2018高考数学大一轮复习第六章数列课时达标检测(三十)等差数列及其前n项和理

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高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案

第二节等差数列及其前n 项和突破点一等差数列的基本运算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________．答案：32．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________．答案：143．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋da 1＋2d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n －4＋3n －72＝n 3n －112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点二等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n. [基本能力]1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：742．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．答案：23．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝( )A ．25B ．27C ．50D ．54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.(2)因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10. 由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m ，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n a 1＋a n 2＝n a 2＋a n －12(n ，m ∈N *)等． [提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n＋a m ＋n ＝2a m .考法二等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． [解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.2.[考法一]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法二]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值．法二：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从而S n ＝25n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大．突破点三等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1a n ＋a n ＋22＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1n ＋2n ＋3＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3)＝n6n ＋3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．。

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本

2018课标版理数一轮（6）第六章-数列（含答案）2第二节等差数列及其前n项和夯基提能作业本第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2016青岛模拟)在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是()A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为()A.14B.15C.16D.173.(2016淄博模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若-a m<a1<-a m+1(m∈n*,m≥2),则必有()<="" p="">A.S m>0且S m+1<0B.S m<0且S m+1>0C.S m>0且S m+1>0D.S m<0且S m+1<04.数列{a n}的前n项和S n=2n2+3n(n∈N*),若p-q=5,则a p-a q=()A.10B.15C.-5D.205.设数列{a n}的前n项和为S n,若S nS2n为常数,则称数列{a n}为“吉祥数列”.已知等差数列{b n}的首项为1,公差不为0,若数列{b n}为“吉祥数列”,则数列{b n}的通项公式为()A.b n=n-1B.b n=2n-1C.b n=n+1D.b n=2n+16.在等差数列{a n}中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=.7.等差数列{a n}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{a n}的前n项和S n中最大的为.8.(2016福建莆田期中)如果数列{a n}满足a1=2,a2=1,且an-1-a nan-1=a n-a n+1a n+1(n≥2),则这个数列的第10项等于.9.(2016威海模拟)已知S n为正项数列{a n}的前n项和,且满足S n=12a n2+12a n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{a n}的通项公式.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.B组提升题组11.(2016德州模拟)已知正项数列{a n}的前n项的乘积T n=14n2-6n(n∈N*),b n=log2a n,则数列{b n}的前n项和S n中最大的是()A.S6B.S5C.S4D.S312.已知等差数列{a n}的公差d>0,若a1+a2+…+a2017=2017a m(m∈N*),则m=.13.(2016四川成都一诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4+a9=24,则S88·S1010的最大值为.14.(2016安徽安庆二模)已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列,S n为其前n项和,且a n=S2n-1(n∈N*).若不等式λa n ≤n+8n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的最大值为.15.已知数列{a n}是等差数列,b n=a n2-a n+12.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{b n}的前n项和为S n,是否存在实数k,使S n当且仅当n=12时取得最大值?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.16.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.答案全解全析 A 组基础题组1.B 由等差数列的通项公式知,a 2+a 12=2a 1+12d=2(a 1+6d)=32,所以 a 1+6d=16,所以2a 3+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d)=48.2.C 设等差数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,∴5a 8=120,a 8=24,∴a 9-13a 11=(a 8+d)-13(a 8+3d)=23a 8=16.3.A 由题意知,a 1+a m >0,a 1+a m+1<0,得S m =m (a 1+a m )2>0,S m+1=(m +1)(a 1+a m +1)2<0.4.D 解法一:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2+3n-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1, 当n=1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n+1,∴a p -a q =4(p-q)=20.解法二:由题意可知{a n }为等差数列,且公差d=2×2=4,∴a p -a q =d(p-q)=20.5.B 设等差数列{b n }的公差为d(d ≠0),S n S 2n=k,因为b 1=1,则n+12n(n-1)d=k 2n +12×2n(2n-1)d ,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n-1.6.答案 10 解析 S 100=1002(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=0.9,a 1+a 99=a 1+a 100-d=0.4,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×0.4=10.7.答案 S 5解析∵ a 4+a7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴ a 5>0,a 6<0,∴S n 中最大的为S 5. 8.答案15解析∵a n -1-a n a n -1=a n -a n +1a n +1(n ≥2),∴a n =2a n -1a n +1an +1+a n -1(n ≥2),∴2a n=1an +1+1a n -1(n ≥2),∴ 1a n为等差数列.∴公差d=1a 2-1a 1=1-12=12,∴1a 10=12+9×12=5,∴a 10=15.9.解析(1)已知{a n}是正项数列,由S n=1 2a n2+12a n(n∈N*),可得a1=12a12+12a1,解得a1=1;S2=a1+a2=12a22+12a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)S n=12a n2+12a n,①当n≥2时,S n-1=12an-12+12a n-1,②①-②化简得(a n-a n-1-1)(a n+a n-1)=0(n≥2),又{a n}为正项数列,∴a n-a n-1=1(n≥2).由(1)知a1=1,故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列,故a n=n.10.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减可得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1. 由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.此时a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}(n∈N*)是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}(n∈N*)是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.B组提升题组11.D当n=1时,a1=T1=14-5=45,当n≥2时,a n=T nTn-1=142n-7,显然a1=45也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=142n-7,所以b n=log2a n=14-4n,数列{b n}是以10为首项,-4为公差的等差数列,所以S n=10n+n(n-1)(-4)2=-2n2+12n=-2[(n-3)2-9],易得S n中最大的是S3.12.答案1009解析因为数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a2017=2017a1+2017×20162d=2017(a1+1008d),又 a m=a1+(m-1)d,所以根据题意得,2017(a1+1008d)=2017[a1+(m-1)d],解得m=1009.13.答案 64解析设等差数列{a n }的公差为d,则a 2+a 4+a 9=3a 1+12d=24,即a 1+4d=8,所以S n n=na 1+n (n -1)2d n=a 1+n -12d=8-4d+n -12d,则S 88=8-4d+72d=8-d 2,S 1010=8-4d+92d=8+d 2,S 88·S 1010= 8-d 2 8+d2 =64-d 24≤64,当且仅当d=0时取等号,所以S88·S 1010的最大值为64.14.答案 9解析 a n = S 2n -1?a n = (2n -1)(a 1+a 2n -1)2= (2n -1)a n ?a n 2=(2n-1)a n ?a n =2n-1,n ∈N *.因为λa n ≤n +8n,所以λ≤(+8)(2n -1)n,即λ≤2n-8n+15.易知y=2x-8x(x>0)为增函数,∴2n -8n+15≥2×1-81+15=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9. 15.解析 (1)证明:设{a n }的公差为d,则b n+1-b n =(a n +12-a n +22)-(a n 2-a n +12)=2a n +12-(a n+1-d)2-(a n+1+d)2=-2d 2,∴数列{b n }是以-2d 2为公差的等差数列.(2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d=1-k,又13a 1+13×(13-1)2×2d=130,∴a 1=-2+12k,∴a n =a 1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,∴b n =a n 2-a n +12=(a n +a n+1)·(a n -a n+1)=-2(1-k)2n+25k 2-30k+5.(3)存在.要满足当且仅当n=12时S n 最大,则b 12>0,b 13<0.即-2(1-k )2·12+25k 2-30k +5>0,-2(1-k )2·13+25k 2-30k +5<0? k 2+18k-19>0,k 2-22k +21>0? k >1或k <-19,k >21或k <1?k>21或k<-19,故存在满足题意的实数k,此时k ∈(-∞,-19)∪(21,+∞). 16.解析 (1)证明:∵f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7=[x-(n+1)]2+3n-8,∴a n =3n-8.∵a n+1-a n =3(n+1)-8-(3n-8)=3,∴数列{a n }为等差数列.(2)由题意知,b n =|a n |=|3n-8|,∴当1≤n ≤2,n ∈N *时,b n =8-3n,S n =n (b 1+b n )2=n [5+(8-3n )]2=13n -3n 22;当n ≥3,n ∈N *时,b n =3n-8,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =5+2+1+…+(3n-8)=7+(n -2)[1+(3n -8)]2=3n 2-13n+282.∴S n = 13n-3n 22,1≤n ≤2,n ∈N *,3n 2-13n+282,n ≥3,n ∈N *.</a1<-a>。

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第六章数列 6-2 Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·泉州模拟)等差数列{a n }的前三项为x －1，x ＋1，2x ＋3，则这个数列的通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1∵等差数列{a n }的前三项为x －1，x ＋1，2x ＋3，∴2(x ＋1)＝(x －1)＋(2x ＋3)，解得x ＝0.∴a 1＝－1，a 2＝1，d ＝2，故a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3.【答案】 B2．(2016·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2，4，6，8，…，2(n －1)，2n ；②1，1，2，3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2，4，6，8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1，1，2，3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.【答案】 B3．(2016·山东齐鲁名校第二次联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 5＝15，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为910，则n 的值为( ) A ．8 B ．9C ．10D ．11因为S 5＝15，{a n }为等差数列，所以a 3＝3，又a 2＝2，所以公差d ＝1，a n ＝n .所以1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·a 4＋…＋1a n ·a n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9.【答案】 B4．(2016·西安八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37. 【答案】 A5．(2016·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．243a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ＋1·a k ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k ＜0，∴452＜k ＜472，∴k ＝23. 【答案】 C6．(2016·唐山期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．设数列{a n }的公差为d ，S 3＝6，S 4＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝6，4a 1＋4×32d ＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴S 6＝6a 1＋6×52d ＝30. 【答案】 307．(2016·海淀模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，∴a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，∴a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5.【答案】 58．(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________．由等差数列性质可得a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0，∴d ＝a 4－a 13＝－2，∴S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝6. 【答案】 69．(2016·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n ＞0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；(2)求{a n }的前n 项和S n .(1)证明由4S n ＝a 2n ＋2a n －3，4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5＞0，所以a 1＞0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（－1）n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－（－1）n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.10．(2016·济南模拟)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？方法一由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1. 从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大．方法三由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．方法四由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A. 【答案】 A12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝（k ＋1）（a 1＋a k ＋1）2＝（k ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.【答案】 1313．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 【答案】 194114．(2016·青岛二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0.因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n. 由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n （n －1），又∵a 1＝12，不适合上式． ∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2. 15．(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，所以a 3＜a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.。

【最新】高中数学-2018高考数学(理)大一轮复习习题：第六章数列课时达标检测(三十二) 数列的

课时达标检测（三十二）数列的综合问题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n 解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.2．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：选 A ∵a n ＝(－1)n(3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.3．(2016·南昌三模)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n，则数列{b n }的前n 项和为( )A.n ＋12n ＋2B.34－2n ＋32n ＋1n ＋2C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3n ＋1n ＋2解析：选B 易得a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，故T n＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 4.12＋12＋38＋…＋n2n 的值为________．解析：设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－n －22n ＝2－n ＋22n . 答案：2－n ＋22n5．(2017·江西八校联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 007一、选择题1．(2017·皖西七校联考)在数列{a n }中，a n ＝2n－12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝32164，则n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 由a n ＝2n－12n ＝1－12n 得S n ＝n －12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6.2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．若p －q＝10，则a p －a q ＝( )A ．14B ．15C ．16D ．17解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意分析知d >0，因为a 3，a 4＋52，a 11成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋522＝a 3a 11，即⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋3d 2＝(1＋2d )·(1＋10d )，即44d 2－36d －45＝0，所以d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫d ＝－1522舍去，所以a n ＝3n －12.所以a p －a q ＝32(p －q )＝15. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，那么S 100的值为( ) A ．2 500B ．2 600C ．2 700D ．2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 为奇数，n n 为偶数，于是S 100＝50＋2＋100×502＝2 600.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( ) A ．2 017 B ．2 016 C ．1 009 D ．1 007解析：选C 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009，故选C.5．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.6．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋1a n 的前n 项和T n ＝( ) A ．－n2n ＋1B.n2n ＋1 C ．－2n2n ＋1D.2n2n ＋1解析：选C 设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a 3－a 12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以12n ＋1a n＝－22n －12n ＋1＝－12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1，故选C. 二、填空题7．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.答案：1 1218．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于________．解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *，故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1 512.答案：1 5129．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－210．(2017·福建泉州五中模拟)已知lg x ＋lg y ＝1，且S n ＝lg x n＋lg(xn －1y )＋lg(x n－2y 2)＋…＋lg(xy n －1)＋lg y n ，则S n ＝________.解析：因为lg x ＋lg y ＝1，所以lg(xy )＝1. 因为S n ＝lg x n＋lg(xn －1y )＋lg(x n －2y 2)＋…＋lg(xy n －1)＋lg y n ，所以S n ＝lg y n ＋lg(xyn －1)＋…＋lg(xn －2y 2)＋lg(x n －1y )＋lg x n ，两式相加得2S n ＝(lg x n＋lg y n)＋＋…＋(lg y n＋lg x n)＝lg(x n·y n)＋lg(xn －1y ·xy n －1)＋…＋lg(y n ·x n )＝n ＝n 2lg(xy )＝n 2，所以S n ＝n 22.答案：n 22三、解答题11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.解：(1)由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.∴S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7， ∴d ＝2，则b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明：∵log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1， ∴c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. ∵n ∈N *，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝12n ＋12n －1>0，∴数列{T n }是一个递增数列，∴T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.12．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，试求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n＝3n2－2n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n2－2n)－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以a n＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得b n＝3a n a n＋1＝36n－5[6n＋1－5]＝12⎝⎛⎭⎪⎫16n－5－16n＋1，故T n＝121－17＋⎝⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋16n－5－16n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－16n＋1＝3n6n＋1.。

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第六章数列 6-3 Word版含答案

组专项基础训练(时间：分钟)．(·宁夏大学附中上学期月考)等比数列{}的前项和为，已知＝＋，＝，则＝()．－．－【解析】设等比数列{}的公比为，∵＝＋，＝，∴解得【答案】．(·山西四校联考)等比数列{}满足＞，∈*，且·－＝(≥)，则当≥时，＋＋…＋－等于()．(－) ．(＋)．．(－)【解析】由等比数列的性质，得·－＝＝，从而得＝.方法一＋＋…＋－＝＝(－)＝(－)．方法二取＝，＝＝，而(＋)＝，(－)＝，排除，；取＝，＋＋＝＋＋＝，而＝，排除，选.【答案】．(·山东潍坊重点高中联考)设等比数列{}的前项和为，若＝，则＝()．．【解析】依题意知等比数列的公比≠±，设＝，则＝(≠)，结合，－，－成等比数列可知－＝，故＝.所以＝ .【答案】．(·湖南师大附中月考)已知各项不为的等差数列{}满足－＋＝，数列{}是等比数列，且＝，则··＝()．．．．【解析】由等差数列的性质，得＋＝.由－＋＝，可得＝，所以＝＝.由等比数列的性质得··＝＝＝＝.【答案】．(·甘肃河西五市部分普通高中第一次联考)正项等比数列{}中的，是函数()＝－＋－的极值点，则＝()．－．．【解析】∵′()＝－＋，∴·＝.又∵{}为正项等比数列，∴)＝·＝，∴＝＝.【答案】．(·广州综合测试)已知数列{}为等比数列，若＋＝，则(＋)＋的值为()．．．．【解析】(＋)＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＝＝.【答案】．(·长春调研)在正项等比数列{}中，已知＝，＝，－＋＝，则＝．【解析】设数列{}的公比为，由＝＝与＝＝，可得＝，－＋＝－＝，因此－＝＝＝，所以－＝，即＝.【答案】．(·南宁测试)在各项均为正数的等比数列{}中，＝，且，，成等差数列．则＝．【解析】设数列{}的公比为，∵，，成等差数列，∴＋＝，＋＝，－－＝，解得＝或＝－.∵＞，∴＝.∵＝，∴数列{}的通项公式为＝－＝.【答案】．(·河南实验中学期中)数列{}满足：＋＝＋，＝＋－，且＝，＝.()求数列{}的通项公式；()求数列{}的前项和.【解析】 ()由＋＝＋，得＋＋＝(＋)，∴＝，又＋＝－＋＝，∴数列{＋}是首项为，公比为的等比数列．。

2018版高考数学大一轮复习第六章数列 6.2 等差数列及其前n项和教师用书文新人教版

2018版高考数学大一轮复习第六章数列 6.2 等差数列及其前n 项和教师用书文新人教版1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋－2×12＝52. (2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋－2×(－2)＝6.思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14，∴S 7＝a 1＋a 72＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n}是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1 (2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A 解析 (1)S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二因为S 100－S 10＝a 11＋a 1002＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S110＝a 1＋a 1102＝a 11＋a 1002＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24 D ．32答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱答案 D解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11答案 C解析由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( )A ．24B ．48C ．66D ．132答案 D解析方法一由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d . 又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12.由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝a 1＋a 112＝11×2a 62＝132，故选D.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9答案 C解析由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C. *6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝n －1 B ．b n ＝2n －1 C ．b n ＝n ＋1 D D ．b n ＝2n ＋1答案 B解析设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案 1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋a 1＋a k ＋12 ＝k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋－2n 2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n | ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －＋n －2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。

2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第六章第二节等差数列及其前n项和Word版含解析

第二节等差数列及其前n 项和突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(5)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2016·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．－2D ．3[解析] (1)∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，则公差d ＝a 4－a 3＝2，故选B. (2)由S 3＝3(a 1＋a 3)2＝6，且a 1＝4，得a 3＝0，则d ＝a 3－a 13－1＝－2，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2] (1)n 396n n 的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. [解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S偶＝n ∶(n －1)．(4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.[解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20等差数列前n 项和的最值[例2] 等差数列{a n 1n 512n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，其中c ≠0. ∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C. 4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2016·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37. 3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2017·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n的最大值为121.二、填空题7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1an(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2. 又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第六章

6．2 等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d 表示，即＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项三个数a ，A ，b 成等差数列，这时A 叫做a 与b 的________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝________. ①{a n }成等差数列⇔a n ＝pn ＋q ，其中p ＝________，q ＝________，点(n ，a n )是直线________上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为________数列；d ＜0时，{a n }为________数列；d ＝0时，{a n }为________．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝________＝________.其推导方法是________．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ____，a n ＋1____时，S n 最大；若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ____，a n ＋1____时，S n 最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值． 5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1-a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质 (1)a m -a n ＝ d ，即d ＝a m -a nm -n. (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q＝a m ＋；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．但要注意：在等差数列a n ＝kn＋b 中，若m ＝p ＋q ，易证得a m ＝a p ＋a q 成立的充要条件是b ＝0，故对一般等差数列而言，若m ＝p ＋q ，则a m ＝a p ＋a q 并不一定成立．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为数列，且公差分别为，， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶-S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.自查自纠1．差常数公差 a n -a n -1 a n ＋1-a n 2．等差中项3．a 1＋(n -1)d ①d a 1-d y ＝dx ＋(a 1-d )②单调递增单调递减常数列 4．(1)n （a 1＋a n ）2na 1＋n （n -1）d2倒序相加法(2)≥0 ≤0 ≤0 ≥0( ( ( (S ，且⎭⎪⎫a 1-d 2x ，如图，知，抛物线的对称轴为1≤n ≤8时，S n 单调递增；当S 8＝S 9.，所以当n ＝8或9时，S 解法二：设等差数列{a n }的公差为66d ，d ＝-18a 1＜0.-1）d ＝na 1＋n （n -121⎛⎫172S an。

高考数学一轮复习第六章数列课时规范练30等比数列

课时规范练30等比数列基础巩固组1.(2020河南开封定位考试)等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3+4S2=0,则公比q=()A.-1B.1C.-2D.22.(2020东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三联合考试)等比数列{a n}各项均为正数,若a1=1,a n+2+2a n+1=8a n,则{a n}的前6项和为()A.1365B.63C.6332D.136510243.(多选)设等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足a6=8a3,则()A.数列{a n}的公比为2B.数列{a n}的公比为8C.63=8D.63=94.(2020全国2,理6)数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.55.(2020福建龙岩高三教学质量检查)由实数构成的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=()A.62B.124C.126D.1546.(多选)设等比数列{a n}的公比为q,则下列结论正确的是()A.数列{a n a n+1}是公比为q2的等比数列B.数列{a n+a n+1}是公比为q的等比数列C.数列{a n-a n+1}是公比为q的等比数列D.数列1是公比为1的等比数列7.(2020浙大附中模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且+1=pS n+q(n∈N*,p≠-1),则“a1=q”是“{a n}为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若63=3,则96=.9.已知{a n}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{a n}的通项公式为;a1a2+a2a3+…+a n+1(n∈N*)=.10.(2018全国3,理17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.公众号：一枚试卷君11.在①数列{a n}的前n项和S n=12n2+52n;②函数f(x)=sinπx-23cos2π2x+3的正零点从小到大构成数列{x n},a n=x n+83;③2-a n--12−-1=0(n≥2,n∈N*),a n>0,且a1=b2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的M存在,求出M的最小值;若M不存在,说明理由.问题:数列{b n}是首项为1的等比数列,b n>0,b2+b3=12,且,设数列1log3r1的前n项和为T n,是否存在M∈N*,使得对任意的n∈N*,T n<M?综合提升组12.(多选)(2020山东威海模考)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n.前n项积为T n,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,7-18-1<0.则下列结论正确的是()A.0<q<1B.a7·a9>1C.S n的最大值为S9D.T n的最大值为T713.(2020辽宁大连第二十四中学模拟)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,S n为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S n=尺.14.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=2S n-S n+1+3,记b n=log2a2n-1+log2a2n,则b n=.创新应用组15.(多选)(2020山东青岛高三模拟)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”.其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”.已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为a n,b n=2,对于数列{a n},{b n},下列选项中正确的为()A.b10=8b5B.{b n}是等比数列C.a1b30=105D.3+5+72+4+6=20919316.(2020浙江十校联考)已知数列{a n}满足a1=35,a n+1=32+1,n∈N*.(1)求证:数列1-1为等比数列.(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t成等差数列,且a m-1,a s-1,a t-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.参考答案课时规范练30等比数列1.C因为a3+4S2=0,所以a1q2+4a1+4a1q=0.因为a1≠0,所以q2+4q+4=0,所以q=-2.故选C.2.B∵等比数列{a n}各项均为正数,且a n+2+2a n+1=8a n,∴a n q2+2a n q=8a n,即q2+2q=8,可得q=2或q=-4(舍去),∴S6=1(1-6)1-=63.故选B.3.AD因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足a6=8a3,所以63=q3=8,解得q=2,所以63=1-61-3=1+q3=9.故选AD.4.B设该女子第一天织布x尺,则(1-25)1-2=5,得x=531,所以前n天所织布的总尺数为531(2n-1).由531(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8.故选B.5.C由题意知2a3=a2-4+a4,设{a n}的公比为q,则212=1-4+13,1=2,解得q=2,则S6=2(1-26)1-2=126.故选C.6.AD对于A,由r1-1=q2(n≥2)知,数列{a n a n+1}是公比为q2的等比数列,故A正确;对于B,当q=-1时,数列{a n+a n+1}的项中有0,不是等比数列,故B错误;对于C,当q=1时,数列{a n-a n+1}的项中有0,不是等比数列,故C错误;对于D,1r11=r1=1,所以数列1是公比为1的等比数列,故D正确.故选AD.7.C因为a n+1=pS n +q ,所以当n ≥2时,a n =pS n-1+q ,两式相减得a n+1-a n =pa n ,即当n ≥2时,r1=1+p.当n=1时,a 2=pa 1+q.所以当a 1=q 时,21=1+p ,满足上式,故数列{a n }为等比数列,所以满足充分性;当{a n }为等比数列时,有a 2=pa 1+q=(1+p )a 1,解得a 1=q ,所以满足必要性.故选C .8.73(方法1)由等比数列的性质可知S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,由已知得S 6=3S 3,∴6-33=9-66-3,即S 9-S 6=4S 3,S 9=7S 3,∴96=73.(方法2)因为{a n }为等比数列,由63=3,设S 6=3k ,S 3=k (k ≠0),所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等比数列,即k ,2k ,S 9-S 6成等比数列,所以S 9-S 6=4k ,解得S 9=7k ,所以96=73=73.9.a n =4×12n-1323×1-14n由a 2=2,a 1+a 3=5,{a n }是递减的等比数列,得a 1=4,a 3=1,所以q=12,a n =4×12n-1,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n +1是首项为8,公比为14的等比数列的前n 项和.故a 1a 2+a 2a 3+…+a n +1=8+2+12+…+8×14n-1=8×[1-(14)]1-14=323×1-14n .10.解(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m=6.综上,m=6.11.解设数列{b n }的公比为q (q>0),因为数列{b n }是首项为1的等比数列,且b n >0,b 2+b 3=12,所以q 2+q-12=0,解得q=3(q=-4不合题意,舍去),所以b n =3-1.若选①,由S n =12n 2+52n ,可得-1=12(n-1)2+52(n-1)(n ≥2),两式相减可得a n =n+2(n ≥2),又因为a 1=S 1=3也符合上式,所以a n =n+2,所以1log 3r1=1(r2)=121−1r2,则T n =121-13+12−14+13−15+…+1−1r2=34−121r1+1r2.因为1r1+1r2>0,所以T n <34,由题意可得M≥34,又因为M∈N*,所以存在M满足题意,并且M的最小值为1.若选②,f(x)=sinπx-23cos2π2x+3=sinπx-3cosπx=2sinπx-π3,令f(x)=0,可得πx-π3=kπ,k∈Z,解得x=k+13,k∈Z,即x n=n-1+13=n-23,故a n=x n+83=n+2,同上①,则存在M满足题意,并且M的最小值为1.若选③,则由2-a n--12−-1=0,得(a n--1-1)(a n+-1)=0.又因为a n>0,所以a n--1-1=0,即a n-=1,所以数列{a n}是公差为1的等差数列.又因为a1=b2,则a1=3,所以a n=n+2.-1同上①,则存在M满足题意,并且M的最小值为1.12.AD∵a1>1,a7·a8>1,可知q>0,又7-18-1<0,∴a7>1,a8<1,∴0<q<1,故A正确;a7a9=82<1,故B错误;∵a1>1,0<q<1,∴数列{a n}为各项均为正数的递减数列,∴S n无最大值,故C错误;又a7>1,a8<1,∴T7是数列{T n}中的最大项,故D正确.故选AD.13.2n-12-1+1由题意可知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,前n天打洞的距离之和为1-21-2=2n-1.小老鼠每天打洞的距离是以1为首项,12为公比的等比数列,前n天打洞的距离之和为1-(12)1-12=2-12-1.所以S n=2n-1+2-12-1=2n-12-1+1.14.2n-1∵a1=1,a2=2,且a n+2=2S n-S n+1+3,∴当n=1时,a3=2-3+3=2.∵a n+2=2S n-S n+1+3,∴当n≥2时,a n+1=2S n-1-S n+3.两式相减可得,a n+2-a n+1=2(S n-S n-1)-(S n+1-S n)(n≥2),即当n≥2时,a n+2-a n+1=2a n-a n+1,即a n+2=2a n.∵a3=2a1,∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,∴a2n=2×2n-1=2n,a2n-1=1×2n-1=2n-1,∴b n=log2a2n-1+log2a2n=n-1+n=2n-1.15.BD由题意可知,数列{a n}为等差数列,设数列{a n}的公差为d,a1=5,由题意可得30a1+30×292=390,解得d=1629,∴a n=a1+(n-1)d=16r12929.∵b n=2,∴r1=2r12=2r1-=2d(非零常数),则数列{b n}是等比数列,故B正确;∵5d=5×1629=8029≠3,∴105=(2)5=25d≠23,∴b10≠8b5,故A错误;a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,故C错误;∵a4=a1+3d=5+3×1629=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=20929,∴3+5+72+4+6=3534=54=209193,故D正确.故选BD.16.(1)证明因为a n+1=32+1,所以1r1=13+23,所以1r1-1=131-1.因为a1=35,则11-1=23.所以数列1-1是首项为23,公比为13的等比数列.(2)解不存在.理由如下,由(1)知,1-1=23×13n-1=23,所以a n=33+2.假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,则有+=2,(-1)2=(-1)(-1).由a n=33+2与(a s-1)2=(a m-1)(a t-1),得33+2-12=33+2-133+2-1.即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s.因为m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.因为3m+3t≥23r=2×3s,当且仅当m=t时等号成立,这与m,s,t互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.。

限时集训(三十) 等差数列及其前n项和

限时集训(三十) 等差数列及其前n 项和(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝a ，则a 2＋a 9＋a 16等于( ) A.a 17B.4a 17C.3a 17 D ．－3a 173．(2013·秦皇岛模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．54．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．185．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.94B.32C.53 D ．46．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }中a 1＝1，前n 项和S n 满足S 4S 2＝4，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n >1且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．9．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012·(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011<a 2；④S 2 011<S 2.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．11.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．12．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若{a n }是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n }满足a 1＝2，S n 为{a n }的前n 项和，求S 2n ＋1.限时集训(三十) 等差数列及其前n 项和答案1．A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B7．n 2 8.10 9.②③10．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7. 所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.11．解：(1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.故a n ＝4n －3(n ∈N *)． (2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c. ∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 12．解：(1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，① a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②由②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，即a 1＝－12. ∴a n ＝2n －52. (2)∵a 1＝2，a 1＋a 2＝1，∴a 2＝－1. 又∵a n ＋2－a n ＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a 2n －1＝4n －2，a 2n ＝4n －5， S 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(n ＋1)×2＋(n ＋1)n 2×4＋n ×(－1)＋n (n －1)2×4＝4n 2＋n ＋2.。

[推荐学习]2018版高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和真题演练集训理新人教A版

2018版高考数学一轮复习第六章数列 6.2 等差数列及其前n 项和真题演练集训理新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案：C解析：由等差数列性质知，S 9＝a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，解得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n ＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m n －m(n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________.[思路分析][解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上．不妨设p <q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示，由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0.[答案] 0[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000.[思路分析][解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线，所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300，解得a 1 000＝3 004.2．等差数列前n 项和的求解在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有S n n －S m m n －m ＝d 2(常数)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n .[解] 由题意知，⎝⎛⎭⎪⎫n ，33n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上，从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33. 所以该数列的前3n 项的和为33.。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习第06章数列测试题-含答案

2 Sn
( n 1)an ，若关于正整数
2
n 的不等式 an
tan ≤ 2t 2 的解集中的整数解有两个，则正实
数 t 的取值范围为
【答案】
3 (1, )
2
▲．
10. 【 2017 届高三七校联考期中考试】设等差数列
an 的前 n 项和为 Sn ，若 a5 a3
5
▲ ．【答案】
2
【解析】 a5 5 a3 3
【答案】 9
【解析】∵ a1a9 a52 ∴ log 2 a1 log 2 a2
4 ，∴ a5 2 ， log 2 a9 log 2 (a1a2
a9 ) log 2 a59
9log 2 a5 9 ，
2. 【 2016-2017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知数列
an 满足：
an 1 an 1 an 1 , a1 1 ，数列 bn 满足： bn an an 1 ，则数列 bn 的前 10 项的和
34
，则满足
S2n
16
的所有
n 的和为
_________.
33 Sn 15
【答案】 4
【解析】因 an 1 Sn 1 Sn , 故代入已知可得 2Sn 1 Sn 3 , 即 2( Sn 1 3) Sn 3 , 也即
Sn 1
3
1 ( Sn
2
3) , 故数列 { Sn
3} 是公比为 1 的等比数列 , 所以 Sn 2
第 06 章数列
班级 __________ 姓名 _____________ 学号 ___________ 得分 __________ 一．填空题：
1. 【2016-2017 学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知等比数列 an 的各项均为正数，

2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书第六章数列 6.2 等差数列及其前n项和 Word版含答案

§等差数列及其前项和考纲展示►.理解等差数列的概念..掌握等差数列的通项公式与前项和公式..能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题..了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点等差数列的基本运算.等差数列的有关概念()等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为－－＝(常数)(∈*，≥)或＋－＝(常数)(∈*)．()等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有＝.答案：() 同一个常数．等差数列的有关公式()等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为，公差为，那么它的通项公式是．()等差数列的前项和公式设等差数列{}的公差为，其前项和＝＋或＝.答案：()＝＋(－)()[教材习题改编]已知等差数列－，－，…，则该数列的第项为．答案：()[教材习题改编]在以内的正整数中有个能被整除的数．答案：知三求二．等差数列中，有五个基本量，，，，，，这五个基本量通过，联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式前项和公式[典题] ()设为等差数列{}的前项和，＝，＝－，则＝( )．－．－．．－[答案][解析]解法一(常规解法)：设公差为，则＋＝＋，即＝－，＝＋＝－＋＝＝－，所以＝＋＝－.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得＝(＋)，又＝，所以＝，又＝－，所以＝－，＝－.()[·河北武邑中学高三期中]等差数列{}中，是其前项和，＝－，－＝，则＝( )．－．．．－[答案][解析]因为是等差数列，且公差为＝，故＝＋×(－)＝－＋＝，故选.()[·河北唐山模拟]设等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.[答案][解析]解法一：设数列{}的首项为，公差为，由＝，＝，可得(\\(＝＋＝，＝＋＝，))解得(\\(＝，＝，))则＝＋＝.解法二：∵等差数列{}，故可设＝＋，由＝，＝，可得(\\(＝＋＝，＝＋＝，))解得(\\(＝，＝－，))即＝－，则＝－＝.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤()解题思路由等差数列的前项和公式及通项公式可知，若已知，，，，中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．()答题步骤。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第六章数列单元测试卷Word版含答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．-1B ．0C.14D.12解：由题意知a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4-a 22＝12.所以a 1＝a 2-d ＝0.故选B . 2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n -1)C.n （n ＋1）2D.n （n -1）2解：因为d ＝2，a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2a 8，即(a 2＋2d )2＝a 2(a 2＋6d )，解得a 2＝4，a 1＝2.所以利用等差数列的求和公式可求得S n ＝n (n ＋1)．故选A .3．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为a n 的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12解：因为公差d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋12×8×7＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B . 4．(2015·西安模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212B ．6C ．10D ．11解：S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6.故选B .5．(2016·开封联考)已知{a n }为正项等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 1＝16，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5的值为( ) A ．29B ．31C ．33D ．35解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝16q 3，a 7＝16q 6，因为a 4与a 7的等差中项为98，所以a 4＋a 7＝94，即16q 3＋16q 6＝94，解得q ＝12(负值舍去)，S 5＝a 1（1-q 5）1-q ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1251-12＝31.故选B .6．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若-a m <a 1<-a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0解：-a m <a 1<-a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m ＞0，a 1＋a m ＋1＜0，得S m ＝a 1＋a m2·m ＞0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)＜0.故选A .7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解：设该等比数列的公比为q ，项数为2n ，则有S 偶＝q ·S奇，所以q ＝17085＝2.又S 2n ＝S 偶＋S奇＝a 1（1-q 2n ）1-q＝85＋170＝255，所以22n-1＝255.所以2n ＝8.故这个数列的项数为8.故选C .8．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解法一：对于p 1，由a n ＋1-a n ＝d >0知其为真命题；对于p 2，举反例数列：{-3，-2，-1}，而数列{-3，-4，-3}非递增数列，p 2为假命题；对于p 3，举反例数列：{1，2，3}，而数列{1，1，1}非递增数列，p 3为假命题；对于p 4，a n ＋1＋3(n ＋1)d -(a n ＋3nd )＝4d ＞0，因此{a n ＋3nd }是递增数列，p 4为真命题．解法二：a n ＝a 1＋(n -1)d ＝dn ＋(a 1-d )，令f (x )＝dx ＋(a 1-d )．因此只需要考查f (x )，xf (x )，f （x ）x，f (x )＋3dx 四个函数的图象和性质即可知，只有p 1，p 4为真命题．故选D .9．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝( )A ．lg2 018B ．lg2 017C ．-lg2 018D ．-lg2 017解：因为y ′＝(n ＋1)x n，所以曲线y ＝x n ＋1在点(1，1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y -1＝(n ＋1)(x -1)，令y ＝0，得x n ＝1-1n ＋1＝nn ＋1.则a n ＝lg x n＝lgn n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2017＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018＝lg 12 018＝-lg2 018.故选C . 10．(2015·合肥联考)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为a 2a 4＝4，a n >0，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2. 消去a 1得，1＋qq2＝6.因为q >0，所以q ＝12，所以a 1＝8，所以a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1＝24-n.所以不等式a n a n ＋1a n ＋2>19化为29-3n >19，当n ＝4时，29-3×4＝18＞19，当n ＝5时，29-3×5＝164<19.故选B . 11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2-b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解：依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.故选D .12．(2016·青岛二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n -1B ．b n ＝2n -1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n -1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n （2n -1）d ，即2＋(n -1)d ＝4k ＋2k (2n -1)d ，整理得(4k -1)dn ＋(2k -1)(2-d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k -1)d ＝0，(2k -1)(2-d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n＝2n -1.故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·武汉调研)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．解：设每天增加的数量为x 尺，则5×30＋30×（30-1）x 2＝390，所以x ＝1629.故填1629.14．(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解：因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，a 4＝0，a 4-a 1＝3d ＝-6，d ＝-2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(-2)＝6.故填6.15．(2014·四川模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1-1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝__________．解：由题中调和数列的定义，易得x n ＋1-x n ＝d ，所以数列{x n }是等差数列，则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11，所以x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 5＋x 16)＝200，x 5＋x 16＝20.故填20.16．(2015·扬州模拟)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．解：设1＋2＋4＋…＋2n -1＝1 023，即1-2n1-2＝1 023，2n＝1 024，n ＝10.正方形边长构成数列22，⎝ ⎛⎭⎪⎫222，⎝ ⎛⎭⎪⎫223，…，其中第10项为⎝ ⎛⎭⎪⎫2210＝132，即所求最小正方形的边长为132.故填132.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2015·云南检测)在数列{a n }中，a 1＝1，数列{a n ＋1-3a n }是9为首项，3为公比的等比数列．(1)求a 2，a 3；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n .解：(1)因为数列{a n ＋1-3a n }是9为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1-3a n ＝9×3n -1＝3n ＋1，所以a 2-3a 1＝9，a 3-3a 2＝27，所以a 2＝12，a 3＝63. (2)因为a n ＋1-3a n ＝3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1-a n3n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是13为首项，1为公差的等差数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 的前n 项和S n ＝n 3＋n （n -1）2＝3n 2-n6.的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解：(1)由已知a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n -1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n项和为S n ，则S n ＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1-13＝32-12×3n -1.19．(12分)(2016·天津)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1-1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(-1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知有1a 1-1a 1q＝2a 1q 2，解得q ＝2，或q ＝-1，又由S 6＝a 1（1-q 6）1-q＝63知q ≠-1，所以a 1（1-26）1-2＝63，解得a 1＝1，所以a n＝2n -1.(2)由题意得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n -1＋log 22n)＝n -12，b 1＝12，即数列{b n }是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(-1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(-b 21＋b 22)＋(-b 23＋b 24)＋…＋(-b 22n -1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.20．(12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式． (2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值．(用m 表示)解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)-d ＝3 000-d ，a 2＝a 1(1＋50%)-d ＝32a 1-d ＝4 500-52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)-d ＝32a n -d .(2)由(1)知a n ＝32a n -1-d (n ≥2)，即a n -2d ＝32(a n -1-2d )，所以{a n -2d }是以3 000-3d为首项，32为公比的等比数列，则a n ＝(3 000-3d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1＋2d .由题意a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32m -1()3 000-3d ＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m -2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m -1＝1 000()3m -2m ＋13m -2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000()3m-2m ＋13m -2m时，经过m ()m ≥3年企业的剩余资金为4 000万元．答略．21．(12分)已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1-a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解：(1)由题意知{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n ≥2时，b n ＝S n -S n -1＝(n 2＋2n ＋1)-＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.(2)由(1)知当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1-12n ＋3，所以T n ＝120＋12[⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17-19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1-12n ＋3]＝120＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15-12n ＋3＝120＋n -110n ＋15＝6n -120（2n ＋3）.当n ＝1时仍成立，所以T n ＝6n -120（2n ＋3）.22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n .当n为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解：(1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②-①，得a 2(a 2-a 1)＝a 2，③ (Ⅰ)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (Ⅱ)若a 2≠0，由③知a 2-a 1＝1.④由①④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1-2，a 2＝2- 2.2；或a 1＝1-2，a 2＝2- 2.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. 当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n -1＝S 2＋S n -1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n -1，即a n ＝2a n -1(n ≥2)，所以{a n }是首项为2＋1，公比为2的等比数列．所以a n ＝a 1(2)n -1＝(2＋1)·(2)n -1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1-lg(2)n -1＝12lg 1002n -1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列⎝ ⎛⎭⎪⎫公差为-12lg2，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 54＞lg1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为T 7＝7（b 1＋b 7）2＝7（1＋1-3lg2）2＝7-212lg2.。

2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第六章数列

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)函数f (x )由下表定义：若a 0＝5，a n ＋1＝f (a n 2 016A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 【解析】 ∵a 0＝5，a n ＋1＝f (a n )，∴a 1＝f (a 0)＝f (5)＝2，a 2＝f (a 1)＝f (2)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝4，a 4＝f (a 3)＝f (4)＝5，a 5＝f (a 4)＝f (5)＝2，…，∴a 1＝a 5.∴{a n }是以4为周期的周期数列．∴a 2 016＝a 0＝5. 【答案】 D2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 【解析】由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10 ＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋＝3×5＝15. 【答案】 A3．(2016·天津一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1，2}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3}D ．{1，2，4}【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.由a n n≤2，得2n －1≤2n ，所以有n ＝1，2，3，4.【答案】 B4．(2016·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】 ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 【答案】 B5．(2016·山东日照实验中学月考)如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A.1210 B.129 C.15 D.110 【解析】 ∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1， ∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，a n a n －1＋a na n ＋1＝2， ∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.【答案】 C6．(2016·山东部分重点中学第二次联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为________．【解析】由图可知，a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n （n ＋1）2.【答案】 a n ＝n （n ＋1）27．(2016·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________．【解析】 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝（n －1）（2n －3＋1）2＋1＝n 2－2n ＋2.【答案】 n 2－2n ＋28．(2016·安徽江淮十校第一次联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________．【解析】由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，∴a n ＝3n－1.【答案】 3n－19．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？【解析】 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．(2016·天水一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式．【解析】 ∵a n ＋a n ＋1＝2n，① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n，由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13；当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·大庆质量检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 017＝1，S 2 017＝3B ．a 2 017＝2，S 2 017＝1C ．a 2 017＝2，S 2 017＝3D ．a 2 017＝1，S 2 017＝1【解析】由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，周期是6.又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 017＝a 1＝1，S 2 017＝a 1＝1.【答案】 D12．(2016·河南洛阳模拟)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，则通项公式是( )A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1【解析】设{2n －1·a n }的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n∈N *)，∴T n ＝n2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12，∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C. 【答案】 C 13．定义：称nP 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －5 【解析】 ∵na 1＋a 2＋…＋a n＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a nn＝2n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.【答案】 C14．(2016·云南红河州统一检测)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，则通项a n ＝________．【解析】数列{na n }的前n 项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)．① 其前n －1项和为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －1)n (n ＋1)．②①－②，得na n ＝n (n ＋1)＝3n (n ＋1)，即a n ＝3n ＋3. 当n ＝1时也满足上式．故a n ＝3n ＋3. 【答案】 3n ＋315．(2016·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.。

2018版高考数学大一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和试题理新人教版

2018版高考数学大一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和试题理新人教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A.－1B.－2C.－3D.－4 解析法一由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.答案 C2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A.10B.20C.30D.40解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 A3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A.a 1＋a 101＞0B.a 2＋a 100＜0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A.0B.37C.100D.－37解析设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.答案 C5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( )A.9B.8C.7D.6解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C.答案 C二、填空题6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.解析设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，因此a 9＝a 1＋8d ＝20.答案 207.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________. 解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.答案 19 8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析法一由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.法二因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m （m －1）2＝0， ①（m －1）a 1＋（m －1）（m －2）2＝－2. ② 由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5. 法三因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解.答案 5三、解答题9.(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为( ) A.53 B.103 C.56 D.116解析依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A. 答案 A12.(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为( )A.36B.6C.4D.2解析在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立.又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立.即a 6·a 7的最大值为4，故选C.答案 C 13.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________.解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案1941 14.在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和.解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列.∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3，∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列，∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n （5＋8－3n ）2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋（n －2）（1＋3n －8）2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.。

2018版高考数学(理)一轮复习题库：第六章第2讲等差数列及其前n项和含解析

第2讲等差数列及其前n项和一、选择题1．｛a n｝为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ）A．18 B．20C．22 D．24解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10)×（－2）＝20。

答案B2．设等差数列｛a n}的前n项和为S n。

若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n取最小值时,n等于（)．A．6 B．7 C．8 D．9解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1）＝n2－12n＝(n－6）2－36,因此当S n取得最小值时，n＝6.答案A3．已知{a n｝为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于（）．A．－1 B．1 C．3 D．7解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105,a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×（－2)＝1.答案B4．在等差数列｛a n｝中，S15〉0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为（）．A．6 B．7 C．8 D．9解析依题意得S15＝错误!＝15a8〉0，即a8>0；S16＝错误!＝8(a1＋a16）＝8(a8＋a9）<0，即a8＋a9<0，a9〈－a8〈0。

因此使a n〉0成立的n 的最大值是8，选C.答案C5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2,S k＋2－S k ＝24，则k＝( ）．A．8 B．7 C．6 D．5解析由a1＝1，公差d＝2得通项a n＝2n－1，又S k＋2－S k＝a k＋1＋a k＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5。

答案D6．已知两个等差数列{a n}和｛b n｝的前n项和分别为A n和B n,且错误!＝错误!，则使得错误!为整数的正整数的个数是（）．A．2 B．3 C．4 D．5解析由错误!＝错误!得:错误!＝错误!＝错误!＝错误!，要使错误!为整数，则需错误!＝7＋错误!为整数，所以n＝1,2,3，5,11，共有5个．答案D二、填空题7．已知数列{a n｝为等差数列，S n为其前n项和,a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝________.解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1,S k＝k＋错误!×2＝k2＝9.又k∈N＊，故k＝3.答案38．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若错误!－错误!＝1，则公差为________．解析依题意得S4＝4a1＋错误!d＝4a1＋6d,S3＝3a1＋错误!d＝3a1＋3d，于是有错误!－错误!＝1，由此解得d＝6，即公差为6。

2018高考数学大一轮复习 第六章 数列 课时达标检测(三十)等差数列及其前n项和 理

高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和讲义(含解析)-高三全册数学教案