中考数学总复习 第三章 函数 第14节 二次函数的图象与性质试题

第14节 二次函数的图象与性质
一、选择题
1．(2016·广州)对于二次函数y ＝－14x 2
＋x －4，下列说法正确的是( B )
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
B ．当x ＝2时，y 有最大值－3
C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D ．图象与x 轴有两个交点
2．(2
下列说法正确的是( D ) A ．抛物线的开口向下
B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大
C ．二次函数的最小值是－2
D ．抛物线的对称轴是x ＝－5
2
3．(2016·宿迁)若二次函数y ＝ax 2
－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，则方程ax 2
－2ax ＋c ＝0的解为( C )
A ．x 1＝－3，x 2＝－1
B ．x 1＝1，x 2＝3
C ．x 1＝－1，x 2＝3
D ．x 1＝－3，x 2＝1
4．(2016·天津)已知二次函数y ＝(x －h)2
＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( B )
A ．1或－5
B ．－1或5
C ．1或－3
D ．1或3
5．(2017·自贡预测)已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是( D )
A ．正比例函数
B ．一次函数
C ．反比例函数
D ．二次函数
6．(导学号 14952328)(2016·泸州)已知二次函数y ＝ax 2
－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( A )
A.34或1
B.1
4或1 C.34或12 D.14或34
点拨：依题意知a ＞0，b
2a ＞0，a ＋b －2＝0，故b ＞0，且b ＝2－a ，a －b ＝a －(2－a )
＝2a －2，于是0＜a ＜2，∴－2＜2a －2＜2，又a －b 为整数，∴2a －2＝－1，0，1，故a ＝12，1，32，b ＝32，1，12，∴ab ＝3
4
或1，故选A
7．(导学号 14952329)(2016·兰州)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，对称
轴是直线x ＝－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b 2
；③2a＋b ＝0；④a－b ＋c ＞2.其中正确的结论的个数是( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
点拨：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b
2a ＝－1，∴b ＝2a
＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x
轴有2个交点，∴Δ＝b 2
－4ac ＞0，所以②正确；∵b ＝2a ，∴2a －b ＝0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x ＝－1是对称轴，所以x ＝－1对应的y 值是最大值，∴a －b ＋c ＞2，所以④正确．故选C
二、填空题
8．(2015·上海)如果将抛物线y ＝x 2
＋2x －1向上平移时，使它经过点A(0，3)，那么
所得新抛物线的表达式是__y ＝x 2
＋2x ＋3__．
9．(2015·杭州)函数y ＝x 2
＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝__－1__；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而__增大__．(填“增大”或“减小”)
10．(导学号 14952330)(2016·内江)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是__P ＞Q __.
点拨：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵－b 2a ＞0，∴b ＞0，∴2a －b ＜0，∵－b
2a ＝1，
∴b ＋2a ＝0，x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0.∴－1
2b －b ＋c ＜0，∴3b －2c ＞0，∵抛物线与y
轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0，∴P ＞Q ，故答案为：P ＞Q
11．(导学号 14952331)(2017·宜宾预测)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，0)，且y 1＜0＜y 2，对于以下结论：①abc＞0；②a＋3b ＋2c≤0；③对于自变量x 的任意一个取值，都有a b x 2＋x≥－b
4a ；④在－2＜x ＜－1中存在
一个实数x 0，使得x 0＝－a ＋b
a
，其中结论错误的是__②__．(填序号)
点拨：
由题意可得二次函数图象，如图所示，∴a ＜0.b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，∴a ＋3b ＋2c ＝a ＋3b －2a －2b ＝b －a ，又∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴b －a ＜c ，∵c ＞0，∴b －a 可以是正数，故②错误；∵函数y′＝a b x 2
＋x
＝a b (x 2＋b a x )＝a b (x ＋b 2a )2－b 4a ，∵a b ＞0，∴函数y′有最小值－b 4a ，∴a b x 2＋x≥－b
4a ，故③正确．∵y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，令y ＝0则ax
2
＋bx －a －b ＝0，设它的两个根为x 1，1，∵x 1＋1＝－b a ，∴x 1＝－a ＋b a ，∵－2＜x 1＜x 2，∴
在－2＜x ＜－1中存在一个实数x 0，使得x 0＝－a ＋b
a
，故④正确
三、解答题
12．(2017·成都预测)如图，已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y ＝x ＋1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解：(1)∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象过A (2，0)，B (0，－1)和C (4，5)三点，∴
⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝－1，
16a ＋4b ＋c ＝5，
∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，∴二次函数的解析式为y ＝12x 2－1
2
x －1 (2)当y ＝0时，得12x 2－1
2x －1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，∴点D 坐标为(－1，0) (3)图略，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是－1＜x ＜4
13．(导学号 14952332)(2016·宁波)如图，已知抛物线y ＝－x 2
＋mx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)
(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．
解：(1)把点B (3，0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3得0＝－32
＋3m ＋3，解得m ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4，∴顶点坐标为(1，4) (2)连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA ＋PC 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵点C (0，3)，点B (3，0)，∴
⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)
14．(导学号 14952333)(2017·达州预测)如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a ，b 的值；
(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．
解：(1)将A (2，4)与B (6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
2，b ＝3
(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接AC ，CB ，CD ，过C 作CE⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝1
2
×4×(x －2)＝2x －4，S
△BCD
＝12BD·CF ＝12×4×(－12
x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2
＋6x ＝－x 2
＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2
＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2
＋8x ＝－(x －4)2
＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16。