三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题17数系的扩充与复数的引入文(含解析)
2017年高考数学试卷分类汇编(复数)
2017年高考数学试卷分类汇编复数北京文理相同（2）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞-（C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞全国1理3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p 全国1文3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)全国2理 1.31i i+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 全国2文2.（1+i ）（2+i ）=-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i全国3理2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．2CD ．2全国3文2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 山东理（2）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D山东文（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =(A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2天津文理相同（9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 江苏2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________浙江12．已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = 。
2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题17 数系的扩充与复数的引入
专题17数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可．【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 4．【2019年高考北京卷文数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D【解析】因为2i z =+，所以2i z =-，所以(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ．【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2=|z 1|2=|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D【答案】C【解析】因为21i (1i)2i2i +2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---=+==+=++-，所以1||z ==，故选C ．【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：（1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）22z z z z ⋅==； （4）121212z z z z z z -≤±≤+；（5）1212z z z z =⨯；（6）1121||z z z z =． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)+= A ．32i - B ．32i + C ．32i --D ．32i -+【答案】D【解析】2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+，故选D ． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)+-=A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-==-+-=+，故选D ． 8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】11i 11i 1i (1i)(1i)22+==+--+的共轭复数为11i 22-， 对应点为11()22-，，在第四象限，故选D ． 【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限． 9．【2018年高考浙江卷】复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】22(1i)1i 1i 2+==+-，∴共轭复数为1i -，故选B ． 10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1i)2i +=，可知2(1i)+为纯虚数，故选C ． 11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B【解析】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B ．【名师点睛】（1）首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i )(+i )()+a b c d =a c b d -(+)i (,,,)a d b c a b c d ∈R ．（2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限，所以选C ．13．【2017年高考北京卷文数】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故实数a 的取值范围是(,1)-∞-，故选B ． 14．【2019年高考天津卷文数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】由题可得5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 15．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．【分析】本题先计算z ，而后求其模．或直接利用模的性质计算．容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【答案】2【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 16．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【答案】2【解析】由题可得2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++， 令20a -=，解得2a =．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．【2018年高考天津卷文数】i 是虚数单位，复数67i12i+=+______________． 【答案】4i -【解析】由复数的运算法则得67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-． 18．【2018年高考江苏卷】若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______________．【答案】2【解析】因为i 12i z ⋅=+，则12i2i iz +==-，则z 的实部为2． 19．【2017年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，2(i)34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b +=______________，ab =______________．【答案】52【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==．20．【2017年高考天津卷文数】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为______________． 【答案】2-【解析】由题可得i (i)(2i)(21)(2)i 212i 2i (2i)(2i)555a a a a a a -----+-+===-++-为实数， 所以205a +=，解得2a =-． 【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． （2）对于复数i z ab =+(,)a b ∈R ， 当0b ≠时，z 为虚数； 当0b =时，z 为实数； 当0,0a b =≠时，z 为纯虚数．21．【2017年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______________．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i )(i )a +b c +d =()()i (,a c b d +a d +b c a ,b ,c d -∈R ．（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．。
【高考冲刺】高考数学(理)真题专项汇编卷(2017—2019)知识点13：数系的扩充和复数的引入
高考数学（理）真题专项汇编卷（2017—2019）知识点13：数系的扩充和复数的引入1、设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则( ) A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=2、设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3、若(1i)2i z +=，则z =( ) A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i4、已知复数:2i z =+，则z z ⋅=( ) A.3 B.5C.3D.55、设121iz i i-=++则z = ( ) A. 0 B.12C. 1D. 26、1212ii +=- ( ) A. 4355i --B. 4355i -+C. 3455i --D. 3455i -+7、()()12i i +-= ( ) A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i +8、设有下面四个命题:1p :若复数z 满足1R z∈，则z R ∈;2p :若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈; 3p :若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =;4p :若复数z R ∈，则z R ∈. 其中的真命题为( ) A. 13,p p B. 14,p p C. 23,p p D. 24,p p9、31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i +D ．2i -10、设复数z 满足()12i z i +=，则z = ( )A.12B.2C. D. 211、i 是虚数单位，则5i1i-+的值为_______. 12、设i 为虚数单位，3i 65i z -=+，则z 的值为.13、已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是___________.14、复数1z 1i=+（i 为虚数单位），则|z |=___________.15、i 是虚数单位，复数67i12i+=+__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：,(1)z x yi z i x y i =+-=+-，1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．2答案及解析： 答案：C解析：由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点(3,2)--位于第三象限．故选C ．3答案及解析： 答案：D 解析：()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．4答案及解析： 答案：D解析：∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.5答案及解析： 答案：C 解析：()()()()11222112i i i z i i i i i ---=+=+=++，1z=，故选C6答案及解析： 答案：D解析：因为: 212(12)341255i i ii ++-+==-所以选D.7答案及解析： 答案：D解析：原式=222213i i i i i -+-=++=+故选D8答案及解析： 答案：B解析：设(),z a bi a b R =+∈， 则22222211i ii a b a b za b a b a b a b -===-++++， 由1R z∈可得0b =，则z R ∈，故1p 正确; ()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，由2zR ∈可得0a =或0b =，不能得到z R ∈，故2p 错误; 若z R ∈，则0b =，则R z a =∈，故4p 正确; 对于3p ，若121,2z z ==，则12z z R ⋅∈， 但不能得到12z z =的结论，故3p 错误.故选B.9答案及解析：解析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D10答案及解析： 答案：C解析：由题()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z ==C 。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题17数系的扩充与复数的引入文(含解析)
专题17 数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设，则3i12iz -=+||z =A ．B 2C D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得，再求即可．z ||z【解析】方法1：由题可得，所以C ．(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-||z ==方法2：由题可得C ．|3i ||||12i |z -====+【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设，则)i i (2z =+z =A ．B ．12i +12i -+C ．D ．12i -12i--【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．z z 【解析】由题可得，所以，故选D ．2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+12i z =--【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若，则(1i)2i z +=z =A ．B ．1i --1i -+C ．D ．1i -1i +【答案】D【解析】由题可得．故选D ．()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．4．【2019年高考北京卷文数】已知复数，则2i z =+z z ⋅=A B C ．D ．35【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选D ．2i z =+2i z =-(2i)(2i)5z z ⋅=+-=【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2=|z 1|2=|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设，则1i2i 1iz -=++||z =A ．B ．012C ．D 1【答案】C【解析】因为，21i (1i)2i2i +2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---=+==+=++-所以，故选C ．1||z ==【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：（1）；（2）；（3）；1212z z z z ±=±1212z z z z ⨯=⨯22z z z z ⋅==（4）；（5）；（6）．121212z z z z z z -≤±≤+1212z z z z =⨯1121||z z z z =6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)+=A ．B ．32i -32i +C ．D ．32i --32i-+【答案】D【解析】，故选D ．2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)+-=A ．B ．3i --3i -+C ．D ．3i -3i+【答案】D【解析】，故选D ．2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-==-+-=+8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于11i-A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】的共轭复数为，11i 11i 1i (1i)(1i)22+==+--+11i 22-对应点为，在第四象限，故选D ．11(22-，【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限．9．【2018年高考浙江卷】复数(i 为虚数单位)的共轭复数是21i-A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i【答案】B 【解析】，∴共轭复数为，故选B ．22(1i)1i 1i 2+==+-1i -10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由，可知为纯虚数，故选C ．2(1i)2i +=2(1i)+11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)++=A ．B ．1i -13i +C ．D ．3i +33i+【答案】B。
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题17数系的扩充与复数的引入(含答案及解析)
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：17 数系的扩充与复数的引入1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以iz+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|iz+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33i D．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为a,b∈R，(a+b)+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A 【解析】 【分析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0,即{a =1b =−2故选:A5．【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =ii 2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i)+(1−i)=2， 故选：D6．【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（ ） A ．−2+4i B ．−2−4i C ．6+2i D ．6−2i【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1−2i). 【详解】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i +2i =6−2i ， 故选：D.7．【2021年甲卷文科】已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【答案】B 【解析】 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.8．【2021年乙卷文科】设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值. 【详解】 由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.9．【2021年乙卷理科】设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z . 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.10．【2021年新高考1卷】已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.11．【2021年新高考1卷】复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置. 【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 该点在第一象限， 故选：A.12．【2020年新课标1卷理科】若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 13．【2020年新课标1卷文科】若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i=-将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为31+21+21z i i i i i=+=-=+，所以z==故选：C．【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．14．【2020年新课标2卷文科】（1–i）4=（）A．–4 B．4C．–4i D．4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i-=-=-+=-=-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.15．【2020年新课标3卷理科】复数113i-的虚部是（）A．310-B．110-C．110D．310【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010iz ii i i+===+--+，所以复数113zi=-的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.16．【2020年新课标3卷文科】若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+i C ．–i D ．i【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 17．【2020年新高考1卷（山东卷）】2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++- 故选：D 【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【2020年新高考2卷（海南卷）】(12)(2)i i ++=（ ） A ．45i + B ．5i C ．-5i D ．23i +【答案】B 【解析】 【分析】直接计算出答案即可. 【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.19．【2020年新课标2卷理科】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.【答案】【解析】 【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-==故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知1232OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒， 222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解。
三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题17数系的扩充与复数的引入文含解析
2
2
（ 1 ） z1 z2 z1 z2 ；（ 2） z1 z2 z1 z2 ；（ 3） z z z
z；
A． 3 i C． 3 i
B． 3 i D． 3 i
【答案】 D
【解析】 (1 i)(2 i)
2
2 i 2i i 3 i ，故选 D．
8 ．【 2018 年高考北京卷文数】在复平面内，复数 A．第一象限
（ 2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
a + bi( a, b R ) 的实部为
对应点为 ( a , b ) 、共轭复数为 a bi ．
12 ．【 2017 年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数
z i( 2 i) 的点位于
A．第一象限 C．第三象限 【答案】 C
B．第二象限 D．第四象限
【解析】 z i( 2 i) 1 2i ，则表示复数 z i( 2 i) 的点位于第三象
9 ．【 2018 年高考浙江卷】复数 A． 1+i
2
(i 为虚数单位 ) 的共轭复数是
1i
B． 1- i
C． - 1+i
D． - 1- i
【答案】 B
【解析】
2 2(1 i)
1 i ，∴共轭复数为 1 i ，故选 B．
1i
2
10 ．【 2017 年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是
2
1 (
(1 2i)(1 2i) 5 5
5
2
2
|3 i | 3 ( 1)
10
方法 2：由题可得 | z |
2 ，故选 C．
|1 2i |
2
2
12
5
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可
专题16 数系的扩充与复数的引入(原卷版)-三年(2019-2021)高考数学(理)真题分项汇编
专题16 数系的扩充与复数的引入1．【2021·浙江高考真题】已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．32．【2021·全国高考真题】复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．【2021·北京高考真题】在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -D ．1i +4．【2021·全国高考真题】已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +5．【2021·全国高考真题（理）】设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．27．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110 D ．3108．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i9．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --10．【2019年高考北京卷理数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=ABC ．3D ．511．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +14．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=+，则12||z z -=__________． 15．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 17．【2019年高考天津卷理数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 18．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．19．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．。
三年高考(2017-2019)文数真题分项专题17数系的扩充与复数的引入Word原卷版
专题17 数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +4．【2019年高考北京卷文数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．55．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)+= A ．32i - B ．32i + C ．32i --D ．32i -+7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)+-= A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i -D ．3i +8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限9．【2018年高考浙江卷】复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．【2017年高考北京卷文数】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞14．【2019年高考天津卷文数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 15．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________． 16．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．17．【2018年高考天津卷文数】i 是虚数单位，复数67i12i+=+______________． 18．【2018年高考江苏卷】若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______________．19．【2017年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，2(i)34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b +=______________，ab =______________．20．【2017年高考天津卷文数】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为______________． 21．【2017年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______________．。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入3 文
第三节 数系的扩充与复数的引入A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3 B.－2 C.2D.32.(2016·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2iD.3－2i3.(2016·新课标全国Ⅲ，2)若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( )A.1B.－1C.45＋35i D.45－35i 4.(2016·四川，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0 B.2 C.2iD.2＋2i5.(2016·北京，2)复数1＋2i2－i ＝( )A.iB.1＋iC.－iD.1－i 6.(2016·山东，2)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i7.(2015·福建，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4 8.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607＝( )A.iB.－iC.1D.－19.(2015·新课标全国Ⅰ，3)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i10.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A.－4B.－3C.3D.411.(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i12.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i13.(2015·湖南，1)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i 14.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i＝( ) A.－i B.i C.－1 D.1 15.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.216.(2014·新课标全国Ⅱ，2)1＋3i1－i ＝( )A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i17.(2014·福建，2)复数(3＋2i)i 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3iD.2＋3i 18.(2014·湖北，2)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A.1B.－1C.iD.－i 19.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4iD.3＋4i20.(2014·陕西，3)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A.5B. 5C.3D. 321.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i22.(2014·重庆，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 23.(2015·北京，9)复数i(1＋i)的实部为________． 24.(2015·重庆，11)复数(1＋2i)i 的实部为________．25.(2015·江苏，3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 26.(2015·天津，9)i 是虚数单位，计算1－2i2＋i 的结果为________．27.(2014·浙江，11)已知i 是虚数单位，计算1－i ＋2＝______.28.(2014·四川，12)复数2－2i1＋i＝________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川宜宾第一次适应性测试)若复数z ＝2－i1＋i ，则|z |＝( )A.1B.10C.102D.3 2.(2016·长春市质检三)设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A.1＋iB.1－iC.－1－iD.－1＋i3.(2016·江西九校联考)若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数m ＋2i1－i 的模等于( )A.2B.3C.132D.2624.(2015·湖南十二校联考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2(i 是虚数单位)的共轭复数为( )A.－12＋32iB.12－32iC.12＋32i D.－12－32i5.(2015·郑州模拟)设i 是虚数单位，复数i1＋i 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·四川省统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则2－z－z等于( ) A.－1－2i B.－2＋i C.－1＋2iD.1＋2i7.(2015·潍坊一模)若复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.(1，1) B.(1，－1) C.(－1，1)D.(－1，－1)8.(2015·河南六市联考)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案 A2.解析 由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，∴z －＝3＋2i ，故选C. 答案 C3.解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z －|z |＝45－35i. 答案 D4.解析 (1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. 答案 C5.解析 1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i5＝i.答案 A6.解析 ∵z ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z －＝1－i ，故选B.答案 B7.解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A8.解析 方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i.故选B.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i.故选B.答案 B9.解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案C10.解析 由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D 11.解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案A12.解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 答案 C13.解析 由（1－i ）2z ＝1＋i 知，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.故选D.答案 D14.解析 i 3＋2i 1＋i ＝－i ＋i(1－i)＝1.答案 D15.解析 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝（12）2＋（12）2＝22，选B. 答案 B16.解析 1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋2i ，故选B.答案 B17.解析 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B. 答案 B18.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选B.答案 B19.解析 由(3－4i)z ＝25⇒z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i ，选D.答案 D20.解析 ∵z ＝2－i ， ∴z ·z ＝|z |2＝22＋12＝5. 答案 A21.解析 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1， 则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案 A22.解析 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B. 答案 B23.解析 i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，实部为－1. 答案 －124.解析 (1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，其实部为－2. 答案 －225.解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5. 答案 526.解析 1－2i 2＋i ＝（1－2i ）i （2＋i ）i ＝（1－2i ）i－1＋2i ＝－i.答案 －i27.解析 1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i2. 答案 －1－i228.解析 2－2i 1＋i ＝（2－2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2－4i 1－i 2＝－4i2＝－2i. 答案 －2iB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 z ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－32i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102.答案 C2.解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 答案 A3.解析 因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数， 所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，故复数m ＋2i1－i 的模为|3＋2i 1－i |＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋（－1）2＝262，选择D. 答案 D4.解析 由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2＝14－34＋32i ＝－12＋32i ，其共轭复数为－12－32i.答案 D5.解析 由i 1＋i 得i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i2，其对应的点在第一象限.故选A.答案 A6.解析 ∵z ＝－1－i ，∴z －＝－1＋i ，2－z －z ＝2＋1－i－1－i＝－1＋2i.答案 C7.解析 由z (1＋i)＝2i ，可得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i ，所以z 对应的点的坐标是(1，1). 答案 A8.解析 z ＝1＋3i 1＋i ，|z |＝|1＋3i 1＋i |＝|1＋3i||1＋i|＝22＝ 2.答案 2。
2017高考分类试题汇编---第十四章----数系的扩充与复数的引入
第十四章 数系的扩充与复数的引入一、选择题1。
（2017全国卷1）设有下面四个命题1P :若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2P :若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈；3P ：若复数1z ，2z 满足1z 2z R ∈，则21z z =； 4P :若复数z R ∈，则z R ∈；其中的真命题为A 。
13,P PB.14,P PC.23,P PD.24,P P【答案】：B【知识点】：复数的概念与运算【考查能力】：运算求解能力与复数基本概念【解析】：设(),z a bi a b R =+∈,对于1p ,22110a bi R R R b z R z a bi a b -∈⇒∈⇒∈⇒=⇒∈++； 对于2p ，取z i =，2z ∈R ，则z R ∉；对于3p ，取12,2z i z i ==，则12z z R ∈，12z z ≠，对于4p ，0z a bi R b z R =+∈⇒=⇒∈。
故14,p p 正确.选B2。
（2017全国卷2）=++ii 13 A 。
1+2i B 。
1—2i C.2+i D 。
2—i【答案】:D【知识点】：复数的四则运算【考查能力】：运算求解【解析】：()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-3. (2017全国卷3）设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则z =A 。
21 B.22 C 。
2 D 。
2 【答 案】C【知识点】复数的四则运算；求复数的模长【考查能力】运算求解能力【解 析】z=2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+i ，z =√12+12=√2,故选C4。
（2017山东卷）已知∈a R ，i 是虚数单位，若4+=z =a z z ，则a =（A)1或-1 (B （C 【答案】：A【知识点】共轭复数，复数相等【考察能力】运算求解能力 【解析】：33)3)(3(222+=-=-+=⋅a i a i a i a z zA a a a ，故选，，即114322±===+∴5. （2017天津卷）已知a ∈R,i 为虚数单位，若ii a +-2为实数，则a 的值为 .【答案】：-2【知识点】：复数的定义【考查能力】：概念的理解；计算 2(2)()222(2)(2)5a i i a i a i ai i i i i -----+==++-为实数,则2a =- 6。
高考理数真题训练17 数系的扩充与复数的引入(原卷版)
专题17 数系的扩充与复数的引入1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0B ．1CD ．22．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110 D ．3103．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．【2019年高考北京卷理数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．56．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=7．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +9．【2018年高考浙江卷】复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i10．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55--D ．34i 55-+12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】(1i)(2i)+-= A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i -D ．3i +13．【2018年高考北京卷理数】在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限14．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________． 15．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 17．【2019年高考天津卷理数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 18．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．19．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．20．【2018年高考天津卷理数】i 是虚数单位，复数67i12i+=+______________．21．【2018年高考江苏卷】若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为______________．。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入3文
1.(2016 •新课标全国I,A. —3C.22.(2016 •新课标全国n,A. —1 + 2iC.3 + 2i3.(2016 -新课标全国川,A.14.(2016 -四川,A.0C.2i5.(2016 -北京,A.iC. —i6.(2016 -山东,A.1 + iC. —1 + i7. (2015 •福建,等于()A.3 , —2C.3 , —38. (2015 •湖北,A.iC.1 第三节数系的扩充与复数的引入A组三年高考真题(2016〜2014年)1)设i2)设(1 + 2i)( a+ i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )B. —2D.32)设复数z满足z+ i = 3—i，则z=(B.1 —2iD.3 —2i2)若z= 4+ 3i，则 =()为虚数单位，则复数1 + 2i2)复数=( ) 2)若复数z = 1——7，其中B. —1D.4—5 5(1 + i) 2=(B.2D.2 + 2iB.1 + iD.1 —i为虚数单位，则B.1 —iD. —1—i1)若(1 + i) + (2 —3i) = a+ b i( a, b€ R, iB.3,2D. —1,4是虚数单位)，则a, b的值分别1)i为虚数单位，i 607=(B.D.9. (2015 •新课标全国I, 3)已知复数z满足(z —1)i = 1 + i，则z =( )C.3 + iA.1 + iC. — 1 + iA. — i C. — 1A. — 2-iB.C.2 — iD.2 2 + a i 10. (2015 •新课标全国n, 2)若a 为实数，且 = 3 + i ，则a =( )A. — 4B.C.3D.4 11. (2015 •山东, z 2)若复数z 满足1—y = i ，其中i 为虚数单位，则 A.1 — i B.1 C. — 1 — iD. 12. (2015 •安徽, 1)设i 是虚数单位，则复数(1 — i)(1 + 2i)=( A.3 + 3i B. —1 + 3i13. (2015 •湖南,2“ (1— i )1)已知z 1 + i(i 为虚数单位), 则复数 z =()14. (2014 •安徽, 1)设i 是虚数单位, 复数2i +市=(15. (2014 •新课标全国I,则 I z | =( 1 A. B.¥D.216. (2014 •新课标全国n, A.1 + 2i B. — 1 + 2i C.1 — 2iD. — 1 —2i17. (2014 •福建，2)复数(3 + 2i)i 等于() A. — 2— 3i B. — 2+ 3i C.2 — 3i D.2 + 3i 18. (2014 •湖北，2)i 为虚数单位,=(D.B.1 D.B.i D.11.（2016 •四川宜宾第一次适应性测试 ）若复数z =B. T o C 迈C. 2 2.（2016 •长春市质检三）设复数z = 1 + i （i 为虚数单位），则Z + z 2A.1 + i C. — 1 — i3. （2016 •江西九校联考）若复数（1 + mi ）（3 + i ）（i 是虚数单位，m 是实数）是纯虚数，则复数m + 2i苜的模等于（）A.2A.1B. —1C.iD. —i19. (2014 • 广东， 2）已知复数z 满足（3 — 4i ） z 一 25,则 z - ( )A. — 3— 4iB. — 3+ 4iC.3 — 4iD.3 + 4i20. (2014 • 陕西， 3）已知复数z = 2— i ，贝U z • "z 的值为（ ）A.5B.5C.3D.321. (2014 • 山东， 1)已知 a , b € R , i 是虚数单位•若 a + i = 2— b i ，则(a + b i) 2=(A.3 — 4iB.3 + 4iC.4 — 3iD.4+ 3i22. (2014 •重庆，1）实部为一2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限23. (2015 •北京， 9）复数i （1 + i ）的实部为 • 24. (2015 •重庆， 11）复数（1 + 2i ）i 的实部为 •25. (2015 •江苏，3)设复数z 满足z = 3+ 4i(i 是虚数单位），则z 的模为- 1 — 2i26. (2015 • 天津， 9）i 是虚数单位，计算2+i-的结果为27. (2014 • 浙江， 11）已知i 是虚数单位，计算 1 — i 2—一 ,,2 — 2i1 +28. (2014 四12)复数...一 .(2016 〜2015 年)纭，则|z | =（B.1 — i D. — 1 + iA.1D.3B.34. （2015 •湖南十二校联考）复数1+#i 2（i是虚数单位）的共轭复数为（等于合案精析B.2 — ^2 2D.—-——3i2 25.（2015 •郑州模拟）设i是虚数单位，复数占对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.（2015 •四川省统考）设复数z=—1 —i（i 为虚数单位），z的共轭复数为A. —1 —B. —2 + i2iC. —1 + 2iD.1 + 2i7.（2015 •潍坊一模）若复数z满足z（1 + i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（A.(1 , 1)B.(1，—1)C.( —D.( —1,—1)1, 1)8.（2015 •河南六市联考）已知复数z满足（1 + i）z = 1 + 3i（i 是虚数单位），则|z| =A组三年高考真题(2016〜2014年)1.解析•/ (1 + 2i)( a+ i) = a—2+ (2a+ 1)i ,••• a —2= 2a + 1,解得a=—3,故选A.答案A2.解析由z + i = 3 —i，得z= 3 —2i ,• z = 3 + 2i，故选 C.答案C&丄l z 4 33.解析z = 4+ 3i , | z| = 5, = —~i.| z| 5 5答案D代-2+ T i C.2+*2 2 24. 解析(1 + i) = 1 + i + 2i = 1 — 1 + 2i = 2i. 答案C”，1 + 2i (1 + 2i )( 2 + i ) 5i 5. 解析 ~2—~ = ( 2— i )( 2+ i )= y =i.答案A2 (1 + i )—,6. 解析 T z = —( 1 + i )= 1 + i ,••• z = 1 — i ，故选 B.答案B7. 解析(1 + i) + (2 — 3i) = 3— 2i = a + b i , • a = 3, b =— 2，故选 A. 答案A8. 解析 方法一 i 607= i 4X 151+3= i 3=— i.故选 B..608. 4 X 152方法二 i 6°7= == -=— i.故选 B.ii i答案B9. 解析 由(z — 1)i = 1 + i ，两边同乘以一i ，则有z — 1 = 1 — i ，所以z = 2 — i. 答案C2+ a i10. 解析 由〒+厂=3+ i ，得 2+ a i = (3 + i)(1 + i) = 2+ 4i ,即 a i = 4i因为a 为实数，所以a = 4.故选D.答案D 11.解析z肓=i ，• z = K 1 —i)=i — i 2 = 1 + i ,• z = 1 — i.答案A12.解析 (1 —i)(1 + 2i) =1 + 2i — i 2—2i = 1+ i + 2 = 3+ i ，故选 C.答案C13.解析2(1 —i )z 1+i 知，z=2(1 —i )= —1 —i.故选D.1 + i答案D14.解析+ i(1 —i) = 1. 答案D15.解析1—i1i+T+ i= (1 + i )•( 1—i ) + i= ~2则| z| = (1) 2+( 2)乞宁，选 B.答案B2 16. 解析苦=(=))(舄=-1 + 2i ，故选B. 答案B17. 解析 复数 z = (3 + 2i)i =- 2+ 3i ，故选 B. 答案B18. 解析吕 2=-2- = - 1，选 B.答案B答案D20. 解析•/ z = 2— i ,, ,2 ^2 “2 ■ z • z = | z | = 2 + 1 = 5.答案A21. 解析 由 a + i = 2— b i 可得 a = 2, b =— 1,2 2则(a + b i) = (2 — i) = 3—4i. 答案A22.解析实部为—2,虚部为1的复数为—2 + i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选 B.答案B23. 解析 i(1 + i) = i + i 2=— 1 + i ，实部为—1. 答案—124. 解析(1 + 2i)i = i + 2i 2 =— 2+ i ，其实部为—2. 答案—225. 解析•/ z = 3+ 4i , .| z | 2= |3 + 4i| = 5,即 |z | = .5.答案.519.解析 由(3 — 4i) z = 25? z =253— 4i 25 (3+ 4i ) (3 — 4i )( 3+ 4i )=3+ 4i ，选 D.26.解析1 —2i 2+i (1 — 2i ) i(2 + i ) i(1 — 2i ) i —1 + 2i答案—i27.解析1 — i 1 — i2 —(1+ i ) 2i(1 — i ) i —2答案 28.解析 2— 2i 1+ i(2— 2i )( 1 — i ) (1 + i )( 1 — i )22+ 2i — 4i1— i 2—4i=—2i.答案—2i2B 组 两年模拟精选(2016〜2015年)(2 — i )( 1 — i ) 1 — 3i 1 3.「z= (1 + i )( 1 — i ) =丁 = 2 — 2i ，|z| =2卜(1 + i) 2= 1 — i + 2i = 1 + i.答案A3. 解析 因为(1 + ni)(3 + i) = 3 —耐(3耐1)i 是纯虚数, 所以3— m ^ 0且3m ^ 1工0,得 m= 3,答案D答案D答案A 6.解析••• z = — 1 + i , I = = — 1 + 2i.答案C所以z 对应的点的坐标是(1 , 1). 答案A8.解析 z =冒,|z | = |「=1 + i | | 11 + i 1答案 2答案C2.解析 2i 7.解析由 z(1 +i) = 2i ，可得 z =亓 i (1+ i ) 2i (1 — i )(1 — i )2 + 2i丁 = 1 +i ，1.解析.2 2''z +z = 1+ i故复数的模为1—i4.解析5.解析 由 1+T 得(1+ i )( 1 — i ) 1 + i兀，其对应的点在第一象限.故选A.2= 2.|1 + il — .2由题意知, —1 + #i ，其共轭复数为—。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入2 文
第二节 平面向量的数量积及其应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2), AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2 3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 24.(2015·重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π65.(2015·福建，7)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A.－32 B.－53 C.53 D.326.(2015·湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．97.(2014·安徽，10)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D ．08.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27 ]D ．[7－1，7＋1]9.(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( ) A.2 3 B. 3 C.0D.－ 310.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.511.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 12.(2016·山东，13)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________.13.(2016·北京，9)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________. 14.(2015·湖北，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.15.(2015·浙江，13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.16.(2015·江苏，14)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k＋1)的值为________．17.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．18．(2014·重庆，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.19.(2014·四川，14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.20.(2014·陕西，18)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5D.102.(2016·江西赣州摸底)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π).若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( ) A.1 B.－1 C. 3D.223.(2016·山西质量监测)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，CA →在CB →方向上的投影为( ) A.－3 B.－ 3 C. 3D.34.(2015·唐山一中高三期中)若a ，b ，c 均为单位向量，a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( ) A.2 B. 3 C. 2D.15.(2015·山西大学附中月考)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.答案 A2.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案 A3.解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b | cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |恒成立； 对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立； 对于C 、D 容易判断恒成立．故选B. 答案 B4.解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos〈a ，b 〉＝0，即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.答案 C5.解析 c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0， ∴k ＝－32，故选A.答案 A6.解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴线段AC 为圆的直径， 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0).设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )， ∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B. 答案 B7.解析 设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案 B8.解析 设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， 故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝7＋1，最小值为（3－1）2＋（0＋3）2－1＝7－1， 故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案 D9.解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2， 两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意． 答案 B10.解析 因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10. ① 又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6. ② 由①－②得4a·b ＝4， 即a·b ＝1，故选A. 答案 A11.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －2312.解析 ∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0， ∴t ＝－5. 答案 －513.解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝1×3＋1×312＋（3）2·12＋（3）2＝234＝32， 所以θ＝π6.答案 π614.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案 915.解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0， 所以b ⊥(e 1－e 2)，所以b 与e 1的夹角为30°， 所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝233.答案 23316.解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6， ∴a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫cosk ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cosk π6·cosk ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫sink ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故1111100k k k k a a +==⋅=∑∑⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32110k =∑cos π6＋12110k =∑cos 2k ＋16π＋110k =∑sin 2k ＋16π. 由11k =∑cos 2k ＋16π＝0，11k =∑sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝011 a k ·a k ＋1＝32cos π6×12＝9 3.答案 9 317.解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴CD ＝1.AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 答案 291818.解析 因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， 又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案 1019.解析 由已知可以得到c ＝(m ＋4，2m ＋2)，且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉， 所以c·a |c|·|a|＝c ·b|c|·|b|，即m ＋4＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×12＋22＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×42＋22， 即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案 220.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2， 所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.答案 B2.解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a ·b |＝|a ||b |，得|cos θ|＝1， 所以向量a 与b 共线，则sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x . 又x ∈(0，π)，所以2cos x ＝2sin x ，即tan x ＝1. 答案 A3.解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →， ∴四边形OBAC 为平行四边形.又|OA →|＝|AB →|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形. ∴∠ACB ＝π6，∴三角形OAB 为正三角形. ∵外接圆的半径为2，∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝ 3.故选C.答案 C4.解析 由c ·c ＝(x a ＋y b )·(x a ＋y b )＝x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，故(x ＋y )max ＝2. 答案 A5.解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5， 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，所以θ＝π2或θ＝3π4.。
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专题17 数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设，则3i12iz -=+||z =A ．B 2C D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得，再求即可．z ||z【解析】方法1：由题可得，所以C ．(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-||z ==方法2：由题可得C ．|3i ||||12i |z -====+【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设，则)i i (2z =+z =A ．B ．12i +12i -+C ．D ．12i -12i--【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念写出即可．z z 【解析】由题可得，所以，故选D ．2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+12i z =--【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若，则(1i)2i z +=z =A ．B ．1i --1i -+C ．D ．1i -1i +【答案】D【解析】由题可得．故选D ．()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．4．【2019年高考北京卷文数】已知复数，则2i z =+z z ⋅=A B C ．D ．35【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选D ．2i z =+2i z =-(2i)(2i)5z z ⋅=+-=【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2=|z 1|2=|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设，则1i2i 1iz -=++||z =A ．B ．012C ．D 1【答案】C【解析】因为，21i (1i)2i2i +2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---=+==+=++-所以，故选C ．1||z ==【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：（1）；（2）；（3）；1212z z z z ±=±1212z z z z ⨯=⨯22z z z z ⋅==（4）；（5）；（6）．121212z z z z z z -≤±≤+1212z z z z =⨯1121||z z z z =6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)+=A ．B ．32i -32i +C ．D ．32i --32i-+【答案】D【解析】，故选D ．2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)+-=A ．B ．3i --3i -+C ．D ．3i -3i+【答案】D【解析】，故选D ．2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-==-+-=+8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于11i-A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】的共轭复数为，11i 11i 1i (1i)(1i)22+==+--+11i 22-对应点为，在第四象限，故选D ．11(22-，【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限．9．【2018年高考浙江卷】复数(i 为虚数单位)的共轭复数是21i-A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i【答案】B 【解析】，∴共轭复数为，故选B ．22(1i)1i 1i 2+==+-1i -10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由，可知为纯虚数，故选C ．2(1i)2i +=2(1i)+11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)++=A ．B ．1i -13i +C ．D ．3i +33i+【答案】B【解析】由题意，故选B ．2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+【名师点睛】（1）首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．(+i)(+i)()+a b c d =ac bd -(+)i(,,,)ad bc a b c d ∈R（2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、+i(,)a b a b ∈R a b 对应点为、共轭复数为．(,)a b i a b -12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数的点位于i(2i)z =-+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】，则表示复数的点位于第三象限，所以选C ．i(2i)12i z =-+=--i(2i)z =-+13．【2017年高考北京卷文数】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范(1i)(i)a -+围是A ．B ．(,1)-∞(,1)-∞-C ．D ．(1,)+∞(1,)-+∞【答案】B【解析】，(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-因为对应的点在第二象限，所以，解得，1010a a +<⎧⎨->⎩1a <-故实数a 的取值范围是，故选B ．(,1)-∞-14．【2019年高考天津卷文数】是虚数单位，则的值为______________．i 5|ii|1-+【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】由题可得．5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-15．【2019年高考浙江卷】复数（为虚数单位），则=______________．11iz =+i ||z【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算．容易题，注重基础知识、运算求解能z 力的考查．【解析】由题可得．1|||1i |z ===+16．【2019年高考江苏卷】已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是(2i)(1i)a ++i ______________．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值．z 【答案】2【解析】由题可得，2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++令，解得．20a -=2a =【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．【2018年高考天津卷文数】是虚数单位，复数______________．i 67i12i+=+【答案】4i-【解析】由复数的运算法则得．67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-18．【2018年高考江苏卷】若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为______________．z i 12i z ⋅=+z 【答案】2【解析】因为，则，则的实部为．i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 219．【2017年高考浙江卷】已知，（i 是虚数单位），则______________，,a b ∈R 2(i)34i a b +=+22a b +=______________．ab =【答案】52【解析】由题意可得，则，222i 34i a b ab -+=+2232a b ab ⎧-=⎨=⎩解得，则．2241a b ⎧=⎨=⎩225,2a b ab +==20．【2017年高考天津卷文数】已知，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为______________．a ∈R i2ia -+【答案】2-【解析】由题可得为实数，i (i)(2i)(21)(2)i 212i 2i (2i)(2i)555a a a a a a -----+-+===-++-所以，解得．205a +=2a =-【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．（2）对于复数，i z ab =+(,)a b ∈R 当时，为虚数；0b ≠z 当时，为实数；0b =z 当时，为纯虚数．0,0a b =≠z 21．【2017年高考江苏卷】已知复数，其中i 是虚数单位，则的模是______________．(1i)(12i)z =++z【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =．()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数的实部为、虚部为、对应i(,)a+b a b ∈R a b 点为、共轭复数为．(,)a b i a b -。