16圆的基本概念及定理尖子班讲义
《圆的基本概念》课件
圆的应用
圆形轮廓的制作
圆形轮廓广泛应用于标志设计和 艺术创作中，具有简洁、优雅的 特点。
圆形几何体的制作
圆是球体的截面，制作圆形几何 体可以用于建筑、工程和设计领 域。
圆形物体的计算
通过对圆的直径、半径和周长进 行计算，可以解决与圆相关的实 际问题。
总结
圆在几何学和日常生活中都扮演着重要的角色。通过了解圆的重要性和基本 概念，我们能够更好地理解和应用它。
பைடு நூலகம்
圆的构造
1
夹角平分线构造圆
通过夹角的平分线可以构造出一个唯一确定的圆。
2
弦中垂线构造圆
通过弦的中垂线可以构造出一个唯一确定的圆。
圆的测量
1
用直尺、量角器测量弦长、弦高、
2
切线长
直尺和量角器可以用来测量弦的长度、 弦的高度和切线的长度。
用量角器测量圆周角、圆内角、 圆外角
量角器是测量角度的工具，可以用来测 量圆周角、圆内角和圆外角的大小。
圆的性质
直径、弧、圆周
直径是通过圆心的两个点，弧是连接圆上两点的曲线，圆周是弧和直径的总长度。
弦、圆心角、圆内角、圆外角
弦是圆上连接两点的线段，圆心角是以圆心为顶点的角，圆内角是圆上与圆心角夹角的角， 圆外角是与圆心角相对的角。
圆周角定理、相交弧定理、弦切角定理
圆周角是位于圆上的两条弧所对应的角相等，相交弧所对应的圆心角相等，弦所对应的弦切 角相等。
《圆的基本概念》PPT课 件
探索圆的奥秘，从基本概念开始。了解圆的定义、性质和构造，应用圆形几 何体和轮廓制作，让我们一起揭开圆的神秘面纱。
前言
圆在几何学和日常生活中都扮演着重要的角色。让我们一起探索圆形的各种应用和它的重要性。
圆所有定理初中
初中数学中的圆及其定理在我们日常生活中，圆形无处不在。
无论是太阳、月亮，还是车轮、钟表，都呈现出完美的圆形。
而在数学的世界中，圆也是基本的几何图形之一。
本文将详细解读初中阶段关于圆的基本概念和主要定理。
首先，我们需要了解什么是圆。
根据定义，圆是一个平面内到一个固定点（称为圆心）的距离相等的所有点的集合。
这个固定距离被称为半径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，它是半径的两倍。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦是圆的直径。
接下来，我们将介绍几个与圆相关的基础定理。
1. 圆周角定理：圆周角等于它所对弧度的一半。
这意味着如果你知道一个圆周角的度数，你可以直接计算出对应弧度的度数。
2. 同弧等角定理：在一个圆中，如果两个弧对应的圆周角相等，那么这两个弧也相等。
3. 弧长公式：弧长L等于圆的半径r乘以弧度θ，即L= rθ。
这里的θ是以弧度为单位的弧度值。
4. 扇形面积公式：扇形面积A等于圆的半径r与弧度θ的乘积除以2，即A= 0.5r²θ。
5. 勾股定理在圆中的应用：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方之和。
在这个定理中，如果我们有一个90度的圆周角，我们可以把它的两条边看作是半径，然后使用勾股定理来求解未知量。
6. 切线定理：从圆外一点向圆引切线和割线，这点和切点之间的线段长度平方等于这点到割线两交点距离的乘积。
7. 相交弦定理：圆内的两弦相交于圆心，则这两条弦分别被分成的线段的乘积相等。
理解和掌握这些知识，不仅可以帮助我们更好地理解日常生活中的圆形物体，还可以提升我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
在学习过程中，我们应该注意理论联系实际，多做练习题，加深对定理的理解和运用。
只有这样，我们才能真正掌握这些知识，将其转化为自己的技能。
圆的认识ppt课件
管道
在建筑和家庭装修中，圆形管道通常被用来 连接水管、电线和暖气管道等，因为这种形 状可以保证液体或气体流畅地流动，减少堵 塞和磨损。
艺术中的圆的应用
雕塑
许多雕塑作品如球体、花瓶和头 像等都采用圆形设计，因为这种 形状可以增强作品的美感和立体
对未来进一步学习和研究圆的展望
01
深入研究圆的性质
进一步学习和研究圆的性质， 包括圆与其他图形的联系和区 别，以及圆在各种不同情况下 的表现。
02
探讨圆的实际应用
通过研究和实践，进一步探索 圆在各个领域中的应用，如建 筑设计、机械设计、包装设计 等。
03
圆的拓展学习
学习与圆有关的其他知识，如 立体几何、解析几何等，以更 全面地了解圆的性质和应用。
平面图形。
圆的相关公式和定理
圆的中心位置由圆心决定，圆心到圆周上任 意一点的距离都相等。圆的面积和周长与半 径有关，半径越大，面积和周长也越大。
圆的性质
包括圆的周长公式（C=2πr）、圆的面积公 式（S=πr²）以及垂径定理、圆周角定理等
。
圆的应用
圆在现实生活中有着广泛的应用，如车轮、 方向盘、钟表等都采用了圆形的形状，因为 它具有旋转不变性和对称性。
04
发展圆的创新应用
通过研究和创新，发展更多具 有创新性和实用性的圆的应用 ，推动科学技术的发展。
感谢您的观看
THANKS
使用铅笔和尺子，从圆心 开始，以确定的半径为长 度，绘制出一条弧线。
完成绘制
在完成绘制后，检查是否 符合所需的形状和大小。
使用代码绘制圆
定义圆心和半径
圆的基本性质课件
圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与 圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交 点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆 没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个 不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。 弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。 判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径， 则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定 义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及 圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。 元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。 圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。
圆的概念及性质 ppt课件
圆中”，而所谓“等圆”，是指圆心不同，但半径相等的
圆，如“面积相等”“周长相等”的两个圆都是等圆.正确
理解这两个概念是避免出现错误的关键.
28.1 圆的概念及性质
方 ■方法：利用圆的定义证明多点共圆问题（数形结合）
法
这类问题一般是给出一个圆和另一个几何图形，判断几
技
巧 何图形上某些点是否在同一个圆上.解决此类问题时，可运
［答案］ 解：连接 OC，如图，∵CE=AO，OA=OC，
重
难
题 ∴OC=EC，∴ ∠E = ∠1，∴∠2 =∠E+∠1 =2∠E，
型 ∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，
突
破 ∴∠E+2∠E=75°，∴∠E=25°．
28.1 圆的概念及性质
变式衍生 如图，OA 是⊙O 的半径，B 为 OA 上一点
重
难
题 （且不与点 O，A 重合），过点 B 作 OA 的垂线交⊙O 于
型 点 C．以 OB，BC 为边作矩形 OBCD，连接 BD．若 BD=10
突
破 ，BC=8，则 AB 的长为 ______.
4
28.1 圆的概念及性质
易 ■判断“等弧”忽略在“在同圆或等圆中”
错
例 下列说法错误的是 （
）
易
混
读
续表
优弧
大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的
ABC，读作“弧 ABC”）叫做优弧
弧
劣弧
图示
小于半圆的弧（如图中的AC，读作“弧
AC”）叫做劣弧
28.1 圆的概念及性质
考
点
清
单
解
读
续表
能够完全重合的两个圆叫做等圆
(完整版)初三数学圆的经典讲义
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
九年级数学圆的知识点详解
九年级数学圆的知识点详解圆是数学中的一个基本几何形状，学习圆的知识点对九年级的数学学习至关重要。
本文将详细解释九年级数学中涉及的圆的知识点，包括圆的定义、性质、常见公式等。
希望通过本文的解析，能够帮助九年级的学生更好地掌握圆的相关概念和方法。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离恒定的所有点组成的图形。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用符号“⭕”表示，例如，圆O的圆心为O，半径为r，则该圆可以表示为⭕O(r)。
2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的距离等于圆心到这两点的距离，设圆心为O，圆上两点A和B，OA = OB。
（2）圆上的任意一点与圆心的距离等于半径的长度，即OA = r。
（3）圆的直径是通过圆心的一条线段，且它的两个端点都在圆上。
直径的长度等于半径的两倍，即d = 2r。
（4）圆的周长是圆上任意一点到它的相邻点的距离的总和，也就是圆上的任意一条线段的长度。
周长的公式为C = 2πr，其中π取3.14或3.14159。
（5）圆的面积是圆内部的所有点构成的图形的总面积。
面积的公式为A = πr²。
3. 圆的相关公式（1）圆的周长公式：C = 2πr。
其中，C代表圆的周长，r代表半径。
（2）圆的面积公式：A = πr²。
其中，A代表圆的面积，r代表半径。
（3）圆的直径与周长之间的关系：C = πd。
其中，C代表圆的周长，d代表直径。
（4）圆的直径与面积之间的关系：A = π(d/2)² = (π/4)d²。
其中，A代表圆的面积，d代表直径。
（5）圆的弧长与圆心角之间的关系：弧长L = rθ。
其中，L代表弧长，r代表半径，θ代表圆心角的弧度数。
4. 圆的应用圆的知识点不仅仅限于几何图形的计算，还涉及到很多实际应用。
比如，在工程中，通过计算圆的面积可以求得圆形的物体的表面积，从而方便设计和制造。
在日常生活中，圆的知识也可应用于制作蛋糕、制作圆形饼干等等，这些都需要对圆的周长和面积进行精确计算。
九年级数学圆的基本概念知识精讲
初三数学圆的基本概念【本讲主要内容】圆的基本概念【知识掌握】【知识点精析】1. 主要内容：圆的定义：集合概念相关概念：圆心、半径、弦、直径、弧、圆心角与圆周角重要性质：圆心角与圆周角的性质2. 重点、难点的理解与突破（1）圆的定义的引入：如图，取一根细绳拉直后卡住两端。
在一个平面内，一端点O固定，另一端点P绕着点O旋转一周，所形成的图形就是圆。
得出：平面内到定点的距离等于定长的所有的点组成的图形叫圆。
如图所示：定点O称为圆心，定长OP称为半径以O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
进一步得到：①圆上任意一点到定点的距离都等于定长；②到定点的距离等于定长的点都在这个圆上。
即：在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：★“圆”是平面图形，定义中要强调条件“在平面内”。
★“圆”指的是“圆周”而不是“圆面”。
★半径是线段，为方便起见，通常将半径的长也称为半径。
★对于圆的集合概念的理解，可以类比前面所学的角平分线是到角两边距离相等的点的集合和线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
进行类比，加强联想，形成认知。
（2）有关圆中“弧”的认识：①弧是圆上任意两点之间的部分，弧指的是圆弧，简称弧。
它是圆的一部分。
②弧的分类：弧特殊的弧——半圆任意的弧劣弧优弧⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪ 如图：C若BC 为⊙O 直径，则：<1>弧BAC 为半圆；<2>弧AB 或弧AC 为劣弧； <3>弧ACB 或弧ABC 为优弧。
优弧需三个字母表示。
③等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
特别注意：等弧存在的条件⇒互相重合。
（3）弦：联结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。
特别强调：直径是最大的弦。
直径是弦，但弦不一定是直径。
例 1. 一个点与定圆上最近点的距离为4cm ，与最远点的距离为10cm ，则圆的半径是___________。
答案：3cm 或7cm （4）与圆相关的角①圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆的基本概念和性质PPT课件
圆的相关概念
1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
AB”. 以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B 读作“弧
2、弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3、直径：经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
4、半圆：直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如
弧 ABC).
B
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有： （１）点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内 （３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＜r ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点 与一个定点的距离相等。
第17页/共19页
1:在以AB=5cm为直径的圆上到直线AB的距离为2.5cm 的点有 （ C ） Ａ．无数个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．４个
２：圆的半径是５cm，圆心的坐标是（0,0），点Ｐ 的坐标为（4,2），点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是（A ）
A．点Ｐ在⊙Ｏ内 Ｃ．点Ｐ在⊙Ｏ外
Ｂ．点Ｐ在⊙Ｏ上 Ｄ．点Ｐ在⊙Ｏ上或⊙Ｏ外
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，２厘米长为
半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的内部的公共
AA
BB
部分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
第12页/共19页
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
(5)到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２ cm的所有点组成的图形.
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
A
B
第13页/共19页
如图菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、 F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，求证： E、F、G、H在同一个圆上。
初中数学《圆》全章讲义
初中数学《圆》全章讲义内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。
【知识要点1】圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
【知识要点2】点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r【知识要点3】直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d rr d=r r dd圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的有关概念及性质PPT课件
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
(word完整版)初三数学圆的经典讲义
(w o r d完整版)初三数学圆的经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：23考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
初三《圆》知识点及定理课件.doc
高图教育 数学教研组 卢老师专用《圆》知识点及定理四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 d R r ； 一、圆的概念外切（图 2）有一个交点 d R r ； 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；相交（图 3） 有两个交点 R rd R r ；内切（图 4）有一个交点d R r ；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合内含（图 5）无交点d R r ；轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径dd的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线rrRR（也叫中垂线） ；图1图23 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离d等于定长的两条直线；d dr5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直RrR线距离都相等的一条直线。
图3Rr图4二、点与圆的位置关系图51、点在圆内 d r 点C 在圆内； 五、垂径定理2、点在圆上d r点 B 在圆上；Ad垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
3、点在圆外d r 点 A 在圆外；r推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；OBd（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；三、直线与圆的位置关系（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧C1、直线与圆相离 d r 无交点；以上共 4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 2、直线与圆相切 d r 有一个交点；个即可推出其它 3 个结论，即：3、直线与圆相交 d r 有两个交点；①AB 是直径②AB CD ③CE DE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
(完整版)初三《圆》知识点及定理(可编辑修改word版)
高图教育 数学教研组 卢老师专用《圆》知识点及定理四、圆与圆的位置关系一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合外离（图 1） ⇒ 外切（图 2） ⇒ 相交（图 3） ⇒ 内切（图 4） ⇒ 内含（图 5） ⇒ 无交点有一个交点有两个交点有一个交点无交点⇒ d > R + r ； ⇒ d = R + r ；⇒ R - r < d < R + r ； ⇒ d = R - r ； ⇒ d < R - r ；轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径 的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；周 1周 23、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直 线距离都相等的一条直线。
周 4二、点与圆的位置关系周 51、点在圆内2、点在圆上3、点在圆外 ⇒ d < r ⇒ ⇒d = r ⇒ ⇒ d > r ⇒ 点C 在圆内； 点 B 在圆上；A 点 A 在圆外；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；三、直线与圆的位置关系（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 1、直线与圆相离 2、直线与圆相切 ⇒ d > r ⇒ d = r ⇒ 无交点； ⇒ 有一个交点； 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它 3 个结论，即： 3、直线与圆相交 ⇒ d < r⇒ 有两个交点；① AB 是直径② AB ⊥ CD AD③ CE = DE④ 弧 BC = 弧 BD ⑤ 弧 AC = 弧中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
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圆中的基本概念及定理（讲义）一、知识点睛1． 平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作_____． 2． 圆中概念：弧：_________________________；弧包括______和_______； 弦：_______________________________________________； 圆周角：___________________________________________； 圆心角：___________________________________________； 弦心距：___________________________________________． 3． 圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________； 圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________． 4． 圆中基本定理：（1）垂径定理：___________________________________________________________________________________； 推论：_________________________________________ ______________________________________________； 总结：知二推三①_______________________________， ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________． （2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：___________________________________；推论1：________________________________________； 推论2：________________________________________，_______________________________________________． （4）三点定圆定理：_________________________________．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．（5）圆内接四边形性质定理：__________________________．ADBOE C二、精讲精练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A ．CM =DMB ．CB ︵=BD ︵C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD第1题图 第2题图2. 如图，⊙O 的弦AB垂直平分半径OC ，若AB ，则⊙O 的半径为_________．3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．ABC DRO第3题图 第4题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度AB =12 m ，桥拱高CD =4 m ，则拱桥的直径为__________．5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB =40°，则∠A 的度数为________．OCBA第5题图 第6题图6. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB =BCD =_______．7.7.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=________．AB第7题图第8题图8.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．9.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=__________．A DE CO G B10.如图，已知四边形AB C D内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为__________．第10题图第11题图11.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M12. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块第12题图 第13题图13. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．14. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB 为6分米．如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN 为_________．MN15. 已知：O ⊙的半径为13 cm ，弦∥，=AB CD AB 24 cm ，=CD 10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为_________________．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．定点，定长，定点，定长，⊙O．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧，劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距．3．任意一条过圆心的直线；圆心．4．（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；①过圆心的直线；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（4）不在同一条直线上的三点确定一个圆，外接圆，内接三角形，三角形三边垂直平分线的交点，外心．（5）圆内接四边形对角互补．二、精讲精练1．D 23．8 4．13m5．50°6．30°7．40°8．B9．33°10．128°11．B 12．B1314．10分米15．7cm或17cm圆中的基本概念及定理（随堂测试）1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，若AB =300m ，CD =50 m ，则这段弯路的半径是___________m ．BDC OA第1题图 第2题图2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，若∠B =40°，则∠ACD =____________．3. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5，BE =1，CD =∠AED =___________．A【参考答案】1．250 2．50° 3．30°圆中基本概念及定理（作业）1. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB 为10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 为6，则水面宽AB 的长为（ ） A ．16B ．10C ．8D ．6 第2题图2. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则下列说法不一定正确的是（ ）A ．AD =BDB ．∠ACB =∠AOEC ．AE ︵=BE ︵D ．OD =DE3. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，若∠BOC =70°，则∠A 的度数为（ ） A ．70°B ．35°C ．30°D ．20°AODB COCBA第3题图 第4题图4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1 BC ．2D．5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD = （ ） A ．116° B ．32° C ．58°D ．64°EODCBABA6.上的两点，若第6题图 第7题图7. 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________．8. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC =108°，若点D 在AB 的延长线上，且BD =BC ，则∠D =_________．O DC A第8题图 第9题图9. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ．D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB =20°，则∠OCD =_________． 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB =16 m ，半径OA =10 m ，则中间柱CD 的高度为______m ．CD BOA第10题图 第11题图11. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为_________．C12.12.如图，若△ABC 的顶点都在⊙P 上，则点P 的坐标是________．第12题图 第13题图13. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________．14. 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，若四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD =______．第14题图 第15题图15. 如图，∠PAC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3 cm ，DB =10 cm ，以DB 为直径作⊙O ，交射线AP 于E ，F 两点，则线段EF 的长是___________cm ．16. 如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，经过A ，B ，E 三点的⊙O 与边BC 交于点F ，P 为AB ︵上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4，则sin ∠P 的值为__________．【参考答案】1．A 2．D 3．B 4．D5．B 6．30°7．20°8．27°9．65°10．4 11．26寸12．(-2，-1)1314．60°15．6 16．3 5。