乘 （ ｘ ＋３ ） （ ｘ －３ ） ， 化分式方程 为整式方程，然后解这个整式方程， 检验整式方程的解是不是原 方程的解． 解析㊀ （ ｘ ＋３） ２ －２（ ｘ －３） ＝ （ ｘ －３） （ ｘ ＋３） ， （２ 分） ２ ｘ ＋６ｘ ＋９－２ｘ ＋６ ＝ ｘ ２ －９， ｘ ＝ －６． （４ 分） 经检验，ｘ ＝ －６ 是原方程的根． （５ 分） 方法规律㊀ 解分式方程的思想是 化分式方程为整式方 程 ，即将分式方程通过去分母转化为整式方程． 最后一定要进 行检验， 检验时， 要将所得的值代入最简公分母， 若使最简公分 母的值为 ０，则是增根；若使最简公分母的值不为 ０， 则是原方程 的解． ｘ ＋１ １ ＋ ＝ ㊀ ㊀ 变式训练 １㊀ （ ２０１８ 四川成都，８，３ 分） 分式方程 ｘ ｘ －２ １ 的解是 Ａ． ｘ ＝ １ Ｂ． ｘ ＝ －１ Ｃ． ｘ ＝ ３ Ｄ． ｘ ＝ －３ ｘ ＋１ １ ＋ ＝ １，（ ｘ ＋１） （ ｘ －２） ＋ ｘ ＝ ｘ（ ｘ －２） ， 答案㊀ Ａ㊀ ｘ ｘ －２ ｘ ２ － ｘ －２＋ ｘ ＝ ｘ ２ －２ｘ， ｘ ＝ １， 检验，当 ｘ ＝ １ 时，ｘ（ ｘ －２） ʂ０． 所以 ｘ ＝ １ 是原分式方程的解． 故选 Ａ． （㊀ ㊀ ）
浙江省2019年中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第三节 分式方程及其应用课前诊断测试
分式方程及其应用课前诊断测试1．下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )A ．3x ＝12B.1x ＝2C.x ＋25＝3＋x 4D ．3x －2y ＝1 2．分式方程2x －2＋3x 2－x ＝1的解为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝13 D ．x ＝03．(2018·湖南张家界中考)若关于x 的分式方程m －3x －1＝1的解为x ＝2，则m 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．若关于x 的分式方程x －6x －5＋1＝k 5－x有增根，则k 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．15．(2018·内蒙古通辽中考)学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10 000元，购买文学类图书花费9 000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为( )A.10 000x －9 000x －5＝100 B.9 000x －5－10 000x ＝100 C.10 000x －5－9 000x ＝100 D.9 000x －10 000x －5＝100 6．请写出一个根为1的分式方程：______________________．7．若关于x 的分式方程x x －1－m 1－x＝3有增根，则这个增根是__________. 8．方程3x －2x －2＝0的解是__________. 9．已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x＝2的解，则实数k 的值为______.参考答案1．B 2.A 3.B 4.D 5.B6.1x－1＝0(答案不唯一)7．x＝1 8.x＝6 9.22。
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分式方程及其应用
课前诊断测试
1．下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )
A ．3x ＝12
B.1x ＝2
C.x ＋25＝3＋x 4
D ．3x －2y ＝1 2．分式方程
2x －2＋3x 2－x ＝1的解为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝13 D ．x ＝0
3．(2018·湖南张家界中考)若关于x 的分式方程m －3x －1
＝1的解为x ＝2，则m 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
4．若关于x 的分式方程x －6x －5＋1＝k 5－x
有增根，则k 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1
5．(2018·内蒙古通辽中考)学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10 000元，购买文学类图书花费9 000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为( )
A.
10 000x －9 000x －5＝100 B.9 000x －5－10 000x ＝100 C.10 000x －5－9 000x ＝100 D.9 000x －10 000x －5
＝100 6．请写出一个根为1的分式方程：______________________．
7．若关于x 的分式方程x x －1－m 1－x
＝3有增根，则这个增根是__________. 8．方程3x －2x －2
＝0的解是__________. 9．已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x
＝2的解，则实数k 的值为______.
参考答案1．B 2.A 3.B 4.D 5.B
6.1
x
－1＝0(答案不唯一)
7．x＝1 8.x＝6 9.2。