《自动控制原理》---丁红主编---第三章习题答案

习题
3-1.选择题：
（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：)
1(2)
s )(2
+++=s s s s G （，系统对单位斜坡的稳态误差是：a.0.5 b.1 3-2 已知系统脉冲响应
t e t k 25.10125.0)(-=
试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125
3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。

要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

图3.38 题3-3图
解 由结构图写出闭环系统传递函数
111)(212211211
+=+=+
=ΦK K s
K K K s K s
K K s K s
令闭环增益21
2
==
ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03
32
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。

3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3.39 所示。

如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。

图3.39 题3-4图 解：由图2.8知，
开环传递函数为
3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。

若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K 应取何值，调节时间s t 是多少？
图3-40 题3-5图
解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11T -=λ。

写出系统闭环传递函数
K
s s K
s 101010)(2
++=Φ 闭环特征多项式
2
002
202
1211010)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K T T 101102
2
00 联立求解得 ⎩⎨⎧==5.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s
3-6 图3.41所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1.
3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 εε124- 10 S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0 Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434⨯-= 32348
316⨯-= 0 S 2
424316
4
12⨯-⨯= 48 S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s
S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+= （4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s
S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-8 对于图3.42所示系统，用劳斯（Routh ）稳定判据确定系统稳定时的 k 取值范围。

图3.42 题3-8图
解：闭环系统的特征方程为：
k(s+1)+s(s3+4s2+2s+3)=0
s4+4s3+2s2+(k+3)s+k=0
Routh 表：
根据Routh 判据使系统稳定应满足：
∴ 0<k<1
3-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
要求确定引起闭环系统持续振荡时的k值和相应的振荡频率ω。

解：闭环特征方程为：
s4+12s3+69s2+198s+(200+k)=0
根据劳斯判据列劳斯表如下：
由152.3-0.23k=0 可求得使系统闭环时产生持续振荡的k值
k=662.13
将上述k 值代入辅助方程
52.5s2+200+k=0
令s=jω,代入上述方程得到相应的持续振荡频率ω= 4.05 rad/s
3-10 已知一系统如图3.43 所示,试求
（a）使系统稳定的k值的取值范围。

（b）若要求闭环系统的特征根都位于 Res=-1 直线之左，确定k 的取值范围。

图3.43 题 3-10图 解：(a) 闭环特征方程：
s(0.1s+1)(0.25s+1)+k=0 0.025s3+0.35s2+s+k=0
根据Routh 判据使系统稳定应满足： k>0
0.35>0.025k ∴ 0< k<14
(b) 令 s=z-1 并代入特征方程并整理得： 0.025z3+0.275z2+0.375z+0.675+k=0 ∴0.275×0.375>0.025 (0.675+k) 0<k<3.45 此时 z 〈0 既 s<-1
3-11.某控制系统的方框图如图3.44所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。

图3.44 题3-11图
3-12 系统结构图如图3.45所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间
1=p t s 。

（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=时系统的稳态误差。

图3.45 题3-12图
解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=++
+=ττs s K s s s s s K s G
（2） 2
2
22210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K
s G s G s ωξωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-===--1
13.16212ξωπσςξπn p o
o
o
o t e 联立解出
⎪⎩⎪⎨⎧===263
.063
.35
.0τωξn
由（2） 18.1363.31022
===n K ω，得出
318.1=K 。

（4）
63.31
263.01018
.1311010)(lim 0
=+⨯=+=
=→τK s sG K s v
413.063
.35.1===
v ss K A e 3-13 已知系统框图如图3.46 和图3.47) 所示
试求 (1) 图3.46所示系统的阻尼系数并简评其动态指标，
(2) 若加入速度反馈成图3.47，对系统的动态性能有何影响？ (3) 欲使系统(b) 的阻尼系数 ξ=0.7 时 ，应使 k 为何值？
图
3.46
图3.47
解： 图 (a) 的闭环传递函数：
(2)图(b)的闭环传递函数：
所以阻尼比ξ随k ’的增加而增加。

∴加入速度反馈可使阻尼比ξ增加，使系统的超调量减少，过度过程时间减少。

(3)当ξ=0.7时，则
3.14 单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，
)1(2)s )(2+++=
s s s K s G （
（1）试确定使系统稳定的K 的取值范围
（2）求输入函数分别是单位阶跃和单位斜波时系统的稳态误差。

解：(1)系统的闭环特征方程：
2)1(0)2()1(2
32=++++=++++K s K s s s K s s s
使系统稳定的K 的取值范围 K<1 (2)
)
1(1)
2K(s/2)1(2)s )(22+++=+++=
s s s s s s K s G （
系统含有一个积分环节，为Ⅰ型，对单位阶跃输入的稳态误差为0，对斜坡输入的稳态误差为1/2K(K<1)
3-15 对如图3.4 所示的系统，当r(t)=4+6t, f(t)=-1(t)时 ，试求
(1) 系统的静态误差，(2) 要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中哪一部分的比例系数，为什么？
图3.4 解： (a) r(t)=4+6t
系统的开环传递函数：
对给定r(t)的静态误差
设扰动之前的传递函数为k1，扰动之后的传递函数为
对扰动 f(t)=-1(t)的静态误差ess2
这里 k1=4 所以e ss2=0.25
∴系统的静态误差
e ss=e ss1+e ss2=0.6+0.25=0.85
(b) 从(a)可看出对扰动的静态误差 e ss2=1/k1
所以要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中第一部分的比例系数 k1
3-16 对如图3.49所示的系统，，试求
(1)当r(t)=0, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，
(2)当r(t)=1, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，
(3)说明要减少e ss，应如何调整k1和k2，
(4)在扰动f作用点之前加入积分单元，对静差e ss有什么影响，若在 f 作用点之后加入积分单元，结果又如何？
图3.49
解：(1)
(2) r(s)=1/s 引起的静态误差为e ss2
系统的静态误差
(3)由(b)知
∴增大 k1 可使静态误差减少
分析k2对e ss2的影响，e ss对k2求偏导得：
当k1 <1时，
∴ess 随 k2的增大而增大
当 k1>1 时
∴ess 随 k2 的增大而减小
(4) 在扰动作用点之前加入积分单元，扰动 F(s)=1/s 引起的静态误差
在扰动作用点之后加入积分单元，扰动 F(s)=1/s 引起的静态误差。

3-17 已知单位反馈系统的闭环传递函数为
试求单位斜坡函数输入和单位加速度函数输入时系统的稳态误差。

解：系统开环传递函数：
单位斜坡函数输入时 R(s)=1/s2
单位加速度函数输入时 R(s)=1/s3
3-18 设一随动系统如图3.50所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间s 1=p t ， （1）求增益K 和速度反馈系数τ。

（2）根据所求的K 和τ值，计算该系统的上升时间和调节时间。

（3）用MATLAB 进行验证(或用配套软件验证)。

图3.50题3-18
解 由图示得闭环特征方程为
0)1(112=+++K s K s τ
即
21n K ω
=，
n
n
t ωτωξ212
+=
由已知条件
1
12.0%2
1/2
=-=
==--t n p t e
t t ξωπσξπξ
解得
1
2
2
2
2t 52.389
.014
.345.0114
.3145
.0)1
(ln 1
ln
-==
-=
-=
=+=
s n ξπωσπσ
ξ
于是
4.121=K 17
5.0.4
127
.12121n ==-=
K t ωξτ
37.052
.304
.027.0152
.32.06.012
=++=++=
n
t t d t ωξξ
s t t
n t t
n r 5.6045
.0152.31.114.31arccos 12
22
=--=--=
--=
ξ
ωξπξ
ωβπ
s t n
t s .222
.535.40.5
35
.3=⨯=
=
ωξ
解毕。

3-19（北京理工大学2004 本题20分）
某系统由典型环节组成，是单位负反馈的二阶系统。

它对单位阶跃输入的响应曲线如图所示，试求该系统的开环传递函数及其参数。

图3-29题3-17
解：考虑到()1≠∞h ，结合已知条件，可设闭环传递函数为：
()()()2
2
2
2n
n n s s K s R s C s ωζωω++∙==Φ 由 ()95.095.0=⇒=∞K h
由图可知， ⎪⎩
⎪
⎨⎧
=≈-==%6.31316.095.095
.025.1%1σp t 对照指标公式得 ⎩⎨
⎧==⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
==---344.3344.0316.0112
12n n e
ωζζωπζζπ
于是闭环传递函数为
()182
.11301.2182
.1195.02++∙
=Φs s s
依题意，系统应由典型环节构成，且为单位反馈，相应的结构图可有两种形式，如图（a ）, （b ）所示：
图（a ） 图（b ）
对应图（a ）,有()()()()()()
s s s G s G s G s Φ-Φ=⇒+=Φ11111
开环传递函数为
()()()()()
1494.01623.3007
.19205.2276.0623.10559.0301.2623.102
1++≈++=++=
s s s s s s s G 即开环传递函数由1个比例环节和2个惯性环节构成。

对应图（b ）,有()()()
s G s G K s 221+∙
=Φ ⇒()()
1435.0860
.4301.2182.1195.02
2
+=+=
=s s s s s G K ， 即开环传递函数由1个比例环节、1个积分环节和1个惯性环节构成。