9第4章概念1-狄拉克符号、矩阵表示、表象变换

k
k
Sα k = α k
表象时变换矩阵的矩阵元 时变换矩阵的矩阵元。 即从 F 表象变到 F′表象时变换矩阵的矩阵元。 其共轭矩阵元
+ Sij = ( S ji )*
ψψ
F 表象
* = ψ + ( F )ψ ( F ) = ∑ ak ak k
F ′表象
′ ′ = ψ + ( F ′)ψ ( F ′) = ∑ aα*aα
ψ ( F ) 的归一化
* a1 ( * a2
a1 2 ⋯) a2 = ∑ an = 1 ⋮ n
2.力学量算符的矩阵表示
ˆ 力学量 F 在
n
ψ 态下的平均值为
* F = ∑ Fn an an = ∑ an Fn ψ n = ψ
∑a F
n n
n
n = ψ
ˆ ∑a F
n n
ˆ Lkn = k L n
ˆ 表象中的矩阵元。 即 L 在F表象中的矩阵元。 表象中的矩阵元 表象中， 在F表象中，对任意态矢 ψ ，有 表象中
* * ˆ ˆ ψ = ∑ ak an k L n = ∑ ak Lkn an L= ψ L
k ,n
k ,n
* = ( a1
* a2
L11 ⋯) L21 ˆ 都没有意义。 A ψ 和 ψ A都没有意义。
n
ˆ ψ B= Ψ ˆ = ∑ cn A ψ n
n
4.左矢和右矢互为共轭 + ψ = ψ
+
ψ
+
=ψ
* cn ψ n = ∑ cn ψ n ∑ n n
因为 又 所以
(
ˆˆ BA ψ
) ( ) ˆˆ ( BA ψ ) = ψ
方程组有解的必要条件为
det Lkn − λδ kn = 0
再代入本征方程求出波函数。 由此求出本征值 λ ，再代入本征方程求出波函数。 三、表象变换 F表象： 基矢组 k 表象： 表象
{ } (k = 1, 2,⋯)
k
k n = δ kn
∑n
n
n =1
ψ = ∑ k k ψ = ∑ k ak
k
a1 ψ ( F ) = a2 = ψ ⋮
[ A, B ] = iC
内积
等等。 模方 等等。
[ A, B ] = iC
AB − BA = iC SAS + SBS + − SBS + SAS + = iSCS + A′B′ − B′A′ = [ A′, B′] = iC ′
ψ = ∑ an n = ∑ n ψ n = ∑ n n ψ
n
∑n
n
n
n
n = 1 （单位算符） 单位算符）
ˆ pk ψ = k k ψ = ak k
投影算符： ˆ 投影算符： pk = k k
n
中的第k项 的第k个分量 个分量。 它是 ψ = ∑ an n 中的第 项，即 ψ 的第 个分量。
二、量子力学的矩阵表示 1.波函数的矩阵表示 ˆ 或力学量完全集） 力学量 F（或力学量完全集）满足的本征方程为 ˆ F n = Fn n 则
ˆ Fkn = Fnδ kn = k F n
ˆ 表象中的矩阵表示如何？ 另一力学量算符 L 在F表象中的矩阵表示如何？ 表象中的矩阵表示如何 ˆ ˆ 若 L ψ = Φ 且 F n = Fn n 有
ψ = ∑ an n
n
an = n ψ
bk = k Φ
Φ = ∑ bk k
k
则算符方程的矩阵表示为 L11 L12 ⋯ ⋯ Lk1 Lk 2 ⋯ ⋯ 所以
6.两个定理 （1）厄米算符的本征值为实数。 厄米算符的本征值为实数。 ˆ ˆ 假设 F ψ =λ ψ ψ F = λ* ψ ˆ ˆ ψ F ψ = λ* ψ ψ ψ F ψ =λ ψ ψ
则 因此
λ = λ*
（2）属于厄米算符的不同本征值的本征函数正交。 属于厄米算符的不同本征值的本征函数正交。 ˆ ˆ λ1 ≠ λ2 假设 F ψ =λ ψ F ψ =λ ψ
* = ∑ Fn an an n
*
* a2
F11 ⋯) F21 ⋯
⋯ ⋯ ⋱
F12 ⋯ a1 F22 ⋯ a2 ⋯ ⋱ ⋮
因此
F1 [F ] = 0 ⋮
0 F2 ⋮
即在自身表象中，力学量算符矩阵是一对角矩阵， 即在自身表象中，力学量算符矩阵是一对角矩阵，且对角元素就是 其本征值， 其本征值，即
S11 S21 ⋯ ′ S12 ⋯ a1 a1 ′ S22 ⋯ a2 = a2 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮
′ aα = ∑ Sα k ak
k
又 所以
′ aα = α ψ = ∑ α k k ψ = ∑ α k ak
n
an = n ψ
* * * ψ ψ = ∑ n an ∑ ak k = ∑ an ak n k = ∑ an ak δ nk n,k n k n,k * = ∑ an an > 0
若 ψ ψ =1
n
则
∑a
n
2
n
=1
内积 ψ Φ 的含义是 ψ 和 Φ 在相应基矢上分量乘积之和，即 在相应基矢上分量乘积之和， * * * * ψ Φ = ∑ n an ∑ bk k = ∑ anbk n k = ∑ anbk δ nk = ∑ anbn n k n,k n n,k 因为 所以
ψ = ∑ an n
n
把展开系数用列矩阵表示出来 1 0 0 a1 0 1 a2 + a + a 0 +⋯ = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ = a1 +⋯ 1 ψ (F ) = 2 3 2 3 0 0 1 a3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 称为F表象中态矢 的表示， 表象中的波函数。 称为 表象中态矢 ψ 的表示，或F表象中的波函数。 表象中的波函数 * * ψ ( F ) 的共轭矩阵为 ψ + ( F ) = ( a1* a2 ⋯ an ⋯)
+
ˆ ˆ ( A ψ ) + = ψ A+
+
ˆ = Aψ
ˆ ˆ ˆ B + = ψ A+ B +
+
ˆˆ ( BA) +
ˆ ˆ ˆˆ ( BA) + = A+ B +
5.内积 ψ Φ 是一个数。 是一个数。
(ψ ψ )
若 ψ ψ =1 若 ψ Φ =0
+
= ψ ψ = ψ
2
已归一化； 则 ψ 已归一化； 正交。 则 ψ 、 Φ 正交。
ˆ 表象： ′ F ′表象： Lαβ = α L β
因为 所以
ψ ′ = Sψ
+
Φ′ = S Φ
L′Sψ = S Φ
′Sψ = S + S Φ = Φ S L
又因为 Lψ = Φ 所以
+
L = S L′S
这就是不同表象中算符之间的变换。 这就是不同表象中算符之间的变换。
′ = SLS + L
性质：表象变换不改变算符之间的关系。 性质：表象变换不改变算符之间的关系。 比如： 比如： Lψ = Φ 例如： 例如：
α
ψ +ψ = ψ ′+ψ ′ = ψ + S + Sψ
所以
S + S = 1 = SS + （幺正矩阵） 幺正矩阵）
波函数在不同表象之间的变换关系为
ψ ′ = Sψ
2.算符在不同表象之间的变换
ˆ 设 Lψ = Φ
ψ = S +ψ ′
ˆ F表象： Lkn = k L n 表象： 表象
Lψ = Φ
L′ψ ′ = Φ′
1 1 1 2 2 2
则 因此
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ2 ψ 1 ψ 2
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ1 ψ 1 ψ 2
ψ1 ψ 2 = 0
7.基矢组
1 、 、 、 、 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，则 2 ⋯ n ⋯ 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，
k n = δ kn
ψ = ∑ an n
第四章
态和力学量的表象
一、狄拉克符号 1.态矢空间 任何物理体系的任一微观状态可以用一个抽象矢量表示， 任何物理体系的任一微观状态可以用一个抽象矢量表示，称为 态矢。各种态矢总和构成态矢空间。 态矢。各种态矢总和构成态矢空间。 态矢空间包含一个右矢空间和一个左矢空间， 态矢空间包含一个右矢空间和一个左矢空间，其中的态矢分别 ψ 记为ψ 、 。 2.态叠加原理 态空间中任一矢量可以表示成其它矢量的线性叠加。 态空间中任一矢量可以表示成其它矢量的线性叠加。 ψ = ∑ cn ψ 2 ψ = ∑ cn ψ n 3.算符作用到态矢上 ˆ Aψ = Φ
n n
n
n
ˆ ˆ = ψ F ∑ an n = ψ F ψ
n
a1 因为 ψ ( F ) = a2 ⋮
* ψ + ( F ) = ( a1* a2 ⋯)
F11 F ] = F21 [ ⋯
F12 ⋯ F22 ⋯ ⋯ ⋱
所以
F = ψ + ( F ) [ F ]ψ ( F ) = ( a1
表象： 基矢组 { α F ′表象：
} (α = 1, 2,⋯)
α
α β = δαβ
∑α α
α =1
′ ψ = ∑ α α ψ = ∑ α aα