中考数学压轴题十道

1．（贵州六盘水）如图1，已知△ABC 中，AB ＝10cm ，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t
≤4）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．
（2）设△AQP 的面积为S （单位：cm 2），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ ′
．那么是否存在某时刻t ，使四边形AQPQ ′
为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
B A
C P
Q 图1 B
A C P Q 图2 Q
2．（山东青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm/s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？
（2）当点Q 在B 、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE : S 五边形PQBCD ＝1 : 29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．
A
B C 备用图
E D A P Q B C E D
3．（山东模拟）把Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠BAC ＝∠DEF ＝90°，∠ABC ＝45°，BC ＝9，DE ＝6，EF ＝8．如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△DEF 的顶点F 出发，以3个单位/秒的速度沿FD 向点D 匀速移动．当点P 移动到点D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接BQ 、PQ ，设移动时间为t （s ）．
（1）设△BQE 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）当t 为何值时，三角形DPQ 为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．
(E )
A B D C F 图1
A B D
E
F
图2
P Q C
4．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时直线PQ 由点B 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P ，交BC 于Q ，连接PM ，设运动时间为t （s ）． （1）当四边形PQCM 是等腰梯形时，求t 的值； （2）当点M 在线段PC 的垂直平分线上时，求t 的值； （3）当t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形；
A C
B
D P Q
M
5．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q 以1.25cm/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t ＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
A
D Q
图1 C P 图1
B 图1
E 图1
6．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt △ABC ≌Rt △FED ，点C 、D 与原点O 重合，点A 、F 在y 轴上重合，∠B ＝∠E ＝30°，AC ＝FD ＝3．△FED 不动，△ABC 沿直线BE 以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B 与点E 重合为止．设平移时间为x （秒），平移过程中AB 与EF 的交点为M ． （1）求出图①中点B 的坐标； （2）如图②，当x ＝4秒时，求出过F 、M 、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P ，以点P 为圆心，以2为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与y 轴相切的情况，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设移动x 秒后两个三角形重叠部分的面积为S ，求出整个运动过程中S 与x 的函数关系式．
A B C E (F ) (D ) O x y 图①
F
B D E O x y
图② C A M
7．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与x轴交于点A，与正比例函数y＝－4
3x的图象
交于点B，过B点作BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点M从点A出发沿线段AO以每秒1个单位的速度向终点O匀速移动，过点M作x轴的垂线交折线A －B－O于点P．设M点移动的时间为t秒，线段BP的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点Q同时从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿折线O－C－B向点B移动，当动点M停止移动时，点Q同时停止移动．当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
A O C
B
y
x A O C
B
y
x 备用图A O
C
B
y
x
备用图
8．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程x 2
－7x ＋12＝0的两根（OA ＜OB ），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）求A 、B 两点的坐标．
（2）求当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
（3）当t ＝2时，在坐标平面内找一点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求M 点的坐标； （4）在P 、Q 运动过程中，在坐标平面内是否存在点N ，使以A 、P 、Q 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．
B
Q
x
P O y
A
9．（吉林模拟）如图，梯形OABC 中，OA 在x 轴上，CB ∥OA ，∠OAB ＝90°，B （4，4），BC ＝2．动点E 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA 运动，到点A 停止，过点E 作ED ⊥x 轴交折线O －C －B 于点D ，以DE 为一边向右作正方形DEFG ．设运动时间为t （秒），正方形DEFG 与梯形OABC 重叠面积为S （平方单位）． （1）求tan ∠AOC 的值；
（2）求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（3）连接AC ，AC 的中点为M ，t 为何值时，△DMG 为等腰三角形？
D A B C G O
E
F x y D A
B C G O E F x 备用图 y
10．（长春模拟）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC＝2．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA 于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF，以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN＝QC．设运动时间为t（秒）．
（1）求t＝1时FC的长度．
（2）求MN＝PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．
（4）直接写出△QMN和矩形PEO F的边有三个公共点时t的值．
P
A
B
C
M
O F
D
E
N
Q。