一元一次方程和它的解法

一元一次方程和它的解法
（一）知识要点：
1．一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它
的解是x=-。

我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。

例如方程
3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

2．解一元一次方程的一般步骤：
（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各
分母的最小公倍数。

要注意不要漏掉不含分母的项，如方程x+=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。

括号前有数字因数时要注意使用分配律。

（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。

注意移项要变号。

（4）合并同类项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。

（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=。

解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

（二）例题：
例1．解方程(x-5)=3-(x-5)
分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并同类项，使运算简便。

解：移项得：(x-5)+(x-5)=3
合并同类项得：x-5=3
∴ x=8。

例2．解方程2x-=-
解：因为方程含有分母，应先去分母。

去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6）
去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)
移项：12x-3x+2x=8-4+3
合并同类项：11x=7
系数化成1：x=。

例3．{[(+4)+6]+8}=1
解法1：从外向里逐渐去括号，展开求解：
去大括号得：[(+4)+6]+8=9
去中括号得：(+4)+6+56=63
整理得：(+4)=1
去小括号得：+4=5
去分母得：x+2+12=15
移项，合并同类项得：x=1。

解法2：从内向外逐渐去括号，展开求解：
去小括号得：{[ (++6]+8}=1
去中括号得：{+++8}=1
去大括号得：+++=1
去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945
即：x+2+12+90+840=945
移项合并同类项得：∴x=1。

注意：从上面的两种解法可以看到，解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来，可以按照具体的题目灵活运用方法。

例4．解方程[(-1)-2]-2x=3
分析：此方程含括号，因为×=1，所以先去中括号简便。

解：去中括号：(-1)--2x=3
去小括号：-1--2x=3
去分母：5x-20-24-40x=60
移项：5x-40x=60+44
合并同类项：-35x=104
系数化成1得：x=-。

例5．解方程--=0
分析：本方程分子、分母中都含有小数，如果直接去分母，会使运算繁琐。

但如果利用分数的性质，即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质，使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数，就能使运算简便。

解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以10，第二项分子、分母同乘以100），原方程可化为：
--=0
去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0
去括号：24x+54-30+20x-15x+75=0
移项得：24x+20x-15x=-54+30-75
合并同类项得：29x=-99
系数化成1：x=-。

例6．在公式S=(a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。

分析：这是梯形面积公式，四个量S，a, b, h中知道任意3个量的值，都可以求出第四个量的值。

解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得
44=(5+b)×8这是关于b的一元一次方程
化简得：b+5=11
移项，合并同类项得：b=6。

解法2：先把b看作未知数，把其它量都看作已知数，将公式变形，用其它三个量来表示b，然后再代入已知数的值求出b。

S=(a+b)h
去分母：2S=(a+b)h
去括号：2S=ah+bh
移项：2S-ah=bh 即bh=2S-ah
系数化成1：∵ h≠0，∴ b=-a (一定不要忘记条件h≠0)
当a=5, S=44，h=8时，
b=-5=11-5=6
∴ b=6。

例7．若单项式3a4b2x与b a4是同类项，求x的值。

分析：这个问题是利用一元一次方程解决实际问题的一个例子，利用同类项的定义，建立关于x的方程，然后解方程求出x的值。

解：依题意，由同类项的概念知两个单项式中b的次数应相等，
所以有：2x=3(x-)
去括号：2x=3x-1
移项合并同类项得：x=1
∴ x的值为1。

例8．当x=2时，二次三项式x2+bx+4的值为0，求当x=3时，这个二次三项式的值。

分析：这仍是一元一次方程的应用的例子，要弄清二次三项式的值（即代数式的值）的概念，先求出b的值，也就确定了二次三项式，最后求当x=3时，二次三项式的值。

解：∵ 当x=2时，x2+bx+4的值为0，
∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)
解这个方程得2b=-8，∴ b=-4，
∴ 二次三项式为x2-4x+4，
当x=3时，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,
∴ 当x=3时，这个二次三项式的值为1。

例9．解绝对值方程：
(1) |2x-1|=8 (2) =4 (3) =4
(4) |3x-1|+9=5 (5) |1-|x||=2
说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b|=c的形式；
②对|ax+b|=c进行讨论，当c>0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程，从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。

(1)解：∵ |2x-1|=8
∴ 2x-1=8或2x-1=-8
∴ 2x=9或2x=-7
∴ x=或x=-
∴ x=或x=-是原方程的解。

(2)解：∵=4
去分母得：|3x+2|=12
∴ 3x+2=12或3x+2=-12
∴ 3x=10或3x=-14
∴ x=或x=-
∴ x=或x=-是原方程的解。

(3)解：∵ =4
去分母：2|x|+5=12
移项，合并同类项：2|x|=7
系数化为1：|x|=
∴ x=±
∴ x=或x=-为原方程的解。

(4)解：∵ |3x-1|+9=5
∴ |3x-1|=-4
∵ 任何有理数的绝对值均为非负数，
∴ 此方程无解。

(5)解：∵ |1-|x||=2，
∴ 1-|x|=2 或 1-|x|=-2，
∴ |x|=-1 或 |x|=3，∴ x=±3，
由绝对值概念知，此方程无解；
∴ x=±3是原方程的解。

在第（5）个方程中，要处理两次绝对值，只要严格按规律办事就能顺利求出x的值。

（三）练习：
一、填空：
1．方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解为___________。

2．若|3x-2|=2，则x为____________。

3．当x=________时，代数式3x-2和3-x的值互为相反数。

4．关于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，则m=_______。

5．若代数式+5的值是代数式的值的倒数，则x=__________。

6．若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，则x=_______, y=______。

二、解方程：
1．1-+=
2．{[(+1)-1]+x}=1
3．-=
练习参考答案：
一、填空：
1. x=5
2. x=或x=0
3. x=-
4. m=1
5. x=92
6. x=-, y=
二、解方程：
1. x=
2. x=
3. y=。