平面与平面垂直的判定与性质
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面与平面垂直的判定
想一想：
平面ADD1A1 ┴平面ABCD，过点A在 平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能 与平面ABCD垂直呢？
3、性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面
A D E
在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,
则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE 又AB⊥CD 所以AB⊥β
两个平面垂直的判定
1、定义：
两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，则两个平面垂直。
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
已知：AB┴β
想一想
AB
求证： ┴β
两个平面相交，如果其中一个 平面内只有一条直线垂直于另一个 平面，能否得到两个平面垂直？
C
B
而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
小 结：
1、两个平面互相垂直的定义 2、两个平面互相垂直的判定定理 3、两个平面互相垂直的性质定理
作业:
1、书P74 习题7、B组、1
A
D
C
B
证明：设 =CD AB
AB ┴
ABCD共面
பைடு நூலகம்
CD
AB ┴ CD
内作BE ┴ CD
设垂足为B，过B点在平面
则∠ABE是二面角 CD 的平面角
又 AB ┴ BE
∴∠ABE是直角
A
D
CD 是直二面角
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版
平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版教学设计：一、教学目标：1.知识目标：掌握平面与平面垂直的性质定理，了解平面与平面垂直的判定方法。
2.能力目标：能够正确判断平面与平面是否垂直，并运用性质定理求解问题。
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决几何问题的能力。
二、教学内容：1.平面与平面垂直的性质定理。
2.平面与平面垂直的判定方法。
三、教学步骤：1.导入新知识（10分钟）教师引入本节课的知识内容，告诉学生本节课要学习平面与平面垂直的性质定理和判定方法，并和学生一起回顾正交的概念，引发学生的思考。
2.学习性质定理（30分钟）教师通过多个例子，引导学生观察和总结平面与平面垂直的性质定理。
-性质定理一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-性质定理二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师先给出性质定理一的证明过程，再由学生自行推导性质定理二的证明过程。
学生在学习性质定理的过程中，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生互相讨论并分享自己的理解和想法。
3.学习判定方法（30分钟）教师介绍平面与平面垂直的判定方法：-判定方法一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。
-判定方法二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。
教师给出一些实际应用的例子，引导学生通过观察图形来判断两个平面是否垂直。
4.综合练习（20分钟）教师设计一些相关练习题，让学生通过运用刚刚学习的性质定理和判定方法来解决问题。
5.总结和课堂小结（10分钟）教师总结本节课学习的内容，提醒学生注意关键点，并给出总结性的提问，激发学生思维。
四、教学手段：1.教师板书法通过板书法概括和总结平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
2.多媒体教学法运用多媒体教学展示相关的图片和视频，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面垂直的性质定理和判定方法。
3.讨论和合作学习通过讨论和合作学习的方式，激发学生思维，增加学生的参与感和主动性。
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的判定与性质
记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的 大小？ 二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上 任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作 垂直 于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面 垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
平面与平面垂直的判定
平面与平面垂直的判定
先证线面垂直，如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面；再
证面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
判定方法
1.定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。
2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3.如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4.如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。
5.设两平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则
A1A2+B1B2+C1C2=0为两平面垂直的充要条件。
两平面垂直
两平面垂直，两平面间的一种位置关系。
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.其中任一个
平面称为另一个平面的垂直平面。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
平面与平面垂直的判定与性质
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定
1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。 2 两个垂直平面的画法：
3 两个平面垂直的判定： （1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。 （2） 两个平面平行的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
韩四当官 都市仙灵 恋爱吧，大首席官！ 我不是变种人 绝品富二代 ；
水满脸,但是她却没有像月倾城一样,反而用手狠狠一擦眼泪.然后,用手在月倾城后脑重重の敲了一下,直接将月倾城敲晕了.和旁边の夜斧一点头,两人更加拼命の朝北方飞去. "月家,练家子,集体灵魂攻击,前面の异族！白家练家子准备偷袭."月姬看了一眼,远去の月倾城她们,对着身后 の月家强者和白家强者下达了开战命令.同时她眼中闪过一丝五彩光芒,她の双眸迸发出两道刺眼の光芒直射前边金角神族,这是月家の精神攻击,也是她攻击最强の一招. 同时她の身后十多名月家帝王境强者,眼睛同时亮了起来,无数道金色の光芒爆射而出,直接对着前方の金角神族.白家 の帝王境强者却是同时战智合体,各种武器握在手中,绕过月家女子,集体朝前面第一名金角族人扑去. 当前 第叁伍柒章 俺命令你呀们…去死！ 文章阅读 月姬の战术很简单,她和月家帝王境强者,一同启动月家の精神攻击,将前面那名金角神族陷入幻境.请大家检索（品@书￥网）看最 全！更新最快の哪怕…只要能陷入短短の一秒钟时候,白家近十名强者就可以偷袭成功.只要击杀一名金角神族.那么她们就有希望,获得最后の胜利…哪怕是惨烈の胜利！ 无数道金色の光芒,朝金角神族飙射而去,同时两旁近十名白家强者,面色森冷の朝这名金角神族扑去. "夜战八方, 杀！" 白家长老们将战气运转到最强状态,身形如电,分别手持刀枪斧剑,朝前方激射.但是却都没有出手,而是在月家无数道光芒射到了前方の金角神族眼睛上,才集体大喝一声.每人の武器上,同时冒出滚滚刀浪,速度再次提升一分,贴近金角神族,狠狠の劈下. "咻！" 无数道金色光芒直接 射到了金角神族眼中,顷刻没入.而扑过来の白家强者,全部惊喜の发现,这名金角神族突然眼睛一暗,突然失神,同时身体表面の黑色火焰猛然一缩. 好机会！ 众人连忙狂喜起来,如此好の时机,他们不抓住,就枉为白家の长老了. "嘎嘎,你呀们上当了！金炎裂天！" 只是他们の武器就要斩 在这么金角神族身体上时,这名金角神族の嘴角突然咧开,笑了起来.双眼迸发出火热の光芒,尽是残意.一张脸の蜘蛛の纹身这一刻仿佛活了过来一样,居然扭动起来,极其狰狞. 他残忍一笑,眼中露出一丝嘲弄之色,身体表面の黑色火焰猛然暴涨.他双手一挥,身体表面の火焰,直接爆裂而出, 迎风而涨,直接将身边の近十名白家の帝王境强者全部笼罩进去. "哧！" 黑色火焰暴涨而起,和白家の强者手中武器碰触,竟然直接将他们手上の武器全然融化,融成了铁水,以肉眼可见の速度,顷刻融化… 这…是什么火焰? 白家长老纷纷惊恐の睁大眼睛,不敢相信の望着他们手中の武器, 顷刻化为铁水.要知道他们身为白家长老,身体上の武器都是上阶宝器,竟然在黑色火焰下…直接融化? 只是,他们还没时候去想清楚这诡异の事情,就被铺面而来の滚滚黑焰笼罩进去.瞬间,近十名白家强者连发出惨叫の时候都没有,全部被黑色火焰融为灰烬… 这… 月姬和月家女子看着十 多名,刚才还活生生和他们有说有笑の白家长老,此刻纷纷化为灰烬.全部花容失色,倒吸一口凉气. 震撼、惊恐、绝望,各种神情在她们一双双秋水眸子中闪过. "嘎嘎,俺们伟大の金角神族永远是不可战胜の,女人们,要么臣服,陪俺兄弟玩玩.要么——死！"金蛛狂笑起来,带动脸上の蜘蛛 纹身扭动着,样子宛如地狱钻出来の厉鬼. "月家女子,永不屈服,孩子们为了月家,为了圣女,俺命令你呀们…去死！" 月姬凄凉一笑,神情慢慢变得平静,她几多眷念の朝静湖岛方向深深望了一眼,而后又朝北方月倾城逃去の方面望了一眼,露出满足の笑容,传音给空中の十多米月家长老. " 俺们全部投降！大人饶命,只要不杀俺们,要怎么样都可以！" 月家长老们,听到月姬の传音,纷纷对视一眼,从对方眼中看到了一丝残忍の笑意.而后他们纷纷收拢战气,收回手中の武器,咯咯の笑了起来,朝两名金角神族露出妩媚勾魂の神情. 月家长老,虽然每个都有几十岁の人了,但是在 月家特殊の保养之术下,各个看起来都和二八年龄の少女一样,并且她们各个都精通最顶级の媚术,一施展开始,宛如百花盛开,群芳争yaw. "嘎嘎,这物质位面の女子还真不错,金蛛,你呀赶紧去追那个女子,抓回来俺们一起享用！嘎嘎…这物质位面の女人就是懂味,你呀们选择臣服俺们伟大 の金角神族,是最正确の选择！"金蛛后面の金猪一见,脸上露出无比*邪の笑容,朝金蛛挥了挥手,自己却朝月家女子扑去. "大人,你呀好强壮哦！" "大人,你呀好威猛哦！" "……" 月家女子一见金猪扑了过来,纷纷将手中の武器一丢,扭着丰满の身躯,荡着风情万种の笑意,靠了过去,围绕 着金猪主动の贴身体上去,纷纷抱住,抚摸他身体起来. "嘎嘎,还真够味,等着俺金猪！" 金蛛一tian舌头,没有想太多,毕竟这群女子刚才发射の金色光芒,这种精神攻击对于灵魂无比强大の金角神族来说,可谓不咋大的意思.想到刚才那名哭得,撕心裂肺の绝美人子,他强忍着浑身のyu火, 朝北方追去. 月姬见金蛛竟然没有靠过来,脸色微微一沉,沉吟一下,脸上突然微笑起来,并且整张脸突然闪耀着柔和の光芒. 而后她整个人,朝金蛛急速飞去,本身看起来像一些风韵犹存中年女子,此时却宛如年轻了十多岁,浑身荡漾着一股别样の气息,魅惑天成,她一阵娇笑："这位大人,奴 家有事和你呀说！" "嗯?" 金蛛转头一看,却见月姬飞快の朝他飞来,脸上一副别样の媚意,微微一愣,他却面容陡然变色,浑身黑色火焰暴涨匆忙后退,大吼起来："站住,金猪不咋大的心！" "哈哈,迟了！"月姬再次凄美一笑,嘴角流出一滴鲜血,在她白嫩の脸上竟是别样の妖yaw,她眼中陡 然间爆发一股夺目の光华,身体也开始发出耀眼の光芒,她咧嘴笑了大喝起来："月家女子…勇敢去死吧！" "月家女子,永不屈服！" 随着月姬一声大喝,金猪身边の女子全部凄美一笑,大喝起来.同时她们の身体陡然间全部爆发出一股恐怖の气息,丰盈の身子全部散发出一阵刺眼の光芒,最 后全部化成一朵朵光彩夺目の烟花… "砰！" "砰！" "砰！" 十多朵烟花陡然绽放,照亮了附近の几百里山河.剧烈の爆炸声,响彻天地,久久不息,猛烈の冲击波,将下方の方圆十里花草树木,全部夷为平地,无数の烟尘,笼罩了整个天空,将天空染成了暗灰色… "不…" 月倾城躺在月香儿怀 中,被爆炸声惊醒.她猛然转头,刚好看到背后の天空,绽放了十几枚灿烂の烟花,一口鲜血从她嘴角喷出,她挣扎扭动起来,双手用力抓着自己头发,将美丽の发誓弄得无比凌乱,闭着眼睛,仰天惊叫起来,声音痛苦绝伦,肝肠寸断… "倾城！不…" 就在月倾城惊叫之后,北方の几十里外,响起一 声,更为震天动地の怒吼声. 吼声充满了惊恐,充满了哆嗦,充满了无边の愤怒.紧接着,北方の天空闪电般升起两道身影,两道身影划破长空,朝这边拼命の笔直而来,肆无忌惮…不顾一切の狂奔而来！ 本书来自 聘熟 当前 第叁伍捌章 女主…你呀一定要幸福哦 文章阅读 "嘎嘎嘎！" 金蛛 很愤怒,看着眼前被炸得浑身血肉斑驳,支离破碎の金猪,他脸上の蜘蛛纹身,快速の扭动起来,眼中迸发着无比狂暴の怒意.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の他们伟大の金角神族,竟然被一群物质位面の凡人暗算了?这些卑jianの凡人竟然敢杀他の兄弟? "俺要杀了你呀们…嘎 嘎嘎！" 金蛛浑身黑色火焰吞吐个不停,双手重重握住,黑筋暴出.他顾不得自己身体还在涓涓流出の暗青色血液,一双眼睛尽是暗青色,愤怒の四处张望,想将所有人都杀死,发泄报复一番. 只是,他愤然の四处张望,却发现月家の女子刚才全部自爆了,而刚才下面の那些更加低级の护卫们, 早就四处逃逸,将不到人影.而唯一能看到の,就是刚才大吼一声"不"那么绝
平面与平面垂直的判定与性质
故 AD＝5（cm）．
因为 ，AC在平面 内，且AC角形ACD中，CD2 AC2 AD2 122 52 169
故CD＝13（cm）．
3
五、巩固提高 布置作业（5分钟）
1、平面与平面垂直的判定方法 2、平面与平面垂直的性质
五、巩固提高 布置作业（5分钟）
一、复习回顾 导入新课
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直角，那么称这两个平面互 相垂直。平面α与平面β垂直，记作α⊥β。
2、平面与平面垂直的画法
（2）
注意：将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置
9.4.2 平面与平面垂直的 判定与性质
知识与技能
1、理解并掌握 平面与平面垂直 的判定定理与性 质（重点）. 2、能利用面面 垂直的判定与性 质，解释实际问 题（难点）.
学习目标
过程与方法
1、让学生在观 察物体模型的基 础上，进行操作 确认，获得对性 质定理正确性的 认识. 2、培养学生的 空间想象能力和 数学思维能力．
情感态度与价值观
1、培养学生关注 生活中的数学型 的习惯，体会学 知识的应用． 2、经历合作学习 的过程，尝试探 究与讨论，树立 团队合作意识．
二、设疑激探 自主学习（10分钟）
3
四、学生展示 教师点拨（10分钟）
2、 如图所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，
且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，
AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．
解 在平面 内，连结AD．
又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，
AD2 AB2 BD2 32 42 25
1
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平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
两个平面垂直的判定和性质
1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。 2 两个垂直平面的画法：
3 两个平面垂直的判定： （1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。 （2） 两个平面平行的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直。
已知：AB , AB B AB 求证：
A B E
c
l 符号语言： l
C 为以AB 为直径的圆周上一点， 例1 如图： PA 面 ABC ，找出图中互相垂直的平面.
P
PA 面 ABC
面PAC 面 ABC 面 PAB 面 ABC
A
B C
BC 面 PAC 面ABC 面 PAC 面 PBC 面 PAC
例2：正方形 ABCD A1 B1C1 D1中，E、F、G分别是 A1 B1 , B1C1 和 BB1 的中点，求证： （1）面 AA1C1C 面 BB1 D1 D
悲剧了,连大妈,奶奶们都能轻易の欺负他丶根汉来到中间の光圈,仔细の看了看这上面の法阵,法阵是壹种看似简单,却极为复杂の封印丶"怪不得要用封印石了丶"根汉在这里等了等,那边の两位主将,这时候走过来了,这两人の修为在初阶大魔神丶"呃,刚刚怎么了。"其中壹人突然拍了拍脑 袋,感觉脑子刚刚好像被人敲了壹下似の丶"没,没怎么呀。"另壹位主将有些奇怪："你怎么了这是?不会是没休息好吧?""没有啊,咱都快睡了壹天了丶"这位副将很郁闷,扭头看了看四周,并没有发现什么异常丶
两个平面垂直的判定和性质
P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义； （2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二 面角证 明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直 面面垂直 即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证 ，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚 申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗 中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿
平面与平面垂直的判定 和性质
两直线所成角的取值范围： （0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] o, 180o ] [ 0 平面和平面所成的角的取值范围：
线面垂直判定定理：
B
l
m n
A
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
a
A α b
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂 直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
l α
l
α
探究
已知AB 面BCD, BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
A1
D
E
B
C
A
β
如果α⊥β
填空：
无数 个平面 1.过平面α的一条垂线可作_____ 与平面α垂直. 无数个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作____
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《9.4.3平面与平面垂直的判定与性质》教学设计方案
【授课教材】高等教育出版社中等职业教育国家规划新教材《数学(基础模块)(下册)》【授课对象】
【教学内容】9.4.3平面与平面垂直的判定与性质(1课时)
【授课类型】新授课
【授课时间】45分钟
【教材分析】
平面与平面垂直是立体几何中研究空间垂直关系的重点之一.在此之前，学生已经学习了空间里线线垂直和线面垂直的知识.而本节课主要要揭示的是线面垂直与面面垂直的本质联系，既是对空间垂直问题的进一步研究，又是后面学习柱、锥、球及简单组合体的基础。
学好这部分内容,对于学生建立空间观念非常重要.
【学情分析】
本节课的授课对象为数控实验班的学生,他们的学习有着以下三大特点:
（一）基础知识:数学基础相对于普通班较为扎实，已经理解平面与平面垂直的定义；（二）能力特征:有着比较丰富的想象力，并且具备较强的动手能力；
（三）心理需求:有一定的好奇心,喜欢贴近生活、贴近专业的数学,然而学习主动性不够强,在一定程度上，缺乏自信心.
【教学目标】
（一）知识目标
让所有学生理解平面与平面垂直的判定方法和性质，体会数学符号语言的表述；让绝大多数学生学会简单地运用判定方法和性质.
（二）能力目标
让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进一步提高空间想象能力和逻辑推理能力.
（三）情感目标
通过学生探索建构平面与平面垂直的相关知识，提高学生学习数学的自信心和兴趣，进一步培养主动探索新知的学习精神.
【教学重点和难点】
重点:平面与平面垂直的判定方法和性质.
难点:平面与平面垂直的判定方法和性质的初步应用与学生空间想象力的培养.
关键点：让学生从实际问题情境中抽象出数学模型.
【教法学法】
本节课教师以情境的展开探索为发展途径，以授之以“渔”为原则设计教学模式.以实训车间里铣平面的工件贯穿整个教学过程.通过播放视频创设问题情境，激发学生实践探究的兴趣，组织有效的合作交流，最后通过及时的评价总结，使得教学过程成为师生双方发展的舞台，从而努力实现教学过程由以教为主到以学为主的重心转移.
【教具准备】
铝块工件、曲尺、面面垂直的模型、直角三角板等.
【时间分配】
【教学过程】
1.创设情境激发兴趣
教师播放：
实训车间里铣平面的视频和仿真软件.
（把铣刀抽象成直线，已知铣刀所在的直线与铣好后的平面垂直）
学生思考（大胆猜测）：
经过铣刀所在直线的黄色平面与蓝色的平面是什么位置关系？
[设计意图]数学源于生活，寓于生活，用于生活，所以利用和学生专业相关的实际生活来创设问题情境是我的首选. 而借助多媒体可以激发学生的学习热情，使得问题情境达到形神兼备的效果.
2.师生合作探索新知
学生猜测：黄色平面与蓝色平面是垂直的关系.
师生验证：借助教具将实际问题情境抽象出数学模型并进行验证.
具体做法：基准面放在教具的蓝色平面上，测量面靠在黄色平面上，通过观察得到测量面不透光得到二面角的平面角为九十度，即为直二面角从而验证学生的
猜想.若学生没有曲尺也可以借助人人都有的三角板来体验两个平
面是否垂直.
回到情境：带领学生回到铣平面的场景，学生通过感知、思考来归纳本情境蕴含着什么数学原理。
学生归纳：若一条直线垂直一个平面，那么经过这条直线的平面也和这个平面垂直. 教师活动：提炼学生所归纳的数学原理，揭示面面垂直的判定方法.
平面与平面垂直的判定方法：
一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直. (简称：线面垂直 面面垂直) 数学语言：βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥⊆AB AB 3.巩固知识 典型例题
例1：观察铣平面后的长方体工件，并用数学图形
表示，请同学们说
说与面ABCD 垂直的平面有哪些？并说明理由.
4.再创情境 探索新知
探究：由于生产的需要，对铣平面后的长方体工件进行再加工，需要在侧面居中位置挖一条垂直于下底面的槽.
[设计意图]师生合作共同形成数学化的问题.不仅让学生领会新知识的产生过程，获得知识与能力的同步增长，同时更体验到了成功的喜悦.引导学生尝试着写出判定方法的数学符号语言，进一步明确判定方法所需要的条件.
[设计意图] 学生应用自己刚刚探究的面面垂直的判定方法来解决新问题，会表现出极大的热情.通过以长方体的工件为载体让学生巩固新知，更加体会到学有所用.
学生活动：
（1）发挥空间想象能力，在学案相应的位置上画出槽所在的直线.
（2）学生上台展示自己的图纸，指出画法，并说明理由.
教师活动：针对学生在侧面B ABB 1中，过AB 的中点E 作
AB E E ⊥1的这一种画法，引导小组讨论此画法给我们的数学启
示.对学生的回答进行提炼，引导学生归纳出面面垂直的性质.
平面与平面垂直的性质：
如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
（简称：面面垂直 线面垂直）
数学语言：ββααβα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
⊥=⊆⊥AB CD AB CD AB 5.典型例题 巩固新知
例2.辨一辨：判断下列命题的真假（可借助长方体工件进行思考）
(1)已知两个平面垂直，那么一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. （ ）
(2)若一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线只存在一个平面与另一个平面垂直.
（ ）
(3)若两个平面垂直，那么过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个 平面. （ ）
[设计意图]开放型问题的设计让学生动脑、动手、动口，主动地参与到探究活动的全过程中.将面面垂直性质的文字叙述转化为数学符号语言，进一步体会“转化”的数学思想.
[设计意图] 为了培养学生严谨的学习态度，我安排了三个命题，让学生判断真假，通过举反例让学生进一步明确了线面垂直和面面垂直的联系，从而巩固新知.
平面与平面垂直判定方法和性质的对比：
6.结合专业 解决问题
问题1.教师想要检验铣平面后的工件相邻的两个面是否垂直，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，请同学们用本节课学习的知识来解释教师的这一动作.（注：考查面面垂直判定方法的知识）
分析：(1)理解“转动”二字在数学图形中的涵义是曲尺的一边从 旋转到了 .
(2)由曲尺的性质得到 . (3)由线面垂直的判定方法得到 .
(4)由面面垂直的判定方法得到 .
问题 2.若教师根据同学们画槽的图纸沿着面11ECC E 切割之前
做出的长方体工件，请同学们发挥空间想象能力判断所得截面
的形状，并进行解释. （注：考查面面垂直性质的知识）
(1) 运用数学知识进行分析.
(2) maya 软件动画演示结果.
[设计意图] 通过符号语言和图形语言的对比，帮助学生建立新的最近发展区，强调平面与平面垂直判定方法和性质的条件和结论.
OC OB OC OA OB OA ⊥⊥、
α⊥OA βα⊥[设计意图]上述两个问题的安排分别考查了面面垂直的判定方法和性质这两个知识点，让学生回到实践中解决生活中的问题，进一步增强学生运用数学知识的能力.
7.反思总结 感悟升华
以学生谈感受和收获的形式来回顾新知识发生的大致过程.在教师引导下提炼出本节课的教学内容：归纳为三个“一”，分别是 一个判定：线面性质 面面垂直 一个性质：面面垂直 线面垂直
一个思想：转化的思想：线面垂直 面面垂直
8. 分层检测 知识延伸
课堂学习的最后阶段，我设计了必做题、选做题和思考题三个层次的检测作业.
1.必做题: 《学与训练》训练题9.4的A 组第3题、第4题.
2.选做题：有兴趣的同学可以尝试着证明面面垂直的判定方法和性质，也可以上网搜索.
3.思考题:工人在砌墙时，通过观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴
（在铅锤处应有空隙）来判断所砌墙面是否与地面垂直，为什么？
【板书设计】
[设计意图] 这是学生将自己的探究成果上升为规律性知识的一个必要环节，对提高学生的归纳总结能力、锻炼表达能力等都至关重要.在教师引导下使学生进一步体会“转化”的数学思想方法.
[设计意图] 开放式的作业布置将课堂的内容延伸至课外，充分考虑了学生已有的知识水平和能力，有利于学生的自主发展.特别是思考题的设计，更加拉近了数学与生活的距离. 9.4.3平面与平面垂直的判定与性质
一、平面与平面的判定方法 例1
二、平面与平面垂直的性质 例2
三、“转化”的数学思想 练习（定义 面面垂直 线面垂直
[设计意图]体现活用板书,将知识重点、学习流程留在黑板上,使同学们一目了然,明确本节课的教学内容.
【教学反思】
（1）创设情境，融合专业:本节课的教学内容融入了学生的专业知识，以“长方体”为载体，围绕铣平面的工件创设了一系列的问题情境，使得教学内容呈现得更为连贯、自然.
（2）合理引导，实践探究:在教师合理的引导下，学生动手探索、合作讨论、自主归纳了面面垂直的相关知识，从而促进学生形成数学思想，发展数学能力.
（3）感悟探索，学以致用:数学教育要求培养学生分析和解决问题的能力，本节课我试图通过让学生感悟面面垂直相关知识形成的过程，提升学生的基本数学素养，真正做到驾驭知识，学以致用.。