(含中考题)4.5角的比较与补(余)角
沪科版4.5 角的比较与补(余)角--2Microsoft Word 文档 (2)
C
1
B
2
3
A
O
D
五、当堂反馈
一、判断：
（1）如果两个角相等，则它们的补角相等。 （ ）
（2）如果∠1 =40 °，∠2=60 °，∠3 =80 °, 那么∠1、 ∠2、 ∠
3 互为补角。
（）
二、填空：
（1）一个角是 36 ° ，则它的余角是_______，它的补角是_____。
（2） ∵ ∠1 和∠2 互余，∴ 互补， ∠ 3 与∠4 互补，
∠1 =∠ 3,那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？
教师总结得出结论结论：
余角性质：同角（或等角）的 余角相等。
补角性质：同角（或等角）的补角相等。
例 2.如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠1 与∠ 2,∠1 和∠ 3 是什麽
关系,∠2 与∠3 有怎样的大小关系？为什么？
2.已知 3 组角：
100
350
100
550
800
150
750
1050
350
1000
1250
550
1450 A组
1700 B组
1150 C组
（1）对 A 组中的每一个角，在 B 组中找出它的补角，并用线连接；
（2）B 组中有哪些角的余角在 C 组中？分别找出这些角，并用线连接。
3.判断：
（1）90°的角叫余角，180°的角叫补角。
简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角.
余角性质：同角（或等角）的 余角相等。
补角性质：同角（或等角）的补角相等。
作为农村中学班级，本班学生基础较差，学生理解能力，探究能力不 强。教学中应该徐图缓进，指导探究；细讲多练，强化掌握。
4.5 角的比较与补(余)角
第5课时 角的比较与补（余）角（2课时）一、教学目标：1.知识与技能：在现实情境中，进一步丰富锐角、钝角、直角及大小的认识；学会比较角的大小，能估计一个角的大小；在操作活动中认识角的平分线，能画出一个角的平分线.2.过程与方法：经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力.3.情感态度与价值观：体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的自 信心.二、教学重点和难点：重点：角的大小的比较方法，从图形中观察角的和、差的关系.难点：余角与补角的性质.三、教学过程：（一）复习引入：（1）师：请同学们回忆，比较两条线段的大小关系有哪几种方法？生：测量法和叠合法。
（2）师：你能比较出这两个角的大小吗？你是怎样比较的？生：探讨出角的大小比较的一种方法——测量法（二）探索新知1：1、观察（自主预习）⒈比较角的大小（1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。
（2）叠合法：把两个角叠合在一起比较大小。
教师演示：（1）∠AOB ＜∠AOB ′； （2）∠AOB=∠AOB ′； （3）∠AOB ＞∠AOB ′。
⒉认识角的和差思考：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？A OB B ′ A O B B ′ A O B （B ′） （1） （2） （3） A O BC43图中共有3个角：∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 。
它们的关系是：∠AOC=∠AOB+∠BOC ；∠BOC=∠AOC －∠AOB ；∠AOB=∠AOC －∠BOC2、角平分线在一张纸上画出一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合．想想看，折痕与角两边所成的两个角的大小有什么关系？如图（1）角的平分线：从一个角的_____出发，把这个角分成_______的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
类似地，还有角的三等分线等。
如图（2）中的OB 、OC 。
OB 是∠AOC 的一平分线,可以记作:∠AOC=2∠AOB=2∠BOC 或∠AOB=∠BOC=21 。
专题4.5 角的比较与补(余)角-重难点题型(学生版)2022年七年级数学上册举一反三系列(人教版)
专题4.5 角的比较与补（余）角--重难点题型【人教版】【题型1 角的大小比较】【例1】（2021秋•宁德期末）比较两个角的大小关系：小明用度量法测得∠AOB＝45°，∠COD＝50°；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边OB与OD重合，边OA和OC置于重合边的同侧，则边OA．（填序号：①“在∠COD的内部”；②“在∠COD的外部”；③“与边OC重合”）【变式1-1】（2021春•呼和浩特期末）如图，∠AOB＝∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（）A．∠AOC＞∠DOBB．∠AOC＜∠DOBC．∠AOC＝∠DOBD．∠AOC与∠DOB无法比较大小【变式1-2】（2021秋•开封期末）如图所示，其中最大的角是，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是．【变式1-3】（2021秋•门头沟区期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【题型2 角的和差】【例2】（2021秋•安庆期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB 的度数．【变式2-1】（2021秋•五常市期末）用一副三角板不能画出的角是（）A．75°B．105°C．110°D．135°【变式2-2】2021秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE ＝30°，则∠DBC为度．【变式2-3】（2021秋•荔湾区期末）把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B 三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【题型3 n等分线】【例3】（2021秋•罗湖区校级期末）如图，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度数．【变式3-1】（2021秋•奉化区校级期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC 平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ：∠BOC＝（）A．1：2B．1：3C．2：5D．1：4【变式3-2】（2021秋•江汉区期末）如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．【变式3-3】（2021秋•越秀区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．【题型4 角平分线】【例4】（2021秋•武都区期末）如图所示，点O是直线AB上一点，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，则∠BOF和∠EOF是多少度？【变式4-1】（2021秋•南山区期末）已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC=12∠AOBA．1个B．2个C．3个D．4个【变式4-2】（2021秋•曲阳县期末）已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，∠BOD的度数是；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是；（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC．射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【变式4-3】（2021秋•裕华区校级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠AOB的一边OB与射线OM重合，现将∠AOB绕着点O按顺时针方向旋转180°．在旋转过程中，当射线OA、OB或者直线MN是某一个角（小于180°）的平分线时，旋转角的度数为．【知识点4 余角和补角】（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．【题型5 余角与补角的定义】【例5】（2021春•金山区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数．【变式5-1】（2021•寻乌县模拟）已知∠A是锐角，∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则∠B﹣∠C的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°【变式5-2】（2020秋•麦积区期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．【变式5-3】（2021秋•沂水县期末）如图，已知∠AOB＝130°，画∠AOB的平分线OC，画射线OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度数．【题型6 利用余角或补角的性质得角相等】【例6】（2021秋•鹿邑县期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分线，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度数．（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．【变式6-1】（2021秋•旌阳区期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有．（填序号）【变式6-2】（2021秋•芮城县期末）综合与实践已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；（2）如图1，若∠AOC＝α，求∠DOE；（用含α的式子表示）（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由；（4）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，直接用含α的式子表示∠DOE．【变式6-3】（2019秋•东西湖区期末）如图1，平面内一定点A 在直线EF 的上方，点O 为直线EF 上一动点，作射线OA 、OP 、OA '，当点O 在直线EF 上运动时，始终保持∠EOP ＝90°、∠AOP ＝∠A 'OP ，将射线OA 绕点O 顺时针旋转60°得到射线OB ．（1）如图1，当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，若OA '平分∠POB ，求∠BOF 的度数；（2）当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，且∠AOE ＝3∠A 'OB 时，求∠AOF ∠AOP 的值；（3）当点O 运动到某一时刻时，∠A 'OB ＝130°，请直接写出∠BOP ＝ 度．【题型7 求几何图形中互余或互补角的个数】【例7】（2021•娄星区模拟）如图，C 是直线AB 上一点，CD 是∠ACB 的平分线．② 图中互余的角有 ；②图中互补的角有 ；③图中相等的角有 ．【变式7-1】（2021秋•南开区期末）如图所示，已知O 是直线AB 上一点，∠BOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD ．（1）图中与∠DOE 相等的角有 ；（2）图中与∠DOE 互余的角有 ；（3）图中与∠DOE 互补的角有 ．【变式7-2】（2021秋•成都期中）如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOD ＝120°，∠AOC ＝90°，OE 平分∠BOD ．写出图中所有互补的角和互余的角．【变式7-3】（2021春•吴中区月考）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α﹣∠β）．可以表示∠β的余角的有（ ） A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【题型8 数学思想方法与角】【例8】（2021秋•河东区期末）已知∠AOB ＝90°，OC 为一射线，OM ，ON 分别平分∠BOC 和∠AOC ，则∠MON 是（ ）A ．45°B ．90°C ．45°或135°D ．90°或135°【变式8-1】（2021秋•成华区期中）（1）如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度数；（2）如图2，射线OC、OD在∠AOB的内部，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度数【变式8-2】（2021秋•无锡期末）如图，∠AOB＝150°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，则2∠BOE﹣∠BOD＝°．【变式8-3】（2021秋•镇海区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．。
4.5角的比较与补(余)角(一)学案教案_沪科版七年级初一数学上
4.5 角的比较与补(余)角（一）学习目标:1、会比较角的大小，能估计一个角的大小，能够结合图形实际将一个角写成两个角和、差的形式。
2 、在操作活动中认识角的平分线，并能够用符号语言表示。
学习重点：角的大小比较方法以及角平分线的概念。
学习难点：从图形中观察角的数量关系。
学法指导：运用类比方法，通过观察，思考，学会用符号语言表示，注意推理的方法。
☆自主学习☆一、链接：如何比较两条线段的长短？。
二、导读：阅读课本147——148页，并完成以下问题：比较两个角的大小，可以采用的方法有：1、叠合法：叠合 FC(F) CCFB(E) A(D) B(E) A(D) B(E) A(D)(1) (2) (3)叠合∠ABC与∠DEF,使两个角的顶点（B、E）及一边（BA、ED）重合，另一边（BC、EF）落在重合的边的同旁。
①当EF与BC重合时，如图（1）∠ABC ∠DEF （填“﹥、﹤、﹦”）②当EF在∠ABC内部时，如图（2）∠ABC ∠DEF （填“﹥、﹤、﹦”）③当EF在∠ABC外部时，如图（3）∠ABC ∠DEF（填“﹥、﹤、﹦”）2、度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。
3、角的平分线的概念：在角的内部，以的一条射线把，这条射线叫做角的。
4、如图，OC是∠AOB的平分线，此时有：∠AOC ∠COB= ∠AOB∠AOB= ∠AOC= ∠COB☆探究·提升 ☆已知：如图，∠COB=2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD=19°，求∠AOB 的度数。
☆ 归纳反思 ☆☆ 达标检测 ☆1、如图，锐角的个数共有_______个.2、图中，以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来. 以 D 为顶点的角有 几个？把它们表示来.3、两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？A B CD O A20° O D C B 30° 50°。
沪科版七年级上册数学4.5角的比较与补余角同步练习含答案解析
《4.5 角的比较与补（余）角》基础练习1. 如图①，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是().图①A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOBC．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC2. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有().A.∠AOC＝∠BOCB.∠AOC＞∠BOCC.∠BOC＞∠AOBD.∠AOB＞∠AOC3. 如图②，如果∠AOB＝∠COD，那么().图②A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．无法确定4. 点P在∠MAN的内部，现有4个等式：①∠PAM＝∠NAP；②∠PAN＝∠MAN；③∠MAP＝∠MAN；④∠MAN＝2∠MAP，其中能表示AP是∠MAN的平分线的有().A．1个B．2个C．3个D．4个5. 如图③，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是().图③A．AD是∠BAC的平分线B．CE是∠ACD的平分线C．∠BCE＝∠ACBD．CE是∠ABC的平分线6. 如图④，∠AOD－∠AOC＝().图④A．∠AOC B．∠BOC C．∠BOD D．∠COD7.下列说法正确的有().①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；②直角没有补角；③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；④直角的补角还是直角；⑤一个锐角的补角与它的余角的差为90°；⑥两个角相等，则它们的补角也相等．A．3个B．4个C．5个D．6个8.若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是().A．互余B．互补C．相等D．∠α＝90°＋∠γ9. 如图⑤，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是().图⑤A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等10. 如图⑥，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是().图⑥A．互余B．互补C．相等D．和是钝角11. 若一个角为75°，则它的余角的度数为().A．285°B．105°C．75°D．15°12. 已知∠A＝70°，则∠A的补角为().A．110°B．70°C．30°D．20°13. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是().14. 已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，则下列说法错误的是().A．∠1＋∠2＝90°B．∠2＋∠3＝180°C．∠3－∠1＝90°D．∠3－∠2＝90°－∠115. 如图⑦，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，若∠1＋∠2＝180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由．图⑦答案和解析【答案】1. D2. D3. B4. D5. D6. D7. B8. C9. C 10. A11. D 12. A 13. B 14. D15. ∠3，∠4，∠6.【解析】1. 解：∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C正确；∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC，D错误．故选D.此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较方法．2. 解：在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有∠AOB＞∠AOC.故选D.此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较方法．3. 解：因为∠AOB＝∠COD，所以∠1＋∠BOD＝∠2＋∠BOD，所以∠1＝∠2.故选B.此题考查了角的和差，掌握等量代换方法是解题的关键.4. 解：由角的平分线的几何表示可知：①∠PAM＝∠NAP；②∠PAN＝∠MAN；③∠MAP＝∠MAN；④∠MAN＝2∠MAP，都能表示AP是∠MAN的平分线，共有4个.故选D.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．5. 解：因为∠BAD＝∠CAD，所以AD是∠BAC的平分线，A正确；因为∠BCE＝∠ACE，所以CE是∠ACD的平分线，∠BCE＝∠ACB ，B、C正确，D错误.故选D.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．6. 解：由图可知，∠AOD－∠AOC＝∠COD，故选D.本题考查了角的和差，解题关键是掌握角的和差计算方法.7. 解：锐角的余角是锐角，锐角的补角是钝角，①错误；直角有补角，直角的补角还是直角，②错误，④正确；钝角没有余角，钝角的补角是锐角，③正确；若∠1是锐角，则它的补角为180°－∠1，它的余角为90°－∠1，那么这个锐角的补角与它的余角的差为(180°－∠1)－(90°－∠1)＝180°－∠1－90°＋∠1＝90°，⑤正确；两个角相等，则它们的补角也相等，⑥正确，故正确的有4个，故选B.主要紧扣锐角、直角、钝角、余角、补角的特征进行判断，除①②不正确外，其他说法都正确．由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两个角为一个锐角、一个钝角或两个角都为直角．8. 解：因为∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，所以∠α、∠γ是∠β的补角，根据同角(或等角)的补角相等，∠α＝∠γ，故选C.此题考查的是补角的性质，根据“同角(或等角)的补角相等”进行解答即可.9. 解：因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是同角的补角相等.故选C.此题考查的是补角的性质，根据“同角的补角相等”进行解答即可.10. 解：因为∠BOD＝90°，所以∠COB＋∠COD＝90°，又因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠COB，所以∠DOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－∠COB－90°＝90°－∠COB，所以∠DOE和∠COB的关系是互余.故选A.此题考查的是角平分线的性质和余角、补角的性质，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和余角、补角的性质是解题的关键．11. 解：若一个角为75°，则它的余角的度数为90°－75°＝15°，故选D.本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．12. 解：已知∠A＝70°，则∠A的补角为180°－∠A＝180°－70°＝110°，故选A.本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.13. 解：因为三角形的内角和为180°，所以选项B中，∠1＋∠2＝90°，即∠1与∠2互为余角，故选B.此题考查的是余角的定义，掌握三角形内角和定理和余角的定义是解题关键.14. 解：因为∠1和∠2互为余角，所以∠1＋∠2＝90°，A正确；因为∠2与∠3互补，所以∠2＋∠3＝180°，B正确；∠3＝180°－∠2，∠1＝90°－∠2，所以∠3－∠1＝(180°－∠2)－(90°－∠2)＝180°－∠2－90°＋∠2＝90°，C正确；故选D.此题考查的是余角、补角的定义，根据余角、补角的定义，正确找到角之间的和差关系是解题的关键．15. 解：由图可知，∠1的补角有∠3、∠4，因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2是∠1的补角，根据同角(或等角)的补角相等，得∠2＝∠3＝∠4，又因为∠2＋∠5＝180°，∠5＋∠6＝180°，所以∠2＝∠6，所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.已知∠1＋∠2＝180°，说明∠2是∠1的补角．根据同角(或等角)的补角相等，找出图中∠1的其他补角和∠2的其他补角的补角，便可确定与∠2相等的角．“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”的实质是等量代换，在特定的背景下使用起来更便捷．《4.5 角的比较与补（余）角》提高练习1. 如图①，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝()．图①A．120°B．180°C．150°D．135°2. 如图②，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠COB＝35°，则∠AOD等于()．图②A．35°B．70°C．110°D．145°3. 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角()A．65°B．75°C．85°D．95°4.如图③，OC平分平角∠AOB，∠AOD＝∠BOE＝20°，图中互余的角共有().A．1对B．2对C．3对D．4对图③5. 已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为(). A．28°B．112°C．28°或112°D．68°6. 如图④，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是( ).图④A．125°B．135°C．145°D．155°7.如图⑤，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( ).图⑤A．35°B．55°C．70°D．110°8. 如图⑥所示，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠AOD，OE在∠BOD内，∠DOE ＝∠BOD，∠COE＝75°，求∠EOB的度数．图⑥9. 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．10. 如图⑦，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．图⑦答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. D5. C6. B7. C8. 9 ∠BCM或∠DCO9. 15°10. (1)60°；(2)15°.【解析】1. 解：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．2. 解：因为射线OC平分∠BOD，∠COB＝35°，所以∠BOD＝2∠COB＝70°，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－70°＝110°，故选C.根据角平分线的性质可知，∠BOD＝2∠COB＝70°，由图可知，∠AOD与∠BOD互补，进而可以求出∠AOD的度数.本题主要考查了角的判定，可以根据图形依次数出角的个数.3. 解：一副三角尺的角有45°、45°、90°；30°、60°、90°.故借助一副三角尺，可以画出45°＋30°＝75°的角.故选B．本题考查了三角尺相关的知识，掌握三角尺的各个角的度数是解题关键.4. 解：因为OC平分平角∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，所以∠AOD与∠COD互余，∠BOE与∠COE互余，又因为∠AOD＝∠BOE＝20°，所以∠BOE与∠COD互余，∠AOD与∠COE互余，故图中互余的角共有4对.故选D.此题考查的是角平分线的性质和余角的性质，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和余角的性质是解题的关键．5. 解：如图⑧，当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－42°＝28°；当点C与点重合时，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋42°＝112°.图⑧故选C.此题考查的是角的和差，本题要分两种情况进行讨论：(1) 当点C与点重合时；(2)当点C与点重合时，进而根据图形正确找到角之间的和差关系进行解答即可.6. 解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°，又因为∠BOD＝45°，所以∠EOD＝∠BOE－∠BOD＝90°－45°＝45°，所以∠COE＝180°－∠EOD＝180°－45°＝135°.故选B.此题考查的是余角、补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．7. 解：因为OE平分∠COB，所以∠COE＝∠EOB，因为∠EOB＝55°，所以∠COE＝55°，所以∠BOD＝180°－∠COE－∠EOB＝180°－55°－55°＝70°.故选C.此题考查的是角平分线的性质和补角的定义，能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的性质和补角的定义是解题的关键．8.解：设∠AOD的度数为x°，则∠BOD＝(180－x)°.因为OC平分∠AOD，∠DOE＝∠BOD，所以∠COD＝∠AOD＝，∠DOE＝∠BOD＝(180－x)°.由于∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，因此，＋(180－x)＝75，解得x＝90.所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－90°＝90°，∠EOB＝∠BOD＝60°.(1)几何题中包含多个已知量，条件包含多个数量关系，我们可选一个恰当的量为x，再用这个x来表示其他未知量；(2)利用方程思想进行计算，往往能达到意想不到的效果．本题中用到角的平分线及角的和、差、倍、分关系，涉及的角较多，应注意利用这些数量关系将未知角用已知角表示出来．9. 解：因为∠A与∠B互余，所以∠A＋∠B＝90°.又因为∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，所以∠A＝3∠B＋30°，所以3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠B的值．此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．10. 解：(1)因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°；(2)因为∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，所以∠AOC＝120°－90°＝30°，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.(1)根据OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，可知∠DOE＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC＝90°求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．《4.5 角的比较与补（余）角》培优练习1. 如图①，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC中，正确的有().图①A．4个B．3个C．2个D．1个2. 如图②，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF＝75°，则∠AED′等于().图②A. 75°B. 65°C. 30°D. 25°3. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③(∠α＋∠β)；④(∠α－∠β)．不能表示∠β的余角的是().A. ①B. ②C. ③D. ④4. 如图③，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？(2)在(1)的条件下，如果∠DOC＝20°，那么∠BOE是多少度？图③5. 如图④，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．图④答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. (1)65°；(2)45°.5. 15°【解析】1. 解：因为∠1＝∠2，所以AE平分∠DAF，③正确；又因为∠3＝∠4，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，所以AE平分∠BAC，⑤正确. 故正确的有2个.故选C.由角的平分线的几何表示可知：当∠1＝∠2时，AE平分∠DAF；再由∠3＝∠4可得∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠BAE＝∠CAE，因此AE平分∠BAC.判断一条射线是不是角的平分线，只要看这条射线是否将角分成相等的两个角．2. 解：由折叠的性质可知，∠D′EF＝∠DEF，因为∠DEF＝75°，所以∠D′EF＝75°，所以∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF＝180°－75°－75°＝30°.故选C.由于∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF，∠DEF为已知角，而∠D′EF＝∠DEF，易求得∠AED′的度数．折叠问题中的折痕平分被折边与原边的夹角．3. 解：由定义知∠β的余角为90°－∠β，故①正确；因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，所以∠α＋∠β＝180°，∠α＞90°，所以∠β＝180°－∠α，所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°，故②正确；因为∠α＋∠β＝180°，所以(∠α＋∠β)＝90°，所以∠β的余角为90°－∠β＝(∠α＋∠β)－∠β＝(∠α－∠β)，故④正确，而③错误．故选C.此题考查的是余角、补角的定义，能够正确找到角之间的和差关系，理解余角、补角的定义是解题的关键．4. 解：(1)因为OC平分∠AOD，所以∠DOC＝∠AOD.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOD.所以∠COE＝∠DOC＋∠DOE＝(∠AOD＋∠BOD)＝∠AOB＝×130°＝65°.(2)由(1)可知∠COE＝65°，因为∠DOC＝20°, 所以∠DOE＝∠COE－∠DOC＝45°.因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝45°.(1)由已知可知∠DOC＝∠AOD，∠DOE＝∠BOD.由于∠COE＝∠DOC＋∠DOE，因此，∠COE ＝∠AOD＋∠BOD＝∠AOB.(2)结合(1)的结论可求出∠DOE的度数，从而求出∠BOE的度数．利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同表达方式．在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角．5. 解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°.由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°.由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°.由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.由ON平分∠AOC，得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．。
4.5 角的比较与补(余)角
4.5 角的比较与补(余)角一．选择题（共20小题）1．（2019•玉林）若α＝29°45′，则α的余角等于（）A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′2．（2019•怀化）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°3．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（）A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′4．（2018•梧州）已知∠A＝55°，则它的余角是（）A．25°B．35°C．45°D．55°5．（2018•陇南）若一个角为65°，则它的补角的度数为（）A．25°B．35°C．115°D．125°6．（2018•德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④7．（2017•百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAMC．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC8．（2017•常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（）A．285°B．105°C．75°D．15°9．（2017•东莞市）已知∠A＝70°，则∠A的补角为（）A．110°B．70°C．30°D．20°10．（2016•宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补11．（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．12．（2015•百色）一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．70°13．（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．14．（2015•北海）已知∠A＝40°，则它的余角为（）A．40°B．50°C．130°D．140°15．（2015•绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不互补的是（）A．B．C．D．16．（2015•厦门）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B ＝∠ADE，则下列结论正确的是（）A．∠A和∠B互为补角B．∠B和∠ADE互为补角C．∠A和∠ADE互为余角D．∠AED和∠DEB互为余角17．（2015•酒泉）若∠A＝34°，则∠A的补角为（）A．56°B．146°C．156°D．166°18．（2015•株洲）已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于（）A．35°B．55°C．65°D．145°19．（2015•玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（）A．B．C．D．20．（2015•金华）已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是（）A．55°B．65°C．145°D．165°二．填空题（共9小题）21．（2019•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是．22．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．23．（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为．24．（2018•凉山州）已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是．25．（2018•昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为．26．（2018•日照）一个角是70°39′，则它的余角的度数是．27．（2016•茂名）已知∠A＝100°，那么∠A补角为度．28．（2015•鞍山）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是．29．（2015•南昌）一个角的度数为20°，则它的补角的度数为．三．解答题（共1小题）30．（2016•内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC ＝（用α表示）；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝（用α表示），并说明理由．类比研究：（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝．4.5 角的比较与补(余)角参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•玉林）若α＝29°45′，则α的余角等于（）A．60°55′B．60°15′C．150°55′D．150°15′解：∵α＝29°45′，∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．故选B．2．（2019•怀化）与30°的角互为余角的角的度数是（）A．30°B．60°C．70°D．90°解：与30°的角互为余角的角的度数是60°．故选B．3．（2019•湖州）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（）A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′解：∵∠α＝60°32′，∠α的余角是为90°﹣60°32′＝29°28′，故选A．4．（2018•梧州）已知∠A＝55°，则它的余角是（）A．25°B．35°C．45°D．55°解：∵∠A＝55°，∴它的余角是90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，故选B．5．（2018•陇南）若一个角为65°，则它的补角的度数为（）A．25°B．35°C．115°D．125°解：180°﹣65°＝115°．故它的补角的度数为115°．故选C．6．（2018•德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是A．图①B．图②C．图③D．图④解：图①，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α+∠β＝180°，互补．故选A．7．（2017•百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAMC．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选C．8．（2017•常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（）A．285°B．105°C．75°D．15°解：它的余角＝90°﹣75°＝15°，故选D．9．（2017•东莞市）已知∠A＝70°，则∠A的补角为（）A．110°B．70°C．30°D．20°解：∵∠A＝70°，∴∠A的补角为110°，10．（2016•宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补解：如图所示：∠NOQ＝138°，故选项A错误；∠NOP＝48°，故选项B错误；如图可得∠PON＝48°，∠MOQ＝42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．故选C．11．（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．解：∵三角形的内角和为180°，∴选项B中，∠1+∠2＝90°，即∠1与∠2互为余角，故选B．12．（2015•百色）一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．70°解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，依题意得90°﹣x＝（180°﹣x），解得x＝45°．故选B．13．（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2＝90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．故选C．14．（2015•北海）已知∠A＝40°，则它的余角为（）A．40°B．50°C．130°D．140°解：∠A的余角等于90°﹣40°＝50°．故选B．15．（2015•绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不互补的是（）A．B．C．D．解：如图1，，∵∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠2＝∠4，∵∠1+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互补．如图2，，∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互补．如图3，，∵∠2＝60°，∠1＝30°+90°＝120°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互补．如图4，，∵∠1＝90°，∠2＝60°，∴∠1+∠2＝90°+60°＝150°，∴∠1、∠2不互补．故选D．16．（2015•厦门）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上．若∠B ＝∠ADE，则下列结论正确的是（）A．∠A和∠B互为补角B．∠B和∠ADE互为补角C．∠A和∠ADE互为余角D．∠AED和∠DEB互为余角解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠B＝∠ADE，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A和∠ADE互为余角．故选C．17．（2015•酒泉）若∠A＝34°，则∠A的补角为（）A．56°B．146°C．156°D．166°解：∵∠A＝34°，∴∠A的补角＝180°﹣34°＝146°．故选B．18．（2015•株洲）已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于（）A．35°B．55°C．65°D．145°解：∵∠α＝35°，∴它的余角等于90°﹣35°＝55°．故选B．19．（2015•玉林）下面角的图示中，能与30°角互补的是（）A．B．C．D．解：30°角的补角＝180°﹣30°＝150°，是钝角，结合各图形，只有选项D是钝角，所以，能与30°角互补的是选项D．故选D．20．（2015•金华）已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是（）A．55°B．65°C．145°D．165°解：∠α的补角＝180°﹣35°＝145°．故选C．二．填空题（共9小题）21．（2019•烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是45°．解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案为45°．22．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于55°．解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为55．23．（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为15°或60°．解：分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．故答案为15°或60°24．（2018•凉山州）已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是40°18′、27°38′．解：设这两个角的度数为x、y，则，解得x＝40°18′，y＝27°38′，故答案为40°18′、27°38′．25．（2018•昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为150°42′．解：∵∠BOC＝29°18′，∴∠AOC的度数为180°﹣29°18′＝150°42′．故答案为150°42′．26．（2018•日照）一个角是70°39′，则它的余角的度数是19°21′．解：它的余角＝90°﹣70°39′＝19°21′．故答案为19°21′．27．（2016•茂名）已知∠A＝100°，那么∠A补角为80度．解：如果∠A＝100°，那么∠A补角为80°，故答案为8028．（2015•鞍山）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是144°38′．解：∵一个角的余角是54°38′∴这个角为90°﹣54°38′＝35°22′，∴这个角的补角为180°﹣35°22′＝144°38′．故答案为144°38′．29．（2015•南昌）一个角的度数为20°，则它的补角的度数为160°．解：180°﹣20°＝160°．故答案为160°．三．解答题（共1小题）30．（2016•内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC ＝90°+α（用α表示）；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°+α（用α表示）拓展研究：（2）如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝120°﹣α（用α表示），并说明理由．类比研究：（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO ＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝﹣α．解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α；如图②，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°+∠A＝120°+α；（2）如图③，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+180°）＝120°﹣α；（3）在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+180°）＝﹣α．故答案为90°+α，120°+α；120°﹣α；﹣α．。
4.5 角的比较与补(余)角
4.5课题：角的比较一、学习目标：1、会比较两个角的大小，能够结合图形实际将一个角写成两个角和差的形式。
2、了解角平分线的意义，并能够用符号语言表示。
二、学教过程：学教环节教师活动学生活动教学目的导新定向（3分钟) 基本训练激情导课1.出示基本训练题;2.根据口答情况，点评.1.基本训练：如图，点O在直线AB上，OD、OE分别是∠AOC 、∠BOC的平分线，则∠EOD的度数？通过基本训练，回顾有关知识，为新知识铺垫.学习目标板书课题出示目标（见上“目标”）1. 齐读学习目标（见上“目标”）.2．记住本节课需理解、掌握的知识点.让学生明确学习目标，了解本节课知识点和重难点，以便有目的自学，起导教导学导测作用.自学课本 (8分钟)1.出示自学内容：请同学们自学课本P147-148页思考：1、角的大小比较有几种方法？如何操作？2、两个角的和差如何表示？3、角平分线的定义？几何语言如何表示？2. 宣布自学课本巡视课堂，引导学生静心自学，注意自学进程时间，了解学生自学时存在的共性问题.1.自学自检：围绕学习目标，带着自学思考题，认真自学课本，勾画圈注重点及疑难点，理解自学思考题并尝试完成尝试练习，自检自测自学效果。
“自学思考题”给学生提供了明确的自学线路图，有目的的引导学生自学课本，整体感知本节所要理解掌握的知识点，培养学生的自主学习能力.初步检测学生的自学效果及对等式性质的理解，让学生更清楚地知道本节课所要掌握的具体知识内容.同时，学生在自学课本和尝试练习中遇到的问题，在下一环节“议探交流”时，进行有的放矢的交流讨论、质疑解惑.教后反思：议 探 交 流(8 分 钟) 宣布议探交流开始 1.对议：出示对议交流内容，对议开始. 2.组议：出示自学思考题（见PPT ），宣布组议开始，质疑解惑.3.巡堂：观察了解学生的讨论情况，了解存在共性问题，引导学困小组解决问题.师友对议：全体学生起立，针对自学提纲同组师友对议，师问友答，你讲我听，对于师友不理解的问题，互帮互学，不理解的做好记录，以备组议. 组议解惑：对议交流后，由组长组织讨论自学思考题和对议中没有解决的问题. 安排展示：由组长直接安排一对展示师友，准备展示. 1.起立对议，以促使每位学生参与交流讨论;2.组议意在解惑，帮助自学自检和对议中没有解决的问题，促使每个同学理解掌握自学知识内容，促进互帮互学和团队合作学习的意识;3.以保证每组都有展示人.展 示 评 讲(10 分 钟)1.指名展示：要求学友展示自学提纲中的问题和尝试练习. 2.后进展示：指名后进生文字叙述.3.教师点评：对学友和后进生的回答作适当纠正和鼓励. 4.归纳小结：师生归纳数轴的画法.师友展示：针对自学思考题，师友同时起立，老师点名，学友回答，师傅点评补充.质疑补充：师友展示，其他小组注意倾听，发现问题和不足大胆质疑、纠错补充.做好笔记：在教师点评和归纳小结中，学生要快速做好重要知识点的记录.1.学生展示其自学成果，巩固本节知识内容，锻炼表达能力，培养独立学习的习惯，进而提高其学习能力.2.鼓励师友展示点评、他组质疑补充，培养促进学生质疑问难.3.教师点评讲解，强调知识点重难点，使学生对本节知识有更深刻的认识和把握.当 堂 检测（8 分钟）当堂检测： （见右栏） 教师巡视：教师巡视解题情况，个别辅导. 公布答案：对于没有达到要求的学生，可以通过师友互助解决，并加以订正. 点评小结：针对学生做题情况，简而精的进行点评、小结、强调.当堂检测:如图：OC 、OD 分别是∠AOB 、∠BOE 的平分线，（1）如果∠AOB=700， ∠BOE=600，那么∠1+ ∠2= --------（2） 如果∠1+ ∠2 =550，则∠AOE= --------自我订正，或组内师友互帮订正.当堂检测是为了让学生进一步落实本堂教学目标，更好的了解和掌握重难点，提高学理解能力.通过当堂检测，教师点评，进一步检查新课教学效果，同时也能够培优。
最新初中沪科版七年级数学上册4.5角的比较与补(余)角(一)重点习题
4.5角的比较与补（余）角（一）1、一副三角板有6个角，则最小角的度数是（）A、150B、300C、450D、6002、下列语句正确的是（）A、小于平角的角是锐角；B、大于直角的角是钝角；C、等于900的角是直角；D、大于锐角的角是钝角3、锐角加上锐角的和是（）A、锐角B、直角C、钝角D、以上三种都有可能4、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的______。
5、如图，并回答问题：（1）∠BAC是_________角∠B是_________角∠C是_________角∠BAD是_________角（2）把∠BAC、∠B、∠C、∠BAD按从小到大的顺序排列_________________。
6、如图，BD是∠ABC的平分线，则（1）∠_________=∠_________（2）∠ABD=12∠_________（3）∠ABC=2∠_________=2∠_________。
7、300=_________平角，600=_________直角，1350=_________周角。
8、如图，∠AOD=1200，∠AOC=900，OC是∠BOD的平分线。
（1）2∠BOC是哪个角？（2）12∠BOD是哪个角？（3）求∠AOB+∠COD的度数。
DCABODCBADA9、如图，BD、CE是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC ∠ACB（填“<”、“=”、“>”）10、如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC 的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE= º。
11、如图，OC平分∠BOD，∠AOD=110º，∠COD=35º，则∠AOB= º，∠AOC=____.B CECDBOA OD CBA(第9题图) (第10题图) (第11题图)。
4.5 角的比较与补(余)角(一)(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
4.5 角的比较与补(余)角
感悟新知
知识点 1 角的大小比较
知1－讲
1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.
2. 叠合法
知1－讲
把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条
边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比
较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1.
解题秘方：利用角的大小的比较方法比较大小 .
知1－练
(1)比较∠ FOD 与∠ BOD 的大小；
解：∠ FOD 与∠ BOD 有重合边和重合顶点，且
射线OF 在∠ BOD 的内部，所以∠ FOD<
∠ BOD.
(2) 比较∠ AOD 与∠ BOD 的大小； 解： 因为∠ AOD 是钝角， ∠ BOD 是锐角， 所以∠ AOD> ∠ BOD.
特别解读
知3－讲
角平分线的“三要素”：
(1) 是从角的顶点引出的射线；
(2)在角的内部；
(3)将已知角平分.
角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.
知3－练
例4 [期末·池州贵池区]如图 4.5-6，∠ AOB=90°，
∠ BOC=50°， OD 平分∠ AOC，则∠ BOD 的度数 是( )
知3－讲
数学语言： 如图 4.5-5，若 OC 平分∠ AOB，则
∠ AOC=∠ BOC=
1 2
∠ AOB 或 2 ∠ AOC=2 ∠ BOC= ∠ AOB；
反之，若∠
AOC=
∠
BOC=
1 2
∠
AOB
或
2
∠
AOC=2
∠ BOC= ∠ AOB，则 OC 平分∠ AOB.
4.5角的比较与补(余)角-word文档
∠AOC>∠BOC,(OB在∠AOC内）
∠BOD>∠COD.(OC在∠BOD内）
（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOC=∠AOD-∠DOC.
【做一做】在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．
【思考】∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？
在图中，射线OB把∠AOC分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC
【思考】余角有无与上面补角类似的性质？
2．余角的性质：
同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.
等角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
学生思考，小组探究、交流，然后回答问题，上黑板演示；教师巡视，适当点拔。
教师提出问题，学生思考后回答，教师检查学生能否用文字语言。
中，正确的有(C)
A．4个B．3个C．2个D．1个
3.下列说法正确的有(B)
①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；
②直角没有补角；
③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；
④直角的补角还是直角；
⑤一个锐角的补角与它的余角的差为90°；
⑥两个角相等，则它们的补角也相等．
A．3个B．4个C．5个D．6个
课堂练习
1.如图，∠AOB＝48°，∠1＝32°24′，求∠2的度数．
解：因为∠AOB＝48°，∠1＝32°24′，
所以∠2＝48°－32°24′＝47°60′－32°24′＝15°36′.
2.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论：①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC
4.5 角的比较与补(余)角
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
• You have to believe in yourself. That相信自己，这是成功的秘诀。
4.5角的比较与补(余)角
4.5角的比较与补（余）角导入新课回顾线段长短的比较方法．比较图中线段AB、BC、CD的长短．CBAAB>AC>BC想一想怎样比较图中∠A、∠B、∠C的大小？学生回忆线段的比较方法。
通过复习学过知识，加深学生印象，为后面的学习做铺垫。
讲授新课度量法用量角器度量角的大小得∠C>∠B>∠A．类比线段长短的比较方法，•想一想怎样比较角的大小？CB A(F)(E)(D)叠合∠ DEF与∠ABC，如上图,把∠ DEF移动，使它的顶点E移到和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的学生思考，小组探究、交流，然后回答问题，上黑板演示；教师巡视，适当点拔。
培养学生发现问题、解决问题的能力；通过上黑板演示，更能清楚、直观，体现出了电子白板良好的同 旁. 如果EF 和BC 重合，那么∠ DEF=∠ABC 如果EF 落在∠ABC 的内部，那么 ∠ DEF ＜∠ABCC B A F(E)(D)如果EF 落在∠ABC 的外部，那么 ∠ DEF ＞∠ABCC B A F (E)(D)【思考】图中有几个角？它们之间有什么关系？∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB 是∠AOC 与∠COB 的差，记作∠AOB ＝∠AOC －∠COB.教师提出问题，学生思考后回答，教师检查学生能否用文交互性功能，同时也培养了学生的动手能力。
通过观察图形,分析角的和、差关系，并用符号语言表类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.【例】如图所示，求解下列问题：（1）比较∠AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；（2）将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.AOC BD解：（1）由图可以看出：∠AOC>∠BOC,(OB在∠AOC内）∠BOD>∠COD.(OC在∠BOD内）（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOC=∠AOD-∠DOC.【做一做】在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合．字语言。
沪科版-数学-七年级上册-数学沪科版七上 4.5 角的比较与补(余)角 训练题
4.5 角的比较与补(余)角基础巩固1．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α＞∠β，那么∠α的另一边落在∠β的( )．A．另一边上B．内部C．外部D．以上结论都不对2．下列说法中正确的是( )．A．一个锐角的余角一定比这个锐角小B．一个锐角的余角一定比这个锐角大C．一个锐角的补角一定比这个锐角大D．一个钝角的补角一定比这个钝角大3．利用一副三角板上已知度数的角，不能画出的角是( )．A．15° B．135°C．165° D．100°4．如图，∠1＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为( )．A．75° B．15°C．105° D．165°5．已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为( )．A．20° B．40°C．20°或40° D．10°或30°6．如图，AB是直线，∠BOC＝∠COD，∠DOE＝∠AOE，∠BOF＝90°，则下列说法错误的是( )．A．OC是∠BOD的平分线B．OD是∠AOC的平分线C．OE是∠AOD的平分线D．OF是∠AOB的平分线7．如图所示，小明把一块含60°角的三角板绕60°角的顶点A逆时针旋转到DAE的位置．若已量出∠CAE＝100°，则∠DAB＝__________°.8．已知一个角的补角和这个角的余角互补，求这个角的度数．能力提升9．如图所示，已知∠AOB＝165°，∠AOC＝∠BOD＝90°，求∠COD.10．已知两个有公共顶点且有一条公共边的角的度数比是7∶3，并且它们的差是72°，那么这两个角的和是多少？有什么特殊关系？11．如图(1)所示，∠AOB，∠COD都是直角．(1)试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？(2)当∠COD绕着点O旋转到图(2)的位置时，你原来的猜想还成立吗？写出答案即可，不需说明理由．参考答案1答案：C2答案：C 点拨：若这个锐角是小于45°的，则它的余角大于45°，故A错；若这个锐角是大于45°的，则它的余角小于45°，故B错；锐角的补角一定大于90°，故C对．3答案：D 点拨：45°－30°＝15°，A正确；45°＋90°＝135°，B正确；180°－15°＝165°，C正确．4答案：C 点拨：∠1与∠BOC互余，因此∠BOC＝75°，∠COD与∠BOC互补，∴∠COD ＝105°，故选C.5答案：C 点拨：分OC在∠AOB内部和OC在∠AOB外部两种情况讨论．6答案：B7答案：20 点拨：∵∠CAE＝100°，∠EAD＝60°，∴∠CAD＝40°.而∠CAB＝60°，∴∠DAB＝20°.8解：设这个角为x°，则它的余角是(90－x)°，它的补角是(180－x)°，根据题意，可得(180－x)＋(90－x)＝180.解这个方程，得180－x＋90－x＝180,90－2x＝0，所以2x＝90，x＝45.所以这个角的度数为45°.9解：设∠COD＝x°，则∠BOC＝90°－x°，∠AOD＝90°－x°.∵∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝180°－x°，∴180－x＝165，∴x＝15，∴∠COD＝15°.10解：设较大的角为(7x)°，则较小的角为(3x)°，根据题意，可得7x－3x＝72,4x＝72，所以x＝18,7x＝7×18＝126,3x＝54.所以这两个角分别为126°和54°.因为126°＋54°＝180°，所以这两个角互为补角．11解：(1)互补，∵∠AOD＋∠COB＝∠AOC＋∠COB＋∠BOD＋∠COB＝(∠AOC＋∠COB)＋(∠BOD＋∠COB)＝180°，∴∠AOD与∠COB互补．(2)成立．。