狄拉克符号(Dirac)

狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。

问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。

1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。

1.4.2 连续谱（1）算符作用在基矢>λ|上⎰⎰'>'>='<'>'>='∧∧λλλλλλλλλd F F d F ||||| （27） >'=<∧'λλλλ||F F （28） （2）算符作用在态矢>ψ|上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （29）具体表象下 >'>=<'<∧ψλϕλ|||F （30） ⎰⎰><>=<>'<>='<'∧λψλψλλλλϕλλλd F d F |||||| （31）例如 ⎰><>='>=<'<'∧dx x F F x x x x ψψϕ||||即为x 表象中方程 ),(),(),(t x xi x F t x ψϕ∂∂-=∧1.4.3 算符对左矢空间的作用（1）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即∧<F |ψ；>∧ψ|F 的共轭式应该是∧+<F |ψ，若考虑算符的厄米性 ∧∧+=F F 则有∧∧++∧=<=<>F F F ||)|(ψψψ （32）（2）由*||>>=<<B A A B 可得>=<><∧∧A FB B F A ||||*（33）最后列出几个常用的公式>↔<∂∂-∧∧ψψ||),(),(F x t x xi x F><↔ψλλψ|)(x x∑∑>><<>=↔<=nnn n n n x x x u a x ψψψ|||)()(⎰⎰><><>=↔<=ψψψ|||)()(*x dx x n n dx x x u a n n例题1 求证在动量表象中，薛定谔方程>>=∂∂∧ψψ||H ti （34）可变为微分—积分方程⎰'''-+=∂∂p d t p p p U t p p t p t i),()(),(2),(2ϕϕμϕ 式中),(,)()2(1)(),(232t p r d e r U p U r U p H r p iϕπμ⋅=+=⎰⋅-∧是动量表象中的波函数 解：因 ⎰⋅>==<⋅-r d r e p p r p i)()2(1|)(2/3ψπψϕ （35）利用 ⎰='<'>'1||p p d p式（34）可变为⎰⎰'>'<>='<'>'<>=>=<<∂∂'∧∧p d p H p p d p H p H p p ti p pψψψψ||||||| （36） 因 >'<+>'>=<'<∧∧p r U p p p p p H p|)(||2|||2μ（37） 而 >''<'>'<><>='<⎰⎰p r r d r r U r r d r p p r U p||)(|||)(|⎰⎰⎰'-==''-'=⋅'--'⋅'⋅-)()()2(1)()()2(1)(33p p U r d e r U e r d r r r U r d er p p ir p i r p iπδπ （38） 将（38）代入（37）得)()(2|2p p U p p p p H p'-+'->='<∧δμ（39）将（39）与（35）代入（36）得⎰⎰'''-+'''-=∂∂p d p p p U p d p p p p p t i)()()()(2)(2ϕϕδμϕ ⎰'''-+=p d p p p U p p)()()(22ϕϕμ2 关于一维线性谐振子的讨论 2.1 坐标表象一维线性谐振子∧H 算符及其本征函数在坐标表象中为 222212x p H μωμ+=∧∧（40） )(||)(2221x H eN n x x x n x n n n αψψα->=>=<=< （41）∧H 的本征值为 ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ,3,2,1=n （42）由厄米多项式的递推公式可导出对于谐振子在运算中常用关系式[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-+-)()2)(1()()12()()1(21)()(21)(21)(222211x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n ψψψαψψψαψ （43）[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-+-)()2)(1()()12()()1(2)()(21)(2)(2222211x n n x n x n n x dxd x n x n x dx d n n n n n n n ψψψαψψψαψ （44） 2.2 能量表象以)(x n ψ（或>n |）为基矢，为∧H 自身表象 mn n E n H m δ>=<∧|| （45） 对角矩阵 对角元素即为∧H 的本征值 由（43）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>+++>->=1|211|21|n n n n n x α 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡>+<++>-<>=<1|211|21||n m n n m n n x m α⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n n δδα（46）由（44）得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>++->-=>'1|211|2|n n n n n α 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡>+<+->-<-=>'<->=<∧1|211|2|||n m n n m n i n m i n p m x α⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-1,1,212n m n m n n i δδα （47）由（46）（47）写出x p x ,矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0230002302200022021000210x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0230002302200022021000210αi p x 2.3 动量表象以)(x p ψ（或>p |）为基矢， px ip e x p x2/1)2(1)(|πψ=>=<2.3.1 ∧H 在动量表象的矩阵元>''<'>'<><>='<⎰⎰∞∧∧p x x d x H x dx x p p H p ||||||x d e x x x p dx e x p i px i ''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''-⎰⎰ )(21221222δμωμπdx x p e x p p i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰'--222)(21221μωμπ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰'--'--dx e p dx e p x p p ix p p i)(2222)(22121212 πμωπμ)(21222222p p p p '-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=δμωμ （48） 实际上，动量表象中p p =∧pi x ∂∂= 直接可得上述结果。