课时达标检测 直线与圆、圆与圆的位置关系

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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)1直线与圆的位置关系1.(2022·山东滨州)已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,圆22:20C x y x +-=,则直线l 与圆C 的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】D【解析】直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,即2(2)(2)(35)0x m x y m x y -+-++-=,由2020350x x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩,因此,直线l 恒过定点(2,1)A ,又圆22:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,显然点A 在圆C 外,所以直线l 与圆C 可能相离,可能相切,也可能相交,A ,B ,C 都不正确,D 正确.故选:D2(2021·黑龙江)直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--,半径为2,圆心到直线的距离为341125-+=,所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切.故选:B3.(2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末)直线()1R y kx k =+∈与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系是()A .相交B .相切C .相离D .不确定【答案】A【解析】直线()1R y kx k =+∈恒过定点()0,1,又22(01)(11)14-+-=<,即点()0,1在圆22(1)(1)4x y -+-=内部,所以直线与圆相交;故选:A4.(2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习)直线230kx y k +--=与圆22450x y x +--=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .相交或相切【答案】C【解析】直线230kx y k +--=即()()320k x y -+-=,过定点()3,2,因为圆的方程为22450x y x +--=,则223243540+-⨯-=-<,所以点()3,2在圆内,则直线与圆相交.故选:C5.(2021·重庆市两江中学校高二阶段练习)已知过点(3,1)P 的直线与圆22(1)(2)5x y -+-=相切,且与直线10x my --=垂直,则m =()A .12-B .12C .2-D .2【答案】C【解析】设过点(3,1)P 的直线为l .(1)当l 的斜率不存在时,直线l :3x =.圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心到l 的距离为312-=≠,所以不是圆的切线,不合题意.(2)当l 的斜率存在时,直线l :()13y k x -=-.=k =2.因为l 与直线10x my --=垂直,所以121m⨯=-,解得:m =-2.故选:C6.(2022·全国·高二课时练习)若直线:420l kx y k -++=与曲线y =有两个交点,则实数k 的取值范围是()A .{}1k k =±B .3{|}4k k <-C .3{|1}4k k -≤<-D .3{|1}4k k -≤<【答案】C【解析】由题意,直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=,所以直线l 恒过定点(2,4)A -,y =可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.当l 与该曲线相切时,点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+,解得34k =-.设(2,0)B ,则40122AB k -==---.由图可得,若要使直线l 与曲线24y x =-314k -≤<-.故选:C.7.(2022·贵州遵义·高二期末(文))若直线():100l ax by ab +-=>始终平分圆()()22:124C x y -+-=的周长,则11a b+的最小值为()A .322+B .6C .7D .32+【答案】A【解析】圆C 的圆心为()1,2C ,由题意可知,直线l 过圆心C ,则21a b +=,因为0ab >,则0a >且0b >,因此,()1111222332322b a b a a b a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b 时,等号成立,故11a b+的最小值为322+.故选:A.8.(2022·广西梧州·高二期末(文))已知对任意的实数k ,直线l :0kx y k t --+=与圆C :2210x y +=有公共点,则实数t 的取值范围为()A .[3,0)-B .[3,3]-C .(,3](0,3]-∞-D .(,3)[0,3]-∞-【答案】B【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ,则直线l 过定点(1,)t ,因为直线l :kx y k t --+0=与圆C :2210x y +=有公共点,所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内,可得22110t +≤,解得33t -≤≤,故选:B9.(2022·江西上饶·高二期末(文))已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交,则实数k 的取值范围是()A .3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意,圆心()1,0到直线20kx y --=1,即22441k k k -+<+,解得34k >故选:D10.(2022·浙江·温州中学高二期末)已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是()A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C .30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,1<,即2860k k -<,解得304k <<,所以实数k 的取值范围是30,4⎛⎫⎪⎝⎭,故选:B.2直线与圆的弦长1.(2021·浙江高二期末)已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是()A.43130x y +-=B.34150x y +-=C.34150x y +-=或1x =D.43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0,半径为2r =,圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为1x =,此时圆心到直线l 的距离为1,合乎题意;②若直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为()31y k x -=-,即30kx y k -+-=,圆心到直线l的距离为1d ==,解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述,直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.故选:D.2(2022·贵溪市)直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为()A.B.2C.D.与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上,所以截得弦为圆222x y+=,故截得的弦长为.故选:A 3.(2022·江苏·高二)过点(-2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是()A .x +y +1=0B .x +y -1=0C .x -y +1=0D .x -y -1=0【答案】A【解析】由题意得,圆的方程为()221(2)5x y -++=,∴圆心坐标为()1,2-.∵直线被圆截得的弦长最大,∴直线过圆心()1,2-,又直线过点(-2,1),所以所求直线的方程为211221y x +-=+--,即10x y ++=.故选:A .4.(2022·全国·模拟预测)(多选)已知直线l :()()121740m x m y m ---+-=,圆C :2224200x y x y +---=,则()A .直线l 恒过定点()1,3B .直线l 与圆C 相交C .圆C 被x 轴截得的弦长为D .当圆C 被直线l 截得的弦最短时,34m =【答案】BD【解析】依题意,直线l :()()121740m x m y m ---+-=可化为()2740x y m x y --+++-=,由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =,1y =,即直线l 过定点()3,1P ,A 不正确;圆C :22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ,半径=5r ,||PC r =<,即点P 在圆C 内,直线l 与圆C 恒相交,B 正确;圆心C 到x 轴的距离2d =,则圆C 被x 轴截得的弦长为==C 不正确;由于直线l 过定点()3,1P ,圆心(1,2)C ,则直线PC 的斜率121312k -==--,当圆C 被直线l 截得的弦最短时,由圆的性质知,l PC ⊥,于是得1221m m -=-,解得34m =,D 正确.故选:BD5.(2022·湖北恩施·高二期末)(多选)已知直线l :()()221310m x m y m ++---=与圆C :()()222116x y -++=交于A ,B 两点,则弦长|AB |的可能取值是()A .6B .7C .8D .5【答案】BC【解析】由()()221310m x m y m ++---=,得()23210x y m x y +-+--=,令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ,半径4r =,CM ==,则2AB r ≤≤,即8AB ≤≤.故选:BC.6.(2022·辽宁辽阳市·高二期末)已知圆22:4850C x y x y +-+-=,直线:20l mx y m --=.(1)证明:直线l 与圆C 相交.(2)设l 与圆C 交于,M N 两点,若MN =,求直线l 的倾斜角及其方程.【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.【解析】(1)证明:直线:2()0l m x y --=过定点()2,0,因为224250-⨯-<,所以点()2,0在圆C 的内部,故直线l 与圆C 相交.(2)圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=,则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -,半径为5,且圆心C 到直线l 的距离()22242411m md m m ---==++因为2225213MN d =-=,所以23d =由24231m =+,得33m =±当33m =时﹐直线l 的方程为()323y x =-,倾斜角为6π当33m =-时﹐直线l 的方程为()323y x =--,倾斜角为56π3圆与圆的位置关系1.(2022·西藏)圆x 2+y 2-2x +4y =0与直线2x +y +1=0的位置关系为()A .相离B .相切C .相交D .以上都有可能【答案】C【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0的圆心坐标为(1,2)-,半径5r =圆心(1,2)-到直线2x +y +1=0的距离2221(2)15521d ⨯+-+==+由555d r =<=,可得圆与直线的位置关系为相交.故选:C2.(2022·陕西渭南)已知圆1C :()()22321x y -++=与圆2C :()()227150x y a -+-=-,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 等于()A .14B .34C .14或45D .34或14【答案】D【解析】圆1C :()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C :()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,50C r a =-()()221237215C C -+--=,因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,故圆1C 与圆2C 相内切或外切,故215r -=或215r +=,从而26=r 或24r =,所以2506r a =-=或2504r a =-=,解得:34a =或14a =所以实数a 等于34或14故选:D3.(2022广东)圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,表示以1(1,0)C 为圆心,半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=,表示以2(1,2)C -为圆心,半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=,231=-,故两个圆相内切.故选:A.4.(2022·江西)已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称,圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即()222124m m x y 骣琪-++=琪桫,圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为圆1C 关于直线210x y ++=对称,所以圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上,即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭,解得2m =,()()22111x y -++=,圆心()1,1-,半径为1,()()222316x y ++-=,圆心()2,3-,半径为4,5=,因为圆心间距离等于两圆半径之和,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切,故选:B.5.(2022云南)已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=,圆2C :22430x y x my +-++=关于直线10x +=对称,则圆1C 与圆2C 的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】C【解析】由题意可得,圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4,半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称,所以2102m-+=(),得m =,所以圆()(222:24C x y -++=的圆心为(2,,半径为2,则两圆圆心距12C C =1252725C C -<<=+,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交,故选:C .6.(2022·上海中学东校高二期末)已知圆22:28M x y ax +-=截直线:0l x y -=所得的弦长M 与圆22:(1)4N x y +-=的位置关系是()A .内切B .相交C .外切D .相离【答案】B【解析】由22:28M x y ax +-=,即()2228y a x a +=+-,故圆心(),0M a ,半径M r =所以点M 到直线:0l x y -=的距离d =故解得:1a =±;所以()1,0M ±,3M r =;又22:(1)4N x y +-=,圆心()0,1N ,2N r =,所以MN ==,且15M N M N r r r r -=<<=+,即圆M 与圆N 相交,故选:B.7.(2022·湖南岳阳·高二期末)圆221:1O x y +=与圆222:680O x y x y m +-++=外切,则实数m =_________.【答案】9【解析】圆1O 的圆心()10,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()23,4O -,半径2r =125O O =根据题意可得:1212O O r r =+,即51=9m =故答案为:9.8.(2022·上海徐汇·高二期末)已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切,则m 的值为___________.【答案】72【解析】圆1C 的圆心为()2,2,半径为11r =,圆2C 的圆心为()0,m ,半径为2r m =,所以两圆的圆心距()()22202d m =-+-,又因为两圆内切,有()()222021d m m =-+-=-,解得72m =.故答案为:72.9.(2023·全国·高三专题练习)已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切,此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________.【答案】34【解析】由题可知:221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=,即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m 由两圆向外切可知()()224030225-+--=+-m ,解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为22431211-==+d ,设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为221229342-=-=R d 故答案为:344圆与圆的弦长1.(2021·辽宁高三其他模拟)圆O :229x y +=与圆1O :()()222316x y -+-=交于A 、B 两点,则AB =()A.6B.5C.67813D.123913【答案】D【解析】圆O 的半径3r =,圆1O 的半径14r =,113OO =故在1AOO中,22211111cos sin21313r OO rAOO AOOr OO+-∠===⇒∠=⋅,故1sin21313ABr AOO AB=∠=⇒=.故选:D2.(2021·山东济南市·高二期末)(多选)已知圆221:1C x y+=和圆222:40C x y x+-=的公共点为A,B,则()A.12||2C C=B.直线AB的方程是14x=C.12AC AC⊥D.||2AB=【答案】ABD【解析】圆1C的圆心是()0,0,半径11r=,圆()222:24C x y-+=,圆心()2,0,22r=,122C C∴=,故A正确;两圆相减就是直线AB的方程,两圆相减得1414x x=⇒=,故B正确;11AC=,22AC=,122C C=,2221212AC AC C C+≠,所以12AC AC⊥不正确,故C不正确;圆心()0,0到直线14x=的距离14d=,2AB===,故D正确.故选:ABD3.(2021·全国高二课时练习)(多选)圆221:20x y xO+-=和圆222:240O x y x y++-=的交点为A ,B ,则有()A.公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB的长为2D.P 为圆1O 上一动点,则P 到直线AB 距离的最大值为212+【答案】ABD【解析】对于A,由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ,B ,两式作差可得440x y -=,即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=,故A 正确;对于B,圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0,1AB k =,则线段AB 中垂线斜率为1-,即线段AB 中垂线方程为:()011y x -=-⨯-,整理可得10x y +-=,故B 正确;对于C,圆221:20x y x O +-=,圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==,半径1r =所以AB ==,故C 不正确;对于D,P 为圆1O 上一动点,圆心1O ()1,0到0xy -=的距离为2d =,半径1r =,即P 到直线AB 距离的最大值为12+,故D 正确.故选:ABD4.(2022·全国·高二专题练习)已知圆22110C x y +=:与圆22222140C x y x y +++-=:.(1)求证:圆1C 与圆2C 相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程;(3)求经过两圆交点,且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程.【答案】(1)证明见解析(2)20x y +-=(3)226620x y x y +--+=【解析】(1)证明:圆2C :2222140x y x y +++-=化为标准方程为()()221116x y +++=,()21,1C ∴--,4r =圆221:10C x y +=的圆心坐标为()10,0C ,半径为=R,12C C ∴44<,∴两圆相交;(2)解:由圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=,将两圆方程相减,可得2240x y +-=,即两圆公共弦所在直线的方程为20x y +-=;(3)由22222214010x y x y x y ⎧+++-=⎨+=⎩,解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或,则交点为()3,1A -,()1,3B -,圆心在直线60x y +-=上,设圆心为()6,P n n -,则AP BP ==3n =,故圆心()3,3P ,半径4r AP ==,∴所求圆的方程为()22(3)316x y -+-=.5.(2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习)已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :22410x y y +--=.(1)证明:圆1C 与圆2C 相交;(2)若圆1C 与圆2C 相交于A ,B 两点,求AB .【答案】(1)证明见解析;【解析】(1)圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=,圆心为()1,1--,半径为2,圆2C 的标准方程为()2225x y +-=,圆心为()0,2∴圆1C 和圆2C =22<,可知:圆1C 和圆2C 相交,得证.(2)由(1)结论,将圆1C 与圆2C 作差,得:直线AB 的方程为2610x y +-=,圆2C 的圆心()0,2到直线AB=,∴AB =6.(2022·江苏·高二单元测试)已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在直线的方程;(3)求公共弦的长度.【答案】(1)相交(2)240x y -+=(3)【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=,222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-,半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--,半径2r =12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+,∴两圆相交.(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=5切线问题1.(2022·全国·高二课时练习)设圆221:244C x y x y +-+=,圆222:680C x y x y ++-=,则圆1C ,2C 的公切线有()A .1条B .2条C .3条D .4条【答案】B【解析】由题意,得圆()()2212:312C x y -+=+,圆心()11,2C -,圆()()2222:534C x y ++=-,圆心()23,4C -,∴125353C C -<=+,∴1C 与2C 相交,有2条公切线.故选:B .2.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线,则实数a 的取值可能是()A .-4B .-2C .D .3【答案】AD【解析】圆心()10,C a ,半径13r =,圆心()2,0C a ,半径21r =.因为两圆有四条公切线,所以两圆外离.又两圆圆心距d =31>+,解得a <-或a >3.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()()22:211M x y -+-=,圆()()22:211N x y +++=,则下列是M ,N 两圆公切线的直线方程为()A .y =0B .3x -4y =0C.20x y -=D.20x y -=【答案】ACD【解析】圆M 的圆心为M (2,1),半径11r =.圆N 的圆心为N (-2,-1),半径21r =.圆心距2d =>,两圆相离,故有四条公切线.又两圆关于原点O 对称,则有两条切线过原点O ,设切线方程为y =kx1=,解得k =0或43k =,对应方程分别为y =0,4x -3y =0.另两条切线与直线MN 平行,而1:2MN l y x =,设切线方程为12y x b =+1=,解得2b =±,切线方程为20x y -+=,20x y --=.故选:ACD .4.(2022·全国·高二专题练习)过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______.【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时,因为过点()1,2,所以直线:1l x =,此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ,此时直线:1l x =与圆221x y +=相切,满足题意;当直线l 的斜率存在时,设斜率为k ,所以:l 2(1)y k x -=-,即20kx y k --+=,因为直线l 与圆相切,所以圆心到直线的距离1d r ==,解得34k =,所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上:直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为:1x =或3450x y -+=5.(2022·全国·高二专题练习)求过点()13M -,的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】326122633y x ++=+或326122633y x --=+【解析】过点()13M -,的斜率不存在的直线为:1x =-,圆心到直线的距离为1,与圆相交,当斜率存在,设其为k ,则切线可设为()31y k x -=+.2=,解得:33k +=或33k -=.所以切线方程为:326122633y x ++=+或326122633y x --=+.6(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线,则m 的值为___________.【答案】11-【解析】由22240x y x y m +--+=,得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以圆C 的圆心为()1,2C 因为圆22:(2)(2)1D x y +++=,所以圆D 的圆心为()22D ,--,半径为1,因为圆C 与圆D 有三条公切线,所以圆C 与圆D 相外切,即1CD ==+,解得11m =-,所以m 的值为11-.故答案为:11-.7.(2022·全国·高二课时练习)已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 的值为___________.【答案】34或14【解析】设圆1C ,圆2C 的半径分别为1r ,2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=,圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-.由两圆相切,得1212C C r r =+或1212C C r r =-.因为11r =,125C C ==,所以215r +=或215r -=,可得24r =或26=r 或24r =-(舍去),因此5016a -=或5036a -=,解得34a =或14a =.故答案为:34或148.(2022·贵州黔东南·高二期末(理))若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线,则正数a =___________.【答案】35=∴3,0,3a a a =±>∴=又6最值问题1.(2022·广东·高三阶段练习)已知C :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,M 为直线l 上的动点,过点M 作C 的切线MA ,MB ,切点为A ,B ,当四边形MACB 的面积取最小值时,直线AB 的方程为____.【答案】210x y ++=【解析】C :222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=,则圆心()11C ,,半径2r =.因为四边形MACB 的面积2•2CAMS SCA AM AM ====,要使四边形MACB 面积最小,则需CM 最小,此时CM 与直线l 垂直,直线CM 的方程为()121y x -=-,即21y x =-,联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩,解得()0,1M -.则CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=.故答案为:210x y ++=.2.(2021·广东·南海中学高二阶段练习)已知圆22:(4)(3)1C x y -++=和两点(,0)A a -、(,0)(0)B a a >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的最小值为()A .1B .6C .3D .4【答案】D【解析】由90APB ∠=︒得点P 在圆222x y a +=上,所以,点P 在圆222x y a +=上,又在圆C 上,所以,两圆有交点,因为圆222x y a +=的圆心为原点O ,半径为a ,圆C 的圆心为()4,3-,半径为1.所以,|1|1a OC a -≤≤+,即|1|5146a a a -≤≤+⇒≤≤所以,a 的最小值为4.故选:D3.(2021·吉林油田高级中学高二开学考试)已知圆P 的方程为22680x y x y ++-=,过点()1,2M -的直线与圆P 交于A ,B 两点,则弦AB 的最小值为()A .B .10C .D .5【解析】圆P 的方程可化为()()223425x y ++-=,则(3,4),5P r -=,因为()()22132425-++-<,故点()1,2M -在圆内,过点()1,2M -的最长弦一定是圆P 的直径,当AB PM ⊥时,AB 最短,此时PM =则AB ==故选:A .4.(2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末)过点(7,-2)且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是()A .()()22515x y -++=B .()()225113x y -+-=C .()()224413x y -++=D .()()221652x y -++=【答案】B【解析】过点()7,2A -作直线2360x y -+=的垂线,垂足为B ,则以AB 为直径的圆为直线2360x y -+=相切的半径最小的圆,其中AB =(),B a b ,则221732360b a a b +⎧⨯=-⎪-⎨⎪-+=⎩,解得:34a b =⎧⎨=⎩,故AB 的中点,即圆心为7342,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()5,1,故该圆为()()225113x y -+-=故选:B5.(2022·江苏·高二专题练习)已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点,且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ,则||PM 的取值范围是()A.1,1⎤⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤⎦D.1⎤⎦【答案】B【解析】直线1:310(R)l mx y m m --+=∈整理可得,(3)(1)0m x y ---=,即直线1l 恒过(3,1),同理可得,直线2l 恒过(1,3),又()110m m ⨯+-⨯=,∴直线1l 和2l 互相垂直,∴两条直线的交点P 在以(1,3),(3,1)为直径的圆上,即P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=,设该圆心为M ,圆心距||1MC =>,∴两圆相离,1||1PM ∴-+ ,||PM ∴的取值范围是1].故选:B .。

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
最后通过例题和变式练习,运用相关结论解决有关问题.
整节课以“探究过程,探究方法,探究结果,探究运用”为主线,高度重视学生的主动参与、亲自探究、动手操作,体验学习知识的过程,基本达到预期效果。上下来也有几处遗憾:
1、两圆相交时,圆心距与大圆半径R和小圆半径r的关系,要让学生主动发现,要让学生结合操作、完全思考后由学生自己得出结论,这样的感悟才深刻。
投影片(§3.5.1A)
(1)从公共点的个数来判断:
直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切;直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断:
d<r时,直线与圆相交;
d=r时,直线与圆相切;
d>r时,直线与圆相离.
Ⅲ.播放ppt,观察圆与圆之间的五种位置关系,根据公共点的个数,进一步体会d与r之间的数量关系。探究圆与圆的位置关系和判别方法,学生通过类比、分类、数形结合,体会从不同的角度考虑事物的特点。判别圆与圆的位置关系的方法与判别直线与圆的位置的方法类似,因此本节课首先复习了直线与圆的位置关系,然后通过让学生动手操作,充分感受两圆位置的变化,猜测两圆可能存在的位置关系,经过讨论,归纳确定两圆位置关系的各种情况.通过直观感受可以得出由“公共点的个数”可以知道两圆的位置关系。在两圆位置关系相应的“数量关系”的研究中,先把课本上“读一读”的内容穿插在其中,因为只有认知了“两圆相切,切点在两圆的连心线上”,才能研究圆心到直线的距离d与两圆半径R、r的数量关系。
[师]从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢?
[生]有三种位置关系:
[师]直线和圆有三种位置关系,如下图:
它们分别是相交、相切、相离.
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线(tangentline).

2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(原卷版)

2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(原卷版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)(2021·遵义师范学院附属实验学校)圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定(2).(2021·全国高二专题练习)直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为()A.0个B.1个C.2个D.1个或2个(3)(2021·黑龙江哈尔滨市)若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.⎡⎣B.(C.33⎡-⎢⎣⎦D.,33⎛-⎝⎭(4)(2021·浙江高二期末)已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()A.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.30,4⎛⎫⎪⎝⎭C.12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【一隅三反】1.(2021·江苏南京市·高二期末)直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是( ) A .直线过圆心B .相切C .相离D .相交2.(2021·四川成都市)若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点,则 a 的值为( )A .1BC .2D .3.(2021·浙江高二期末)直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .与a 的大小有关4.(2021·全国高二专题练习)若直线0x y b +-=0y +=有公共点,则b 的取值范围是( )A .[-B .[C .[1,1]-D .[5.(2021·河北保定市·高二期末)(多选)已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=,直线:450,l kx y k k R --+=∈.则下列选项正确的是( )A .直线l 恒过定点B .直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C .直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D .直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34- 考点二 直线与圆的弦长【例2】(1)(2021·四川成都市)直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为( )A .1B .2C D .(2).(2021·浙江高二期末)已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点,则22m n +的最小值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【一隅三反】1.(2021·安徽省泗县第一中学)直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为( )AB .C .D .2.(2021·浙江高二期末)已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是( ) A .43130x y +-= B .34150x y +-=C .34150x y +-=或1x =D .43130x y +-=或1x =3.(2021·贵溪市实验中学高二期末)直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为( )A .B .2C D .与k 的取值有关4.(2021·天水市第一中学高二期中)已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ,B ,且1AB =,则实数a 的值为( ) A .2B .1C .12D .1-5.(2021·全国高二课时练习)若P (2,-1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A .x -y -3=0 B .2x +y -3=0 C .x +y -1=0D .2x -y -5=06.(2021·辽宁辽阳市·高二期末)已知圆22:4850C x y x y +-+-=,直线:20l mx y m --=. (1)证明:直线l 与圆C 相交.(2)设l 与圆C 交于,M N 两点,若MN =,求直线l 的倾斜角及其方程.考点三 圆上的点到直线距离【例3】(1)(2021·福建三明市·高二期末)圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为( )A B .C .D .(2)(2021·四川巴中市·(文))圆22(1)(1)4x y ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【一隅三反】1.(2021·六安市裕安区新安中学)已知半径为2的圆经过点(1,0),其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( ) A .0B .1C .2D .32.(2021·全国高二课时练习)已知点M 是直线3420x y +-=上的动点,点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点,则||MN 的最小值为 A .45B .1C .95D .1353.(2021·全国高二专题练习)在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1,则a 的取值范围为__________.考点四 圆与圆的位置关系【例4】(1)(2021·浙江高二期末)圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为( ) A .内切B .相切C .相交D .外离(2)(2021·北京高二期末)已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=,圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=,其中,a b ∈R .那么这两个圆的位置关系不可能为( ) A .外离 B .外切 C .内含 D .内切【一隅三反】1.(2021·全国高二专题练习)圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为( ) A .内切B .相交C .外切D .相离2.(2021·江西上高二中高二其他模拟(文))已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称,圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .内含3.(2021·全国高二(文))已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=,圆2C :22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称,则圆1C 与圆2C 的位置关系为( )A .相离B .相切C .相交D .内含4.(2021·四川凉山彝族自治州·高二期末(文))已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>,若圆1C 和2C 有公共点,则r 的取值范围是( ) A .(]0,1B .(]0,3C .[]1,3D .[)1,+∞5.(2021·山东聊城市·高二期末)已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点,则实数a 的取值范围为( ) A .()0,2 B .()4,+∞C .()()0,24,+∞ D .()()()0,10,24,⋃⋃+∞ 考点五 圆与圆相交弦【例5】(1)(2021·湖南湘潭市)已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点,则两圆的公共弦AB =A .B .CD .2(2)(2021·天津市南仓中学高二期末)已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2,则实数a 的值为( )A .3BC .2D【一隅三反】1.(2021·辽宁高三其他模拟)圆O :229x y +=与圆1O :()()222316x y -+-=交于A 、B 两点,则AB =( )A .6B .5C .13D .132.(2021·山东济南市·高二期末)(多选)已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ,B ,则( )A .12||2C C =B .直线AB 的方程是14x =C .12AC AC ⊥D .||2AB =3.(2021·全国高二课时练习)(多选)圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ,B ,则有( )A .公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B .线段AB 中垂线方程为10x y +-=C .公共弦AB 的长为2D .P 为圆1O 上一动点,则P 到直线AB 1+考点六 切线及切线长【例6-1】(2021·浙江高二单元测试)由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线,则切线长的最小值为( )A .1BC .D .3【例6-2】(1)(2021·全国)经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是( )A .100x -=B 2100y -+=C .100x -+=D .2100x +-=(2)(2021·重庆字水中学高二期末)(多选)过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ,则直线l 的方程为( )A .3460x y +-=B .4380x y +-=C .20x -=D .20x +=(3)(2021·全国)过点(2,2)-作圆224x y +=的切线,若切点为A 、B ,则直线AB 的方程是( ) A .20x y ++=B .20x y -+=C .20x y +-=D .20x y --=【例6-3】(2021·四川眉山市·高二期末(文))圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为( )A .0B .1C .2D .3【例6-4】(2021·全国高二课时练习)已知P (x ,y )是直线kx +y +3=0(k >0)上一动点,PA ,PB 是圆C :2x +2y -2y =0的两条切线,.A 、B 是切点,若四边形PACB k 的值为( )A BC .D .【一隅三反】1.(2021·全国高二课时练习)P 是直线x +y -2=0上的一动点,过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线,则切线长的最小值为( )A .B .C .2D .22.(2021·西安市铁一中学高二期末(理))由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线,则切线长的最小值为A B C .D 3.(2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末(文))若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线,切点分别为A ,B ,则线段AB 的长为( )A .32B .3C .2D .4.(2021·重庆市南坪中学校高二月考)过坐标原点O 作圆(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=4的两条切线,切点为A ,B .直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A B C D5.(2021·浙江高二期末)过点()2,1作圆224x y +=的切线,切线的方程为( )A .34100x y +-=B .3420x y --=C .2x =或3420x y --=D .2x =或34100x y +-=6.(2021·全国高二课时练习)经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线,则切线的方程为A .250x y --=B 50y ++=C 5y +=D .250x y ++=7.(2021·安徽池州市·高二期末(理))若圆221:2440C x y x y +---=,圆222:61020C x y x y +---=,则1C ,2C 的公切线条数为( )A .1B .2C .3D .48.(2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试(理))若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线,则a =( )A .-4B .-1C .4D .119.(2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试(文))已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点,直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线,,A B 为切点,C 为圆心,则四边形PACB 面积的最小值是( )A .2BC .D .4 考点七 实际生活运用【例7】(2021·上海高二专题练习)如图,某海面上有O 、A 、B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点,O 的正东方向为x 轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 区域内有未知暗礁,现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处,正沿着北偏东45︒行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?【一隅三反】1.(2021·重庆巴蜀中学高一期中)如图,某个圆拱桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米;当水面下降1米后,桥在水面的跨度为()A.B.C.D.2.(2021·上海高二专题练习)有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位距离,A地的运费是B地运费的2倍﹐已知A、B两地相距6千米,顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系(1)求A、B两地的售货区域的分界线的方程﹔(2)画出分界线的方程表示的曲线的示意图,并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.考点八综合运用【例8】(2021·全国高二课时练习)已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4).(1)求圆C的标准方程;(2)若点B也在圆C上,且弦AB长为8,求直线AB的方程;(3)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标.(4)直线l交圆C于M,N两点,若直线AM,AN的斜率之和为0,求证:直线l的斜率是定值,并求出该定值.【一隅三反】1.(2021·全国高二课时练习)已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.(1)证明:不论 m 为何实数,直线l 都与圆 C 相交于两点;(2)求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程;(3)已知点(,)P x y 在圆C 上,求22xy +的最大值.2(2021·浙江高二单元测试)已知圆22(3)(4)16x y -+-=,直线1:0l kx y k --=,且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ,定点A 的坐标为(1,0).(1)求实数k 的取值范围;(2)若,P Q 两点的中点为M ,直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ,求证:||||AM AN ⋅为定值.3.(2021·内蒙古包头市·高二期末(文))已知圆O :228x y +=,()1,2M -是圆O 内一点,()4,0P 是圆O 外一点.(1)AB 是圆O 中过点M 最长的弦,CD 是圆O 中过点M 最短的弦,求四边形ACBD 的面积;(2)过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点,求OEF 面积的最大值,并求此时直线l 的方程.。

直线与圆、圆与圆的位置关系 课时训练—— 高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册

直线与圆、圆与圆的位置关系 课时训练—— 高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系题型1:直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系的判定例1:(1)直线01=+-ky x 与圆122=+y x 的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切(2)直线03:=++y x l 与圆C :04222=--+x y x 的位置关系是 .例2:若直线034=+-a y x 与圆10022=+y x 有如下关系:①相交;②相切;③相离.试分别求实数a 的取值范围.例3:已知圆822=+y x ,定点P (4,0),若过点P 的直线的斜率存在,则斜率为多少时,这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离.变式训练1:已知点M ),(00y x 是圆)0(222>=+r r y x 内异于圆心的点,则直线200r yy xx =+与此圆的交点的个数为( )A. 2B. 1C. 0D.不能确定3.由直线与圆的位置关系求圆的方程例4:(1)已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切,圆心在直线0=+y x 上,则圆C 的方程为( )A.3)1()1(22=-++y xB.2)1()1(22=++-y xC.2)1()1(22=-+-y xD.2)1()1(22=+++y x(2)已知圆C 的圆心与点(-2,1)关于直线1+=x y 对称,直线01143=-+y x 与圆C 相交于A ,B 两点,且6||=AB ,则圆C 的方程为 .题型2:圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系的判断例5:已知两圆0244221=-+++y x y x C :,0882222=---+y x y x C :,判断圆1C 与圆2C 的位置关系.变式训练2:已知圆05422221=-++-+a y ax y x C :与圆03222222=-+-++a ay x y x C :,则当两圆圆心之间的距离最短时,圆1C 与圆2C 的位置关系如何?2.由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围.例6:已知圆05422221=-++-+m y mx y x C :,圆03222222=-+-++m my x y x C :.问:m 为何值时,(1)圆1C 与圆2C 外切? (2)圆1C 与圆2C 内含?变式训练3:若圆1)1(221=+-y x C :与2C 08822=++-+m y x y x 相切,则m 等于( ) A. 16 B. 7 C. -4或16 D. 7或163.由圆与圆的位置关系求圆的方程例7:求与圆0222=-+x y x 外切且与直线03=+y x 相切于点M (3,3-)的圆C 的方程.题型3:直线与圆的相交问题 1.求直线与圆的交点坐标例8:已知直线083:=+-y x l 与圆04222=--+y y x 相交,求它们的交点坐标.2.求弦长问题例9:过圆822=+y x 内的点P (-1,2)作直线l 交圆于A ,B 两点,若直线l 的倾斜角为π43,求弦AB 的长.变式训练4:直线063:=-+y x l 被圆04222=--+y y x C :截得的弦长为 .3.与弦长有关的逆向问题例10:(1)过点P (0,2)引一条直线l 交圆4)1(22=+-y x C :于A ,B 两点,若32||=AB ,则直线l 的方程为 .变式训练5:如果一条直线经过点)23,3(--M 且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8,则这条直线方程为 .4.直线与圆相交时,求过交点的方程问题例11:求经过直线0=+y x 与圆084222=--++y x y x 的交点,且经过点P (-1,-2)的圆的方程.5.中点弦问题例12:已知圆0126422=-+-+y x y x 内一点A (4,-2),求以A 为中点的弦所在的直线方程.题型4:直线与圆的相切问题 1.已知切线斜率求切线方程例13:与直线3+=x y 平行且与圆8)3()2(22=-+-y x 相切的直线的方程为 .2.已知圆上一点求切线方程例14:经过点)6,2(M ,且与圆1022=+y x 相切的直线的方程为 .3.已知圆外一点求切线方程例15:经过点P (4,5),且与圆4)2(22=+-y x 相切的直线方程为 .4.求切线长例16:若圆034222=+-++y x y x C :关于直线062=++by ax 对称,则由点),(b a 向圆所作的切线长的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 6变式训练6:已知圆.1)3(22=+-y x C :(1)过点A (0,1)作直线l 与圆C 相切,切线长为 ,直线l 的方程为 . (2)过点M (2,3)作直线'l 与圆C 相切,则直线'l 的方程为 . (3)过直线1+=x y 上的一点P 向圆C 引切线,Q 为切点,则||PQ 的最小值为 .题型5:两圆位置关系相关问题 1.求过两圆交点的圆的方程例17:圆心在直线04=--y x 上,且经过圆06422=--+x y x 与圆06422=--+y y x 的交点的圆的方程为 .变式训练7:求过两圆0122142222=++++-=+++y x y x y x y x ,的交点的圆中面积最小的圆的方程.2.两圆的公共弦问题例18:(1)圆024102221=-+-+y x y x C :与圆0822222=-+++y x y x C :的公共弦所在的直线的方程为 ,公共弦长为 .(2)若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32,则a 的值为 .变式训练8:两圆02221=-+x y x C :与04222=-+y y x C :的公共弦长为 .3.求两圆公切线的方程例19:求圆3622=+y x O :与圆0161022=+-+y y x M :的公切线的方程.4.两圆公切线的条数问题例20:已知圆01148221=+--+y x y x C :和圆032222=-++y y x C :,两圆的公切线有( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条题型6:直线与圆的方程的应用问题 1.动圆圆心的轨迹问题例21:已知⊙O 的半径为3,直线l 与⊙O 相切,一动圆与l 相切,并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径,求动圆圆心的轨迹方程.2.直线与半圆的相交问题例22:若曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点,则实数k 的取值范围是 .3.范围与最值问题例23:已知点),(y x P 在圆0146622=+--+y x y x C :上. (1)求xy的最大值和最小值;(2)求3222+++x y x 的最大值与最小值; (3)求y x +的最大值与最小值.:变式训练9:已知实数y x ,满足03422=+++x y x ,求: (1)12--x y 的最大值与最小值; (2)22)4()3(-+-y x 的最大值与最小值.4.直线与圆的方程在几何问题中的应用例24:在△ABO 中,5||,4||,3||===AB OA OB ,P 是△ABO 的内切圆上的一点,求以|||,||,|PO PB PA 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.。

课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
y=kx+3, 相交于不同的两点,联立得 2 2 x - 1 + y =4,
13 解得 a=1 或 a= 8 ,
消去 y 得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.
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课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的 结束 位置关系
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0, 2 6 2 6 解得 k<1- 3 或 k>1+ 3 . 6k-2 2k+6 x1+x2=- ,y1+y2=k(x1+x2)+6= , 1+k2 1+k2 OD = OA+ OB =(x1+x2,y1+y2), MC =(1,-3), 假设 OD ∥ MC ,则-3(x1+x2)=y1+y2,
2+1,
1- 2≤a≤2,因此可得实数 a
2,
1+ 5 . 2
1+ 5 2
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课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的 结束 位置关系
11.解:由题意得圆心 C(1,2),半径 r=2. (1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4,∴点 P 在圆 C 上. 2- 2-2 1 又 kPC= =-1,∴切线的斜率 k=-k =1. 2+1-1 PC ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=x-( 2+1), 即 x-y +1-2 2=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方程为 x=3,即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线.
3 2 6 2 6 解得 k=4∉-∞,1- ∪ 1 + ,+ ∞ ,假设不成立, 3 3

课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时跟踪检测(四十八)  直线与圆、圆与圆的位置关系

课时跟踪检测(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为________. 解析:由两圆心距离d =(2+2)2+12=17,又R +r =2+3=5,∴d <R +r ,∴两圆相交. 答案:相交2.若a 2+b 2=2c 2(c ≠0),则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为________. 解析:因为圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =|c |a 2+b 2=|c |2|c |=22,因此根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于1-⎝⎛⎭⎫222=22,所以弦长为 2. 答案: 23.直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0(a <3)相交于A ,B 两点,若弦AB 的中点为(-2,3),则直线l 的方程为________.解析:设直线的斜率为k ,又弦AB 的中点为(-2,3),所以直线l 的方程为kx -y +2k +3=0,由x 2+y 2+2x -4y +a =0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为2,所以|-k -2+2k +3|k 2+1=2,解得k =1,所以直线l 的方程为x -y +5=0.答案:x -y +5=04.若圆x 2+y 2+mx -14=0与直线y =-1相切,其圆心在y 轴的左侧,则m =________.解析:圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x +m22+y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+122,圆心到直线y =-1的距离m 2+12=|0-(-1)|,解得m =±3,因为圆心在y 轴的左侧,所以m = 3.答案: 35.已知点P 是圆C :x 2+y 2+4x -6y -3=0上的一点,直线l :3x -4y -5=0.若点P 到直线l 的距离为2,则符合题意的点P 有________个.解析:由题意知圆的标准方程为(x +2)2+(y -3)2=42,∴圆心到直线l 的距离d =|-6-12-5|5=235>4,故直线与圆相离,则满足题意的点P有2个.答案:2二保高考,全练题型做到高考达标1.(2016·苏州模拟)对任意的实数k ,直线y =kx -1与圆C :x 2+y 2-2x -2=0的位置关系是________.解析:直线y =kx -1恒经过点A (0,-1),圆x 2+y 2-2x -2=0的圆心为C (1,0),半径为3,而|AC |=2<3,故直线y =kx -1与圆x 2+y 2-2x -2=0相交.答案:相交2.圆x 2+y 2+2y -3=0被直线x +y -k =0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k =________.解析:由题意知,圆的标准方程为x 2+(y +1)2=4.较短弧所对圆周角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x +y -k =0的距离为22r = 2.即|1+k |2=2,解得k =1或-3.答案:1或-33.直线y =x +4与圆(x -a )2+(y -3)2=8相切,则a 的值为________.解析:法一:联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +4,(x -a )2+(y -3)2=8,消去y 可得,2x 2-(2a -2)x +a 2-7=0,则由题意可得Δ=[-(2a -2)]2-4×2×(a 2-7)=0,整理可得a 2+2a -15=0,解得a =3或-5.法二:因为(x -a )2+(y -3)2=8的圆心为(a,3),半径为22,所以由直线y =x +4与圆(x -a )2+(y -3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以|a -3+4|12+(-1)2=22,即|a +1|=4,解得a =3或-5.答案:3或-54.在圆x 2+y 2+2x -4y =0内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是________. 解析:由题意知,圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为-1,且最长弦与最短弦垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1,即倾斜角是π4.答案:π45.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=________.解析:由于直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1).∴|AC|2=36+4=40.又r=2,∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6.答案:66.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为d=|2×3-4+3|4+1=5,所以弦长为2r2-d2=2×25-5=220=4 5.答案:4 57.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是____________.解析:依题意得知,当∠ACB最小时,圆心C到直线l的距离达到最大,此时直线l与直线CM垂直,又直线CM的斜率为1,因此所求的直线l的方程是y-2=-(x-1),即x +y-3=0.答案:x+y-3=08.(2016·南京名校联考)已知圆O:x2+y2=1,直线x-2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为________.解析:过O作OP垂直于直线x-2y+5=0,过P作圆O的切线PA,连结OA,易知此时|PA|的值最小.由点到直线的距离公式,得|OP|=|1×0-2×0+5|1+22= 5.又|OA|=1,所以|PA|=|OP|2-|OA|2=2.答案:29.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.解:将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2,解得a =-34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质, 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |=|4+2a |a 2+1,|CD |2+|DA |2=|AC |2=22,|DA |=12|AB |=2,解得a =-7或a =-1.故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.10.如图,已知以点A (-1,2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程;(2)当|MN |=219时,求直线l 的方程. 解:(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切, ∴R =|-1+4+7|5=2 5.∴圆A 的方程为(x +1)2+(y -2)2=20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时,易知x =-2符合题意; ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x +2). 即kx -y +2k =0. 连结AQ ,则AQ ⊥MN . ∵|MN |=219,∴|AQ |=20-19=1,则由|AQ |=|k -2|k 2+1=1,得k =34,∴直线l :3x -4y +6=0.故直线l 的方程为x =-2或3x -4y +6=0. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2016·苏州调研)已知圆C 1:x 2+y 2+4ax +4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by +b 2-1=0只有一条公切线,若a ,b ∈R 且ab ≠0,则1a 2+1b2的最小值为________.解析:圆C 1的标准方程为(x +2a )2+y 2=4,其圆心为(-2a ,0),半径为2;圆C 2的标准方程为x 2+(y -b )2=1,其圆心为(0,b ),半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线,所以圆C 1与圆C 2相内切,所以(-2a -0)2+(0-b )2=2-1,得4a 2+b 2=1,所以1a 2+1b2=⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2(4a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2b 2a 2·4a 2b 2=9,当且仅当b 2a 2=4a 2b2,且4a 2+b 2=1,即a 2=16,b 2=13时等号成立.所以1a 2+1b2的最小值为9. 答案:92.(2016·江阴一中检测)若圆O :x 2+y 2=5与圆O 1:(x -m )2+y 2=20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长为________.解析:连结OO 1,记AB 与OO 1的交点为C ,如图所示,在Rt △OO 1A中,OA =5,O 1A =25,∴OO 1=5,∴AC =5×255=2,∴AB =4. 答案:43.已知圆心为C 的圆,满足下列条件:圆心C 位于x 轴正半轴上,与直线3x -4y +7=0相切,且被y 轴截得的弦长为23,圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程;(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ,B ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ,使得直线OD 与MC 恰好平行?如果存在,求出l 的方程;如果不存在,请说明理由.解:(1)设圆C :(x -a )2+y 2=r 2(a >0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a +7|32+42=r ,a 2+3=r ,解得a =1或a =138,又S =πr 2<13,∴a =1,r =2, ∴圆C 的标准方程为(x -1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为x =0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l :y =kx +3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3,(x -1)2+y 2=4,消去y 得(1+k 2)x 2+(6k -2)x +6=0,∴Δ=(6k -2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k -20>0, 解得k <1-263或k >1+263.x 1+x 2=-6k -21+k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2k +61+k 2,OD =OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2),MC =(1,-3),假设OD ∥MC ,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2, ∴3×6k -21+k 2=2k +61+k 2,解得k =34∉⎝⎛⎭⎫-∞,1-263∪⎝⎛⎭⎫1+263,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l .。

课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系

课时跟踪检测(五十三)直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2014·人大附中月考)设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.(2012·福建高考)直线x+3y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于()A.2 5 B.2 3C. 3 D.13.(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=04.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A. 2B. 3C.2 D.35.(2013·湛江模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为()A.(2+1,+∞) B.(2-1, 2+1)C.(0, 2-1) D.(0, 2+1)6.(2013·梅州模拟)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,P A,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形P ACB的最小面积是2,则k的值为()A. 2B.21 2C.2 2 D.27.(2013·朝阳高三期末)设直线x-my-1=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为23,则实数m的值是________.8.(2013·肇庆模拟)若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边),则圆C:x2+y2=4被直线l:ax+by+c=0所截得的弦长为________.9.(2012·江西高考)过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.10.(2013·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.11.已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ,2t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ,与y 轴交于点O ,B ,其中O 为原点.(1)求证:△AOB 的面积为定值;(2)设直线2x +y -4=0与圆C 交于点M ,N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P (0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ,B .(1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.1.已知两圆x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________________;公共弦长为________.2.(2014·中山模拟)已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,a 1,a 2,…,a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a 1,a 2,…,a 11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________.3.(2013·江西六校联考)已知抛物线:C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为π3的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点O 、B ,且|AO |=|BO |=2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM ,·PF ,的最小值;(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为S ,T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.答 案A 级1.C 2.B 3.A 4.C5.选A 计算得圆心到直线l 的距离为22= 2>1,如图.直线l :x -y -2=0与圆相交,l 1,l 2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2+1.6.选D 圆心C (0,1)到l 的距离d =5k 2+1, 所以四边形面积的最小值为 2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2-1=2, 解得k 2=4,即k =±2.又k >0,即k =2.7.解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1, 即|1-2m -1|1+m 2=1,解得m =±33. 答案:±338.解析:由题意可知圆C :x 2+y 2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为 2 4-⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2+b 22,由于a 2+b 2=c 2,所以所求弦长为2 3. 答案:2 39.解析:因为点P 在直线x +y -22=0上,所以可设点P (x 0,-x 0+22),且其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°, 所以∠OPM =30°.故在Rt △OPM 中,有OP =2OM =2.由两点间的距离公式得OP =x 20+(-x 0+22)2=2,解得x 0= 2.故点P 的坐标是( 2, 2).答案:( 2, 2)10.解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3, 由题意,得|3k +1|k 2+1=1,解得k =0或-34, 故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,125. 11.解:(1)证明:由题设知,圆C 的方程为(x -t )2+⎝⎛⎭⎫y -2t 2=t 2+4t2, 化简得x 2-2tx +y 2-4ty =0, 当y =0时,x =0或2t ,则A (2t,0); 当x =0时,y =0或4t,则B ⎝⎛⎭⎫0,4t , 所以S △AOB =12|OA |·|OB | =12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t =4为定值. (2)因为|OM |=|ON |,则原点O 在MN 的中垂线上,设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN , 所以C 、H 、O 三点共线,则直线OC 的斜率 k =2t t =2t 2=12,所以t =2或t =-2. 所以圆心为C (2,1)或C (-2,-1),所以圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5或(x +2)2+(y +1)2=5,由于当圆方程为(x +2)2+(y +1)2=5时,直线2x +y -4=0到圆心的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去,所以圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.12.解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y 2=4,所以圆心为Q (6,0).过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x 2+(kx +2)2-12x +32=0,整理得(1+k 2)x 2+4(k -3)x +36=0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k 2)=42(-8k 2-6k )>0,解得-34<k <0,即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-34,0. (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)则OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2),由方程①得x 1+x 2=-4(k -3)1+k 2.② 又y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4.③因P (0,2),Q (6,0),PQ =(6,-2),所以OA +OB 与PQ 共线等价于-2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2),将②③代入上式,解得k =-34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫-34,0,故没有符合题意的常数k . B 级1.解析:由两圆的方程x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0.圆心(5,5)到直线2x +y -5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230.答案:2x +y -5=0 2302.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265. 答案:5-2653.解:(1)易得B (1,3),A (-1,-3),设圆M 的方程为(x -a )2+y 2=a 2(a >0), 将点B (1,3)代入圆M 的方程得a =2,所以圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,因为点A (-1,-3)在准线l 上,所以p 2=1,p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由(1)得,M (2,0),F (1,0),设点P (x ,y ),则PM ,=(2-x ,-y ),PF ,=(1-x ,-y ),又点P 在抛物线y 2=4x 上,所以PM ,·PF ,=(2-x )(1-x )+y 2=x 2-3x +2+4x =x 2+x +2,因为x ≥0,所以PM ,·PF ,≥2,即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明:设点Q (-1,m ),则|QS |=|QT |=m 2+5,以Q 为圆心,m 2+5为半径的圆的方程为(x +1)2+(y -m )2=m 2+5,即x 2+y 2+2x -2my -4=0,①又圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0,②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x -my -2=0,显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23,0.。

直线与圆、圆与圆的位置关系同步教案(含答案)

直线与圆、圆与圆的位置关系同步教案(含答案)

第三章直线与圆、圆与圆的位置关系章节概述:直线与圆、圆与圆的位置关系,是初中几何类题型中较难的部分,许多同学在学习这部分内容时,较容易忽略最基本的定义、性质,拿到题目仍感无从下手。

本节课,老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容,使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤,全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系!§3.1 直线与圆的位置关系教学目标:1.理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法2.掌握切线的判定、性质与定理3.理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理例1:已知⊙O的半径为3cm,点P是直线l上一点,OP长为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能解析:判断直线和圆的位置关系,必须明确圆心到直线的距离.直线和圆的位置关系与数量之间的联系:若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离.特别注意:这里的5不一定是圆心到直线的距离.解:因为垂线段最短,所以圆心到直线的距离小于等于5.此时和半径3的大小不确定,则直线和圆相交、相切、相离都有可能.故选D.例2:△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.给出下列三个结论:①以点C为圆心,2.3 cm 长为半径的圆与AB相离;②以点C为圆心,2.4 cm长为半径的圆与AB相切;③以点C为圆心,2.5 cm长为半径的圆与AB相交;则上述结论中正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:此题是判断直线和圆的位置关系,需要求得直角三角形斜边上的高.先过C作CD⊥AB 于D,根据勾股定理得AB=5,再根据直角三角形的面积公式,求得CD=2.4.①,即d>r,直线和圆相离,正确;②,即d=r,直线和圆相切,正确;③,d<r,直线和圆相交,正确.共有3个正确解:①,d>r,直线和圆相离,正确;②,d=r,直线和圆相切,正确;③,d<r,直线和圆相交,正确.故选D.即时练习:1、已知在直角坐标系中,以点A (0,3)为圆心,以3为半径作⊙A ,则直线y =kx +2(k ≠0)与⊙A 的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .与K 值有关2、请用尺规作图:过圆上一点作已知圆的切线3、已知:直线y =kx (k ≠0)经过点(3,4).(1)k =(2)将该直线向上平移m (m >0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离(点O 为坐标原点),则m 的取值范围为例3:如图,以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ,E 是BC 边的中点.若AD 、AB 的长是方程x 2-6x +8=0的两个根,则图中阴影部分的面积为解析:本题主要考查了扇形的面积计算,一元二次方程的求解,切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,根据方程的解判断出△AOD 是等边三角形是解题的关键.先利用因式分解法解方程求出AD 、AB 的长,然后连接OD 、BD 、OE ,并判定△AOD 是等边三角形,根据直径所对的圆周角是直角可得BD ⊥AC ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE BC DE ==21,再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE 垂直平分BD ,然后根据勾股定理求出BD 的长,再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长,从而得到BE 的长度,最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED 的面积减去扇形BOD 的面积,列式进行计算即可求解.解:x 2-6x +8=0,(x -2)(x -4)=0,解得x 1=2,x 2=4,∴AD =2,AB =4,∵AB 是直径,∴AO =BO =21AB =2,连接OD ,则AO =OD =AD =2, ∴△AOD 是等边三角形,连接BD ,则BD ⊥AC ,∵E 是BC 边的中点,∴DE =BE =21BC ,连接OE ,则OE 是线段BD 的垂直平分线, 在Rt △AOD 中,3222=+=AD AB BD ,∵∠A =∠A ,∠ADB =∠ABC =90°,∴△ABC ∽△ADB ,∴AD AB BD BC =,即2432=BC , 解得:34=BC ,BE =21BC =32,∴S 四边形OBED =2S △OBE =2×21×2×32=34,又∠BOD =180°-∠AOD =180°-60°=120°,∴S 扇形BOD =ππ343602120020=•• ∴S 阴影部分的面积=S 四边形OBED -S 扇形BOD =π3434-故答案为:π3434- 例4:如图,正方形ABCD 的边长为2,⊙O 的直径为AD ,将正方形沿EC 折叠,点B 落在圆上的F 点,则BE 的长为解析:本题考查的是切线的判定与性质,根据三角形全等判定CF 是圆的切线,然后由翻折变换,得到对应的角与对应的边分别相等,利用切线的性质结合直角三角形,运用勾股定理求出线段的长.解:如图:连接OF ,OC .在△OCF 和△OCD 中,∵OF =OD ,OC =OC ,CF =CD ,∴△OCF ≌△OCD ,∴∠OFC =∠ODC =90°,∴CF 是⊙O 的切线.∵∠CFE =∠B =90°,∴E ,F ,O 三点共线.∵EF =EB ,∴在△AEO 中,AO =1,AE =2-BE ,EO =1+BE ,∴()()22211BE BE -+=+,解得: 32=BE ;故答案是:32. 例5:在正方形ABCD 中,E 为AD 中点,AF 丄BE 交BE 于G ,交CD 于F ,连CG 延长交AD 于H .下列结论:①CB CG =;②41=BC HE ;③31=GF EG ;④以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ,其中正确的是解析:本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点.解答③选项时,也可以利用相似三角形的判定与性质.解:连接OG 、OC .∵AF 丄BE ,∴∠ABE =∠DAF ;在Rt △ABE 和Rt △DAF 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠090ADF BAE DA AB DAF ABE ,∴Rt △ABE ≌Rt △DAF (ASA ),∴AE =DF (全等三角形的对应边相等);又∵E 为AD 中点,∴F 为DC 的中点;∵O 为AB 的中点,∴OC ∥AF ,∴OC ⊥BE ,∴∠BOC =∠GOC ;在△BOC 和△GOC 中,∵()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=公共边CO OC GOC BOC OG OB ,∴△BOC ≌△GOC ,∴∠OBC =∠OGC =90°,即OG ⊥CH ,∴以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ;故④正确;∵以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ,AB ⊥BC ,∴CG =CB ;故①正确;∵AD ∥BC ,∴CGHG BG EG BC HE ==;∵CG =CB ,∴HG =HE ;又∵E 为AD 中点, ∴AH =HE =HG ,即点H 为AE 的中点,∴4141==AD AD BC HE ;故②正确; ∵点F 是CD 的中点,∴AD DF 21=;∴AD AF 25=(勾股定理); ∵21tan ===∠AD DF AG EG DAF ,∴AG =2EG ,∴AD EG AE 215== ∴AD EG 105=∴AD AG 55= ∴AD AG AG AF FG 1053==-=∴31=GF EG ;故③正确; 综上所述,正确的说法有:①②③④.故答案是:①②③④.即时练习:1、如图,D 为⊙O 上一点,点C 在直径BA 的延长线上,且∠CDA =∠CBD .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ,若BC =6,tan ∠CDA =32,求BE 的长. 2、已知:Rt △ABC 中,AC ⊥BC ,CD 为AB 边上的中线,AC =6cm ,BC =8cm ;点O 是线段CD 边上的动点(不与点C 、D 重合);以点O 为圆心、OC 为半径的⊙O 交AC 于点E ,EF ⊥AB 于F .(1)求证:EF 是⊙O 的切线.(如图1)(2)请分析⊙O 与直线AB 可能出现的不同位置关系,分别指出线段EF 的取值范围.3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状,使AB 与半圆的半径CB 、CD 相等,PB 垂直于AD .这便做成了“三等分角仪”.如果要把∠MPN 三等分时,可将三等分角仪放在∠MPN 上,适当调整它的位置,使PB 通过角的顶点P ,使A 点落在角的PM 边上,使角的另一边与半圆相切于E 点,最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ,则∠MPB =∠BPC =∠CPN .请用推理的方法加以证明.4、(2012•扬州)如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且OA =2,OC =1,矩形对角线AC 、OB 相交于E ,过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H .(1)①直接写出点E 的坐标:②求证:AG =CH .(2)如图2,以O 为圆心,OC 为半径的圆弧交OA 与D ,若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ,求直线GH 的函数关系式.(3)在(2)的结论下,梯形ABHG 的内部有一点P ,当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时,求⊙P 的半径.例6:已知:如图,在⊙O 中,AB 是直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠BCD =130°,过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ,则∠ADP 的度数为解析:考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系.解:连接BD ,则∠ADB =90°,又∠BCD =130°,故∠DAB =50°,所以∠DBA =40°;又因为PD 为切线,故∠PDA =∠ABD =40°,即∠PDA =40°.例7:如图,四边形ABED 内接于⊙O ,E 是AD 延长线上的一点,若∠AOC =122°,则∠B = 度,∠EDC = 度.解析:本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质.解:由圆周角定理得,∠B =21∠AOC =61°,∵四边形ADCB 内接于⊙O ,∴∠EDC =∠B =61°. 即时练习:1、如图,P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ,AC 是⊙O 的直径,且∠BAC =35°,则∠P = 度.2、如图,P A 切⊙O 于A 点,C 是弧AB 上任意一点,∠P AB =58°,则∠C 的度数是 度 例8:如图,P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ,C 为弧AB 上任意一点,过点C 作⊙O 切线交P A 于点D ,交PB 于点E ,若P A =6,则△PDE 的周长为 .解析:本题考查了切线长定理的应用能力.解:根据切线长定理得:CD =AD ,CE =BE ,P A =PB ,则△PDE 的周长=2P A =6×2=12.例9:如图等腰梯形ABCD 是⊙O 的外切四边形,O 是圆心,腰长4cm ,则∠BOC = 度,梯形中位线长 cm .解析:本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理,是基础知识要熟练掌握.即时练习:1、如图,AB 为半⊙O 的直径,C 为半圆弧的三等分点,过B ,C 两点的半⊙O 的切线交于点P ,若AB 的长是2a ,则P A 的长是2、(2012•岳阳)如图,AB 为半圆O 的直径,AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点,CD 切⊙O 于点E ,AD 与CD 相交于D ,BC 与CD 相交于C ,连接OD 、OC ,对于下列结论:①OD 2=DE •CD ;②AD +BC =CD ;③OD =OC ;④S 梯形ABCD =21CD •OA ;⑤∠DOC =90°,其中正确的是( ) A 、①②⑤ B 、②③④ C 、③④⑤ D 、①④⑤例10:已知如图,P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的切线,切点为C ,过P ,O 两点作⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点,且PC =4cm ,P A =3cm ,则⊙O 的半径R = cm 解析:此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题.解:∵PC 是切线,∴PC 2=P A •PB ;又∵PC =4,P A =3,∴16=3(3+AB ),∴AB =37,∴半径R =67. 即时练习:1、如图,已知Rt △ABC 的两条直角边AC ,BC 的长分别为3,4,以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ,则AD =2、已知:如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且BC =2PB ,求PB PA = . A 组1、如图,时钟的钟面上标有1,2,3,…,12共12个数,一条直线把钟面分成了两部分.请你再用一条直线分割钟面,使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等,则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 .2、如图,PA 为O 的切线,A 为切点,4=PA 半径3=OB 则APO ∠cos = .3、如图,AB 是O 的直径,AD 是O 的切线,点C 在O 上,3,2,//==OD AB OD BC ,则BC 的长为 .4、如图,P 是O 外一点,PB PA ,分别和O 切于C B A ,、是AB 上任意一点,过C 作O 的切线分别交PB PA 、于E D 、,若PDE ∆的周长为12,则PA 长为多少?5、如图,若正111C B A ∆内接于正ABC ∆的内切圆,则111C B A ∆与ABC ∆的面积之比. 6.如图,已知点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点,15,3:5:==EC EA BE ,把BEC ∆沿折痕EC 向上翻折,若点B 恰好在AD 上,设这个点为F .(1)求BC AB ,的长度各是多少?(2)若O 内切于以C B E F ,,,为顶点的四边形,求O 的面积.B 组7.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,CD =4,圆D 的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合,绕着O 点转动三角板,使它的一条直角边与圆D 切于点H ,此时两直角边与AD 交于F E ,两点,则EFO ∠tan 的值为.8、已知AB 是O 的直径,PB 切O 于点B ,APB ∠的平分线分别交AB BC ,于点E D ,,交O 于点PA F ,交O 于点︒=∠60,A C ,线段BD AE ,的长是一元二次方程0322=+-kx x (k 为常数)的两个根.(1)求证:AE PB BD PA ⋅=⋅;(2)求证:O 的直径为k ;(3)求FPA ∠tan .9、如图,从O 外一点A 作O 的切线AC AB ,,切点分别为C B ,,且O 直径6=BD ,连接AO CD ,.(1)求证:AO CD //;(2)设y AO x CD ==,,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)若11=+CD AO ,求AB 的长.10、(1)已知,如图①,在平行四边形ABCD 中,F E ,是对角线BD 上的两点,且DE BF =.求证:CF AE =;(2)已知,如图②,AB 是O 的直径,CA 与O 相切于点A .连接CO 交O 于点D ,CO 的延长线交O 于点E .连接︒=∠30,,ABD BD BE ,求EBO ∠和C ∠的度数. §3.2 内切圆教学目标:1. 掌握内切圆的定义与作图2. 掌握内切圆的性质例1:如图,直线a 、b 、c 表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站.要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 处.解析:此题考查了角平分线与内心的关系解:∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,∴△ABC 内角平分线的交点满足条件;如图:点P 是△ABC 两条外角平分线的交点,过点P 作PE ⊥AB ,PD ⊥BC ,PF ⊥AC ,∴PE =PF ,PF =PD ,∴PE =PF =PD ,∴点P 到△ABC 的三边的距离相等,∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;综上,到三条公路的距离相等的点有4个,∴可供选择的地址有4个.故填4.例2:如图,△ABC 中,∠C =90°,AB =c ,BC =a ,AC =b ,I 是内心,圆I 与AB 、BC 、AC 分别相切于D 、E 、F 点。

直线与圆、圆与圆的位置关系教案(绝对经典)

直线与圆、圆与圆的位置关系教案(绝对经典)

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系【最新考纲】 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【高考会这样考】 1.考查直线与圆的相交、相切问题,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;2.计算弦长、面积,考查与圆有关的最值;根据条件求圆的方程.要 点 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2,直线l :Ax +By +C =0,圆心C (a ,b )到直线l 的距离为d ,由⎩⎨⎧(x -a )2+(y -b )2=r 2,Ax +By +C =0消去y (或x ),得到关于x (或y )的一元二次方程,其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ,r ,R >r ,圆心距为d ,则两圆的位置关系可用下表来表示:[友情提示]1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y =r2.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()解析(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件;(2)除外切外,还有可能内切;(3)两圆还可能内切或内含.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d=42+12=17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交.答案 B3.已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相切,则m值为()A.±3B.±33 C.±32 D.±1解析将y=mx代入x2+y2-4x+2=0,得(1+m2)x2-4x+2=0,因为直线与圆相切,所以Δ=(-4)2-4(1+m2)×2=8(1-m2)=0,解得m=±1.答案 D4.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为2的切线方程为________.解析在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+2,则|2|k 2+1=1,所以k =±1,故所求切线方程为y =x +2或y =-x + 2. 答案 x -y +2=0或x +y -2=05.圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x +4y -12=0的公共弦长为________.解析 由⎩⎨⎧x 2+y 2-4=0,x 2+y 2-4x +4y -12=0,得x -y +2=0.又圆x 2+y 2=4的圆心到直线x -y +2=0的距离为22= 2.由勾股定理得弦长的一半为4-2=2,所以,所求弦长为2 2. 答案 22题型分类 深度解析考点一 直线与圆的位置关系考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(一题多解)圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点的充要条件是________. 解析 (1)因为M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax +by =1的距离d =|a ·0+b ·0-1|a 2+b 2=1a 2+b 2<1,故直线与圆O 相交.(2)法一 将直线方程代入圆方程,得(k 2+1)x 2+4kx +3=0,直线与圆没有公共点的充要条件是Δ=16k 2-12(k 2+1)<0,解得-3<k < 3. 法二 圆心(0,0)到直线y =kx +2的距离d =2k 2+1,直线与圆没有公共点的充要条件是d >1, 即2k 2+1>1,解得-3<k < 3. 答案 (1)B (2)-3<k < 3规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d 与r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【变式练习1】 (1)圆(x -1)2+(y +2)2=6与直线2x +y -5=0的位置关系是( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离(2)已知圆C :(x -1)2+y 2=r 2(r >0),设条件p :0<r <3,条件q :圆C 上至多有2个点到直线x -3y +3=0的距离为1,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (1)由题意知 圆心(1,-2)到直线2x +y -5=0的距离d =|2×1-2-5|22+12=5<6且2×1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心.(2)由题意知,圆心C (1,0)到直线x -3y +3=0的距离d =|1+3|2=2,至多有2点到直线的距离为1时,0<r <3;反之也成立,故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 圆的切线、弦长问题【例2】 (1)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.(2)过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线方程为________.解析 (1)圆C :x 2+y 2-2ay -2=0,即C :x 2+(y -a )2=a 2+2,圆心为C (0,a ),C 到直线y =x +2a 的距离为d =|0-a +2a |2=|a |2.又由|AB |=23,得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22=a 2+2,解得a 2=2,所以圆的面积为π(a 2+2)=4π.(2)当直线的斜率不存在时,直线方程为x =2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y -4=k (x -2),即kx -y +4-2k =0,∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,即d =|k -1+4-2k |k 2+(-1)2=|3-k |k 2+1=1,解得k =43,∴所求切线方程为43x -y +4-2×43=0,即4x -3y +4=0. 综上,切线方程为x =2或4x -3y +4=0. 答案 (1)4π (2)x =2或4x -3y +4=0 规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何方法:若弦心距为d ,圆的半径长为r ,则弦长l =2r 2-d 2. 2.圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k .(2)几何法:设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ,然后令d =r ,进而求出k .【变式练习2】 (1)过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦,其中最短弦的长为________. (2)过原点O 作圆x 2+y 2-6x -8y +20=0的两条切线,设切点分别为P ,Q ,则线段PQ 的长为________.解析 (1)设P (3,1),圆心C (2,2),则|PC |=2,半径r =2,由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直,所以最短弦长为222-(2)2=2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x -3)2+(y -4)2=5,则圆心为(3,4),半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y =kx ,则圆心(3,4)到直线y =kx 的距离等于半径长5,即|3k -4|k 2+1=5,解得k =12或k =112,则切线的方程为y =12x 或y =112x .联立切线方程与圆的方程,解得两切点坐标分别为(4,2),⎝⎛⎭⎫45,225,此即为P ,Q 的坐标,由两点间的距离公式得|PQ |=4. 答案 (1)22 (2)4 考点三 圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x 2+y 2-2x -6y -1=0,x 2+y 2-10x -12y +m =0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切?(3)当m =45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x -1)2+(y -3)2=11, (x -5)2+(y -6)2=61-m ,所以两圆的圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为11,61-m ,(1)当两圆外切时,由(5-1)2+(6-3)2=11+61-m ,得m =25+1011. (2)当两圆内切时,因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5, 所以61-m -11=5,解得m =25-1011.(3)由(x 2+y 2-2x -6y -1)-(x 2+y 2-10x -12y +45)=0,得两圆的公共弦所在直线的方程为4x +3y -23=0. 故两圆的公共弦的长为2(11)2-⎝⎛⎭⎪⎫|4+3×3-23|42+322=27.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2,y 2项得到. 【变式练习3】 (1)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 1:(x -a )2+(y +2)2=4与圆C 2:(x +b )2+(y +2)2=1 相外切,则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D.2 3解析 (1)∵圆M :x 2+(y -a )2=a 2,∴圆心坐标为M (0,a ),半径r 1为a ,圆心M 到直线x +y =0的距离d =|a |2,由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22+(2)2=a 2,解得a =2.∴M (0,2),r 1=2.又圆N 的圆心坐标N (1,1),半径r 2=1,∴|MN |=(1-0)2+(1-2)2=2,r 1+r 2=3,r 1-r 2=1. ∴r 1-r 2<|MN |<r 1+r 2,∴两圆相交,故选B.(2)由圆C 1与圆C 2相外切,可得(a +b )2+(-2+2)2=2+1=3,即(a +b )2=9,根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=94,当且仅当a =b 时等号成立. 答案 (1)B (2)C课后练习A 组(时间:40分钟)一、选择题1.圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a =( ) A.-43B.-34C. 3D.2解析 由圆的方程x 2+y 2-2x -8y +13=0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d =|1×a +4-1|1+a 2=1,解之得a =-43. 答案 A2.过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=r 2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A.2x +y -5=0 B.2x +y -7=0 C.x -2y -5=0D.x -2y -7=0解析 ∵过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=r 2的切线有且只有一条, ∴点(3,1)在圆(x -1)2+y 2=r 2上, ∵圆心与切点连线的斜率k =1-03-1=12,∴切线的斜率为-2,则圆的切线方程为y -1=-2(x -3),即2x +y -7=0. 答案 B3.(2018·洛阳一模)直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“|AB |=2”的( )A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意,因|AB |=2,则圆心O 到直线l 的距离等于12-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=22,即有1k 2+1=22,k =±1.因此,“k =1”是“|AB |=2”的充分不必要条件,选A. 答案 A4.圆x 2+2x +y 2+4y -3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x +1)2+(y +2)2=8,圆心(-1,-2)到直线距离d =|-1-2+1|2=2,半径是22,结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C5.过点P (1,-2)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在直线的方程为( ) A.y =-34 B.y =-12 C.y =-32D.y =-14解析 圆(x -1)2+y 2=1的圆心为(1,0),半径为1,以|PC |=(1-1)2+(-2-0)2=2为直径的圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=1,将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y +1=0,即y =-12. 答案 B 二、填空题6.已知直线l :x -3y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD |=________.解析 由圆x 2+y 2=12知圆心O (0,0),半径r =23, ∴圆心(0,0)到直线x -3y +6=0的距离d =61+3=3,|AB |=212-32=2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示,则|CE |=|AB |=2 3. ∵直线l 的方程为x -3y +6=0,∴直线l 的倾斜角∠BPD =30°,从而∠BDP =60°, 因此|CD |=|CE |sin 60°=23sin 60°=4. 答案 47.已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴.过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=________.解析 由于直线x +ay -1=0是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴, 则圆心C (2,1)满足直线方程x +ay -1=0, 所以2+a -1=0,解得a =-1,所以A 点坐标为(-4,-1). 从而|AC |2=36+4=40.又r =2,所以|AB |2=40-4=36.即|AB |=6. 答案 68.点P 在圆C 1:x 2+y 2-8x -4y +11=0上,点Q 在圆C 2:x 2+y 2+4x +2y +1=0上,则|PQ |的最小值是________.解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式,得 (x -4)2+(y -2)2=9,(x +2)2+(y +1)2=4.圆C 1的圆心坐标是(4,2),半径长是3;圆C 2的圆心坐标是(-2,-1),半径是2.圆心距d =(4+2)2+(2+1)2=35>5.故圆C 1与圆C 2相离,所以,|PQ |的最小值是35-5.答案 35-5 三、解答题9.已知圆C 经过点A (2,-1),和直线x +y =1相切,且圆心在直线y =-2x 上. (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过原点,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为C (a ,-2a ), 则(a -2)2+(-2a +1)2=|a -2a -1|2.化简,得a 2-2a +1=0,解得a =1. 所以C 点坐标为(1,-2),半径r =|AC |=(1-2)2+(-2+1)2= 2. 故圆C 的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =0,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx , 由题意得|k +2|1+k2=1,解得k =-34,则直线l 的方程为y =-34x .综上所述,直线l 的方程为x =0或3x +4y =0.10.已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM →·ON →=12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2,3),半径r =1, 由题设,可知直线l 的方程为y =kx +1, 因为l 与C 交于两点,所以|2k -3+1|1+k 2<1. 解得4-73<k <4+73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4-73,4+73.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y =kx +1代入方程(x -2)2+(y -3)2=1,整理得 (1+k 2)x 2-4(1+k )x +7=0.所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2. OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8.由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k =1,所以l 的方程为y =x +1. 故圆心C 在l 上,所以|MN |=2.B 组(时间:20分钟)11.已知圆C :(x -1)2+y 2=25,则过点P (2,-1)的圆C 的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部,最长弦为圆的直径10, 又最短弦所在直线与最长弦垂直,且|PC |=2, ∴最短弦的长为2r 2-|PC |2=225-2=223, 故所求四边形的面积S =12×10×223=1023.答案 C12.过点A (1,2)的直线l 将圆C :(x -2)2+y 2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k =________.解析 易知点A (1,2)在圆(x -2)2+y 2=4的内部,圆心C 的坐标为(2,0),当直线l 被圆截得的弦的弦心距最长时,劣弧所对的圆心角最小,此时l ⊥CA ,如图所示,所以k =-1k CA =-1-2=22. 答案 2213在直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2+mx -2与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下:设A (x 1,0),B (x 2,0),则x 1,x 2满足方程x 2+mx -2=0,所以x 1x 2=-2.又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为-1x 1·-1x 2=-12, 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22,12,可得BC 的中垂线方程为y -12=x 2⎝⎛⎭⎫x -x 22. 由(1)可得x 1+x 2=-m ,所以AB 的中垂线方程为x =-m 2.联立⎩⎨⎧x =-m 2,①y -12=x 2⎝⎛⎭⎫x -x 22,② 又x 22+mx 2-2=0,③由①②③解得x =-m 2,y =-12.所以过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-m 2,-12,半径r =m 2+92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2-⎝⎛⎭⎫m22=3,即过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(原卷版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(原卷版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)【题组一 直线与圆的位置关系】1.(2021·江西南昌市)直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .以上都不对2.(2021·全国)直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是( ) A .相交B .相切C .相离D .不确定3.(2021·白银市第十中学)直线l :10mx y m -+-=与圆C :22(1)5x y +-=的位置关系是( ) A .相交B .相切C .相离D .不确定4.(2021·北京高二期末)已知直线10l kx y k -+-=:和圆C :2240x y x +-=,则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A .相交B .相切C .相离D .不能确定5.(2021·北京高二期末)直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,则b 的值是( ) A .-2或12B .2或-12C .-2或-12D .2或126.(2021·全国高二课时练习)若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切,则m =( ) A .1B .1-C .1-或3D .3-或17.(2021·浙江高二期末)已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A .[1,1-+B .(1-+C .(1-D .(11]--8.(2021·浙江高二期末)直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是( ) A .相离B .相交C .相切D .不确定9.(2021·全国)(多选)直线l 与圆C 有公共点,则直线l 与圆C 的位置关系可能是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不能确定10.(2021·全国)(多选)已知圆x 2+y 2-2x +4y +3=0与直线x -y =1,则( )A .圆心坐标为(1,-2)B .圆心到直线的距离为2C .直线与圆相交 D11.(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知(),P a b 是圆221x y +=内一点,则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为( )A .0B .1C .2D .以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1.(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ,B 两点,则||AB = 。

直线与圆及圆与圆的位置关系

直线与圆及圆与圆的位置关系

直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容:直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标:1、能根据给出的直线和圆的⽅程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;2、在学习过程中,进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想;3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。

三. 知识要点:1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式,dO-L是圆⼼O到直线L的距离,则有:直线与圆相交:有两个公共点——△>0——dO-L∈[0,R];直线与圆相切:有⼀个公共点——△=0——dO-L=R;直线与圆相离:⽆公共点——△<0——dO-L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交:有两个公共点——△>0——dO-O’∈[|R-r|,R+r];两圆外切:有⼀个公共点——△=0——dO-O’=R+r;两圆内切:有⼀个公共点——△=0——dO-O’=|R-r|;④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO-O’>R+r;⑤两圆内含:⽆公共点——△<0——dO-O’<|R-r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线L过点(-2,0),当直线L与圆x2+y2=2x有两个不同交点时,求斜率k的取值范围。

法⼀:设直线L的⽅程为:y=k(x+2),与圆的⽅程联⽴,代⼊圆的⽅程令△>0可得:。

法⼀:法⼆:设直线L的⽅程为:y=k(x+2),利⽤圆⼼到直线的距离dO-L∈[0,R]可解得:。

法⼆:考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y=x+b与曲线有且仅有⼀个公共点,求b的取值范围。

分析:作出图形后进⾏观察,以找到解决问题的思路。

分析:解:曲线即x2+y2=1(x≥0),当直线y=x+b解:与之相切时,满⾜:由观察图形可知:当或时,它们有且仅有⼀个公共点。

例3 过点P(1,2)作圆x2+y2=5的切线L,求切线L的⽅程。

解:因P点在圆上,故可求切线L的⽅程为x+2y=5。

课时跟踪检测(四十九) 直线与圆圆与圆的位置关系(普通高中)

课时跟踪检测(四十九) 直线与圆圆与圆的位置关系(普通高中)

课时跟踪检测(四十九)直线与圆、圆与圆的位置关系(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1.已知点(a,b)在圆C:x2+y2=r2(r≠0)的外部,则ax+by=r2与C的位置关系是() A.相切B.相离C.内含D.相交解析:选D由已知a2+b2>r2,且圆心到直线ax+by=r2的距离为d=r2a2+b2,则d<r,故直线ax+by=r2与C的位置关系是相交.2.与圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0,C2:x2+y2-14x-2y+14=0都相切的直线有() A.1条B.2条C.3条D.4条解析:选A两圆分别化为标准形式为C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则两圆圆心距|C1C2|=(7-3)2+[1-(-2)]2=5,等于两圆半径差,故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选A.3.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是() A.(0,1) B.(121,+∞)C.[1,121]D.(1,121)解析:选C x2+y2+6x-8y-11=0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.圆心距为d =(0+3)2+(0-4)2=5,若两圆有公共点,则|6-m|≤5≤6+m,解得1≤m≤121.故选C.4.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0解析:选B由题意知点(3,1)在圆上,代入圆的方程可得r2=5,圆的方程为(x-1)2+y2=5,则过点(3,1)的切线方程为(x-1)·(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0.故选B.5.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤-∞,-34 B.⎣⎡⎦⎤-34,0 C.⎣⎡⎦⎤-33,33 D.⎣⎡⎦⎤-23,0 解析:选B 圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离d =|3k -2+3|k 2+1=|3k +1|k 2+1,由|MN |≥23,得23≤24-d 2,所以d 2≤1,即8k 2+6k ≤0⇒-34≤k ≤0,故选B.6.已知点P (x ,y )是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点,PA ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y =0的两条切线,A ,B 是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为( )A .3 B.212C .2 2D .2解析:选D 圆C :x 2+y 2-2y =0的圆心为(0,1),半径r =1.由圆的性质,知S 四边形PACB=2S △PBC .∵四边形PACB 的最小面积是2,∴S △PBC 的最小值为1,则12rd min =1(d 是切线长),∴d min =2.∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值,∴|PC |min =51+k 2=d 2+1= 5.∵k >0,∴k =2.故选D.7.圆x 2+y 2=50与圆x 2+y 2-12x -6y +40=0的公共弦的长度为________. 解析:两圆的公共弦长即两圆交点间的距离,将两圆方程联立,可求得弦所在直线为2x +y -15=0,原点到该直线的距离为d =|-15|22+1=35,则公共弦的长度为2r 2-d 2=250-(35)2=2 5. 答案:2 58.已知圆M :(x -1)2+(y -1)2=4,直线l :x +y -6=0,A 为直线l 上一点,若圆M上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,则点A 的横坐标的取值范围为________.解析:由题意知,过点A 的两直线与圆M 相切时,夹角最大,当∠BAC =60°时,MA =MB sin ∠BAM =2sin 30°=4.设A (x ,6-x ),所以(x -1)2+(6-x -1)2=16,解得x =1或x =5,因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5].答案:[1,5]9.已知直线x -y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x -4y -4=0相交于A ,B 两点,且AC ⊥BC ,则实数a 的值为________.解析:由x 2+y 2+2x -4y -4=0得(x +1)2+(y -2)2=9, 所以圆C 的圆心坐标为C (-1,2),半径为3,由AC ⊥BC ,可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形, 故可得圆心C 到直线x -y +a =0的距离为322,由点到直线的距离公式可得|-1-2+a |2=322,解得a =0或a =6. 答案:0或610.在圆C :x 2+y 2-2x -2y -7=0上总有四个点到直线l :3x +4y +m =0的距离是1,则实数m 的取值范围是____________.解析:圆的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=9.若圆上有四个点到直线3x +4y +m =0的距离是1,则圆心到直线的距离小于2,即d =|7+m |5<2,解得-17<m <3.答案:(-17,3)B 级——中档题目练通抓牢1.已知圆心(a ,b )(a <0,b <0)在直线y =2x +1上的圆,其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为25,则圆的方程为( )A .(x +3)2+(y +5)2=25B .(x +2)2+(y +3)2=9 C.⎝⎛⎭⎫x -232+⎝⎛⎭⎫y -732=499 D.⎝⎛⎭⎫x +232+⎝⎛⎭⎫y +732=499解析:选B设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),则⎩⎪⎨⎪⎧r =|b |,b =2a +1,r 2=|a |2+(5)2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =-3,r =3,所以圆的方程为(x +2)2+(y +3)2=9.故选B.2.已知圆C :(x -3)2+(y -1)2=1和两点A (-t,0),B (t,0)(t >0),若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则实数t 的最小值为( )A .4B .3C .2D .1解析:选D 由∠APB =90°得,点P 在圆x 2+y 2=t 2上,因此由两圆有交点得|t -1|≤|OC |≤t +1⇒|t -1|≤2≤t +1⇒1≤t ≤3,即t 的最小值为1.3.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (-2,3),B (-2,-1),C (6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为( )A .x 2+y 2=1B .x 2+y 2=4C .x 2+y 2=165D .x 2+y 2=1或x 2+y 2=37解析:选D 如图所示,因为A (-2,3),B (-2,-1),C (6,-1). ∴过A ,C 的直线方程为y +13+1=x -6-2-6,化为一般式为x +2y -4=0.点O 到直线x +2y -4=0的距离d =|-4|5=455>1,又|OA |=(-2)2+32=13,|OB |=(-2)2+(-1)2=5,|OC |=62+(-1)2=37.∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),∴圆的半径分别为1或37,则圆的方程为x 2+y 2=1或x 2+y 2=37.4.(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l :mx +y +3m -3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点.若|AB |=23,则|CD |=________.解析:由直线l :mx +y +3m -3=0知其过定点(-3,3),圆心O 到直线l 的距离为d =|3m -3|m 2+1.由|AB |=23,得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m -3m 2+12+(3)2=12, 解得m =-33. 又直线l 的斜率为-m =33, 所以直线l 的倾斜角α=π6.画出符合题意的图形如图所示,过点C 作CE ⊥BD ,则∠DCE =π6.在Rt △CDE 中,可得|CD |=|AB |cos π6=23×23=4. 答案:45.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.解析:由题意可知M 在直线y =1上运动,设直线y =1与圆x 2+y 2=1相切于点P (0,1).当x 0=0,即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求;当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN =45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP =45°时,有x 0=±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]6.已知圆C 经过点A (2,-1),和直线x +y =1相切,且圆心在直线y =-2x 上. (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过原点,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程. 解:(1)设圆心的坐标为C (a ,-2a ), 则(a -2)2+(-2a +1)2=|a -2a -1|2. 化简,得a 2-2a +1=0,解得a =1. ∴C (1,-2),半径r =|AC |=(1-2)2+(-2+1)2= 2.∴圆C 的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =0,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2,满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx ,由题意得|k +2|1+k2=1,解得k =-34, ∴直线l 的方程为y =-34x ,即3x +4y =0.综上所述,直线l 的方程为x =0或3x +4y =0.7.已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ,2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ,与y 轴交于点O ,B ,其中O 为坐标原点.(1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线y =-2x +4与圆C 交于点M ,N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程. 解:(1)证明:由题意知圆C 过原点O , ∴半径r =|OC |. 又∵|OC |2=t 2+4t2,∴设圆C 的方程为(x -t )2+⎝⎛⎭⎫y -2t 2=t 2+4t 2. 令y =0,得x 1=0,x 2=2t ,则A (2t,0). 令x =0,得y 1=0,y 2=4t ,则B ⎝⎛⎭⎫0,4t . ∴S △OAB =12|OA |·|OB |=12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |=4,即△OAB 的面积为定值. (2)∵|OM |=|ON |,|CM |=|CN |, ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN =-2,∴k OC =12,∴直线OC 的方程为y =12x .∴2t =12t ,解得t =2或t =-2.当t =2时,圆心C 的坐标为(2,1),r =|OC |=5,此时圆心C 到直线y =-2x +4的距离d =15<5, 圆C 与直线y =-2x +4相交于两点.当t =-2时,圆心C 的坐标为(-2,-1),r =|OC |=5, 此时圆心C 到直线y =-2x +4的距离d =95>5, 圆C 与直线y =-2x +4不相交. ∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.C 级——重难题目自主选做1.已知点G (5,4),圆C 1:(x -1)2+(y -4)2=25,过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ,F 两点,线段EF 的中点为C ,且C 在圆C 2上.(1)若直线mx +ny -1=0(mn >0)经过点G ,求mn 的最大值; (2)求圆C 2的方程;(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ,Q 两点,线段PQ 的中点为M .l 1与l 2:x +2y +2=0的交点为N ,求证:|AM |·|AN |为定值.解:(1)∵点G (5,4)在直线mx +ny -1=0上,∴5m +4n =1,5m +4n ≥220mn (当且仅当5m =4n 时取等号),∴1≥80mn ,即mn ≤180,∴(mn )max =180. (2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4),半径为5,设C (x ,y ),则C 1C ―→=(x -1,y -4),CG ―→=(5-x,4-y ), 由题设知C 1C ―→·CG ―→=0,∴(x -1)(5-x )+(y -4)(4-y )=0, 即(x -3)2+(y -4)2=4,∴C 2的方程是(x -3)2+(y -4)2=4.(3)证明:当直线l 1的斜率不存在时,直线l 1与圆C 2相切,当直线l 1的斜率为0时,直线l 1与圆C 2相离,故设直线l 1的方程为kx -y -k =0(k ≠0).由直线l 1与圆C 2相交,得|3k -4-k |k 2+1<2,解得k >34.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +2=0,kx -y -k =0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k -22k +1,-3k 2k +1, 又直线C 2M 与l 1垂直,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -k ,y -4=-1k (x -3)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2+4k +31+k 2,4k 2+2k 1+k 2, ∴|AM |·|AN |=⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2+4k +31+k 2-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2+2k 1+k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k -22k +1-12+⎝⎛⎭⎫-3k 2k +12=2|2k +1|1+k 2·1+k 2·31+k 2|2k +1|=6(定值). 2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2-12x -14y +60=0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且|BC |=|OA |,求直线l 的方程; (3)设点T (t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA ―→+TP ―→=TQ ―→,求实数t 的取值范围.解:圆M 的标准方程为(x -6)2+(y -7)2=25, 所以圆心M (6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x =6上,可设N (6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7,圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x -6)2+(y -1)2=1. (2)因为直线l ∥OA , 所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y =2x +m , 即2x -y +m =0, 则圆心M 到直线l 的距离 d =|2×6-7+m |5=|m +5|5.因为|BC |=|OA |=22+42=25,而MC 2=d 2+⎝⎛⎭⎫BC 22, 所以25=(m +5)25+5,解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).因为A (2,4),T (t,0),TA ―→+TP ―→=TQ ―→,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 1+2-t ,y 2=y 1+4.①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25. ②将①代入②,得(x 1-t -4)2+(y 1-3)2=25.于是点P (x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25上, 从而圆(x -6)2+(y -7)2=25与圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25有公共点, 所以5-5≤[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5,解得2-221≤t ≤2+221.因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221 ].。

高中学业水平测试(合格性)数学第18讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件

高中学业水平测试(合格性)数学第18讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件
专题四 平面解析几何初步
第18讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大 小关系. d<r ⇔相交;d=r ⇔相切;d>r ⇔相离. (2)代数法:Δ=判b别2-式4ac>ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ <000⇔ ⇔⇔相 相相交 离切; . ;
则a的取值范围是( )
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<15
D.-15<a<1
(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+
2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是________.
(3)当m为何值时,直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2
-4x-2y+1=0相交、相切、相离?
答案:1或-5
1.已知圆C:x2+y2+2x-3=0,直线l:x+2+a(y -1)=0(a∈R),则( )
A.l与C相离 B.l与C相交 C.l与C相切 D.以上三个选项
答案:B
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案:x2+y2-4x+2y+1=0
9.已知圆C的圆心坐标为(3,1),且圆C被直线y=x 截得的弦长为2 7.
(1)求圆C的标准方程; (2)求过点P(6,6)的圆C的切线方程.
解:(1)由题可设圆C半径为r,又圆心C(3,1)到直 线x-y=0的距离d= 12+|3(--1| 1)2= 2,
依题意有2 7=2 r2-( 2)2,解得r2=9,所以圆 C的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
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课时达标检测(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系[练基础小题——强化运算能力]1.直线y =ax +1与圆x 2+y 2-2x -3=0的位置关系是( ) A .相切 B .相交C .相离D .随a 的变化而变化解析:选B 因为直线y =ax +1恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x -1)2+y 2=4的内部,故直线与圆相交.2.(2017·西安模拟)直线(a +1)x +(a -1)y +2a =0(a ∈R)与圆x 2+y 2-2x +2y -7=0的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .不确定解析:选B x 2+y 2-2x +2y -7=0化为圆的标准方程为(x -1)2+(y +1)2=9,故圆心坐标为(1,-1),半径r =3,圆心到直线的距离d =|(a +1)-(a -1)+2a |(a +1)2+(a -1)2=|2a +2|2a 2+2 .则r 2-d 2=9-4a 2+8a +42a 2+2=7a 2-4a +7a 2+1,而7a 2-4a +7=0的判别式Δ=16-196=-180<0,即7a 2-4a +7>0恒成立,故有r 2>d 2,即d <r ,故直线与圆相交.3.平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A .2x +y +5=0或2x +y -5=0 B .2x +y +5=0或2x +y -5=0 C .2x -y +5=0或2x -y -5=0 D .2x -y +5=0或2x -y -5=0解析:选A ∵所求直线与直线2x +y +1=0平行,∴设所求的直线方程为2x +y +m =0.∵所求直线与圆x 2+y 2=5相切,∴|m |1+4=5,∴m =±5.即所求的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0.4.过点(-2,3)的直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y =0相交于A ,B 两点,则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A .x -y +5=0B .x +y -1=0C .x -y -5=0D .2x +y +1=0解析:选A 由题意得圆的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=5,则圆心C (-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l 1的斜率为k =3-2-2-(-1)=-1.当直线l 与l 1垂直时,|AB |取得最小值,故直线l 的斜率为1,所以直线l 的方程为y -3=x -(-2),即x -y +5=0.5.若圆x 2+y 2+mx -14=0与直线y =-1相切,其圆心在y 轴的左侧,则m =________.解析:圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x +m 22+y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+122,圆心到直线y =-1的距离m 2+12=|0-(-1)|,解得m =±3,因为圆心在y 轴的左侧,所以m = 3.答案: 3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.直线y =x +4与圆(x -a )2+(y -3)2=8相切,则a 的值为( ) A .3 B .2 2 C .3或-5D .-3或5解析:选C 因为(x -a )2+(y -3)2=8的圆心为(a,3),半径为22,所以由直线y =x +4与圆(x -a )2+(y -3)2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以|a -3+4|12+-2=22,即|a +1|=4,解得a =3或-5.2.直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0(a <3)相交于A ,B 两点,若弦AB 的中点为(-2,3),则直线l 的方程为( )A .x +y -3=0B .x +y -1=0C .x -y +5=0D .x -y -5=0解析:选C 设直线的斜率为k ,又弦AB 的中点为(-2,3),所以直线l 的方程为kx -y +2k +3=0,由x 2+y 2+2x -4y +a =0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为(-1+2)2+(2-3)2=2,所以|-k -2+2k +3|k 2+1=2,解得k =1,所以直线l 的方程为x -y +5=0.3.(2016·山东高考)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离解析:选B 由题知圆M :x 2+(y -a )2=a 2(a >0),圆心(0,a )到直线x +y =0的距离d =a2,所以2a 2-a 22=22,解得a =2.圆M ,圆N 的圆心距|MN |=2,两圆半径之差为1,两圆半径之和为3,故两圆相交.4.圆心在直线x -y -4=0上,且经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点的圆的方程为( )A .x 2+y 2-x +7y -32=0B .x 2+y 2-x +7y -16=0C .x 2+y 2-4x +4y +9=0D .x 2+y 2-4x +4y -8=0解析:选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2+y 2+6x -4+λ(x 2+y 2+6y -28)=0,即x 2+y 2+61+λx +6λ1+λy -4+28λ1+λ=0,其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-31+λ,-3λ1+λ,又圆心在直线x -y -4=0上,所以-31+λ+3λ1+λ-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x 2+y 2-x +7y -32=0.5.已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R)是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴.过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( )A .2B .4 2C .6D .210解析:选C 由于直线x +ay -1=0是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,∴圆心C (2,1)在直线x +ay -1=0上,∴2+a -1=0,∴a =-1,∴A (-4,-1).∴|AC |2=36+4=40.又r =2,∴|AB |2=40-4=36. ∴|AB |=6.6.已知圆C 1:x 2+y 2+4ax +4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by +b 2-1=0只有一条公切线,若a ,b ∈R 且ab ≠0,则1a 2+1b2的最小值为( )A .2B .4C .8D .9解析:选D 圆C 1的标准方程为(x +2a )2+y 2=4,其圆心为(-2a,0),半径为2;圆C 2的标准方程为x 2+(y -b )2=1,其圆心为(0,b ),半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线,所以圆C 1与圆C 2相内切,所以(-2a -0)2+(0-b )2=2-1,得4a 2+b 2=1,所以1a 2+1b 2=⎝⎛⎭⎫1a 2+1b 2(4a 2+b 2)=5+b 2a 2+4a 2b2≥5+2b 2a 2·4a 2b 2=9,当且仅当b 2a 2=4a 2b2,且4a 2+b 2=1,即a 2=16,b 2=13时等号成立.所以1a 2+1b2的最小值为9.二、填空题7.已知圆C 的圆心是直线x -y +1=0与 x 轴的交点,且圆C 与圆(x -2)2+(y -3)2=8相外切,则圆C 的方程为________.解析:由题意知圆心C (-1,0),其到已知圆圆心(2,3)的距离 d =32,由两圆相外切可得R +22=d =32,即圆C 的半径R =2,故圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=2.答案:(x +1)2+y 2=28.圆x 2+y 2+2y -3=0被直线x +y -k =0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k =________.解析:由题意知,圆的标准方程为x 2+(y +1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x +y -k =0的距离为22r = 2.即|1+k |2=2,解得k =1或-3. 答案:1或-39.已知圆C :(x +1)2+(y -1)2=1与x 轴切于A 点,与y 轴切于B 点,设劣弧AB 的中点为M ,则过点M 的圆C 的切线方程是________.解析:因为圆C 与两轴相切,且M 是劣弧AB 的中点,所以直线CM 是第二、四象限的角平分线,所以斜率为-1,所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2,所以|OM |=2-1,所以M ⎝⎛⎭⎫22-1,1-22,所以切线方程为y -1+22=x -22+1,整理得x -y +2-2=0.答案:x -y +2-2=010.过点M (1,2)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=25交于A ,B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程是________.解析:由题意知,当∠ACB 最小时,圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大,此时直线l 与直线CM 垂直,又直线CM 的斜率为4-23-1=1,所以直线l 的斜率为-11=-1,因此所求的直线l 的方程是y -2=-(x -1),即x +y -3=0.答案:x +y -3=0 三、解答题11.(2016·河南中原名校第三次联考)已知圆C 的方程为x 2+(y -4)2=1,直线l 的方程为2x -y =0,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线PA ,PB ,切点为A ,B .(1)若∠APB =60°,求点P 的坐标;(2)求证:经过A ,P ,C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.解:(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4),PC =2,设P (a ,2a ),则a 2+(2a -4)2=2,解得a =2或a =65,所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65,125. (2)证明:设P (b,2b ),过点A ,P ,C 的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为x (x -b )+(y -4)(y -2b )=0,整理得x 2+y 2-bx -4y -2by +8b =0,即(x 2+y 2-4y )-b (x +2y -8)=0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2-4y =0,x +2y -8=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =4或⎩⎨⎧x =85,y =165,∴该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85,165.12.(2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :x 2+y 2-12x -14y +60=0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ,C 两点,且BC =OA ,求直线l 的方程;(3)设点T (t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA +TP =TQ ,求实数t 的取值范围.解:圆M 的标准方程为(x -6)2+(y -7)2=25, 所以圆心M (6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x =6上,可设N (6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,所以0<y 0<7,圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x -6)2+(y -1)2=1.(2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为4-02-0=2.设直线l 的方程为y =2x +m , 即2x -y +m =0, 则圆心M 到直线l 的距离 d =|2×6-7+m |5=|m +5|5. 因为BC =OA =22+42=25,而MC 2=d 2+⎝⎛⎭⎫BC 22, 所以25=(m +5)25+5,解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).因为A (2,4),T (t,0),TA +TP =TQ ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 1+2-t ,y 2=y 1+4. ①因为点Q 在圆M 上,所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.② 将①代入②,得(x 1-t -4)2+(y 1-3)2=25.于是点P (x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25上,从而圆(x -6)2+(y -7)2=25与圆[x -(t +4)]2+(y -3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t +4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-221≤t ≤2+221.因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221 ].课时达标检测(三十一) 等比数列及其前n 项和[练基础小题——强化运算能力]1.(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{a n }中,a 2a 3a 4=8,a 7=8,则a 1=( ) A .1 B .±1 C .2D .±2解析:选A 因为数列{a n }是等比数列,所以a 2a 3a 4=a 33=8,所以a 3=2,所以a 7=a 3q 4=2q 4=8,所以q 2=2,则a 1=a 3q2=1,故选A.2.(2017·安徽皖江名校联考)已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和,若a 2·a 4=16,S 3=7,则a 8=( )A .32B .64C .128D .256解析:选C ∵a 2·a 4=a 23=16,∴a 3=4(负值舍去)①,又S 3=a 1+a 2+a 3=a 3q 2+a 3q +a 3=7②,则联立①②,得3q 2-4q -4=0,解得q =-23或q =2,∵a n >0,∴q =2,∴a 1=a 3q 2=1,∴a 8=27=128.3.等比数列{a n }中,已知对任意正整数n ,a 1+a 2+a 3+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于( )A.13(4n -1) B.13(2n -1) C .4n -1D .(2n -1)2解析:选A 由题知a 1=1,公比q =2,故数列{a 2n }是首项为1,公比为4的等比数列,故a 21+a 22+a 23+…+a 2n =1×(1-4n )1-4=13(4n -1),故选A.4.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1+2a 2=3,a 24=4a 3a 7,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则q >0.由a 25=a 3a 7得a 24=4a 3a 7=4a 25=4a 24q 2,所以q 2=14,q =12.又a 1+2a 2=a 1+2a 1q =3,即2a 1=3,所以a 1=32,所以a n =a 1q n -1=32×⎝⎛⎭⎫12n -1=32n . 答案:32n5.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若S 4S 2=3,则S 6S 4=________.解析:设S 2=k ,S 4=3k ,由数列{a n }为等比数列,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4为等比数列,∵S 2=k ,S 4-S 2=2k ,∴S 6-S 4=4k ,∴S 6=7k ,∴S 6S 4=7k 3k =73.答案:73[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=3,a 9=a 2a 3a 4,则公比q 的值为( )A. 2B. 3 C .2D .3解析:选D 由a 9=a 2a 3a 4得a 1q 8=a 31q 6,所以q 2=a 21,因为等比数列{a n }的各项都为正数,所以q =a 1=3.2.(2016·杭州质检)在等比数列{a n }中,a 5a 11=3,a 3+a 13=4,则a 15a 5=( )A .3B .-13C .3或13D .-3或-13解析:选C 根据等比数列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧(a 3q 5)2=3,a 3(1+q 10)=4,化简得3q 20-10q 10+3=0,解得q 10=3或13,所以a 15a 5=a 5q 10a 5=q 10=3或13.3.(2017·长沙模拟)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A .7 B .5 C .-5D .-7解析:选D 设等比数列{a n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=2,a 5a 6=a 4a 7=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=4,a 7=-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-12,a 1=-8,所以a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7.4.(2016·衡阳三模)在等比数列{a n }中,a 1=2,前n 项和为S n ,若数列{a n +1}也是等比数列,则S n =( )A .2n +1-2B .3nC .2nD .3n -1解析:选C 因为数列{a n }为等比数列,a 1=2,设其公比为q ,则a n =2q n -1,因为数列{a n +1}也是等比数列,所以(a n +1+1)2=(a n +1)(a n +2+1),即a 2n +1+2a n +1=a n a n +2+a n +a n +2,则a n +a n +2=2a n +1,即a n (1+q 2-2q )=0,所以q =1,即a n =2,所以S n =2n ,故选C.5.(2017·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ,若a 3a 4a 8=8,则Ⅱ9=( ) A .512 B .256 C .81D .16解析:选A 由题意知,a 3a 4a 7q =a 3a 7(a 4q )=a 3a 7a 5=a 35=8,Ⅱ9=a 1a 2a 3…a 9=(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5=a 95,所以Ⅱ9=83=512.6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .192 里B .96 里C .48 里D .24 里解析:选B 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q =12,依题意有a 1⎝⎛⎭⎫1-1261-12=378,解得a 1=192,则a 2=192×12=96,即第二天走了96 里,故选B.二、填空题7.已知数列1,a 1,a 2,9是等差数列,数列1,b 1,b 2,b 3,9是等比数列,则b 2a 1+a 2的值为________.解析:因为1,a 1,a 2,9是等差数列,所以a 1+a 2=1+9=10.又1,b 1,b 2,b 3,9是等比数列,所以b 22=1×9=9,易知b 2>0,所以b 2=3,所以b 2a 1+a 2=310. 答案:3108.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 解析:因为3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以4S 2=3S 1+S 3,即4(a 1+a 2)=3a 1+a 1+a 2+a 3.化简,得a 3a 2=3,即等比数列{a n }的公比q =3,故a n =1×3n -1=3n -1.答案:3n -19.在等比数列{}a n 中,公比q =2,前99项的和S 99=30,则a 3+a 6+a 9+…+a 99=________.解析:∵S 99=30,∴a 1(299-1)=30.又∵数列a 3,a 6,a 9,…,a 99也成等比数列且公比为8,∴a 3+a 6+a 9+…a 99=4a 1(1-833)1-8=4a 1(299-1)7=47×30=1207.答案:120710.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积,则称该数列为“m 积数列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 016积数列”,且a 1>1,则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________.解析:由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 016=a 2 016, 故a 1a 2a 3·…·a 2 015=1,由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1>1, 所以a 1 008=1,公比0<q <1,所以a 1 007>1且0<a 1 009<1,故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 007或1 008.答案:1 007或1 008 三、解答题11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 3+…+a 2n +1.解:(1)∵S 1=a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列,∴S n =2n -1.又当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1-2n -2=2n -2.当n =1时a 1=1,不适合上式.∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -2,n ≥2.(2)a 3,a 5,…,a 2n +1是以2为首项,4为公比的等比数列, ∴a 3+a 5+…+a 2n +1=2(1-4n )1-4=2(4n -1)3.∴a 1+a 3+…+a 2n +1=1+2(4n -1)3=22n +1+13.12.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2),∴a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).∵a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴a n+2a n-1≠0(n≥2),∴a n+1+2a na n+2a n-1=3(n≥2),∴数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,∴a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又∵a1-3=2,∴a n-3n≠0,∴{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n.。

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