高一下学期数学科期末考试试卷(无答案)

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四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)

四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。

江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)

江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数是纯虚数,则实数a 的值为( )A.0B.1C.-1D.2．下列特征数中,刻画一组数据离散程度的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差3．已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为( )A.C. D.4．已知向量,,若,则( )5．一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子,从盘中任选2个,则选中的水果品种相同的概率为( )6．若( )A.7．某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度,在旗杆底部O 的正东方向A 处,测得旗杆顶端P 的仰角为,在A 的南偏西方向上的B 处,测得P 的仰角为（O ,A ,B在同一水平面内）( )A.10mB.14mC.17mD.20mA. B. C. D.二、多项选择题9．记的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．下列命题为真命题的是( )()21i z a a =+-1±π2π()2,4a =-()1,b x =//a b||b = πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭60 30 45 ≈ 1.7≈tan tan B C =+∞⎫+⎪⎪⎭⎫+∞⎪⎪⎭()1,+∞()2,+∞ABC △A.若,则为直角三角形B.若,则为等腰三角形C.若,则为等腰三角形为等腰直角三角形10．已知a,b,c为三条直线,,,为三个平面．下列命题为真命题的是( ) A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则D.若,,,则11．一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”,“两个球标号的和为奇数”,“两个球标号都不小于2”,则( )A.A与B互斥B.A与C相互独立C. D.三、填空题12．样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为______________．13．已知向量,,向量在,则______________．四、双空题14．以棱长为2的正方体的六个面为底面,分别向外作形状相同的正四棱锥,得到一个多数为____________．五、解答题15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,．（1）求B;（2）若,求．16．如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,E,F分别是棱,的中点．222sin sin sinA B C+=ABC△sin sina Ab B=ABC△cos cosa Ab B=ABC△cos Bb==ABCαβγa c⊥b c⊥//a b//aαaβ⊂bαβ=//a baα⊥aβ⊂αβ⊥αγ⊥βγ⊥aαβ=aγ⊥A=B=C=()()()P AB P AC P A+=()()()()P ABC P A P B P C=a2aba b⋅=ABC△222a c b+=+c=tan CP ABCD-ABCD PA⊥ABCD BC AP（1）证明：;（2）证明：平面．17．某班学生日睡眠时间（单位：h ）频率分布表如下：;（2）用比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在的概率．18．已知的面积为9,点D 在BC 边上,．（1）若,①证明：;②求AC ;（2）若,求AD 的最小值．19．如图,等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面,E ,F 分别为上下底面圆周上的点,且B ,E ,D ,F 四点共面．的PC BD ⊥//EF PCD [)7,7.5[]8.5,9[77.5)，ABC △2CD DB =cos BAC ∠=AD DC =sin 2sin ABD BAD ∠=∠AB BC =1OO（1）证明：;（2）已知,,四棱锥的体积为3．①求三棱锥的体积;②当母线与下底面所成的角最小时,求二面角的正弦值．//BF DE 2AD =4BC =C BEDF -B ADE -C BF D --参考答案1．答案：A解析：根据题意,复数是纯虚数,所以且,解得.故选：A.2．答案：D解析：平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量,方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量,即刻画一组数据离散程度.故选：D.3．答案：B解析：根据题意圆锥的母线长即可求得．故选：B.4．答案：B解析：因为,所以,即所以,所以所以故选：B.5．答案：C解析：根据题意,设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A ,B ,C ,从盘中任选两个,可得,,,,,,,,,共10种情况．选中的水果品种相同的选法有：,,,有4种．故选：C.6．答案：B()21i z a a =+-0a =210a -≠0a =l ==πrl 侧＝π1S ⨯=侧＝//a b =a b λ()()()()2,4=2,4=1,,x x λλλ⇒--2==24==2x x λλλ--⎧⎧⇒⎨⎨-⎩⎩()1,2b =- ||b ==()1,2()1,A ()1,B ()1,C ()2,A ()2,B ()2,C (),A B (),A C (),B C ()1,2(),A B (),A C (),B C =解析：令,,则令所以故选：B.7．答案：C解析：如图,设米,则米.在中,由题意可得,,由余弦定理可得解得米.故选：C.8．答案：A,所以π3x α=-π2cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos x =2y α=π22y x =-22ππ21sin 2sin sin 2cos 22cos 1216239y x x x α⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-==-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OP h =tan 60h OA == tan 45hh ==OAB △60OAB ∠= 2cos cos 60OAB ∠== 17h =≈tan tan B C =+()sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos B C B C B C B C A B C B C B C B C++=+===cos B ==又因为三角形ABC 为锐角三角形,所以所以,故选：A.9．答案：ABD解析：对于A,若,由正弦定理得,所以为直角三角形,故A 正确;对于B,若,由正弦定理得,所以,所以为等腰三角形,故B 正确;对于C,若,由正弦定理得,所以或,即或是等腰或直角三角形,故C 错误;,所以,,即为等腰直角三角形,故D 正确;故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A 选项,令,,若,则一定有,,而在同一平面的a ,b 两条直线可以平行,也可以相交,故A 错误;对于B 选项,这是线面平行的性质定理,故B 正确;对于C 选项,这是面面垂直的判定定理,故C 正确;()πsin sin 13tan cos cos 2A A B A A A ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====+ππ00ππ222πππ6200322A A A A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎭1tan 2A ⎫=++∞⎪⎪⎭222sin sin sin A B C +=222a b c +=C =ABC △sin sin a A b B =22a b =a b =ABC △cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B =12sin 22A B =22A B =22πA B +=A B =A B +=ABC cos B b ==cos cos sin sin B CB C==cos sin B B =cos sin C C =B ==ABC a α⊂b α⊂c α⊥a c ⊥b c ⊥对于D 项,设,,过平面内一点A ,分别作,,如图所示,因为,,,,所以,又因为,所以,同理：,又因为,、,所以,故D 项正确.故选：BCD.11．答案：BC解析：根据题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则,,,所以有对于A,,事件A 、B 可以同时发生,则A 、B 不互斥,A 错误;对于B,,A 、C 相互独立,B 正确;对于C,,C 正确;对于D,,D 错误．故选：BC ．12．答案：11解析：首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8个数据m αγ= l βγ= γAB m ⊥AC l ⊥αγ⊥m αγ= AB γ⊂AB m ⊥AB α⊥a α⊂AB a ⊥AC a ⊥AB AC A ⋂=AB AC γ⊂a γ⊥()()()()()(){}Ω=1,21,31,42,32,43,4、、、、、()()()(){}()()()(){}1,31,42,32,4,1,2142334A B ==、、、、,、,、,()()(){}2,32,43,4C =、、()(){}()(){}()(){}1,42,3,2,32,4,2,33,4AB AC BC ===、、、(){}2,3ABC =()46P A ==()46B ==()3162C ==()26P AB ==()26AC ==()16P ABC =()(){}1,42,3AB =、()()()=P A P C P AC ()()()+=P AB P AC P A ()()()()P ABC P A P B P C ≠,所以这个样本数据的第40百分位数为第四位,即11,故答案为：11.13．答案：2解析：由已知向量在,.所以故答案为：2.14．答案：①.16②.12解析：根据题意,如图,以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥,取底面中心O ,中点E ,因为平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,则所以,从而该多面体的体积为,考虑到四棱锥的侧面夹角为.故答案为：16;12.15．答案：（1）（2）-2的840% 3.2⨯=a b1,2b a b b b ⋅=,1a b = ()cos ,cos ,2a b a b a b a a b b ⋅==⋅= P ABCD -CD PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD CD PO ⊥CD PE ⊥PO PE P = PO PE ⊂POE CD ⊥POE PEO ∠=1h PO ==12226221163V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=π12=π4B =解析：（1）,故因,所以（2）设,,代入中,,故,解得,由余弦定理得则故.16．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）连接,交于点O ,由四边形是菱形得,因为平面,平面,所以,因为,,,,平面,所以平面,又平面,所以．（2）连接,,因为四边形是菱形,所以点O 为,中点,又E ,F 分别是棱,的中点,所以,,因为平面,平面,所以平面,同理可得平面,因为,平面,且,为222222a c b a c b +=+⇒+-=222cos 2a c b B ac +-===()0,πB ∈B =a t =c =222a cb +=+2228t t b +=+⋅225b t =b =222cos 2a bc C ab +-===sin C ==sin tan 2cos CC C ===-AC BD ABCD AC BD ⊥PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥PA BD ⊥AC BD ⊥PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥OE OF ABCD AC BD BC AP //FO PC //OE CD PC ⊂PCD FO ⊄PCD //FO PCD //EO PCD EO FO ⊂EFO EO FO O =所以平面平面,又平面,所以平面．17．答案：（1）解析：（1）因为容量,所以,,;（2）由（1）知,该班日睡眠时间在和频率比为,由比例分配的分层随机抽样方法,分别从和两组的学生中抽取2人,3人,记中抽取的2人为a ,b ,中抽取的3人为c,d,e ,设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件A ,则,,所以A 发生的概率所以2人中至少有1人的日睡眠时间在18．答案：（1）证明见解析,（2）4解析：（1）①因为,,所以,在//EFO PCD EF ⊂EFO //EF PCD 8.03h200.450n =÷=500.126y =⨯=50(4206)20x =-++=()7.2547.75208.25208.756⨯+⨯+⨯+⨯()()12915516552.58.03h 50=⨯+++=[)7,7.5[]8.5,92:3[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5[]8.5,9[)7,7.5{}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e Ω={}(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,)A a b a c a d a e b c b d b e =()P A =AC =2CD DB =AD DC =2AD DB =△=所以;②设,则因为,所以设,因为,所以,在中,,由①知,所以,所以,整理得,又因为,,所以因为,所以,在中,因为,,所以,所以,则,所以（2）记的内角为A ,B ,C ,所对边为a ,b ,c ,因为,所以,所以,在中,因为,所以由余弦定理可得,整理得,sin sin 2sin AD ABD BAD BAD BD∠=⨯∠=∠BAC θ∠=cos θ=0πθ<<sin θ==C α∠=AD DC =C CAD α∠=∠=ABD △π,B BAD θαθα∠∠=--=-sin 2sin ABD BAD ∠=∠sin()2sin()θαθα+=-sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin θαθαθαθα+=-cos 4sin αα=22sin cos 1αα+=0πα<<sin αα==2CD DB =263ACD ABC S S ==△△ACD △AD DC =C α∠=cos 2AC AD α=2cos AC AD AC α==21sin 62ACD S AD AC AC α=⨯⨯⨯== AC =ABC △2CD DB =()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+ 222414cos 999AD c b bc BAC =++∠ ABC △AB BC =2222cos c c b bc BAC =+-∠2cos c BAC b ∠=c =因为,所以所以,所以,当且仅当所以AD 的最小值为4.19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明：在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以;（2）①将圆台的母线延长交于一点P ,连接,延长交底面于点Q ,连接,,在圆台中,平面平面,因为平面平面,平面平面,所以,又由（1）可知,所以,又,,,,,平面,1sin 92ABC S bc BAC =∠=△bc =236cos sin BAC b BAC ∠=∠22294cos cos sin b c BAC BAC BAC ==∠∠∠22412cos 412cos sin cos sin sin cos BAC BAC AD BAC BAC BAC BAC BAC∠+∠=+=∠∠∠∠∠ 224sin 16cos sin cos BAC BAC BAC BAC∠+∠=∠∠sin 4cos 416cos sin BAC BAC BAC BAC ∠∠⎛⎫=+≥ ⎪∠∠⎝⎭sin BAC ∠=BAC ∠=1OO //ADE BFC BEDF ADE DE =BEDF BFC BF =//BF DE 1OO PE PE BQ CQ 1OO //ADE BFC PCQ ADE DE =PCQ BFC CQ =//ED CQ //BF ED //BF CQ CF BF ⊥BQ CQ ⊥BF CF BQ CQ ⊂BFC所以,所以四边形为平行四边形,所以,在圆台中,,,所以,所以,连接,交所以A ,C 到平面所以②在等腰梯形中,过点D 作边的垂线,垂足为G ,在平面内过点G 作的平行线交于点H ,连接,易得,因为平面,所以平面,所以为母线与下底面所成角,因为,,所以,所以,要使最小,只要最小即可,因为,所以,所以,设,因为为圆的直径,所以,所以,,所以,当且仅当所以因为,,所以,因为平面,平面,所以,因为,,平面,所以平面,所以,因此为二面角的平面角,//BQ CF BFCQ BF CQ =1OO 2AD =4BC =AD BC ==AD BC ==2BDF BDE S S = 223D BFC C BDF C BEDF V V V ---===AC AD BC ==BEDF 1124B ADE A BDE C BED C BDF V V V V ----====ABCD BC DG BFC CF GH BF DH 1//DG OO 1OO ⊥BFC DG ⊥BFC DCG ∠2AD =4BC =1CG =tan DCG DG ∠=DCG ∠DG 2D BFC V -=123D BFC BFC V S DG -=⋅=△Δ6BFC DG S =CBF θ∠=BC 1O BF FC ⊥4sin FC θ=4cos FB θ=Δ14sin 242BFC S FC FB θ=⋅=≤θ=BF ==DG CF BF ⊥//CF GH GH BF ⊥DG ⊥BCF BF ⊂BCF DG BF ⊥DG HG G = DG HG ⊂DGH BF ⊥DGH BF DH ⊥DHG ∠C BF D --在因为平面,平面,所以,在中,由勾股定理得所以二面角BCF △BGBC===DG⊥BFC HG⊂BFC DG HG⊥Rt DGH△DH=DHG∠=C BF--。

2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案

江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。

深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷

深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 设a不等于0，则关于x的一次方程ax+b=0（）。

A. 无解B. 有唯一解-x/bC. 有无数解D. 无法确定2. 如果root(5)x = root(20)，则x的值为（）A. 1/2B. 2C. 4D. 163. 下列关于集合的说法错误的是（）。

A. 空集也是集合B. 集合中元素的排列顺序可以更改C. 集合中不允许重复的元素D. 所有元素都是集合的子集4. 已知函数f(x)=log(1-x)，g(x)=x-1，则f[g(10)-g(3)]的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 在△ABC中，∠B=90度，∠C=30度，BC=2，则AC的长为（）。

A. 1B. 3C. 2sqrt(3)D. sqrt(3)6. 当a+b=2时，下列哪组值可以是（）。

A. a=1,b=1B. a=-1,b=3C. a=0,b=2D. a=-2,b=47. 在下列选项中，属于等比数列的是（）。

A. k-5，k-3，kB. k，2k，3kC. k，k+1，k+2D. k，k^2，k^38. 关于词组“及以下”，哪项说法是错误的（）。

A. 包括本身B. 不包括本身C. 只限于本身D. 这要视题意而定9. 甲，乙，丙三个数相乘为30，已知甲+乙+丙=13，丙=1，则甲的值为（）。

A. -1B. 2C. 3D. 510. 式子x/sqrt(x^2+1)+1/sqrt(x^2+1)的值为（）。

A. 1+sqrt(x^2+1)B. 1+x^2C. 1+1/sqrt(x^2+1)D. 1/x11. 把4800元按月存入，每月存入的金额相等，月利率为1.5%，存8个月后，本息和为（）。

A. 元B. 元C. 元D. 元12. 如果正五边形的周长为20，求它的面积（）。

A. 20sqrt(5)-25B. 5sqrt(5)C. 25sqrt(5)D. 2513. 设函数f(x)=3x+2，g(x)=x^2-9，四个实数a,b,c,d满足a<b，c<d，且f(a)=f(b)，g(c)=g(d)，则（）。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。

2021-2022学年湖南省师范大学附属中学数学高一第二学期期末经典试题含解析

2021-2022学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．执行下图所示的程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或e2．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10B ．3C 5D ．33．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（） A ．14B ．154C ．18D ．6384．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( )A ．3B ．3C ．12D ．12-5．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥B ．若m αγ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥6．已知函数e 0()ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，，，，则1[()]3f f 的是A ．13B ．1eC ．eD ．37．若函数cos 0()(1)10x x f x f x x π-⎧=⎨++≤⎩，＞，，则4()3f -的值为（） A ．12-B ．12C ．32D ．528．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（） A ．0，2B ．0，-2C ．12D ．29．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（） A ．25B ．13C ．35D ．2310．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．8643π+B ．964(21)π+-C ．8643π-D ．4643π-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省锦州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝，cos2θ＝．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝．故选：A．2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），∴2z＝1﹣3i，∴z＝i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin A cos A＝cos B sin B，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝．若A＝B，则△ABC为等腰三角形，若A+B＝，则C＝，△ABC为直角三角形，故选：D．4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．解：∵，又∵，∴＝0即﹣1×3+2m＝0即m＝故选：D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°解：由正弦定理得得＝得sin C＝，∵c＞a，∴C＞A，得C＝60°或120°，故选：B．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣），故选：A．8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．解：∵α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，∴sinα＝＝，∴＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosβ﹣sinβ＝﹣．∴cosβ﹣＝﹣．整理得10cos2β+4cosβ﹣1＝0，解得cosβ＝或cosβ＝﹣（舍），故选：B．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°解：不妨设BB1＝1，则AB＝，•＝（）•（）＝+++＝0+cos60°﹣12+0＝0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．解：函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点等价于方程f（x）﹣ax＝0在[0，2π）有五个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象在[0，2π）有五个交点，结合图象可得，当直线y＝ax过点（2π，4）时，a取得最小值，此时，．故选：A．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增解：将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1 的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+π）﹣1＝﹣cos2x﹣1 的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）＝﹣cos2x的图象．关于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；由于它是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C正确；在区间（，π）上，2x∈（π，2π），y＝cos2x单调递增，故g（x）＝﹣cos2x单调递减，故D错误，故选：ABC．12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若n∥α，n⊥β，由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝﹣，cos2θ＝．解：角θ的终边上的点P（﹣1，3）到原点的距离为：r＝＝，由任意角的三角函数的定义得cosθ＝＝﹣．可得cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：﹣，．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为{﹣+i，﹣﹣i}．解：x2+x+1＝0，即为x2+x+＝﹣1+，可得（x+）2＝﹣，即x+＝±i，解得x＝﹣+i或﹣﹣i，则解集为{﹣+i，﹣﹣i}．故答案为：{﹣+i，﹣﹣i}．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100m．解：由题意可得AB＝600，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°﹣75°＝105°，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得：，即＝，∴BC＝300，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴tan30°＝＝，∴DC＝100．故答案为：100．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．解：因为AB＝BC，所以△ABC外接圆的圆心M在BO上，设此圆的半径为r，因为BO＝4，所以（4﹣r）2+32＝r2，解得，因为OD＝OC﹣CD＝3﹣2＝1，所以，设QM＝a，易知QM⊥平面ABC，则QM∥PD，因为QP＝QB，所以，即，解得a＝1，所以球Q的半径，表面积．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．解：（1）∵||＝4，||＝3，∵（2）＝4||2﹣3||2﹣4•＝37﹣4•＝61∴•＝||•||•cos＜，＞＝﹣6∴cos＜，＞＝﹣∴＜，＞＝120°∵向量与的夹角θ＝120°…（2）∵||2＝||2+||2﹣2•＝16+9+12＝37∴||＝…18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）在△AA1C中，点F为AC的中点，G为AA1的中点，∴GF∥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵E是BB1的中点，G为AA1的中点，∴A1G∥BE，且A1E＝BE，∴四边形A1GBE是平行四边形，∴A1E∥GB，∵GB∩GF＝G，∴平面BFG∥平面A1EC．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB＝BC，点F为AC的中点，∴BF⊥AC，又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．解：（1）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．所以，由于0＜B＜π，所以B＝．（2）由（1）得：A+C＝，所以＝＝．由于，所以当时，cos A+cos C的最大值为1．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？解：（1）由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω＝，故y＝50sin（t+φ）+60；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ＝﹣；故y50sin（t﹣）+60；（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85；则sin（t﹣）＞；故＜t﹣＜，解得，1＜t＜2；故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．【解答】证明：（1）由题知四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD∴AB∥平面PCD又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF∴EF∥AB，又AB∥CD∴EF∥CD，由S△PEF：S四边形CDEF＝1：3，知E、F分别为PC、PD的中点，连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中FG为中位线，∴EG∥PB，∵EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．解：（2）∵PA＝2，AD＝AB＝1，∴，，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD在Rt△CDE中，，在△ACE中由余弦定理知，∴，∴S△ACE＝，设点F到平面ACE的距离为h，则，由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，得DG⊥平面PAC，且，∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为，又F为PC中点，∴S△ACF＝S△ACP＝，∴由V F﹣ACE＝V E﹣ACF，解得，∴点F到平面ACE的距离为．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．解：（1）因为sin C sin（B+）＝sin A，所以sin B•sin C+cos B•sin C＝sin（B+C）＝sin B•cos C+cos B•sin C，即sin B•sin C＝sin B•cos C．又0＜B＜π，所以tan C＝1，可得C＝…2分可得＝＝﹣2+，…4分（2）由题意函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，得，2cos2A ﹣cos A＜0，所以0＜cos A＜，所以角A的范围是，由（1）知C＝，所以，…6分设t＝sin B+cos B＝sin（B+），因为，所以t∈（1，），…8分则sin B cos B＝，令y＝h（t）＝t2+kt﹣，t∈（1，）．（i）当k≥﹣1时，h（1）＝k，h（）＝k+，此时f（B）的值域为（k，k+），…9分（ii）当﹣≤k＜﹣1时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（）＝k+，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k+），…10分（iii）当﹣＜k＜﹣时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（1）＝k，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k），…11分（iv）当k≤﹣时，h（）＝k+，h（1）＝k，此时f（B）的值域为（k+，k）．…12分。

高一(下学期)期末考试数学试卷

高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0．（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误．故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误；对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确．故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件．故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人，设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ，连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=，所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝，所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8，则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确，所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可．【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥，同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错；因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ，则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错．故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒．故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥．又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥．（2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ．又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人，（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=，即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=，所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712．【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节，故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=，所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥，又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。

2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解

【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
．．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3

福建厦门2024年高一下学期7月期末质检数学试题(解析版)

厦门市2023—2024学年第二学期高一期末质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若()1i 13i z −=+，则z =（）A. 2i +B. 22i +C. 12i +D. 12i −+【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解出复数即可.【详解】因()1i 13i z −=+，所以22(13i)(1i)13i i 3i (1i)(1i)1i z+++++=−+−i 4i 22i 1122−=−+−=，故D 正确. 故选：D2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（） A. 600 B. 480C. 400D. 360【答案】C 【解析】【分析】用分层抽样的概念，和样本估计总体的思想解题即可.【详解】抽取50人作为样本，其中男生20人.则女生30人.则男女比例为：2:3．该校高一年级女生240人，则男生160人. 高一年级学生总数为400人.为故选：C ．3. 在梯形ABCD 中//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为（） A.5π3B.7π3C. 5πD. 7π【答案】B 【解析】【分析】由已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，进而可得圆台体积. 【详解】已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，可知圆台上底面半径为1CD =，下底面半径2AB =，高1h AD ==，所以体积()()22ππ7π1421333VCD AB CD AB AD =++⋅⋅=++×=，故选：B.4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（） A. 0.3 B. 0.5C. 0.7D. 0.9【答案】B 【解析】. 【详解】设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ，所以()0.5P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，因为()()()0.2P A P B P AB ==，所以事件A 与事件B 相互独立，根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为()()()()0.50.60.50.40.30.20.5P P A P B P A P B =+=×+×=+=，故选：B.5. 如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15 方向，顶部P 的仰角为30 ，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西45 方向.底部Q 和,M N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】分析题意结合正弦定理得到MQ =再由题意得到PQ ⊥面MNQ ，利用线面垂直的性质得到PQ MQ ⊥，最后利用锐角三角函数的定义求解即可.【详解】由题意得45MNQ ∠= ，75QMN ∠= ，30PMQ ∠= ，150MN =，在MQN △中，由三角形内角和定理得60MQN ∠=，=MQ =PQ ⊥面MNQ ，所以PQ MQ ⊥，在MQP △=，解得PQ =A 正确. 故选：A6. 已知,,αβγ是三个不重合的平面，,m n αβαγ∩=∩=，则（） A. 若m //n ，则β//γB. 若m n ⊥，则βγ⊥C. 若,αβαγ⊥⊥，则m //nD. 若,αγβγ⊥⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】构造长方体模型，通过举反例可以判断A 、B 、C 是错误的，在利用排除法即可得到正确答案.【详解】如图，构造长方体模型，对于A ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面D A BC ′′为平面γ，则直线AD 为m ，直线A D ′′为n ，易知，此时m //n ，但BC βγ= ，故A 错误；对于B ，设平面ADD A ′′为平面α，平面AB C D ′′为平面β，平面DBBD ′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，易知，此时m ⊥n ，但平面AB C D ′′与平面DBBD ′不垂直，故B 错误；对于C ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面DCC D ′′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，此时m ⊥n ，故C 错误；因为,,m αγβγαβ⊥⊥∩=，所以m γ⊥，又n γ⊂，所以m n ⊥，D 正确；故选：D.7.若i z z =−，则） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】设i ,z x y x y ∈=+R ，，结合条件求出,x y ，再求模即可．【详解】设i ,z x y x y ∈=+R ，，则i i (1)i z x y z x y −=−+−=+−，,又i z z =−−，则=解得12x y = =，即1i 2z=，故1z =.故选：A8. 向量12,,e e a 满足121212π01,3,e e e e a e a e ⋅===−−= ，，则a 的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则由已知条件可得12E E =12π3E AE ∠=，利用正弦定理求出12E AE 外接圆的半径，再结合图形可求得结果.【详解】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则122112,a e a e OA OE E A OA OE E A =−=−−=−= ，因为120e e ⋅=，121==e e ，所以12E E =．因为12π,3a e a e −−= ，所以12π3E AE ∠=．所以过1E ，A ，2E 的圆C的半径121122sin E E r E CE AE ===∠连接OC 交12E E 于点D ，连接1CE ，则11212OD DEE E ===CD，所以OC =，所以OA最大值为OC r +，故选：B.的【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法运算，考查求向量的模，解题的关键是令11OE e =，22OE e = ，OA a =，然后根据已知条件画出图形，结合图形求解，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（）A. 甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B. 乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C. 甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D. 乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数【答案】BC 【解析】【分析】根据甲、乙两班的频率分布直方图直接求出甲、乙两班的平均数、中位数即可得解. 【详解】对于A ，由甲班频率分布直方图可得甲班成绩的平均数为x =甲()0.01667.50.06472.50.0477.50.03282.50.02487.50.01692.50.00897.55×+×+×+×+×+×+×× 79.1=，甲班成绩分在[)65,75内频率之和()0.0160.06450.40.5+×=<，成绩分在[)65,80内频率之和为()0.0160.0640.0450.60.5++×=>，所以甲班成绩的中位数为0.50.4755=77.579.10.045−+×<×，故A 错误；对于B ，由乙班频率分布直方图可得乙班成绩的平均数为x =乙()0.01697.50.06492.50.0487.50.03282.50.02477.50.01672.50.00867.55×+×+×+×+×+×+×× 85.9=，乙班成绩分在[)65,85内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.03250.40.5+×=<，成绩分在[)65,90内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.032+0.0450.60.5+×=>，所以乙班成绩的中位数为0.50.4855=87.585.90.045−+×>×，故B 正确；对于C ，由A 、B 可知甲班平均数小于乙班平均数，故C 正确；对于D ，由A 、B 可知甲班中位数小于乙班的中位数，故D 错误. 故选：BC.10. 在梯形ABCD 中，2,2,2AD BC AD AB AN ND === ，则（） A. 12DC AB AD =−B. 0AB BD ⋅=C. 0AC CD ⋅=D. AN 在AC 上的投影向量为23AC【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量即平面几何知识即可求解.【详解】取AD 的中点E ，连接,,,BE CE AC BD ，12AE AD =根据题意可知，//AD BC 且2AD BC =，则BC AE =，BC ED =，所以四边形AECB 为平行四边形，所以12DC EB AB AE AB AD ==−=−，故A 正确；因为题意没有说明BC 与CD 的大小关系，所以不能证明AC BD ⊥，故B 错误；为因为12AE AD =，12BC AD =，且12AB AD = ，所以AB AE =，所以四边形AECB 为菱形，所以AC BE ⊥，因为//BE CD ，所以AC CD ⊥，所以0AC CD ⋅=，故C 正确；过N 作AC 的垂线，垂足为F ，连接NF ，因为AC CD ⊥且AC NF ⊥，2AN ND =，所以23AN AC =，AN 在AC 上的投影向量为23AC ，故D 正确；故选：ACD.11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，11,AB AD AA ===，动点P 满足[]()1,0,1BP BC BB λµλµ=+∈，则（）A. 当0λ=时，AC DP ⊥B. 当1λ=时，AC 与DP 是异面直线C. 当1µ=时，三棱锥1P ABB −的外接球体积的最大值为4π3D. 当12µ=时，存在点P ，使得DP ⊥平面1ACD 【答案】ACD 【解析】【分析】用线面垂直证明线线垂直，即可判断A ；当1λ=，0µ=时, AC 与DP 有交点，即可判断B ；当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的体积最大，从而得到外接球体积最大，即可得解C ；当0λ=时，112BP BB =，即P 为1BB 的中点时，DP ⊥平面1ACD ,证明即可判断D.【详解】对于A ，当0λ=时，1BP BB µ=，在长方体中，易知1BB ABCD AC ABCD ⊥⊂平面，平面，所以1BB AC ⊥，又1AC DB DB BB B ⊥=，，所以1AC DBB ⊥平面又1DP DBB ⊂平面，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于B ，当1λ=，0µ=时，BP BC =，此时，又AC 与DP 相交于点C ，故B 错误；对于C ，当1µ=时，1BP BC BB λ=+，当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的高最大，由于底面1ABB 的面积是定值，所以此时三棱锥1P ABB −的体积最大，即三棱锥1P ABB −的外接球体积最大。

安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可；收入对家庭每年生活费的开支影响很大，故②采用分层随机抽样较合适．〖答案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件．〖答案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =．〖答案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=，整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线，故2234λμ=，解得34λμ=．〖答案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解析〗对于A ：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，即()()()P MN P M P N =故事件M 和N 相互独立，A 正确；对于B ：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C C C +=，B 错误；对于C ：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C 正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确．综上可知正确的有ACD ．〖答案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底〖解析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立；所以是充分不必要条件，选项A 正确．对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量，因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确；对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+，因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+， 12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误．〖答案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误；对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意，作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确．〖答案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ．〖解析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ．〖解析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+．〖答案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为．〖解析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=，变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=，则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±．〖答案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为．〖解析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ，再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ，则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=．〖答案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数．（1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-．（1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α．解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=，当5x =，|2|13a b +=，综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积．（1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥，又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==．20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n ，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n ==，504206416q =----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.3250=，在区间[175，185)的频率为60.1250=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ，则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ，又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角，因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =，证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥，又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =，所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QF QE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ，所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥，又PBBC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意，所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围．解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯（2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB ACAD +=，因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =，设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+，所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++，又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y xAG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++，又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++，又4y ，所以114x ，所以310AG EF⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅，当14x =时等号成立，综上3691020AG EF⋅，即3[10，69]20．安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可；收入对家庭每年生活费的开支影响很大，故②采用分层随机抽样较合适．〖答案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件．〖答案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =．〖答案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=，整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线，故2234λμ=，解得34λμ=．〖答案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解析〗对于A：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M=，1()3P N=，1()6P MN=，即()()()P MN P M P N=故事件M和N相互独立，A正确；对于B：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C CC+=，B错误；对于C：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确．综上可知正确的有ACD ．〖答案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底〖解析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立；所以是充分不必要条件，选项A 正确．对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量，因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确；对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+，因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+，12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误．〖答案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B CD -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误；对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意，作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确．〖答案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ．〖解析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ．〖解析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+．〖答案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为．〖解析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=，变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=，则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±．〖答案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为．〖解析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ，再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ，则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=．〖答案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数．（1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y ⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-．（1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α．解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=，当5x =，|2|13a b +=，综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积．（1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥，又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==． 20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n，q的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n==，504206416q=----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.32 50=，在区间[175，185)的频率为60.12 50=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ，则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ，又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角，因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =，证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥，又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =，所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QFQE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ，所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥，又PB BC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意，所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围．解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯ （2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB AC AD +=，因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =，设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+，所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++，又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y x AG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++，又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++，又4y ，所以114x ，所以310AG EF ⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅，当14x =时等号成立，综上3691020AG EF ⋅，即3[10，69]20．。

湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

湖南省长沙市长沙县2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则相等的向量是( )A ．AD 与CBB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC〖解析〗四边形ABCD 中，AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =．〖答案〗D2．设复数z 满足2z i =-（其中i 为虚数单位），则||(z = )A B C ．5 D〖解析〗2z i =-，||z ∴= 〖答案〗A3．圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O 的体积为( ) A ．323πB ．12πC ．16πD ．643π〖解析〗设圆柱的内切球的半径为R ，则圆柱的底面圆的半径为R ，高为2R ，∴圆柱的体积为2216R R ππ⋅=，38R ππ∴=， ∴圆柱的内切球O 的体积为343233R ππ=．〖答案〗A4．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( ) A ．3B ．5C ．6D ．9〖解析〗要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，∴则该试验中样本点的个数为246C =个．〖答案〗C5．“治国之道，富民为始”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是( ) A ．平均数小，方差大 B ．平均数小，方差小 C ．平均数大，方差大D ．平均数大，方差小〖解析〗方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小．〖答案〗D6．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥” 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解析〗l ，m ，n 均为直线，m ，n 在平面α内， l l m α⊥⇒⊥且l n ⊥（由线面垂直性质定理）．反之，如果l m ⊥且l n ⊥推不出l α⊥，也即//m n 时，l 也可能平行于α．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．〖答案〗A7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，14AE AB =，14CF CD =，G 为EF 的中点，则(DG = )A ．1122AD AB - B ．1122AB AD - C ．3142AD AB - D ．3142AB AD - 〖解析〗在平行四边形ABCD 中，14AE AB =，14CF CD =，∴14DE AE AD AB AD =-=-，3344DF DC AB ==， G 为EF 的中点，∴131111()288222DG DF DE AB AB AD AB AD =+=+-=-．〖答案〗B8．人类通常有O ，A ，B ，AB 四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X 代表O ，A ，B ，AB 中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X →X ；②O →X ；③X →AB ．已知我国O ，A ，B ，AB 四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A 型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（） A ．0.31B ．0.48C ．0.65D ．0.69〖解析〗若受血者为A 型血，则O 型血和A 型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41+0.28＝0.69．〖答案〗D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列命题错误的是( ) A ．//a b ，//b a αα⊂⇒ B ．//a α，//b a b α⊂⇒ C ．//a α，////a b b α⇒D ．a α⊂/，//a b ，//b a αα⊂⇒〖解析〗由//a b ，b α⊂，得a α⊂或//a α，故A 错误；由//a α，b α⊂，得//a b 或a 与b 异面，故B 错误；由//a α，//a b ，得b α⊂或//b α，故C 错误；由a α⊂/，//a b ，b α⊂，得//a α，故D 正确．〖答案〗ABC10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是( )A ．sin :sin :sin 2:3:4ABC = B ．ABC ∆是锐角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC ∆内切圆半径为12〖解析〗因为2a =，3b =，4c =，sin :sin :sin ::2:3:4A B C a b c ∴==，故A 正确；可得c 为最大边，C 为最大角，由余弦定理可得22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯，可得C 为钝角，即ABC ∆的形状是钝角三角形．故B 错误；对于C ，由22291647cos 2248b c a A bc +-+-===，由227171cos22cos 12()1cos 8324A A C =-=⨯-=≠-=，故2A C ≠，故C 错误；由1cos 4C =-，sin C ∴=，11sin 2322ABC S ab C ∆∴==⨯⨯ 设ABC ∆内切圆半径为r ，∴1()2ABC a b c r S ∆++⋅=，r ∴=D 错误．〖答案〗BCD11．下列命题中是真命题的有( )A ．有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4〖解析〗对于A ，由分层抽样原理知，样本容量为9183312n ==++，所以选项A 错误；对于B ，数据1，2，3，3，4，5的平均数为1(123345)36x =⨯+++++=，众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B 正确；对于C ，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5；它的平均数是1(569105)75x =⨯++++=，方差为2222221[(57)(67)(97)(107)(57)] 4.45s =⨯-+-+-+-+-=，这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C 错误；对于D ，由题意知样本容量为10，样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频数是4，所以频率为0.4，选项D 正确．〖答案〗BD12．如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中( )A ．AC EF ⊥B ．EF 和BC 所成的角是60︒ C ．直线AC 和平面ABE 所成的角是30︒D ．如果平面ABC ⋂平面CEF l =，那么直线//EF 直线l〖解析〗如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADBG FCEH -，在正方体ADBG FCEH -中，可知//AC EG ，AC EG EF FG ===，故异面直线AC 与EF 所成的角即为EG 与EF 所成的角为60︒，故A 项错误；同理，EF 与BC 所成的角即为FG 与EF 所成的角为60︒，故B 项正确；在正方体ADBG FCEH -中，AC CH =，HC EF ⊥，HC EB ⊥，EF EB E =，故HC ⊥平面ABEF ，则点C 到平面ABE 的距离为1122HC AC =，设直线AC 与平面ABE 所成的角为θ，则112sin 2HCAC θ==，故30θ=︒，故C 项正确；在正方体ADBG FCEH -中，//AC EG ，//AB EF ，AC AB A =，EG EF E =，则平面//ABC 平面EFG ，平面EFG ⋂平面CEF 于直线EF ，平面ABC ⋂平面1CEF =，故直线//EF 直线l ，故D 项正确．〖答案〗BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数（上年同月100)=分别为100.7，101.5，102.3，101.5，100.9，100.9，101.5，则这组数据的第20百分位数是．〖解析〗将这组数据按从小到大排列为100.7，100.9，100.9，101.5，101.5，101.5，102.3，由20%7 1.4⨯=，可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，即100.9．〖答案〗100.914．甲、乙、丙三人中任选两名代表，则甲被选中的概率是．〖解析〗由题意：甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有三种情况：甲和乙、甲和丙、乙和丙，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为23．〖答案〗2315．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为．〖解析〗如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC ∆中，11AB BC AC BH ⨯=⨯，且111,AB BC AC ===所以BH =，点B 到直线1AC ．〖答 16．已知AD 是ABC ∆的中线，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AD 的最小值是．〖解析〗2||||cos AB AC AB AC A =-=，120A ∠=︒，||||4AB AC ∴=1||(2AD =)AB AC +，2221||(||||24AD AB AC ∴=++221)(||||4)4AB AC AB AC =+-1(2||||4)14AB AC -= ∴||1min AD =．〖答案〗1四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数134z i =+，22z i =-，i 为虚数单位．（1）若12z z z =，求z 的共轭复数；（2）若复数12z az +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：（1）134z i =+，22z i =-，∴12234(34)32222z i i i z i z i i ++====-+--，∴322z i =--．（2）123423(42)z az i ai a i +=+-=+-在复平面上对应的点在第一象限，420a ∴->，解得2a <，故实数a 的取值范围为(,2)-∞．18．（12分）从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M 表示选到的数能被2整除，事件N 表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：（1）这个数既能被2整除也能被3整除；（2）这个数能被2整除或能被3整除；（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除．解：（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个， 51()306P MN ∴==；（2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个， 151()302P M ∴==，101()303P N ==， 1112()()()()2363P MN P M P N P MN ∴=+-=+-=；（3）事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 21()1()133P MN P MB ∴=-=-=． 19．（12分）已知向量(6,1)a =，(2,3)b =-，(2,2)c =，(3,)d k =-．（1）求2a b c +-；（2）若(2)//()a c c kb ++，求实数k 的值．（3）若a 与d 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．解：（1）(6,1)a =，(2,3)b =-，(2,2)c =，∴2(6a b c +-=，1)(4+-，6)(2-，2)(0=，5)．（2）2(10,5)a c +=，(22,23)c kb k k +=-+，又(2)//()a c c kb ++，10(23)5(22)0k k ∴+--=，解得14k =-．（3）a 与d 的夹角是钝角，∴cos ,0||||a da d a d ⋅<>=<⋅，且cos ,1a d <>≠-，∴6(3)0a d k ⋅=⨯-+<，且361k -≠，解得18k <且12k ≠-，故实数k 的取值范围为11(,)(,18)22-∞--．20．（12分）在锐角ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =．（1）求角C 的大小；（2）若c =6ab =，求ABC ∆的周长．解：（12sin c A =及正弦定理得sinsin a Ac C =，因为sin 0A >，故sin C =．又ABC ∆为锐角三角形，所以3C π=．（2）由余弦定理222cos73a b ab π+-=，6ab =，得2213a b +=，解得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩，ABC ∴∆的周长为5a b c ++=． 21．（12分）“垃圾分类”相关管理条例的出台，最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．某部门在某小区年龄处于〖20，45〗岁的人中随机地抽取x 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组〖20，25） 45 0.75 第二组〖25，30） 25 y 第三组〖30，35） 20 0.5 第四组〖35，40） z 0.2 第五组〖40，45） 30.1（1）求x、y、z的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在〖25，35〗的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗中的概率．解：（1）由题意得：x＝＝200，y＝＝0.625，z＝200×0.03×5×0.2＝6，（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值为：22.5×0.3+27.5×0.2+32.5×0.2+37.5×0.15+42.5×0.15＝30.75；（3）从年龄段在〖25，35〗的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，从〖25，30）中选：9×＝5人，分别记为A，B，C，D，E，20 从〖30，35〗中选：9×＝4人，分别记为a，b，c，d，在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，D），（C，E），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（D，E），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（E，a），（E，b），（E，c），（E，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共36 种，选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（c，d），（D，a），（D，b），（D，c），（D，d），（E，a），（E，b），（E，c），（E，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共26种，因此，选取的2名记录员中至少有一人年龄在〖30，35〗中的概率＝．22．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面11ADD A 为矩形，22AB AD ==，160D DB ∠=︒，1BD AA ==（1）证明：平面ABCD ⊥平面11BDD B ；（2）求三棱锥11D BCB -的体积．（1）证明：ABD ∆中，因为2AB =，1AD =，BD = 所以222AB AD BD =+，所以AD BD ⊥，又侧面11ADD A 为矩形，所以1AD DD ⊥，又1BDDD D =，BD ，1DD ⊂平面11BDD B ，所以AD ⊥平面11BDD B ，又AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11BDD B ；（2）解：因为//AD BC ，AD ⊥平面11BDD B ，所以BC ⊥平面11BDD B ，易得1BC =，11B D =，1B B =，1160D B B ∠=︒，所以△11BB D 的面积1112BB D S==，三棱锥11D BCB -的体积11111111133D BCB C BB D BB D V V SBC --==⋅==．。

高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期高2026届期末考试数学试卷答案

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123，故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况，因此13123Q A A A A A A =2，故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33，由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1，结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1．因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

上海市上海交通大学附属中学嘉定分校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市上海交通大学附属中学嘉定分校 2023-2024 学年高一
下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．平面直角坐标系中，以 (-2,1) 为圆心，且经过原点的圆的方程为
.
2．在复数范围内方程 x2 - 2x + 3 = 0 的解为 .
( ) 【详解】方程 x2 - 2x + 3 = 0 ，即 ( x -1)2 = -2 =
±
2i
2
，
解得 x1 = 1+ 2i ， x2 = 1- 2i . 故答案为： x1 = 1+ 2i ， x2 = 1- 2i 3． 2 【分析】根据等差中项的性质计算可得.
【详解】因为1， a +1 ， a + 3 为等差数列{an} 的前三项，所以1+ a + 3 = 2(a +1) ，解得 a = 2 .
x,
y,
z
]
叫做向量
nr
在该斜坐标系中的坐标.已知
uuur
uuur
OA = [0, 2,1],OB = [2,1,0]
①求
uuur OA
×
uuur OB
的值；
②求 VAOB 的面积：
20．已知复数 z = (2 - a) + (2 + a)i ，其中 i 为虚数单位， a Î R
(1)若 z × z = 16 ，求实数 a 的值； (2)求 z - 2 的最小值，并指出 z - 2 取到最小值时实数 a 的值.
=
1 3
,
所以则两直线的夹角为a

2022黑龙江省高一下学期数学期末考试试题

高一数学试卷一．选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1.直线（为实常数）的倾斜角的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于斜率为，故倾斜角为.2.已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A. 一定是异面B. 一定是相交C. 不可能平行D. 不可能相交【答案】C【解析】分析：根据直线与直线的位置关系直接判断。

详解：空间直线存在的位置关系为异面、平行、相交。

c∥a， a、b是两条异面直线那么一定不会平行，故选C点睛：空间中直线存在的位置关系为异面、平行、相交。

3. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A. 3B. -2C. 2D. 不存在【答案】B【解析】本题考查过两点的直线斜率公式.若点，则直线的斜率为.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为故选B4.在数列中，=1，，则的值为（）A. 512B. 256C. 2048D. 1024【答案】D【解析】分析：由，所以是等比数列，所以，公比，列出通项公式求解即可。

详解：，所以是等比数列，公比，通项公式为，所以，故选D。

点睛：后一项为前一项的常数倍，那么此数列为等比数列。

5.设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )A. 9π＋42B. 36π＋18C.D.【答案】D【解析】分析：还原几何体为简单组合体，上面为一个球，下面为长方体，体积为两个体积之和。

详解：还原几何体为简单组合体，上面为一个球，下面为长方体。

球的半径为，由体积公式，长方体的体积为。

点睛: 简单组合体的体积为各体积之和。

6.设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是 ( )A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④【答案】A【解析】由题意，若，则是正确的；若，则，因为，则是正确的；若，则与可能平行、相交或异面，所以是错误的；若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两个平面之间的平行关系，所以是错误的。

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高一下学期数学科期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值为150分.考试用时120分钟.
本卷须知：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共50分) 【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
1．直线03=-y x 的倾斜角为()
A 、
6πB 、3πC 、32πD 、65π
2.向量→a 表示〝向东航行1km 〞，向量→b 表示〝向南航行1km 〞，那么向量a b +表示〔〕 A 、向东南航行2kmB 、向东南航行2kmC 、向东北航行2kmD 、向东北航行2km
3．全集U R =,集合2{2}A x y x x ==-，{2,}x B y y x R ==∈，那么A B 等于()
A 、{2}x x >
B 、{01}x x <≤
C 、}2{≥x x
D 、{0}x x <
4．等比数列}{n a 中，公比0q >，假设42=a ，那么321a a a ++的最值情况为〔〕
A 、有最小值4-
B 、有最大值4-
C 、有最小值12
D 、有最大值12
5.过点)1,0(P 与圆22(1)4x y -+=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是〔〕
A 、0=x
B 、1=y
C 、01=-+y x
D 、01=+-y x
6.假设不等式220ax bx ++<的解集为1{2x x <-或1}3x >,那么a b a -的值为(〕 A 、61B 、61-C 、65D 、6
5- 7.以下四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间)2,0(内单调递增的是〔〕
A 、=y x
B 、-=-x x y e e
C 、sin =y x x
D 、tan y x =
8.直线20-+=ax y a 与圆229+=x y 的位置关系是〔〕
A 、相离
B 、相交
C 、相切
D 、不确定
9.设→→b a ,是两个非零向量，以下选项正确的选项是〔〕
A 、假设a b a b +=-，那么→→⊥b a
B ．假设→→⊥b a ，那么a b a b +=-
C 、假设a b a b +=-，那么存在实数λ，使得→→=a b λ
D 、假设存在实数λ，使得→→=a b λ，那么a b a b +=-
10.函数()y f x =的图像如下图，在区间],[b a 上可找到(2)n n ≥个不同的数n x x x ,,,21 ，使得 n n x x f x x f x x f )()()(2211=== ，那么n 的取值范围为() A 、}3,2{B 、}4,3,2{
C 、}4,3{
D 、}5,4,3{
第二部分非选择题(共100分)
二．填空题：本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在答卷的相应位置．
11．等差数列{}n a 的前三项依次为1a -，12+a ，4a +，那么=a ．
12．两直线012=+-y x 与03=+ay x 平行，那么=a ___________．
13．从0,1,2,3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是________．
14．角)20(παα<≤的终边过)3
2cos ,32(sin
ππP ，那么α= ． 15．在锐角ABC ∆中，假设B A 2=，那么b a 的取值范围是．
16．对于定义域为D 的函数()x f ，假设存在区间[,]()M a b D a b =⊆<,使得(){}
M M x x f y y =∈=, 那么称区间M 为函数()x f 的〝等值区间〞.给出以下三个函数： ①1
()()2x f x =；②3()f x x =；③2()log 1f x x =+
那么存在〝等值区间〞的函数的个数是___________． ks5u
【三】解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．〔此题总分值10分〕
设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，1a =，2b =，1cos 4C =
〔Ⅰ〕求△ABC 的周长；
〔Ⅱ〕求()cos A C -的值．
18．〔此题总分值10分〕
圆228120+-+=C x y y ：，直线l 经过点(2,0)D -，
〔Ⅰ〕求以线段CD 为直径的圆E 的方程；
〔Ⅱ〕假设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，求直线l 的方程.
ks5u
19．〔此题总分值12分〕
向量)cos ),(sin(x x a ωωπ-=→，)1,1(=→b ，且→→⋅=b a x f )(的最小正周期为π
〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕假设)2,0(π
∈x ，解方程1)(=x f ；
〔Ⅲ〕在OAB ∆中，)2,(x A ，)5,3(-B ,且AOB ∠为锐角，求实数x 的取值范围.
ks5u
20．〔此题总分值12分〕
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千．件．
，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=〔万元〕.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=x
x x C 〔万元〕，每件．．商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. 〔Ⅰ〕写出年利润)(x L 〔万元〕关于年产量x 〔千件．．
〕的函数解析式；〔Ⅱ〕年产量为多少千件．．
时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 21．〔此题总分值14分〕
假设圆C 经过坐标原点和点)0,6(，且与直线1=y 相切,从圆C 外一点),(b a P 向该圆引切线PT , T 为切点，
〔Ⅰ〕求圆C 的方程；ks5u
〔Ⅱ〕点)2,2(-Q ，且PQ PT =，试判断点P 是否总在某一定直线l 上，假设是，求出l 的方程；假设不是，请说明理由；
〔Ⅲ〕假设〔Ⅱ〕中直线l 与x 轴的交点为F ,点N M ,是直线6=x 上两动点，且以N M ,为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论.
22．〔此题总分值12分〕
二次函数tx tx x f 2)(2
+=(0)t ≠
〔Ⅰ〕求不等式1)(>x f 的解集；
〔Ⅱ〕假设1=t ，记n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，0>n a +∈N n (〕，点)2,(11+++n n n a S S 在函数)(x f 的图像上，求n S 的表达式.。