2013高考数学 自选模块知识网络

高考数学知识网络 自选模块
不等式： 柯西不等式：
二元：对于任意实数d c b a ,,,有22222)())((bd ac d c b a +≥++当且仅当0=-bc ad 取等号. 三元：
对于任意实数)3,2,1(,=i b a i i 有2
332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++
当且仅当)3,2,1,0()3,2,1(3
32
21
1=≠=
=
⇔
==i b b a b a b a i a b i i i λ取等号
柯西不等式的本质：||||||b a b a ⋅≤⋅当且仅当b a 与共线(a b λ=)时取等号
柯西不等式的变式：)3,2,1(,=i b a i i 都是给定正实数，则
3
212
3213
2
3
2
2
21
2
1
)(b b b a a a b a b a b a ++++≥
+
+
当且仅当3
32
21
1b a b a b a ==时取等号
常用辅助不等式：对于正数c b a ,,有
bc ac ab c b a c
b a ++≥++≥
++2
2
2
2
)(3
1当且仅当c b a ==取等号
三元基本不等式33
3
3
33abc c b a abc c b a ⋅≥++⇔≥++当且仅当c b a ==取等号 柯西不等式处理问题常用技巧：
1） 凑配系数：如已知0,,,0,,>>z y x c b a 且1=++cz by ax ，求222z y x ++的最小值 2） 凑配项：如0,,>c b a ，求证：
1222≥++
++
+b
a c a
c b c
b a ，或也可参阅名校《创新》冲刺卷
—自选（二） 3） 分拆项：
如0,,>c b a ，且1=++c b a ，证明：
c
b
a
c
b
a
++
++
+≥
-+
-+
-121212111111
或也可参阅杭州求是高复—自选和名校《创新》冲刺卷—自选（六）
4） 柯西不等式与三元基本不等式的综合：参阅十校联考—自选 和宁波滨海学校5月适应性考试—自选
5） 通过转化为函数最值（函数的思想，若一个式子中出现同一个变量，则可考虑通过换元转化为
一个变量的函数，通过求函数的最值求得）：参阅名校交流卷（一）03（1）和宁波滨海学校5月适应性考试—自选 03（2）
注：以上方法中函数思想是最重要的思想，所以同学们要善于从函数的角度解决问题. 绝对值不等式：
类型1)三角不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-当且仅当b a ,同号（异号）取等号
2）型||||b x a x y -±-=或||||||c x b x a x y -+-+-=这类函数的最值问题可通过分类讨论去绝对值后画图求得.
绝对值不等式常见问题：
参阅2010浙江高考—自选03 名校《创新》冲刺卷—自选（一，二，四）03
杭州求是高复—自选 03
以上问题都是通过取绝对值后画图得到求解策略的，盼望同学们能掌握这类问题的精髓!!! 极坐标与参数方程： 极坐标：
极坐标与平面坐标互化：x
y y x y x =+===θρθρθρtan ,,sin ,cos 222
这部分内容请大家要充分掌握极坐标和直角坐标的转化
特别要会写直线的一般极坐标方程：c b a =+θρθρs i n c o s 和圆的一般极坐标方程：
c b a ++=θθρs i n c o s （若圆过极点则)0=c ，这里要求大家从几何的角度会求： 1） 过点)0,(a )0(>a 垂直于x 轴的直线的极坐标方程
2） 过点)0,(a )0(>a 且与极轴所成角为α的直线的极坐标方程 3） 过点)0)(,(0>a a θ且与极轴所成角为α的直线的极坐标方程
注：上面问题要充分利用三角形内的正弦定理 可参阅2010浙江高考自选 04（2） 4） 圆心在)0,(a )0(>a 半径为a 的圆的极坐标方程 5） 圆心在)0)(2
,
(>a a π
半径为a 的圆的极坐标方程
6） 圆心在)0)(,(0>a a θ半径为a 的圆的极坐标方程 特殊方法和技巧：
极坐标解题的关键是几何法或转化为直角坐标来作，经典题有：参阅2012年高考数学冲刺训练（五） 自选模块全方位训练 第三组 第六组 第七组的04 杭州求是高复自选04 名校《创新》冲刺卷自选（六）04 衢州市2010年4月高三质量检测自选04 注：极坐标问题几何法与正弦定理的综合应用及关键技巧
参数方程
块内容要求掌握圆的参数方程，椭圆的参数方程和直线的参数方程
圆的参数方程：为参数θθθ
,sin cos ⎩
⎨
⎧+=+=r b y r a x 椭圆的参数方程：为参数θθ
θ,sin cos ⎩⎨
⎧==b y a x
直线l 的参数方程：的几何意义为：为参数t t t y y t x x ,,sin cos 00⎩
⎨
⎧+=+=θθ
从),(000y x P 到),(y x P
的距离为||t ，若P P 0与x 轴的正方向一致，则0>t ；若若P P 0与x 轴的负方向一致，0<t . 通常处理问题的技巧是将直线的参数方程带入圆或椭圆的普通方程，然后写出韦达定理和判别式，根据问题的需要进行求解，这部分内容的处理与直线与圆锥曲线的必修内容的处理技巧相似. 特殊方法与技巧：
1） 若直线l 交圆或椭圆于B A ,两点，分别对应B A t t , 则有： ||||B A t t AB -=，AB 中点C 对应于
2
B
A t t +，即)(2
1000B P A P C P +=
2)当0P 在圆锥曲线内时，则若B A t t B P AP λλ-=⇔=00；当0P 在圆锥曲线外时，则若B A t t B P A P λλ=⇔=00
3）直线与圆锥曲线相交涉及定值问题时（通常与边，面积，角度等有关）：则将表达式数学化后，表达式中出现变量的地方，令变量的系数为0，就可以求得定值. 4)直线的一般参数方程：⎩
⎨⎧+=+=bt y y at x x 00，则||||2
2
B A t t b
a AB -+=
5)面积的计算：通常有两种策略：1）AB P d AB S -⋅=
||2
1，2）定弦CD 分割三角形：
||||2
121x x CD S -⋅=
或||||2
121y y CD S -⋅=
（这种方法运用巧妙的话可大大简化计算）
6）本块经典题:2012名校交流卷（一）自选 04 名校《创新》冲刺卷自选（一，四，五） 04 2012
十校联考自选04 宁波二模04 2012年高考数学冲刺训练（五）自选全方位 第2组 第9组 第10组 04
注: 参数方程问题通常只要将直线方程带入圆锥曲线方程写出判别式和韦达定理，一般情况就可以解决问题，但有时也要数形结合，从图形上判断将简化思维过程，有一定的计算量，但同学们要对这道题有信心，关键是计算！。