安徽省铜陵市高中数学第四章(圆与方程)圆的标准方程学案新人教A版必修2【精心整理】.doc

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高中数学第四章圆与方程 4.1.1 圆的方程教案新人教A版必修2(2021年最新整理)

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圆的标准方程教学目标（1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点,理解方程中各个字母的含义,能合理应用平面几何中圆的有关性质,结合方程解决圆的有关问题．（2）理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．（已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一）导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线（特殊的曲线）的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c（a,b）,半径是r的圆的方程．（引导学生推导)设 M(x，y)是圆上任意一点，圆心坐标为（a，b）,半径为r．则│CM│=r,两边平方．（x-a)2+（y—b）2=r2，我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a，b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0，0)．即a=0．b=0．问题1．说出下列圆的方程：（1)圆心在点C(3, -4)，半径为7。

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.1.2

4.1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般方程.知识点一圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，22.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.思考若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：题型一圆的一般方程的定义例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.解方法一由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆.此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|.反思与感悟对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <54.题型二求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解方法一设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二设△ABC 的外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 已知一个圆过P (4,2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根， ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.①将P ，Q 两点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10.③解①②③联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10625，E ＝－565，F ＝48425.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10625x －565y ＋48425＝0.题型三求动点的轨迹方程例3 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.解方法一设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法二同方法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法三设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1,0). 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1). 反思与感悟求与圆有关的轨迹问题常用的方法.(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 求到点O (0,0)的距离是到点A (3,0)的距离的12的点的轨迹方程.解设M (x ，y )到O (0,0)的距离是到A (3,0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0.即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.代入法求圆的方程例4 已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程.分析由于点M 依赖于动点C ，且动点C 在圆上，故只要找到点M 与点C 的坐标关系，再利用点C 的坐标满足圆的方程，即可求得点M 的轨迹方程. 解设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .① 因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上，所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)，即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1).解后反思对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5 已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，点P (x ，y )在圆上运动，求2x 2＋y 2的最值.分析由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0，求得x 的范围.而点P (x ，y )在圆上，则可将2x 2＋y 2转化为关于x 的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0. 所以0≤x ≤2.又因为2x 2＋y 2＝2x 2－x 2＋2x ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以0≤2x 2＋y 2≤8.所以当x ＝0，y ＝0时，2x 2＋y 2有最小值0，当x ＝2，y ＝0时，2x 2＋y 2有最大值8. 故2x 2＋y 2有最小值0，最大值8.1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)答案 D解析－D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12 B.k ＝12 C.k ≥12 D.k <12答案 D解析方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －y －3＝0 C.2x －y －6＝0 D.2x ＋y －6＝0答案 B解析过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D.2 答案 D解析易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|12＋12＝ 2.5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.一、选择题1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4 C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16答案 C解析由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4. 2.圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 B.(x ＋4)2＋(y －1)2＝5 C.(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 C解析把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)，设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0答案 C解析直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22 D.3－22答案 A解析直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2. 5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.6.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B解析直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B.x 2＋y 2＝4 C.x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D.x 2＋y 2＝2 答案 A解析设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2).当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形，因此不成立.同理当x ＝－2时也不成立. 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 二、填空题8.已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________.答案 m ＜－13解析因为A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13. 又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134. 综上，m ＜－13.9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9解析设圆心为M (x ，y ).由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________. 答案 x 2＋y 2＝4解析设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.11.光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于______. 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 三、解答题12.已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 解方法一设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方，得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。

数学：第四章《圆的方程》教案(新人教A版必修2)

4、知识讲解：
圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法
4、对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
5、与标准方程的互化
6、用待定系数法求圆的方程
7、求与圆有关的点的轨迹。
7、课堂小练：
1.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为
2.设集合m={(x,y)|x2+y2=25},N={(x,y)|(x-a)2+y2=9}，若M?N=M，则实数a的取值范围是
4、已知圆的方程是，则它的在轴上的截距为的切线方程是(C)
A、 B、
C、与 D、与
5、求过三点A（1，1）B（3，1）和C（5，3）的圆的方程.
答案：5、。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
5、圆的半径为；圆心坐标为。
6、方程表示的图形是。
7、设圆的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.
8、圆在x轴上截得的弦长为.
5、，；6、一个点或一个圆；7、；8、
9、若方程表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是。（）
10、经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是.

人教A版高中数学必修2 第4章圆与方程【导学案】

§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时a b==，则圆的方程就是222x y r+=探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M---是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-=B．22(1)(2)52x y+++= C．22(1)(2)52x y-+-=D．22(1)(2)52x y-++= 2.点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）. A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++= 4.圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1.已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2.已知圆2225x y+=求：⑴过点(4,3)A-的切线方程.⑵过点(5,2)B-的切线方程§4.1圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,22D E--为圆心为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2Dx =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）.A ．2m ≤ B.2m <C ．12m <D ．12m ≤2.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53.动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是.5.圆22450x y x +--=的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值为.1.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题例1用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程图2变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※动手试试练1.直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法1判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离2如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r <直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C D ．无解3已知直线l 过点(2,0)-当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A．(-B．(C．(44-D ．11(,)88-4.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5.圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为.1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=的点的坐标.2.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．一、课前准备（预习教材P 136~P 137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4.设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※动手试试练1.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2.求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2.两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（）.A．5B ．1C．5D ．23.两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是.5.两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方1.已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有. 2．圆224450x y x y++--=和圆2284x y x y+-+70+=的位置关系为. 3．过两圆22640x y x+--=和22628x y y++-0=的交点的直线方程.二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式?分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m=,拱高4OP m=,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱22A B的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※动手试试练1.求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2.讨论直线2y x =+与曲线y =的交点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则yx的最大值为（）A ．1B.33.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程.5.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．※学习探究（预习教材P 124~P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）例5求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1.求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2.由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（）.A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,63.已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（）.A ．10B.226- C.64 D.84.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5.圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1.从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3空间直线坐标系学习目标1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标学习过程一、课前准备（预习教材P142~P144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体OBCD D A B C''''-中，3,4OA OC== 2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C点为原点，以射线,,BC CD CC'方向分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M-，描出它在空间的位置例2V ABCD-为正四棱锥，O为底面中心，若2,3AB VO==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※动手试试练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2.已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64.已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，(3,7,5)C -则顶点D 的坐标.5.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是.1.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2.设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.一、课前准备（预习教材P 145~P 146，找出疑惑之处）1.平面两点的距离公式？2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=这一依据.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※典型例题例1求点P 1(1,0,-1)与P 2(4,3,-1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※动手试试练1.在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2.试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d =3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P的距离为，则点P 为（）.(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（）.A ．10BCD ．384．已知(3,5,7)A -(B -AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为.5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为.1.已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2.在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.一、课前准备（复习教材P124~P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为.⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z，2222(,,)P x y z，则两点间的距离为12PP=.⑶点(,,)M a b c关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy对称的点；⑵关于坐标平面yoz对称的点；⑶关于坐标平面xoz对称的点；⑷关于x轴对称的点；⑸关于y对轴称的点；⑹关于z轴对称的点.※典型例题例1求经过(2,4),(3,1)P Q--两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2在圆224x y+=上与直线43120x y+-=距离最短的点是.※动手试试练.求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）.A ．2B．1+C．2+D．1+3.2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）.A．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4.如果直线l 将圆22460x y x y +-+=坐标原点到直线l 的距离最大值为.5.若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是.1.讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2.已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。

【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)

1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解方法一设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2，故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2，且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )，则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点，所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0，解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。

高中数学第4章圆与方程 4.1 4.1.1 圆的标准方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A

第四章4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养．1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3C.(－2，3)， 2 D．(2，－3)，2D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为 2.]2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝2B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A.在圆外B．在圆内C.在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a ). 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[跟进训练]1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)以点A (3，－2)，B (－5，4)为直径两端点的圆的方程． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r ＝5， ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)|AB |＝（3＋5）2＋（－2－4）2＝10. ∴半径r ＝5. 又圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，－2＋42，即(－1，1).所以圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系【例2】已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C (－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C |＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5，所以P 1(－1，0)在圆内；因为|P 2C |＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以P 2(1，－1)在圆上；因为|P 3C |＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以P 3(3，－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．[跟进训练]2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． [解] 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52.∵a ≠0，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0，＋∞).与圆有关的最值问题 [探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．2．若点P (x, y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2，－2)到直线x －y ＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．【例3】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值． [解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0，0)到圆心C (－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变，试求y x的取值范围． [解] 设k ＝y x ，变形为k ＝y －0x －0，此式表示圆上一点(x, y )与点(0, 0)连线的斜率，由k ＝yx，可得y ＝kx ，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d ≤r ，即|－k |k 2＋1≤12，解得－33≤k ≤33. 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b ，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1. 3．本例条件不变，求圆上点P 与A (－3，0)、B (0，－3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值．[解] |AB |＝（－3）2＋（－3）2＝3 2. 圆心(－1，0)到直线AB ：y ＝－x －3的距离为d ＝22＝2，∵圆(x ＋1)2＋y 2＝14的半径为12，∴点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值分别为2＋12，2－12.∴S △PAB 的最大值和最小值分别为： (S △ABP )max ＝12×32×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝12＋324，(S △PAB )min ＝12×32×(2－12)＝12－324.与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x, y )和(a, b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x, y )到定点(a, b )的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．判断点(x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的关系的方法：假设点(x 0，y 0)与圆心的距离为d ，则d ＞r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔在圆外； d ＝r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔在圆上； d ＜r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔在圆内．3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( ) A.x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C.(x －4)2＋y 2＝25D ．(x ＋4)2＋y 2＝25A [由题意，圆的半径r ＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.]2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A.－1 B．1C.3 D．－3B[圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2).由条件知，(－1，2)适合于方程3x＋y＋a＝0，所以－3＋2＋a＝0解得a＝1，故选B.]3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．[0，1)[由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．[解] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。

高中数学第4章圆与方程圆的一般方程学案含解析新人教A版必修2

新人教A 版选修1_2高中数学学案含解析：4.1.2 圆的一般方程学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养．2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学核心素养．圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F ．思考：所有形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示] 不是，只有当D 2＋E 2－4F >0时才表示圆．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2，3) B ．(－2，3) C.(－2，－3)D ．(2，－3)D [－D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).]2．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B ．k ＝12C.k ≥12D ．k <12D [方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.]3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C.x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0D[由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.] 4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．11 4[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝5－m＝32，∴m＝114.]圆的一般方程的概念【例1】(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )A.R B．(－∞，1)C.(－∞，1] D．[1，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(1)B(2)(－2，－4) 5[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).故选B.(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．[跟进训练]1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解] (1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项． ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542， ∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径的圆．求圆的一般方程【例2】求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．[解] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .[跟进训练]2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8，6)的圆的方程． [解] 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.∵圆与x ＋3y －26＝0相切于点B ，∴6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8，6)在圆上， ∴2D ＋4E －F －20＝0，② 8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.与圆有关的轨迹方程问题 [探究问题]1．已知点A (－1，0), B (1，0)，则线段AB 的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？ [提示] 线段AB 的中点轨迹即为线段AB 的垂直平分线，其方程为x ＝0.2．已知动点M 到点(8，0)的距离等于点M 到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？[提示] 设M (x ，y )，由题意有（x －8）2＋y 2＝2（x －2）2＋y 2，整理得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.【例3】点A (2，0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1，1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．思路探究：(1)设点P 坐标→用P ，A 坐标表示点M 坐标→求轨迹方程 (2)设点N 坐标→探求点N 的几何条件→建方程 →化简得轨迹方程 [解] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2，2y ).∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x ，y )； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．[跟进训练]3．已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2，0)，B (2，0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0).1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．标准方程一般方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心在x 轴上 (x －a )2＋y 2＝r 2x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b )2＝y 2x 2＋y 2＋Ey ＋F ＝0过(0，0)(x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋b 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝02.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线D ．不存在A [方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2).]2．若a ∈{－2，0，1，3}，则方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由(3a )2＋a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋a －1＞0，得a ＜1，满足条件的a 只有－2与0，所以方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为2.]3．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为________．x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0 [只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可．]4．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________． 4 [由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝（－4）2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4.]5．已知圆心为C 的圆经过点A (1，0)，B (2，1)，且圆心C 在y 轴上，求此圆的一般方程．[解] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆心C 在y 轴上，∴D ＝0. 又∵A (1，0)，B (2，1)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋02＋F ＝0，22＋12＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧E ＝－4，F ＝－1，所以所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－4y －1＝0.。

高中数学第四章圆与方程 4.1 圆的方程学案新人教A版必修2

4.1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心、半径为r 的圆． 2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆( )(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a( )答案：(1)×(2)×2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定解析：选A ∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝4[典例] 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． [解] [法一待定系数法]设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －2＋b －2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. [法二几何法]由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋－2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[活学活用]已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解：法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r ＝－3－2＋－2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.[典例] 已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并判断点M 1(－1,0)，M 2(1，－1)，M 3(3，－4)与圆C 的位置关系．[解] 因为圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4) ，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝－3－2＋－4－2＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M 1(－1,0)在圆C 内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M 2(1，－1)在圆C 上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M 3(3，－4)在圆C 外．[活学活用]已知M (2,0)，N (10,0)，P (11,3)，Q (6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．解：设M ，N ，P 三点确定的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b 2＝r 2，－a 2＋b 2＝r 2，－a2＋－b2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，r 2＝25.∴过点M ，N ，P 的圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25.将点Q 的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， ∴点Q 不在圆(x －6)2＋(y －3)2＝25上， ∴M ，N ，P ，Q 四点不共圆.[典例] 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.求yx的最大值和最小值． [解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．解：设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.2．[变设问]在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.层级一学业水平达标1．方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12＋2＋－1＋2＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3D. 2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝－2＋－2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝＋2＋－3－2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则a －2＋16＝a －2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝a －2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．求过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴，y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2＋－b 2＝r 2，－a2＋－b2＝r 2.消去r 2，得b ＝5a －5.①令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2， ∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2， ∴在x 轴上的截距之和是2a . ∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，∴b ＝56.∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－562＝16918.∴圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －562＝16918.层级二应试能力达标1．点P (a,10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．不确定解析：选C ∵(a －1)2＋(10－1)2＝81＋(a －1)2>2，∴点P 在圆外．2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1－＝－1，－a ＋12＝b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________________．解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为－2＋－2＋5＝5＋ 2.答案：5＋ 27．已知圆C 的圆心为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)． (1)求圆C 的标准方程．(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程．解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20. (2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2， ∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．解：设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.4．1.2 圆的一般方程[新知初探] 圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .[点睛] 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点：(1)x 2，y 2项的系数均为1； (2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋y 2＋x ＋1＝0表示圆( )(2)方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆( ) 答案：(1)× (2)√2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则a 的取值范围是________________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则2a 2－4a ＞0，∴a 2－2a ＞0，∴a ＜0或a ＞2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)[典例] 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .[活学活用]1．若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：法一：方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.法二：要使方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得a ＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上．证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， ∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 又m ≠2，∴(m －2)2＞0，∴D 2＋E 2＋4F ＞0，即曲线C 是一个圆．设圆心坐标为(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝－m 消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0上.[的方程．[解] [法一待定系数法]设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0， ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.联立①②④解得，⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. [法二几何法]由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径长r ＝|CP |＝a －2＋a ＋2. ①由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |. ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4322，代入①并将两端平方得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.[活学活用]求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.①又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，∴52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0. ② 32＋(－2)2＋3D －2E ＋F ＝0. ③解①②③组成的方程组，得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.[典例] 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝－3－2＋－2－2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．层级一学业水平达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(2，－3)D ．(－2，－3)解析：选C 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )．4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－32，不合题意，舍去；②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.层级二应试能力达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝ 2.∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0，即D ＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。

安徽省铜陵市高中数学第四章《圆与方程》圆的标准方程学案(无答案)新人教A版必修2(2021年整理)

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圆的标准方程展示课(时段：正课时间： 60分钟）学习主题：1、探索并掌握圆的标准方程，能根据标准方程求出圆心、半径 2、会判断点与圆的位置关系。

【定向导学·互动展示·当堂反馈】(10分钟）例题导析重点:圆的标准方程的运用板书:呈现例1,2，3的解题过程;展示例1,2,3；③注重例题展示过程，总结三角形外接圆方程的方法；高一堂组姓名：满分：100分得分：考查内容：圆的标准方程考查主题：灵活运用数形结合解题考查形式：封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭。

温馨提示：本次训练时间约为40分钟,请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容。

基础巩固1、以点(2，－3)为圆心，2为半径的圆的方程是（ )A ．（x ＋2)2＋（y －3）2= 4 B ．(x －2)2＋（y ＋3)2= 2 C ．（x ＋2)2＋(y －3)2=2 D ．（x －2)2＋(y ＋3）2= 42、x 2＋y 2＋6x －8y =0的圆心和半径分别是（ )A ．（－3,4），25B ．(3，－4),5C ．（－3，4），5D ．(3,－4）,25 3、方程0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y xx 与表示的曲线是（ )A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D ．前者是两个点,后者是一直线和一个圆 4．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( ） A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2）2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3）2＝15．(2013·保定高一检测)圆（x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称的圆的方程是（ ) A ．（x －2）2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2) 2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋（y ＋2)2＝5发展提升1、圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心坐标和半径分别是_________和____________；2、经过三点A （－1，0）、B （0，1）、C （3,0）的圆的方程是______________．3、圆O的方程为(x－3）2＋（y－4)2＝25,点(2，3）到圆上的最大距离为________．4、圆(x-3)2+（y-3）2=32上到直线3x+4y—11=0的距离等于1的点的个数是______．5、过点(2,－3）且与圆x2＋y2=4相切的直线方程是__________．拓展提高1、求直线3x＋4y－1=0被圆x2＋（y＋3）2=9截得的线段的长．2、过点(4,1）作圆（x－1)2＋（y＋2）2=9的切线,求切线的方程及切点坐标．3、求通过原点，且与两相交直线x＋2y－9＝0和2x－y＋2＝0相切的圆的方程．。

安徽省铜陵市高中数学第四章《圆与方程》圆与圆的位置关系学案(无答案)新人教A版必修2

圆与圆的位置关系展示课（时段：正课时间： 40分钟（自研）+60分钟（展示））学习主题：1、掌握圆与圆的几种位置关系2、会用几何法与代数法来判断两圆的位置关系（重点几何法）55【定向导学·互动展示·当堂反馈】概念⎪⎩（2）①式-②式得：行交流：①代数法判展示以抽查形式展⇔=∆0主题性展示（10分钟）例题导析重点：直线与圆方程的应用板书：呈现例4的解题过程；展示例4；③注重例题展示过程，总结建立直角坐标系的技巧；标= ；【看过程·再总结】铜都双语学校板块化·封闭式·考查课高二年级数学学道高二班组姓名：满分：100分得分：考查内容：圆与圆的位置关系考查主题：灵活运用数形结合解题考查形式：封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭. 考查时间：2016-10-08日下午展示时间：2016-10-08日晚上温馨提示：本次训练时间约为40分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容.基础巩固1．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )．A．外离 B．外切C．相交 D．内切2．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有 ( )．A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )．A． 2 B．－5C．2或－5 D．不确定4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(x＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A．(x－5)2＋(y＋7) 2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9发展提升5.若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．6.点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a=______.8.过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．拓展提高9.．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，判断两圆的位置关系。

高中数学第四章圆的标准方程学案新人教A版必修2

高中数学第四章圆的标准方程学案新人教A 版必修2圆的标准方程（1）圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。

（2）问题：求以C ()b a ,为圆心，半径是r 的圆的方程（3）圆的标准方程：()()222r b y a x =-+-基础自测：1、写出圆的标准方程（1）圆心()0,0，半径为3. （2）圆心()6,3--，半径为4.（3）经过点()1,5P ，圆心在点()3,8-C .2、圆()()52122=-++y x 的圆心是_______,半径是_____。

圆222=+y x 的圆心是_______,半径是_____。

圆()9322=++y x 的圆心是_______,半径是_____。

例题解析例1：求以)3,1(C 为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程.例2：已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线的方程.例3：下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度m AB 20=，拱高m OP 4=，在建造时每隔m 4需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长度（精确到)01.0m . 引申：1、点与圆的位置关系有几种？如何判断？2、直线与圆的位置关系有几种？如何判断？学案：圆的方程（第二课时）----圆的一般方程问题：圆的标准方程展开是否都可以写成下面的形式：022=++++F Ey Dx y x ，反之形如这样的方程的曲线是否都是圆？你能给出解释说明吗？基础练习：求下列各圆的半径和圆心坐标1、0622=-+x y x2、0222=++by y x3、22y x +-2ax-23ay+32a =0 例题解析例1：（1）求过三点)0,0(O 、)1,1(1M 、)2,4(2M 的圆的方程.（2）求过点)1,3(A 、)3,1(-B ，且它的圆心在直线023=--y x 上的圆的方程.例2：已知一曲线是与两个定点)0,0(O 、)0,3(A 距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.思考题：已知一曲线是与两个定点)0,0(O 、)0,3(A 距离的比为k 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.。

安徽省铜陵市高中数学第四章(圆与方程)圆的一般方程学案新人教A版必修2【word版】.doc

圆的一般方程展示课（时段：正课时间：60分钟）学习主题：1、正确理解圆的一般方程及一般方程的特点，能判断圆心的位置及半径；2、进一步学会根据题目条件求圆的标准方程；【定向导学·互动展示·当堂反馈】钟）例题导析重点：圆的一般方程的应用板书：呈现例4,5的解题过程；展示例4,5；③注重例题展示过程，总结轨迹求法的一般步骤；高一堂组姓名：满分：100分得分：考查内容：圆的一般方程考查主题：灵活运用数形结合解题考查形式：封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭.温馨提示：本次训练时间约为40分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容.基础巩固1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()A．0＜m＜1 B．m＞1C．m＜0 D．m＜12．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝03．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.2π B．2π C．22π D．4π4．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，则()A．D＝0，E＝0，F≠0 B．F＝0，D≠0，E≠0C．D＝0，F＝0，E≠0 D．E＝0，F＝0，D≠05．(2013·连云港高一检测)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是()A．3－ 2 B．3＋ 2 C．3－22 D.3－22发展提升6．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．9.已知圆x2＋y2－4x＋3＝0，则x2＋y2的最大值是________．10.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方程是________________．拓展提高1．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．2．若方程x2＋y2－4λ2x＋2（λ－1）y＋4λ4＋1＝0表示的圆的圆心在直线y＝x 上，求λ的值．3.已知圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，在圆上求一点M使它到点P(1,1)的距离最大？圆上哪一点到P点的距离最小呢？。

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圆的标准方程
展示课（时段：正课时间： 60分钟）
学习主题：1、探索并掌握圆的标准方程，能根据标准方程求出圆心、半径 2、会判断点与圆的位置关系 .
【定向导学·互动展示·当堂反馈】
钟）
例题导析重点：圆的标准方程的运用
板书：呈现例1,2,3的解题过程；
展示例1,2,3；
③注重例题展示过程，总结三角形外接圆方程的方法；
高一堂组姓名：满分：100分得分：
考查内容：圆的标准方程
考查主题：灵活运用数形结合解题
考查形式：封闭式训练，导师不指导、不讨论、不抄袭. 温馨提示：本次训练时间约为40分钟，请同学们认真审题，仔细答题，安静、自主的完成训练内容. 基础巩固
1、以点(2，－3)为圆心，2为半径的圆的方程是
( )
A ．(x ＋2)2＋(y －3)2 = 4
B ．(x －2)2＋(y ＋3)2 = 2
C ．(x ＋2)2＋(y －3)2 =
2
D ．(x －2)2＋(y ＋3)2 = 4
2、x 2＋y 2＋6x －8y =0的圆心和半径分别是
( )
A ．(－3，4)，25
B ．(3，－4)，5
C ．(－3，4)，5
D ．(3，－4)，25 3、方程0
)4(0)4(222222
=-++=-+y x x y x
x 与表示的曲线是
（）
A ．都表示一条直线和一个圆
B ．都表示两个点
C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
D ．前者是两个点，后者是一直线和一个圆
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 5．(2013·保定高一检测)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2) 2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
发展提升
1、圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标和半径分别是_________和____________；
2、经过三点A（－1，0）、B（0，1）、C（3，0）的圆的方程是______________．
3、圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
4、圆(x-3)2+(y-3)2=32上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个
数是______．
5、过点(2，－3)且与圆x2＋y2=4相切的直线方程是__________．
拓展提高
1、求直线3x＋4y－1=0被圆x2＋(y＋3)2=9截得的线段的长．
2、过点(4，1)作圆(x－1)2＋(y＋2)2=9的切线，求切线的方程及
切点坐标．
3、求通过原点，且与两相交直线x＋2y－9＝0和2x－y＋2＝0相切的圆的方程．。

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最新人教A版必修2高中数学 4.1.1 圆的标准方程教案

高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的方程教案 新人教A版必修2(2021年最新整理)