超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
高考物理知识体系总论：带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
PART 2
利用知识体系框架来解题
DREAM OF THE FUTURE
经典例题1
(多选)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。 一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种 粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含 不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是(ꢀꢀ) A．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 B．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出 磁感应强度的方向，此时必须考虑由磁感应强度方向
多解
不确定而形成的多解。如图所示。
4.运动的往 复性形成多
解
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
1.带电粒子
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场
电性不确定
时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
大致框架
突破一ꢀ 带电粒子在匀强磁场中 运动的临界极值问题
1.分析方法 2.四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运 动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电 粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题 时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草 图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域 圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点 时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。
在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。
多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。
这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。
当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。
临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。
临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。
临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。
结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。
多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。
对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
•
Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
带电粒子在磁场中运动的临界值与多解专题课件
例 7 如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁 场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的 两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电 粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能 从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大 值可能是多少．
【答案】 (2＋ 2)Bmqd(q 为正电荷)或(2－ 2)Bmqd(q 为负电
(四)三角形边界磁场 例 4 如图，直角三角形 abc 内有方向垂直 纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B， ∠a＝30°，ac＝2L，P 为 ac 的中点．在 P 点 有一粒子源可沿平行 cb 方向发出动能不同的 同种正粒子，粒子的电荷量为 q、质量为 m， 且粒子动能最大时，恰好垂直打在 ab 上．不考 虑重力，下列判断正确的是( )
(一)单面边界磁场 例 1 (多选)如图所示，S 处有一电子源， 可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂 直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中 点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧 区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 －4 T，电子质量 m＝9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不 计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该 电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( )
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒 子到粒子全部离开磁场经历的时间，恰好为粒子在磁场中做圆周 运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：
(1)速度的大小； (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值．
【答案】
(1)(2－ 26)amqB
6－ 6 (2) 10
第3课时 带电粒子在磁场中运动的特例(临界、极值及多解问题)
随堂自测过关
要点探究冲关
界、极值问题
1.解决此类问题的关键
自我解答·合作探究
要点一 带电粒子在有界磁场中运动的临
找准临界点. 2.找临界点的方法 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词 语为突破口,借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约 束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的 关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值.
3.常用到的结论 (1)临界值 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在 磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)时间极值 ①当速度 v 一定时,弧长(弦长)越长,圆周角越大, 则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. ②当速率 v 变场边界为圆形时,从入射点到出射点连接起来 的线段就是圆磁场的一条弦,以该条弦为直径的圆 就是最小圆,可求出圆形磁场区的最小面积.
B 最小.
,r=
mv 1 ,从上式看出,r∝ B qB
,当 r 最大时,
由题图可知,当粒子从 b 点射出时,磁场的磁感应强度为最小值,
由几何关系得 rmax=
2 2
L,所以 Bmin
2m v0 = qL
.
m v0 答案:(1) 2qh
(2)
2
2
v0 指向第Ⅳ象限与 x 轴正方向成 45°角
2m v0 (3) qL
要点二 带电粒子在匀强磁场中运动的多解
问题
1.带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可 能带正电,也可能带负电,在相同 的初速度的条件下,正负粒子在 磁场中运动轨迹不同,形成多解. 如图(甲)带电粒子以速率 v 垂直 进入匀强磁场,如带正电,其轨迹为 a,如带负电,其轨 迹为 b.
(2 2 )dqB . 2 )d,v = m
带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题
带电粒子在匀强磁场中的运动---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。
【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．2. 磁场方向不确定形成多解．3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．【例2】 长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。
超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速 度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
带电粒子在磁场中的运动(单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题)(解析版)
带电粒子在磁场中的运动（单边界、双边界、三角形、四边形、圆边界、临界问题、多解问题）建议用时：60分钟带电粒子在磁场中的运动A．M带正电，N带负电B．M的速率小于N的速率A．1kBL，0°B3【答案】B【详解】若离子通过下部分磁场直接到达根据几何关系则有：R由：2v qvB mR=可得：qBLv kBLm==根据对称性可知出射速度与当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为根据洛伦兹力提供向心力，有：可得：122qBLv kBLm==此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为：通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足：此时出射方向与入射方向的夹角为：A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为C．粒子有可能从c点离开磁场D．若要使粒子离开长方形区域，速率至少为可见从ab射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，对应的圆心角不相同，所以时间也不同，故B．从bc边射出的粒子，其最大圆心角即与A ．粒子的速度大小为2qBdmB ．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为C ．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为D ．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到得：R d=由洛仑兹力提供向心力可得：Bqv m=得：qBd v m=A 错误；A ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长B ．如果0v v >，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短C ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长D ．如果0v v <，则粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短【答案】B该轨迹恰好与y 轴相切，若上移，可知，对应轨迹圆心角可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故CD ．若0v v <，结合上述可知，飞出的速度方向与x 轴正方向夹角仍然等于A ．粒子能通过cd 边的最短时间B ．若粒子恰好从c 点射出磁场，粒子速度C ．若粒子恰好从d 点射出磁场，粒子速度7．（2024·广西钦州·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为粒子以速度0v垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏角为（ ）A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为D．匀强磁场的磁感应强度大小为【答案】B【详解】A．由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：A．该匀强磁场的磁感应强度B．带电粒子在磁场中运动的速率C．带电粒子在磁场中运动的轨道半径D．带电粒子在磁场中运动的时间C．根据几何关系可得：cos30aR = o所以：233R a =故C正确；AB．在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即：A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大C．粒子在磁场运动的最大位移为10．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为面向里的匀强磁场，O 为区域磁场圆心。
高中物理带电粒子在有界磁场中运动临界问题极值问题和多解问题
(1)综合③④结论知，所有从 ab 上射出的粒子的入射 速度 v0 的范围应为q3Bml<v0<qmBl.
临界状态（轨迹与边界相切）
d
c
临界Байду номын сангаас态
B
θv
（轨迹与边界相切）
a
b
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内从上侧面边界飞；
③速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；
④速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。
例1 如图所示，S为一个电子源，它可以在纸面 内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的 电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L， 挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为B，问：
PQ
v
S
圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 ①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨 迹与另一边界相切； ③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
二、带电粒子在矩形边界磁场中的运动
vB
o
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出； ③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
(1)若使电子源发射的电子能到达 挡板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度 为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子 击中的区域范围有多大？
【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中 的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．
高中物理 磁场(三)带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态．突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。
在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1．对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。
分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆心O位于对称线上，入射速度、出射速度与PQ 线间的夹角(也称为弦切角)相等，并有＝＝2＝t，如图所示。
应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常便捷。
【典例】如图所示，半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？【审题指导】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。
【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
2．放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大。
磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
一带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题临界状态是指物体从一种运动状态（或物理现象）转变为另一种运动状态(或物理现象）的转折状态,它既具有前一种运动状态（或物理现象）的特点，又具有后一种运动状态（或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式：(1)找出临界状态及临界条件;（2)总结临界点的规律;（3）解出临界量;（4）分析临界量列出公式．2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种:一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论;二是借助于几何图形进行直观分析．例题1．平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面（纸面）如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0）．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（)A.mv2qB B．错误!C。
错误! D.错误!解析：选D.如图所示,粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝错误!.设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R。
由几何图形知，AP＝错误!R，则AO＝错误!AP＝3R，所以OB＝4R＝错误!。
故选项D正确．例题2．(多选）如图所示,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ＝30°,孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上,则( )A．两板间电压的最大值U m＝错误!B．CD板上可能被粒子打中区域的长度x＝错误!LC．粒子在磁场中运动的最长时间t m＝错误!D．能打在N板上的粒子的最大动能为错误!解析：选BCD.M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CH＝QC＝L,故半径R1＝L,又因Bqv1＝m错误!，qU m＝错误!mv错误!，可得U m＝错误!，所以A错误．设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中sin 30°＝错误!＝错误!,可得R2＝错误!，CK长为错误!R2＝错误!L,则CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x＝HK＝L－CK＝错误!L，故B正确．打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T＝错误!，所以t m＝错误!，C正确．能打到N板上的粒子的临界条件是轨迹与CD 相切，由B选项知，r m＝R2＝错误!，可得v m＝错误!，动能E km＝错误!,故D正确．例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场,粒子重力不计．求：（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度;（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？（3）若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场,则粒子能打到CD边界的距离大小？解析：(1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R1，运动速度为v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R1＋R1cos 30°＝d又qv0B＝错误!解得v0＝错误!＝错误!所以粒子能从左边界射出时的最大速度为v m＝v0＝错误!（2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示．由几何关系知R2＝错误!由洛伦兹力提供向心力得Bqv2＝m错误!由动能定理得－qU＝0－错误!mv错误!解得U＝错误!＝错误!所加电压满足的条件U≥错误!。
高考物理一轮复习 第八章第4节 带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题课件 新人教版选修3
3．当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间③ ________.
二、带电粒子在有界磁场中的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于 多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般 包含下述几个方面：
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用 的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同 的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹④________， 导致形成双解．
由③④式解得
rr12＝n＋n 1 (n＝1,2,3……)⑤ 联立①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件 BB21＝n＋n 1 (n＝1,2,3……) 【答案】 BB21＝n＋n 1 (n＝1,2,3……)
跟踪训练 2 如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平 行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔 O、 O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应 强度随时间的变化如图乙所示，有一束正离子在 t＝0 时 垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场．已知正离子的质量为 m，
带电荷量为 q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与 磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而 产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
(1)磁感应强度 B0 的大小； (2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场，正离 子射入磁场时的速度 v0 的可能值． 诱思启导 先分析正离子在交变磁场中的运动性质，明确物理 过程，然后判断出要使正离子垂直于 N 板射出磁场，必 须让正离子从 O 孔垂直于 M 板射入磁场，且在磁场中运 动的时间正好是磁场变化周期的整数倍．
②因矩形区域 abcd 足够长，所以当轨道与 cd 相切时， 其半径应是所有从 ab 上射出的粒子中最大的，对应粒子 的速度也最大．设上述切点为 M，则该粒子轨道的圆心 必在过 M 且与 cd 垂直的直线上．
带电粒子在有界磁场中运动 的临界问题解析
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题解析“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题．一、 带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解：由qvB =Rv m 2可求R =0.2m由圆心角=偏向角，当粒子从O 点射出后穿过磁场路径最大时，对应圆心角最大。
由几何关系圆心角为60º 故最大偏角为60 º二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例2、如图2，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．解：两种情形1.当粒子以较小速度射入从磁场左边界射出，对应最大速度为v 1，半径为r 1图2⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→∙d LvmqBdv dr r v m B qv 4 4111211===可求2.以较大速度射入从磁场右边界射出对应最小速度v 2，半径r 2mdL d qB v L dr r r mv B qv 4)4()2( 222222222222+=+-==可求三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例3、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，（边界无磁场）有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图3所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件．解：若粒子恰好与AC 相切.轨道半径为r 1，速度为v 1mqBa v mqBam qBa v a r r a r v r BC mqBa v a r r mv B qv a r r 3)336(3 330cos ])32([)336()336( 330cos 22222211121111<<-===-+-=-===+故可求速度为相切半径为若粒子恰好与可求图3DB四、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例4、如图4所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=, A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系．解：①粒子运动的最大半径处至点右侧从板范围为打在范围点至距板上范围为打在m m Q B m d P P A mqB mv r mm 222210110)32(100.12102----⨯⨯-⨯=⨯==6108sin sin 2⨯====mqBdv qBmv r dr θθ则②五、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例5、如图5所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．解：y 轴范围mqBmvr rr 1.03==-至从练习1.在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B 。
高考物理复习 (超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
第八章 第4节
高考调研
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
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3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可 能转过 180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是 形成了多解．
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4．运动的往复性形成多解 (1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动 时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反 向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示，在 x<0 与 x>0 的区域中，存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直 于纸面向里，且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
可能
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3．临界状态⑥_不__同_____形成多解：带电粒子在洛伦 兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同， 因此，它可能穿过去了，可能转过 180°从入射界面这边 反向飞出，如图所示，于是形成多解．
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受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能 带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场 中运动的轨迹不同，形成多解． 如图所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场， 如果带正电，其轨迹为 a；如果带负电，其轨迹为 b.
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【解析】
粒子在整个运动过程中的速度大小恒为
v， 交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运 动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小 分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1 和 r2，有 mv r1 ＝ ① qB1 mv r2 ＝ ② qB2
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Байду номын сангаас
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解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 qBl 速度为 v01＝ m . ④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ 1 1 qBl 2 R2cos60° ＝ l， 解得 R2＝ l， 由 qvB＝mv /R 可得 v02＝ . 2 3 3m
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3．临界状态不唯一形成多解
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带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可 能转过 180° 从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是 形成了多解．
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4．运动的往复性形成多解
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(1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动 时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反 向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示， 在 x<0 与 x>0 的区域中， 存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场， 磁场方向均垂直 于纸面向里， 且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
(1)若要粒子从ab边上射出， 则入射速度v0的范围是多少？ (2)粒子在磁场中运动的最 长时间为多少？
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【解析】
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①带电粒子在 O 点所受洛伦兹力方向垂
直于 v0，即图中 OO1 方向，所有粒子的轨道圆心均应在 直线 OO1 上．
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2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指 出磁感应强度的方向，此时必须考虑因磁感应强度方向 不确定而形成的多解．
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如图所示，带正电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场， 如果 B 垂直于纸面向里，其轨迹为 a；如果 B 垂直于纸 面向外，其轨迹为 b.
v
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
S
S
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
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【解析】
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(1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中
的轨迹不同， 每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S mv 为圆心、半径 r＝ 的圆弧上，如图所示．欲使电子有 Be L 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为 ，如图所示． 2
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v2 L 由 Bev＝m r 和 r＝ 可解得 2 BeL v＝ 2m BeL 即电子源的发射速度至少为 . 2m
周期性 ，因 部分是磁场空间运动时，往往运动具有⑦________
而形成多解.
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
第八章 第4节 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
高考调研 高三物理（新课标版） 三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
v
o
B
d
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
c
B
圆心在 过入射 点跟速 度方向 垂直的 直线上
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(1)综合③④结论知， 所有从 ab 上射出的粒子的入射 qBl qBl 速度 v0 的范围应为 <v0< m . 3m θ θ θR (2)带电粒子在磁场中运动的时间 t＝ω＝ v ＝qBR＝ m R θm qB ，由此可知，t 取决于粒子在磁场中转过的角度，从上 面的分析可以推知，当粒子轨道半径 R≤R2 时，粒子均
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2．要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可 突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．
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规律总结
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1.解决此类问题的关键是:找准临界点. 2.找临界点的方法是: 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突 破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行 动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点, 然后利用数学方法求解极值,常用结论如下: （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的 轨迹与边界相切. （2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则 带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. （3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.
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5π 从 ad 边上射出，转过的角度均为 ，这些粒子在磁场中 3 5πm 运动的时间最长，tmax＝ . 3qB 【答案】 qBl qBl (1) <v0< m 3m 5πm (2) 3qB
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二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题 规律方法 1．带电粒子电性不确定形成多解
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现分析粒子运动的轨迹，如图所示，在 xy 平面内， 粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2r1 的 A 点，接着沿半径为 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴上 O1 点，OO1 的距离 d＝2(r2－r1)③
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越长 则带电粒子在有界磁场中运动的时间②________.
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3 ．当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间③
长 ________.
二、带电粒子在有界磁场中的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于 多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般 包含下述几个方面：
第八章 第4节
高考调研 高三物理（新课标版） 二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q
P B
P
Q
P
Q
v
S
圆心在磁场 原边界上
v
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
第八章 第4节
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(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”． (2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360° 范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？ (2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
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不同 形成多解：带电粒子在洛伦 3．临界状态⑥________
兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同， 因此，它可能穿过去了，可能转过 180° 从入射界面这边 反向飞出，如图所示，于是形成多解．