自动控制原理_非线性控制系统3课件

3）对于振荡发散的不稳定系统，当受到饱和特性限制后，系统会出现自 激振荡。
3、间隙特性：
b
y
k
(
x
a)
b
k(x a)
x 0， a b x a b
k
k
x 0，a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
x 0， a b x a b
k
k
y b
a
k
0a
x
b
3）死区能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干 扰能力。
2、饱和特性：
kx y ka sign(x)
x a x a
y
a
k
0a x
饱和特性对系统性能的影响是多种多样的，仅考虑两种情况：
1）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会使系统的超调 量下降，振荡性减弱；
2）对稳定的系统而言，饱和特性带来的开环增益下降，会增大系统的静 态误差；
A
1 N ( A)
N
1 ( A)
轨迹为负实轴
上 1 到 的那一段
2
Im
1 1 N ( A) 2
A1
1 1 2
K 15
K 7.5
0 Re
G( j ) G( j )
由 G( j ) 表达式求得：
G( j )
k
j(0.1 j 1)(0.2 j 1)
K (1
0.3 0.05
例1、求下图所示非线性的描述函数
y
k
B1
1
2
y(t ) s intd (t )
0
2
arcsin
arcsin A k( Asint ) sintd(t) A
x
2kA[ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
A0 0 A1 0
kA 2kA[arcsin 1 ( )2 ]
x 2(1 x2)x x u
二、典型的非线性特性及其影响
1、死区特性：又称不灵敏区。
0 y k[x a sign(x)]
x a x a
y
a
k
0a x
对系统性能的影响：
1）死区的存在相当于降低了系统的开环增益，从而提高了系统的稳定性， 减弱了过渡过程的震荡性；
2）死区增大了系统的静态误差；
解：（1）饱和特性描述函数为：
N ( A)
2k
arcsin
a A
a A
1
(
a A
)2
,
Aa
将 k 2, a 1代入 N( A) 的负倒描述函数，得：
1 A
1
N ( A)
2k arcsin
a A
a A
(1
a A
)2
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
由上式 A1
1 1 N ( A) 2
AA
A
N ( A) k 2k [arcsin 1 ( )2 ]
AA
A
如 果 某 非 线 性 特 性y f (x)是 两 个 非 线 性y1 f1(x)和 y2 f2 ( x)的 叠 加 ， 即y y1 y2， 则 其 描 述 函 数 是 两 个 描述函数的叠加，即有
N N1 N2
2、描述函数法 适用范围：适用于分析高阶非线性系统，是一种频域分析法。 基本原理：描述函数法可看成是线性系统频率响应法在非线性系统中的有 条件推广应用。
3、李亚普诺夫第二方法 适用范围：理论上适用于任何非线性系统，又称为李亚普诺夫直接法。 基本原理：通过构造李亚普诺夫函数来对系统进行分析。
4、波波夫法
4、描述函数与线性环节频率特性的比较
描述函数：当非线性环节退化成放大系数为k的线性放大器时，此时描述 函数N（A）=k；对于一般非线性环节，N（A）相应地可看成正弦输入的 非线性复增益。该复增益的摸和幅角是输入正弦信号幅值A的函数；
线性环节频率特性：频率特性与正弦输入信号幅值无关。
三、典型非线性环节的描述函数
4、继电器特性 （1）理想继电器特性 y b sign(x)
（2）带死区的继电器特性
b sign(x) x a
y 0
x a
y b
0
x
b
y b
a
0a
x
b
三、非线性系统的特点
1、不满足叠加原理
x x x3 x(1 x2)
x(t)
x(0)
x2(0) [x2(0) 1]e2t
2、平衡点与稳定性特性更加复杂 在线性系统中，稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件和外加输入 信号无关，而对于非线性系统而言，则要复杂得多。
适用范围：是针对非线性系统稳定性的一种频域分析法，适用于由一个线 性环节和一个非线性环节组成的系统。
基本原理：利用线性环节的频率特性分析非线性系统的稳定性。
5.2
描述函数法
主要内容： 描述函数法适用的系统结构 描述函数法的原理 典型非线性特性的描述函数 用描述函数法分析非线性系统的稳定性
一、非线性系统的典型结构
自激振荡的判别：如果在交点处， –1/N(A) 曲线当幅值 X 增大时，向G( j ) 曲线包围区域以内（系统的不稳定区）移动，则该点的等幅振荡是不稳 定的；反之，如果当 X 增大时， –1/N(A) 曲线向 G( j ) 曲线包围区以外 （系统稳定区）移动，则该点的等幅振荡是稳定的，即产生自激振荡。
四、非线性系统的描述函数法分析
r(t)
e(t) N( A) x(t)
G(s)
c(t)
1、非线性系统的稳定性分析
c N( A)G( j )e
e r c
[N( A)G( j ) 1]c N( A)G( j)r
当系统不受外部作用，即r 0时，有
[N( A)G( j) 1]c 0
1 N(A)G( j) 0
Im 0 Re
（2）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线被 G(s) 曲线所包围，则系统是不稳定的。换言之，如果系统中出现任 何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
Im
A
ed
f
0 Re
G( j )
0A c a b
（3）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线与 G(s) 曲线相交，则系统中存在等幅振荡，其振幅和频率由交点上
–1/N(X) 曲线的 X 值与 G(s) 曲线的 值决定。该等幅振荡可能是具有一
定稳定性的等幅振荡，即产生自激振荡；也可能是不稳定的等幅振荡， 即在一定条件下发散或收敛。
2、自激振荡的判别
自激振荡：要求等幅振荡具有一定的稳定性，即系统受到轻微扰动时状 态会发生偏离，当扰动消失后，系统又能回到原来振幅和频率的等幅振 动状态。
A1
1 A
A1
1 N ( A)
A 2
A
1 2
N ( A) 12 1 1 6 2
1 N ( A)
Im
1
N ( A)
Kc 15
1 2
Kc
7.5
（2）当K=15时，
G(
j )与
1 N ( A)
相交
ReG( j )
5
K 2 15
15 1 15
I
m
G(
j )
5 2 0
1 G( j ) 1
N ( A)
1
4arcsin
1 A
1 A
1
(
1 A
)2
A 2.5 5 2 7.07rad / s
例2 设包含死区继电器特性的非线性系统如图所示。其中，饱和特性输出 b=3, 死区 a=1 。
1
A0
2
x(t)d(t)
0
An
1
2
x(t) co s ntd(t)
0
Bn
1
2
x(t) sin ntd(t)
0
X n An2 Bn2
n
arctg
An Bn
根据假设条件，高次谐波分量已被大大削弱，直流分量为零，因此可用一 次谐波分量（基波分量）来近似。
x(t) x1(t) A1 cos t B1 sint X1 sin(t 1)
4、特殊的频率响应特性
线性系统 ： 当输入量是正弦信号时，系统的稳态响应是同一频率的正弦信号。
非线性系统 ： 在正弦信号作用下的稳态输出一般不是正弦信号，随系统非线性特性 的不同，输出信号中可能包含输入正弦信号的倍频分量或高次谐波等各种 谐波分量。
四、非线性系统的分析方法
1、相平面法 适用范围：适用于一阶和二阶非线性系统，是基于图解法的时域分析法。 基本原理：通过绘制系统相平面图，可以分析出各种初始条件下系统的静、 动态性能，具有物理意义明晰的优点。
非线性特性的负倒特性： G( j) 1
N( A)
推广的奈氏判据：
（1）当 s 循顺时针方向沿 D 形围线连续的变化一周时，如果 –1/N(A) 曲
线没有被 G(s) 曲线所包围，则系统是稳定的。换言之，如果系统中出现 任何振幅的某种振荡，其振幅也将不断减小，最后趋于零。
1 N(A) A
Im 0 Re
间隙特性是非单值函数，对系统性能的主要影响有：
1）增大了系统的稳态误差，降低了控制精度；
2）使系统过渡过程的震荡加剧，甚至使系统变为不稳定。
从能量的观点来分析，当主动轮越过间隙时，系统的执行元件不带动负载， 因而不消耗能量，与没有间隙特性的系统相比，相当于蓄能增多，使得主 动轮通过间隙重新带动负载时的总能量增大，因而使系统的震荡加剧。
x x x3 x(1 x2)