讲义五：《勾股定理》专题讲义
《勾股定理》教师讲义
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理讲义
勾股定理考点分析考点2勾股定理1.勾股定理的概念：2.勾股定理的性质：例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A. B. C. D.例2图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是【】A．13 B．26 C．47 D．94例3如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是【】A．5B．25 C．D．35 3651225944例4 如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是【 】A ．172B ．52C ．24D ．7例5 如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝【 】A ．2B ．3C ．22D ．23例6 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】A.10B.C. 10或D.10或例7 某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4A B =米，30B A C ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．5454172BC A30°l 1l 2l 3ACB例8 已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．例9 如图，过原点的直线l 与反比例函数1y x=-的图象交于M ，N 两点，根据图象猜想线段MN 的长的最小值是___________．例10 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2，则AC 长是_____________cm.例11 如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C在y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC 边上取一点D,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标.第12题图勾股定理的应用例12如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．例13 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m ．例14 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．例15已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，CD 是BC 边上的高， CD=3，求线段AB 的长.B A 6cm 3cm1cm乙变式训练：已知△ABC 中，AB=10，AC=17， BC 边上的高AD=8，求线段BC 的长和△ABC 的面积.例16如图，在△ABC 中,∠C=30°，AC=4cm ，AB=3cm ，根据已知可以求出什么？变式1、已知：如图,△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm ，AB=6cm ，求AC 的长.变式2、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，BC=10cm,求△ABC 的面积和AC 边上的高.变式3、已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.BCAB C ABC例17已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求点B 的坐标.例18 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°AD 平分∠BAC ， AC=6cm ，BC=8cm.（1）求线段CD 的长； （2）求△ABD 的面积.例19 变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABO 的顶点A 为（0，6），B 为（8，0），AD 平分∠BAC 交x 轴于点D ， DE ⊥AB 于E.（1）求△ABD 的面积； （2）求点E 的坐标.A B CO xy DCA例20恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km A B A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（A P 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接B A '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．例21 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．6m m ，8．8m图（1）图（3）图（2）课后作业：基础题：1、已知直角三角形两边的长分别是3cm和6cm，求第三边的长.2、已知：如图，△ABC中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，求AB.提高题：1、等腰△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边上的高，且BD与AB的夹角为30°，求CD的长.2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？3、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.AE D。
初二美术--勾股定理讲义(经典)
初二美术--勾股定理讲义(经典)初二美术 - 勾股定理讲义（经典）
引言
勾股定理是数学中一项非常重要的定理，它可以帮助我们计算
直角三角形的边长和角度。
在美术中，勾股定理也具有一定的应用，特别是在透视绘画中。
本讲义将为初二学生介绍勾股定理的基本概
念和应用。
什么是勾股定理？
勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形的斜边
平方等于两直角边平方和的关系。
数学表达式如下：
c^2 = a^2 + b^2
其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。
勾股定理的应用
在美术中，透视绘画是一项基本技巧。
透视绘画可以帮助我们
将三维物体表现在二维的画面上，使其更具立体感。
根据勾股定理，当我们绘制一个有透视效果的长方形时，可以
使用该定理来确定视角深度的比例关系。
通过计算出各个边的长度，我们可以更准确地表现物体的形状和远近程度。
实例演示
让我们来看一个透视绘画的实例演示。
假设我们要绘制一扇打
开的木门，门的两边分别是两段互相垂直的墙壁。
我们可以使用勾
股定理来确定门的长度和墙壁的位置，使绘画更加逼真。
总结
勾股定理是数学中一项重要且有广泛应用的定理，在美术中也
能发挥着作用。
通过理解和应用勾股定理，我们可以在绘画中更准
确地表现远近和形状，增强作品的立体感。
希望这份初二美术的勾股定理讲义对你有所帮助！。
勾股定理的讲义
勾股定理一：勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的值.练习：1.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为_______例题：1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M 的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．练习：1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____二：勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.例题：1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？练习：1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______例题：1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．练习：1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B 在围成的正方体上的距离是____三：勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 例题：1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出 （1）当a=19时，求b 、c 的值； （2）当a=2n+1时，求b 、c 的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 练习：1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=412.下列各组数是勾股数的是（ ） A. 13，14，15 B. 1，√2，√3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 5，12，13例题：1.如图，在四边形ABCD 中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD 的度数.练习：1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a ﹣b ）2+|a 2+b 2﹣c 2|=0，则△ABC 是 三角形2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定综合练习：1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是___________.3.如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到B点的最短爬行距离是________ cm.4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．7.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=√5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD 的面积．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A点沿外表面爬行到B点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明；（2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.。
05.勾股定理讲义
勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b，，斜边长为c，那么222a b c+=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b=-，222b c a=-，()222c a b ab=+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.知识点方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c ，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．类型二、勾股定理的证明例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段例3、作长为、、的线段.类型四、利用勾股定理解决实际问题例4、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）6A．3 B．4 C．5 D．课后练习一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．无法确定3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算 二.填空题 7.在直角坐标系中，点P （－2，3）到原点的距离是_______．8.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 _________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。
《勾股定理》讲义
一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：2、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：该定理在应用时，要注意如下几个要点：①已知的条件：三角形的三条边长度.②满足的条件：（最大边）2=（最小边）2+（中间边）2.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是 。
二、 知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积例1：求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法【强化练习】1、（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 。
2、已知Rt △ABC 三边的长分别是x ，x+1和5，则△ABC 的周长= ，面积= 。
考点二：应用勾股定理求边长例2：如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC=5，BC=12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD 为？考点三、利用列方程求线段的长（方程思想）例3：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
【强化练习】 如图，四边形ABCD 中，DC//AB ，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（ ）A 、14B 、15C 、23D 、32考点四：勾股定理在几何图形中的应用例4、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt △ABC中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
勾股定理讲义
(图1)第五届授课比赛教案学生人数 年 级 初二 课 时 2 教 师 授课日期授课时段课 题勾股定理教学目标知识与能力：会运用勾股定理进行简单计算，解决有关实际问题。
过程与方法：通过动手实践探索勾股定理，让学生体会数形结合的数学思想，培养学生动脑、动手操作能力及合作交流、推理分析研究能力。
情感态度与价值观：了解勾股定理的历史和多种证明方法，激发学生的爱国热情和民族自豪感。
教学内容 1. 勾股定理的概念2. 勾股定理实际应用重、难点 重点：勾股定理的探索过程及应用。
难点：勾股定理的证明。
教学宗旨读书不做记号等于不读书新课课程讲义一．课前引入2008年初某市遭遇50年难遇的特大冰灾，在此次灾害中一棵垂直于地面的树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，你能知道这棵树折断前有多高吗？二．勾股定理定义（ 图1 ） ( 图2 )定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图（3）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=（a ²=c ²-b ²）注：1.必须是是直角三角形。
4m3m三．经典题型讲解题型1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．练习.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；（2）已知:3:5a c ，b＝32，求a、c．题型2. 直角△ABC的两直角边分别长为6和8，则第三边长为。
练习.直角△ABC三边的长为x、x+1和5，则△ABC的周长是；面积是。
题型3.如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，EC的长为。
练习.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合， 点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为 。
勾股定理专题讲义
勾股定理二、核心纲要 1. 勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.注：⑴如图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.⑵勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形. ⑶为方便应用勾股定理进行计算，常将a2+b 2=c 2进行如下变形：①a 2 =c 2-b 2；②b 2=c 2-a 2；③a b ；⑤c ⑷勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形边； ③证明三角形中的某些线段的平方关系； 的线段.2. 勾股定理的证明勾股定理的证明实际采用的图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想.⑴证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b （b ＞a ），斜边为c ，中间是正方形，且边长为b —a .∵以c 为边的大正方形的面积为c 2，而4个直角三角形的面积和为142ab ⨯，中间的小正方形的面积为（b -a ）2， ∴c 2=214()2ab b a ⨯+-.即a 2+b 2=c 2.AB CDEFG Hb ac勾弦 股⑵证法二：邹元治的证明如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c .∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =2142ab c ⨯+=2ab +c 2，，大正方形面积S =（a +b ）2，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. ∴（a +b ）2=2ab +c 2. ∴a 2+b 2=c 2.⑶证法三：1876年美国总统伽菲尔德（Garfield ）的证明如图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形.∵S 梯形=211()()()22a b b a a b +⋅-=+， S 梯形=2S △ADE +S △DEC =221112222ab c ab c ⨯+=+，∴2211()22a b ab c +=+. ∴a 2+b 2=c 2. ⑷证法四：陈杰的证明如图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S . ∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab . ∴a 2+b 2 =c 2.GD ABCEF Lb a a bc cABCa ab bE A B CD HE FG a b a b a b abc cc c⑸证法五：火柴盒拼图如图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ＇C ＇D ＇的位置，连接C ＇C ，可得到直角梯形B C C ＇D ＇和等腰直角三角形C ＇AC ，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，利用梯形B C C´D´的面积即可证明勾股定理.∵S 梯形B C C ＇D ＇=21()()22a b BC C D BD +'''+⋅=，S 梯形B C C ＇D ＇=S △ABC +S △CAC ＇+S △D ＇AC ＇=2211122222c abab c ab +++=，∴22()222a b c ab++=， ∴a 2+b 2 =c 2.说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德总统证法.勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考. 3.直角三角形斜边上的高求法 如图所示，ab =ch =>ab h c=.4.数学思想本节涉及到的常用数学思想有： ⑴方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而几何问题代数化.⑵分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论. ⑶数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.⑷转化思想：有些问题如果直接解决难以入手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清楚，更简单.⑸类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处.cbah A B ＇DC ＇D ＇c ab图17-1-430°ACBA6410图17-1-2EADCB图17-1-5本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想.三、全能突破基础演练1.如图17-1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. A.2 B.3 C.4 D.52.一艘轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后他们相距（）. A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.32海里3.若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.125cm 4.三个正方形的面积如图17-1-2所示，则正方形A 的面积为______.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a +c =32，a :c =3:5，则△ABC 的面积为______.6.图17-1-3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm.7.某楼梯的侧面视图如图17-1-4所示，其中AB =4米，∠BAC =30°，∠C =90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______米. 8.如图17-1-5所示，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄.DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少千米处？能力提升图17-1-3图17-1-19.如图17-1-6所示，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么，梯子与地面和墙围成的的三角形的面积（） A.不变 B.大于24m 2 C.小于24m 2 D.不确定10.在△ABC 中，AB =20，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（）. A.54 B.44 C.54或44 D.42或3211.如图17-1-7所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，正放置的四个正方形的面积为从左到右依次是1.21，1，1.44，1.69，则S 1+S 2+S 3=（）.12如图17-1-8所示，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）13.以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为25cm 2和12cm 2，则第三个正方形的面积是______. 14.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，CA =8cm ，动点P 从C 出发，以每秒2cm 的速度沿CA →AB 运动到点B ，则从点C 出发______秒时，可使S △BCP =13S △ABC . 15.⑴已知Rt △ABC的周长为2AB =2，则这个三角形的面积为______.⑵已知，如图17-1-9所示，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC =______.16.图17-1-10中的螺旋形有一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、图17-1-9CBD CBA图17-1-8S 1S 2S 3图17-1-7图17-1-6⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为______.17.如图17-1-11所示，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求四边形ABCD 的面积.18.如果把勾股定理的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.⑴如图17-1-12（a ）所示，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？并说明理由.⑵如图17-1-12（b ）所示，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？⑶如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，如图17-1-12（c ）所示，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由.（此阴影面积在数学史上称为“希波克拉底月牙”）图17-1-13(a)FS 1 S 3S 2EACB Dc a bS 1 S 2S 3bACBc a (b)(c)S 2 S 1 S 3 AC B cba 图17-1-11ACBD①②③ ④ ⑤11 …图17-1-10图17-1-1419.图17-1-13所示是一块长、宽、高分别为3cm 、4cm 、6cm 的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）.⑴求长方体底面的对角线长；⑵若揭开盖子EFGH 后，插入一根长为10cm 的细木棍，则细木棍露在外面的最短长度是多少？⑶在A 处有一蚂蚁，在G 处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A 沿表面爬行到G ，求蚂蚁爬行的最短路径长.⑷若蜂蜜在点M 处，且距离F 为1cm ，蚂蚁从A 沿表面爬行到M ，求蚂蚁爬行的最短路径长.（直接写出结果）20.如图17-1-14所示，在平面直角坐标系中，△ABC 满足：∠C =90°，AC =2，BC =1，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始沿x 轴的正半轴运动，点C 沿y 轴的正半轴运动.⑴当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑵当OA =OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .21.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图17-1-15（a ）所示，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2.若△ABC 不是直角三角形，如图17-1-15（b ）和图17-1-15（c ）所示，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.中考链接（a ） （b ） 图17-1-15ACBABCABC（c ）CH EF G A D3 64 图17-1-13· MACB22.（2012·山东青岛）如图17-1-16所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.23.（2012·陕西）如图17-1-17所示，从点A （0，2）发出的一束光，经x 轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径长为______ .24.（2012·山东泰安）如图17-1-18所示，在△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE =∠CBE . ⑴线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由； ⑵求证：BG 2-GE 2=EA 2.巅峰突破25.在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD =______.26.在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上任意一点， ⑴试探究：AB 2-AD 2与BD ·DC 之间的关系.⑵应用上述结论解决问题：在△ABC 中，若AB =AC =1，BC 边上有2012个不同的点P 1、P 2、…、P 2012，记m i =AP i 2+BP i ·P i C (i =1、2、3、…、2012)，则m 1+m 2+…+m 2012=______.(直接写出结果)图17-1-18CABE HG F图蚂蚁AC 蜂蜜 图17-1-16。
勾股定理 讲义
勾股定理一、知识梳理1.勾股定理(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长得平方之与一定等于斜边长得平方.如果直角三角形得两条直角边长分别就是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用得前提条件就是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2得变形有:a2=c2﹣b2,b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.(4)由于a2+b2=c2＞a2,所以c＞a,同理c＞b,即直角三角形得斜边大于该直角三角形中得每一条直角边.2、直角三角形得性质(1)有一个角为90°得三角形,叫做直角三角形.(2)直角三角形就是一种特殊得三角形,它除了具有一般三角形得性质外,具有一些特殊得性质:性质1:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方(勾股定理).性质2:在直角三角形中,两个锐角互余.性质3:在直角三角形中,斜边上得中线等于斜边得一半.(即直角三角形得外心位于斜边得中点)性质4:直角三角形得两直角边得乘积等于斜边与斜边上高得乘积.性质5: 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对得直角边等于斜边得一半;在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边得一半,那么这条直角边所对得锐角等于30°.3.勾股定理得应用(1)在不规则得几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程得结合就是解决实际问题常用得方法,关键就是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确得示意图.领会数形结合得思想得应用.(3)常见得类型:①勾股定理在几何中得应用:利用勾股定理求几何图形得面积与有关线段得长度.②由勾股定理演变得结论:分别以一个直角三角形得三边为边长向外作正多边形,以斜边为边长得多边形得面积等于以直角边为边长得多边形得面积与.③勾股定理在实际问题中得应用:运用勾股定理得数学模型解决现实世界得实际问题.④勾股定理在数轴上表示无理数得应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边就是两个正整数得直角三角形得斜边.4.平面展开-最短路径问题(1)平面展开﹣最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间得最短路径.一般情况就是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.(2)关于数形结合得思想,勾股定理及其逆定理它们本身就就是数与形得结合,所以我们在解决有关结合问题时得关键就就是能从实际问题中抽象出数学模型.二、经典例题+基础练习1、勾股定理.【例1】已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上得高AD=8,则边BC得长为( )A.21B.15C.6D.以上答案都不对.练1、在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上得高AD长为12,则△ABC得面积为( )A.84B.24C.24或84D.42或84练2、如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE=( )A.1B.C.D.22、等腰直角三角形.【例2】已知△ABC就是腰长为1得等腰直角三角形,以Rt△ABC得斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD得斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形得面积就是( )A.2n﹣2B.2n﹣1C.2nD.2n+1练3、将一等腰直角三角形纸片对折后再对折,得到如图所示得图形,然后将阴影部分剪掉,把剩余部分展开后得平面图形就是( )A. B. C. D.3、等边三角形得性质;勾股定理.【例3】以边长为2厘米得正三角形得高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形得高为边长作第三个正三角形,以此类推,则第十个正三角形得边长就是( )A.2×()10厘米B.2×()9厘米C.2×()10厘米D.2×()9厘米练4、等边三角形ABC得边长就是4,以AB边所在得直线为x轴,AB边得中点为原点,建立直角坐标系,则顶点C得坐标为.4.勾股定理得应用.【例4】工人师傅从一根长90cm得钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm得钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来得钢条长应为( )A.80cmB.C.80cm或D.60cm练5、现有两根铁棒,它们得长分别为2米与3米,如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根铁棒得长为( )A.米B.米C.米或米D.米5.平面展开-最短路径问题.【例5】如图A,一圆柱体得底面周长为24cm,高BD为4cm,BC就是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱得表面爬行到点C得最短路程大约就是( )A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm练6.如图就是一个长4m,宽3m,高2m得有盖仓库,在其内壁得A处(长得四等分)有一只壁虎,B处(宽得三等分)有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为( )m.A.4、8B.C.5D.三、课堂练习1.已知两边得长分别为8,15,若要组成一个直角三角形,则第三边应该为( )A.不能确定B.C.17D.17或2.在△ABC中,∠A、∠B、∠C得对边分别就是a、b、c,若∠A:∠B:∠C=1:2:3.则a:b:c=( )A.1::2B.:1:2C.1:1:2D.1:2:33.直角三角形得两边长分别为3厘米,4厘米,则这个直角三角形得周长为( )A.12厘米B.15厘米C.12或15厘米D.12或(7+)厘米4.有一棵9米高得大树,树下有一个1米高得小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全折断),则小孩至少离开大树米之外才就是安全得.5.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下,树干顶部在根部4米处,这棵大树在折断前得高度为m.6.在一个长为2米,宽为1米得矩形草地上,如图堆放着一根长方体得木块,它得棱长与场地宽AD平行且大于AD,木块得正视图就是边长为0、2米得正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C 处需要走得最短路程就是米.(精确到0、01米)四、能力提升1.若一个直角三角形得三边长分别为3,4,x,则满足此三角形得x值为( )A.5B.C.5或D.没有2.已知直角三角形有两条边得长分别就是3cm,4cm,那么第三条边得长就是( )A.5cmB.cmC.5cm或cmD.cm3.已知Rt△ABC中得三边长为a、b、c,若a=8,b=15,那么c2等于( )A.161B.289C.225D.161或2894.一个等腰三角形得腰长为5,底边上得高为4,这个等腰三角形得周长就是( )A.12B.13C.16D.185.长方体得长、宽、高分别为8cm,4cm,5cm.一只蚂蚁沿着长方体得表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行得最短路径得长就是cm.6.如图所示一棱长为3cm得正方体,把所有得面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面得B点,最少要用秒钟.7.如图,一个长方体盒子,一只蚂蚁由A出发,在盒子得表面上爬到点C1,已知AB=5cm,BC=3cm,CC1=4cm,则这只蚂蚁爬行得最短路程就是cm.8.如图,今年得冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树得顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前得高度就是米.9.如图所示得长方体就是某种饮料得纸质包装盒,规格为5×6×10(单位:cm),在上盖中开有一孔便于插吸管,吸管长为13cm,小孔到图中边AB距离为1cm,到上盖中与AB相邻得两边距离相等,设插入吸管后露在盒外面得管长为hcm,则h得最小值大约为cm.(精确到个位,参考数据:≈1、4,≈1、7,≈2、2).10.如图就是一个外轮廓为矩形得机器零件平面示意图,根据图中得尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A与B得距离为mm.勾股定理得逆定理一、知识点梳理1.勾股定理得逆定理(1)勾股定理得逆定理:如果三角形得三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就就是直角三角形.说明:①勾股定理得逆定理验证利用了三角形得全等.②勾股定理得逆定理将数转化为形,作用就是判断一个三角形就是不就是直角三角形.必须满足较小两边平方得与等于最大边得平方才能做出判断.(2)运用勾股定理得逆定理解决问题得实质就就是判断一个角就是不就是直角.然后进一步结合其她已知条件来解决问题.注意:要判断一个角就是不就是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边得大小,用较小得两条边得平方与与最大得边得平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不就是.2.勾股定理得应用(1)在不规则得几何图形中,通常添加辅助线得到直角三角形.(2)在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程得结合就是解决实际问题常用得方法,关键就是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确得示意图.(3)常见得类型:①勾股定理在几何中得应用:利用勾股定理求几何图形得面积与有关线段得长度.②由勾股定理演变得结论:分别以一个直角三角形得三边为边长向外作正多边形,以斜边为边长得多边形得面积等于以直角边为边长得多边形得面积与.③勾股定理在实际问题中得应用:运用勾股定理得数学模型解决现实世界得实际问题.④勾股定理在数轴上表示无理数得应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边就是两个正整数得直角三角形得斜边.3.平面展开-最短路径问题(1)平面展开﹣最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间得最短路径.一般情况就是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.(2)关于数形结合得思想,勾股定理及其逆定理它们本身就就是数与形得结合,所以我们在解决有关结合问题时得关键就就是能从实际问题中抽象出数学模型.4.方向角(1)方位角就是表示方向得角;以正北,正南方向为基准,来描述物体所处得方向.(2)用方位角描述方向时,通常以正北或正南方向为角得始边,以对象所处得射线为终边,故描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.(注意几个方向得角平分线按日常习惯,即东北,东南,西北,西南.)(3)画方位角以正南或正北方向作方位角得始边,另一边则表示对象所处得方向得射线.5.三角形得面积(1)三角形得面积等于底边长与高线乘积得一半,即S△=×底×高.(2)三角形得中线将三角形分成面积相等得两部分.6.作图—复杂作图复杂作图就是在五种基本作图得基础上进行作图,一般就是结合了几何图形得性质与基本作图方法.解决此类题目得关键就是熟悉基本几何图形得性质,结合几何图形得基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.7.坐标与图形性质1、点到坐标轴得距离与这个点得坐标就是有区别得,表现在两个方面:①到x轴得距离与纵坐标有关,到y轴得距离与横坐标有关;②距离都就是非负数,而坐标可以就是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当得符号.2、有图形中一些点得坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关得线段长,就是解决这类问题得基本方法与规律.3、若坐标系内得四边形就是非规则四边形,通常用平行于坐标轴得辅助线用“割、补”法去解决问题.二、经典例题+基础练习1、勾股定理得逆定理.【例1】下列四组线段中,能组成直角三角形得就是( )A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,c=5练1、下列各组线段能构成直角三角形得一组就是( )A.30,40,50B.7,12,13C.5,9,12D.3,4,6练2、下列各组数据中得三个数作为三角形得边长,其中能构成直角三角形得就是( )A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,42、勾股定理得应用.【例2】如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树得树梢飞到另一颗树得树梢,问小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米练3、如图,小亮将升旗得绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆得高度为(滑轮上方得部分忽略不计)为( )A.12mB.13mC.16mD.17m3、平面展开-最短路径问题.【例3】如图,透明得圆柱形容器(容器厚度忽略不计)得高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm得点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm得点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行得最短路径就是( )A.13cmB.2cmC.cmD.2cm练4、如图,一只蚂蚁沿着边长为2得正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动得路径就是最短得,则AC得长为.4.勾股定理得应用:方向角.【例4】已知A,B,C三地位置如图所示,∠C=90°,A,C两地得距离就是4km,B,C两地得距离就是3km,则A,B两地得距离就是km;若A地在C地得正东方向,则B地在C地得方向.练5、如图,小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地,再从B地正南方向走3千米到C地,此时小明距离A地千米(结果可保留根号).5.坐标与图形性质;勾股定理得逆定理.【例5】在平面直角坐标系中有两点A(﹣2,2),B(3,2),C就是坐标轴上得一点,若△ABC就是直角三角形,则满足条件得点共有( )A.1个B.2个C.4个D.6个练6.在平面直角坐标系中,点A得坐标为(1,1),点B得坐标为(11,1),点C到直线AB得距离为4,且△ABC就是直角三角形,则满足条件得点C有个.三、课堂练习1.如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树得树梢飞到另一棵数得树梢,问小鸟至少飞行米.2.如图,小聪用一块有一个锐角为30°得直角三角板测量树高,已知小聪与树都与地面垂直,且相距3米,小聪身高AB为1、7米,则这棵树得高度= 米.3.如图,就是矗立在高速公路水平地面上得交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌得高CD为米(结果精确到0、1米,参考数据:=1、41,=1、73).4.在底面直径为2cm,高为3cm得圆柱体侧面上,用一条无弹性得丝带从A至C按如图所示得圈数缠绕,则丝带得最短长度为cm.(结果保留π)5.如图,点E就是正方形ABCD内得一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′得位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.四、能力提升1.下列四组线段中,可以构成直角三角形得就是( )A.4,5,6B.1、5,2,2、5C.2,3,4D.1,,32.若a、b、c为三角形三边,则下列各项中不能构成直角三角形得就是( )A.a=7,b=24,c=25B.a=5,b=13,c=12C.a=1,b=2,c=3D.a=30,b=40,c=503.以下各组数为边长得三角形中,能组成直角三角形得就是( )A.3、4、6B.9、12、15C.5、12、14D.10、16、254.工人师傅从一根长90cm得钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm得钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来得钢条长应为( )A.80cmB.C.80cm或D.60cm5.现有两根铁棒,它们得长分别为2米与3米,如果想焊一个直角三角形铁架,那么第三根铁棒得长为( )A.米B.米C.米或米D.米6.现有两根木棒得长度分别为40厘米与50厘米,若要钉成一个直角三角形框架,那么所需木棒得长一定为( )A.30厘米B.40厘米C.50厘米D.以上都不对7.如图A,一圆柱体得底面周长为24cm,高BD为4cm,BC就是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱得表面爬行到点C得最短路程大约就是( )A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm8.如图所示,就是一个圆柱体,ABCD就是它得一个横截面,AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从A点爬行到C点,那么,最近得路程长为( )A.7B.C.D.59.有一长、宽、高分别就是5cm,4cm,3cm得长方体木块,一只蚂蚁要从长方体得一个顶点A处沿长方体得表面爬到长方体上与A相对得顶点B处,则需要爬行得最短路径长为( )A.5cmB.cmC.4cmD.3cm10.在平面直角坐标系中,点A得坐标为(1,1),点B得坐标为(11,1),点C到直线AB得距离为4,且△ABC就是直角三角形,则满足条件得点C有个.11.设a＞b,如果a+b,a﹣b就是三角形较小得两条边,当第三边等于时,这个三角形为直角三角形.12. 有一棵9米高得大树,树下有一个1米高得小孩,如果大树在距地面4米处折断(未完全折断),则小孩至少离开大树米之外才就是安全得.13.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下,树干顶部在根部4米处,这棵大树在折断前得高度为m.14. “为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,为了检测车辆就是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A 到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗？请说明理由.(参考数据:≈1、41,≈1、73)15.校车安全就是近几年社会关注得热点问题,安全隐患主要就是超速与超载.某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度得实验,如图,先在笔直得公路l旁选取一点A,在公路l上确定点B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60°,再在AC上确定点D,使得∠BDC=75°,测得AD=40米,已知本路段对校车限速就是50千米/时,若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒,问这辆车在本路段就是否超速？请说明理由(参考数据:=1、41,=1、73)16.如图,一根长6米得木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直得墙(ON)上,与地面得倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A′时,B端沿地面向右滑行至点B′.(1)求OB得长;(2)当AA′=1米时,求BB′得长.勾股定理中得折叠问题一、经典例题例1.如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝8。
勾股定理经典讲义
勾股定理讲义Image考点1、勾股定理的内容和证明勾股定理：Image例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？ImageImage图1 图2 图3 图4例2：在中，，若C=，如下图1根据勾股定理可以得出：a+b=c，若不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理猜想a+b与c的关系，并且证明你的结论图1BBBAAACCC图2图3考点2、利用勾股定理求长度在中，若C=，，则例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．1、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．5、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．考点3、勾股定理的实际应用Image例4：如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h）例5：以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).图①图②图③小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．图④图⑤具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为；（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）Image6、有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）7、现场学习题问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．Image小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ________．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC，并求出它的面积是：．探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为、、，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：．Image8、如图，一架长25分米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗？用所学知识，论证你的结论．9、如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．例6：如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．10、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?11、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?12、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是米考点4、勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：勾股数：例7：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．FEACBD例8：若△ABC的三边的长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状（1）（2）a－ab+ ab－ac+ bc－b=0（3）若三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1呢？（n为正整数）13、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角 B．直角 C ．钝角D．不能确定14、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF15、一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A． 20:15:12 B． 3:4:5 C． 5:4:3 D． 10:8:216、在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．17、三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形D．不能确定18、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）三边a 、b 、ca ＋b －c 3、4、52 5、12、134 8、15、176A ．B ．C ．D ．19、若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．20、△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为____ __．21、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状例9：已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．（1）填表：（2）如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想： (用含有m 的代数式表示)．（3）证明（2）中的结论．3、4、53+ 4=55、12、135+ 12=137、24、257+ 24=259、40、419+ 40=41……..……21、b 、c21+ b =c22、观察下面表格中所给出的三个数a,b ,c ，其中a ,b ,c 为正整数，且a <b <c（1）试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）当a =21时，求b ,c 的值23、观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．考点5、勾股定理与面积24、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为l a b cImage25、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．26、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于27、有一块土地形状如图3所示，，AB =20米，BC =15米，CD =7米，D C B A 图3请计算这块土地的面积Image28、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD的面积29、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，ADCB求这块地的面积．考点6、勾股定理与折叠例10：如图，长方形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B 重合，折痕为EF，求DE和EF的长．Image30、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若cm ，则AD 的长（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm31、如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长E G C D B AImage32、有一块直角三角形纸板ABC ，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使点C 恰好落在AB 上于点E ，求CD 的长？Image33、如图，在正方形中，、分别是、上的点，将四边形沿翻折，使得点落在边的上，若，则的长度为______34、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=PHFEQDCBA(1) 求BE、QF的长(2) 求四边形QEFH的面积考点7、勾股定理相关几何问题Image例11：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC和AB的长.Image例12：如图，已知正方形ABCD边长为1cm，△AEF是等边三角形，求AF的长度DCBA35、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13，BC=3，CD=4，AD=12证明：ADBD36、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．37、如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．考点8、勾股定理与旋转例13：在等腰Rt△ABC中，CAB=，P是三角形内一点，且PA=1，PB=3，PC=CBAP求：CPA的大小？38、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPCPBACImage例14：如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°求证：DE2=AD2+BE239、如图中，为BC上任意一点，求证：．ABPCImage40、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD 求证：考点9、最短路径问题ImageImage41、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？42、有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？Image43、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？44、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是多少？Image45、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS 的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.ACBS例15：问题解决：已知：如图，为上一动点，分别过点、作于点，于点，联结、.（1）请问：点满足什么条件时，的值最小？（2）若，，，设.用含的代数式表示的长（直接写出结果）.拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值.46、（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出的最小值；（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以、、为边长的三角形的面积.。
勾股定理期末复习讲义
勾股定理期末复习讲义提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。
割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．【知识结构】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．你记得几组勾股数？显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数．4.利用尺规画出长度是无理数的线段.了，知道画吧5.勾股定理及其逆定理的应用.蚂蚁怎样走最近【注意】1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等【基础训练A】1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：73．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2 （2，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3A．1组B．2组C．3组D．4组4. △ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．5. 在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，• AB边上的高为________；6.如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．B C A D B C A D7. 如图，已知CD=3m ，AD=4m ， ∠ADC=90°， AB=13m ，BC=12m ，（1）求AC 边的长。
5初二上数学《勾股定理》讲义
【课题】勾股定理【学习目标】1.掌握勾股定理的含义；2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数；3.能够根据勾股定理，解决实际问题。
【课前导学】直角三角形边角关系【课堂导学】考点1：勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的（ ）分别为a ，b ，斜边为c ，那么（ ）（3）勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是（ ）。
图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
考点2：勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，（ ）形，对于（ ）三角形和（ ）三角形的三边就不具有这一特征。
考点3：勾股数（1）能够构成直角三角形的三边长的三个（ ）称为勾股数，即222ab c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。
（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如（ ）等。
考点4：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的任意两边长，求（ ）。
在A B C ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ；（2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的（ ）；（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的（ ）问题。
c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b ab c c b a E D C B A【例题精讲】例1：如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194例2：下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c=C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12例3：三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形例4：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米 C．13米D．14米类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.【课堂练习】【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【例题精讲】类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
勾股定理讲义
勾股定理复习课教学目标：1. 回顾熟知勾股定理，理解勾股定理的探究，掌握勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题.2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题.3，经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明体会数形结合思想以及转化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题 重点：勾股定理的简单计算证明，用勾股定理解三角形以及勾股定理的综合运用。
难点：勾股定理解三角形以及勾股定理的灵活运用。
知识梳理1勾股定理的概念：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a2 +b2 ＝c2 ）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识梳理2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）知识梳理3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
八年级下册勾股定理专题讲义
八年级下册勾股定理专题讲义1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：cbaHG F EDCB A4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简得证：222a b c +=方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，化简得证：222a b c +=方法三：a bcc baE D CBA1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证：222a b c +=３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形,当考察对象不是直角三角形时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a②可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即：222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13等③用含字母的代数式表示：若a ，b ，c 为勾股数，则k a ，k b ，k c 也可构成直角三角形（k ＞0）题型一：直接考查勾股定理例１.在△ABC 中，90C ∠=︒.⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长． ⑵已知17AB =，15AC =．求BC 的长．分析：直接应用勾股定理222a b c +=练习１.在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 ．练习2.边长为a 的正三角形的面积为 ．练习3.一长方体盒子长，宽，高分别是4米，3米，12米，盒内可放的棍子最长为 ．练习4.一只蚂蚁从长为4 cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_________cm ．中考链接：（2008昆明，14，3分）如图，有一个圆柱，高为16cm ，底面半径等于4cm ，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是_________cm .（π取3） A B（2012昆明，20，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D处与C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米，求荷塘宽BD 为多少米？(结果保留根号)运算技巧总结：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在△ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ．⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ．⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 ．分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来中考链接：（2011昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则AD=（2008昆明，9改编，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，A C = 6cm ，AB= 8cm ，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则DB 的值为_________第9题图E D CBA题型三：实际问题中应用勾股定理例4.如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m．AB CDE分析：根据题意建立数学模型，如图8AB=m，2CD=m，8BC=m，过点D作DE AB⊥，垂足为E，则6AE=m，8DE=m练习1.如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．练习2.一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距海里．练习3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度为米．练习4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为________．A D E练习5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草．练习6.如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？题型四：折叠类问题（解决折叠问题的关键是寻找图中相等的线段）例5.已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A.6B.8C.10D.12练习1.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？• A BE FD中考链接：（2012昆明，22改编，4分）如图，把矩形ABCD 沿直线MN 折叠，D 点与B 点重合，连接BM 、DN. 若AB=2，AD=6，求MD 的长．（2014昆明，14改编，3分）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EF=cm ．（2015昆明，22改编，4分）如图，AH 是圆的直径，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．若CD=10，EB=5，求圆的直径．第14题图Q H GFE DCBA6.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边．①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形．②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边．7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：D CB A ADB CDCAB题型五：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为直角三角形．① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =练习1.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？练习题型六：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例7.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =．D CBA练习1.如图,已知:∆ABC 中,CD ⊥AB 于D, AC=4, BC=3, BD=59 (1) 求CD 的长;(2) 求AD 的长;(3) 求AB 的长;(4) 求证：∆ABC 是直角三角形．。
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老师寄语：我们很平凡，但我们永不平庸，我们要作永远的进步者，我们会用
行动证明一切，只要有蓝天的呼吸，我们就不能放弃奋飞的翅膀！ 考点·方法：
1．会用勾股定理解决简单问题.
2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.
经典·考题：
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.
若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．
【变式练习】
01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋
S 3＋S 4＝______.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠
ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点
第1题图
第
2题图
1
在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )
A
．B
． C
． D ．7
【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一
根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；
【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10.
当堂检测：
1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB
222
AC BC ++的值是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ， ∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_____米.
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
B
A 3cm 1cm 6cm
7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。
求CD的长.
9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.
10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
5m 13m
勾股定理辅导讲义（1）答案：
1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 2
22AC BC ++=1+1=2；
2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.
3. 1360
，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=
⨯⨯=⨯⨯x x ；
4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，
在直角三角形ABC 中,由勾股定理,
222222201216=+=+=AC AB BC ,
所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.8
6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得
BC=3000400050002
2=-(米）,
所以飞机飞行的速度为5403600
203
=(千米/小时)
7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在
R
90,=∠∆CEF CEF t ，
EF=18-1-1=16（cm ），
CE=)(3060.21
cm =⨯，
由勾股定理，得CF=
)(3416302222cm EF CE =+=+
8. 解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得
254322222=+=+=AB AC BC
在直角三角形CBD 中，得CD 2=BC2+BD2=25+122=169，所以CD=13.
9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，
设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
得338,8)2(222=
=-x x x
10.如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B=17km
11.解：根据勾股定理求得水平长为m 125132
2=-， 地毯的总长 为12+5=17（m ），地毯的面积为17×2=34（)2m ，
铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）
12. 解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时， 走了12千米，即OA=12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．
在Rt △OAB 中，AB2=122十52＝169，∴AB=13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
A
第10题图。