高三数学一轮复习对数及对数函数_(12)
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。
高中三年级数学第一轮复习讲义12指数函数与对数函数
2018届高三第一轮复习讲义【12】-指数函数与对数函数一、知识梳理：1.指数函数的概念、图像和性质 （1）指数的运算性质()()()()()0,,;0,,;0,0,.m n m n nm mn nn n a a a a m n R a a a m n R a b a b a b n R ⋅⋅=>∈=>∈⋅=⋅>>∈（2）指数函数：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（3）指数函数的图像与性质【注意】（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如()f x y a =(0a >且1a ≠)函数的单调性；（2）会根据x y a = (0a >且1a ≠)的单调性求形如(),f x y ax D =∈，(),x y f a x D=∈（1）定义域：x R ∈（2）值域：(0,y ∈的值域；（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。
2．对数的概念及其运算 （1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．（2）指数式与对数式的关系：=ba N ⇔=a log Nb （>0a ，1a ≠，0N >）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化． （3）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >； ② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a NaN =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ． （4）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）；② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠） ③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）【提醒】（1）注意真数0N >，即零与负数没有对数.（2）底数满足>0a ，1a ≠ 3．对数函数：对数函数的图像与性质二、基础检测：1. 设16log 27a =, 则用a 表示6log 16=_______________.2. 函数222xxy +=的单调递增区间是_____________, 值域是____________. 3. 函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____________, 值域是____________.4. 函数20.1log (62)y x x =+-的单调递增区间是________________.5. 若2log 13a<, 则实数a 的取值范围是________________________. 6. 不等式2(21)1x a -<的解集为(,0)-∞, 则实数a 的取值范围是______________.三、例题精讲：【例1】指数函数①x y a =，②x y b =，③x y c =，④xy d =在同一坐标系内的图像如图所示，则,,,a b c d 的大小顺序是（）．A ．b a d c <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．b c a d <<< 【参考答案】A ．【例2】若不论a 取何正实数，函数12x y a +=-的图像都通过同一定点，则该点坐标是____________． 【参考答案】()1,1--【例3】不等式()2211xa -<的解集为(),0-∞，则实数a 的取值范围是．【参考答案】()(),11,-∞-+∞【例4】根据统计资料，在A 小镇，当某件信息发布后，t 小时之内听到该信息的人口是全镇人口的100(12)%kt--，其中k 是某个大于0的常数，今有某信息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该信息．又设最快要T 小时后，有99%的人口已听到该信息，则T =_______小时．（保留一位小数） 【参考答案】11．5【例5】已知22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求函数22x xy -=-的值域．解：222242122224414x x xxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭，而函数22xxy -=-在区间[]4,1-上是增函数，所以，函数22xxy -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例6】已知函数[)1423,2,x x y a x --=-⋅-∈-+∞的最小值是4-，求实数a 的值． 解：设2xu -=由于[)2,x ∈-+∞，所以(]0,4u ∈，()2124233x x y a u a a --=-⋅-=---①_x0001_(]0,4a ∈时，()()2min 34,1,f x a a =--==此时u a =，即0x =；②_x0001_当(),0a ∈-∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是增函数，()f x 无最小值； ③_x0001_当()4,a ∈+∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是减函数，()174,8a =∉+∞舍去． 综上所述，实数a 的值为1．【例7】若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：()x x f 21log 2=，()()22log 2f x x =+，232log f x =,42log (2)f x =则“同形”函数是（ ） A 1()f x 与2()f x B 2()f x 与3()f x C 2()f x 与4()f x D 1()f x 与4()f x【参考答案】C【例8】函数221()log (2)2ax f x x x -=+-+在[1,3]x ∈上恒有意义，则实数a 的取值范围是_________．【参考答案】(2)-+∞【例9】函数20.3log (2)y x x =-的单调递减区间为．解：先求定义域：由220x x ->得(2)0x x ->0x ∴<或2x >．∵函数0.3log y t =是减函数，故所求单调减区间即22t x x =-在定义域内的增区间， 又22t x x =-的对称轴为1x =，∴所求函数的单调递减区间为(2,)+∞． 【例10】已知函数2()log (01)2axf x a x+=<<-（1）试判断()f x 的奇偶性； （2）解不等式()log 3a f x x ≥． 解：（1）20222xx x+>⇒-<<-故()f x 的定义域关于原点对称， 且122()log log ()()22aa x x f x f x x x--+-===-+-∴()f x 是奇函数． （2）2()log 3log log 3.012a aa xf x x x a x+≥⇔≥<<-，故2220221(32)(1)230322xx x x x x x x x x+⎧-<<>⎧⎪⎪⎪-⇔⇔≤≤--⎨⎨+≥⎪⎪≤-⎩⎪-⎩，即原不等式的解集为2{|1}3x x ≤≤．【例11】设不等式211222(log )9(log )90x x ++≤的解集为M ，求当x M ∈时，函数22()(log )(log )28x xf x =的最大、最小值． 解：211222(log )9(log )90x x ++≤1122(2log 3)(log 3)0x x ∴++≤1233log 2x ∴-≤≤-即3333221112221111log ()log log (),()()2222x x ----≤≤∴≤≤∴8x ≤≤即{|M x x =∈又2222222()(log 1)(log 3)log 4log 3(log 2)1f x x x x x x =--=-+=--∵8x ≤≤∴23log 32x ≤≤ ∴当2log 2x =即4x =时min 1y =-；当2log 3x =，即8x =时，max 0y =． 【例12】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅，M 为震级．则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__倍．解：7050(lg lg )(lg lg )752A A A A ---=-=，即75lg 2A A =，75100AA =．【例13】已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是________．解：如图，由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =设0a b <<则lg lg 0a b +=∴1ab =∴22a b ab +>=，答案：(2,)+∞【例14】已知函数()log (01).a f x x x b a a =+->≠，且当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则．解：方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ，即函数log (23)a y x a =<<的图像与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ， 且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图像,因为当(23)x a a =<<时,1y =，此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈；当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图像上点的横坐标(5,6)x ∈．故所求的2n =．四、难题突破： 例1. 已知函数1()log 1axf x x-=+(0, 1a a >≠). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性和单调性;(2) 设函数()f x 的定义域为[,)a b , 值域为[1,)+∞, 求实数a , b 的值. (1)解: 函数的定义域为区间(1,1)-, 关于原点对称,任取(1,1)x ∈-, 111()log log log ()111a a ax x x f x f x x x x +--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭, 即()f x 是奇函数.任取12,(1,1)x x ∈-, 12x x <, 则12011x x <+<+, 故有121211221111x x x x >⇔>++++, 因此1212121122111111x x x x x x ---+>-+⇔>++++, 当01a <<时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递减, 得121211log log 11a ax x x x --<++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递增;当1a >时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递增, 得121211log log 11a ax x x x -->++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递减.(2)解: 由题意, [,)(1,1)a b ⊆-, 故11a b -<<≤, 即01a b <<<,由(1)可知()f x 在(1,1)-上单调递增, 故有11()1log 111a a af a a a a--=⇔=⇔=++, 解得1a =;当1b <时, 由单调性得1()log 1a bf x b-<+, 不合题意, 故1b =;综上有1, 1a b =.例2. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++(其中a 为实常数). (1) 若函数的定义域为, 求实数a 的取值范围; (2) 若函数的值域为, 求实数a 的取值范围.(1)解: 即不等式22(1)(1)10a x a x -+++>的解集为,当1a =时, 不等式为210x +>, 不合题意;当1a =-时, 不等式为10>恒成立, 符合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩, 解得5(,1)(,)3a ∈-∞-⋃+∞; 综上所述, 5(,1](,)3a ∈-∞-⋃+∞;(2)解: 即函数22(1)(1)1y a x a x =-+++的值域包含+,当1a =时, 函数为21y x =+, 符合题意; 当1a =-时, 函数为1y =, 不合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩, 解得5(1,]3a ∈, 综上所述, 5[1,]3a ∈.例3. 已知函数2()log ()a f x ax x =-(0, 1a a >≠)在区间[2,4]上是增函数, 求实数a 的取值范围.解: 令210(1)0(,0)(,)ax x x ax x a->⇔->⇒∈-∞⋃+∞给出,函数在[2,4]有定义, 则1122a a <⇒>, 令2t ax x =-, 其图像对称轴为直线12x a=, 当1a >时, 外层函数单调递增, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递增, 得11224a a ≤⇔≥, 结合定义域要求, 即1a >; 当01a <<时, 外层函数单调递减, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递减, 因此11428a a ≥⇒≤, 结合定义域要求, 无解; 综上所述, 1a >. 五、课堂练习：1. 函数||3x y -=的值域是____________.2. 已知01a <<, 1b <-, 则函数x y a b =+的图像不会经过第______象限.3. 函数y =_________________.4. 若()log (0, 1)a f x x a a =>≠在[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍, 则实数a 的值为_____.5. 函数lg100xy =的图像与函数10010x y =⋅的图像关于直线______________对称; 函数lg100x y =的图像与函数0.1log 100x y =的图像关于直线______________对称. 6. 函数3()log |2|f x x a =+的图像的对称轴是直线2x =, 则实数a =__________. 7. 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_____________. 8. 设223()2(1)xx f x x -+=≥, 则其反函数1()f x -=_______________________.9. 求2211()log ()log ()24f x x x =⋅, 当[2,8]x ∈时的最小值和最大值.10. 求函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--(其中p 为常数, 且1p >)的值域.11. 已知0a >, 1a ≠, 21(log )()1a a f x x a x=--, (1) 判断()f x 的定义域内的奇偶性及单调性, 并加以证明; (2) 若()40f x -<的解集为(,2)-∞, 求a 的值.12. 已知函数()lg()x x f x a b =-(其中a , b 为常数, 且01b a <<<). (1) 求函数()f x 的定义域;(2) 在函数()y f x =的图像上是否存在两个不同的点, 使得过它们的直线平行于x 轴? 若存在, 求出这样的点; 若不存在, 说明理由;(3) 当a , b 满足什么条件时, 不等式()0f x >对一切(1,)x ∈+∞都成立?六、回顾总结：1.主要方法:①指数函数、对数函数的单调性决定于底数a ，要分1a >与01a <<来分类讨论.②熟练掌握对、指数公式的使用和化简计算；2.易错、易漏点:①解决与对数函数有关的问题，要特别注意定义域(对数的底数和真数应满足的条件)；注意区别log (1)a b +与log 1a b +的区别；②不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算.七、课后作业：1．幂函数)(x f y =图像经过点)21,41(，则=)(x f ． 2．已知幂函数a x y =的图像，当10<<x 时，在直线x y =的上方，当1>x 时，在直线x y =的下方，则a 的取值范围是．3．函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =． 4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy m nk ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为．5．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） AB ． C． D ．6．已知函数|lg|)(x x f =,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．7．设函数)(x f =若)()(a f a f ->,则实数a 的取值范围是 ( )A ．（-1，0）∪（0，1）B ．（-∞，-1）∪（1,+∞）C ．（-1，0）∪（1,+∞）D ．（-∞，-1）∪（0,1）8．函数的值域为 A ． B ． C ． D ．9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（）1a >()log a f x x =[]2a a ，12a =24)+∞)+∞(3,)+∞[3,)+∞()212log log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩0,0x x ><()()2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣3lg 10x y +=lg y x =()y g x =x y e =y x =()y f x =()y g x =y ()1f m =-mA ．B ．C ．D ． 11．函数的图象大致是( )12．若在上是减函数,则的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．13．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是__________． 14．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a ． 15．已知函数),0[,)(+∞∈+⋅=x cb a x f x 的值域为)3,2[-，则)(x f 的一个可能的解析式为__________．【思考题】1．设函数()121,x f x x R -=-∈e -1e -e 1elg ||x y x=)2(log ax y a -=]1,0[a )1,0()2,0()2,1(),2(+∞（1）分别作出()y f x =和()y f x =的图像；（2）求实数a 的取值范围，使得方程()fx a =与()f x a =都有且仅有两个实数解．2.已知2()lg x f x ax b =+，(1)0f =，当0x >时，恒有1()lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.⑴求()f x 的解析式；⑵若方程()lg()f x m x =+的解集是∅，求实数m 的取值范围.3.已知函数2()log (1)f x x =-，222x t g x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ，.⑴求()y g x =的解析式；⑵若1t =，求当[2,3]x ∈时，()()g x f x -的最小值；⑶若在[2,3]x ∈时，恒有()()g x f x ≥成立，求实数t 的取值范围.。
新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)
【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
高考数学(一轮复习)最基础考点：对数函数的图象及应用
专题10 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用★★★○○○○1．对数函数的图象函数y＝log a x，a>1y＝log a x,0<a<1图象图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.3．指数函数与对数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的性质研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．比较对数式大小的三种方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(·长沙五校联考)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝1C．x1x2>1 D．0<x1x2<1[解析]构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0， 则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)， 因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)， 因为10x 2－10x 1<0， 所以lg(x 1x 2)<0， 即0<x 1x 2<1. [答案] D1. 已知a ＝log 1213，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] ∵a ＝log 1213>1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 2 13＝－log 23<0，∴a >b >c .[答案] A2. 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0，且a ≠1)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)[解析] 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3. [答案] D1．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2<x3<x1 B．x1<x3<x2C．x1<x2<x3 D．x3<x2<x1解析：选A分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2<x3<x1.2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x(a>0且a≠1)的图象可能是()3．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1解析：选D由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝log a(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝log a x的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.4．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝log a x图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，又即log a2≥1，所以1<a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第12讲 对数与对数函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理
与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步 骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成 的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为 增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数， 即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函 数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32， 此时 f(x)＝log323－32x， 当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实 数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】 由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】 要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋ －bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函 数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分 别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋ －bb，得 x＝ b(ay＋1)
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
高三复习对数函数知识点
高三复习对数函数知识点高三是每个学生都要经历的一段艰苦的时光。
对于理科生来说，高三的数学复习尤其重要，而其中一个需要掌握的关键知识点就是对数函数。
在这篇文章中，我将深入探讨高三复习对数函数的相关知识点，希望能对学生们的备考有所帮助。
一、对数函数的定义及性质对数函数是数学中的重要概念，它相当于指数运算的逆运算。
对数函数的底数是一个常数，大于1，并且对数函数的定义域是正实数集。
对数函数的定义可以表示为：如果 x = a^y，那么 y 就是以 a 为底的对数函数。
对数函数有一些重要的性质。
首先，对数函数的图像呈现出曲线状，且经过点 (1,0)。
其次，对于任意正数 a 和 b，以 a 为底的对数函数总是要比以 b 为底的对数函数更大。
再次，对数函数的值域是全体实数集。
二、对数函数的公式与变换对数函数有一些常见的公式与变换。
首先，对于以 10 为底的对数函数，我们常用 log 表示。
例如，log10(x) 就表示以 10 为底的x 的对数。
同时，我们还常使用自然对数函数ln(x)，以e 为底。
对于以其它数为底的对数函数，我们可以通过换底公式进行转换。
对数函数还可以进行一些常见的变换。
例如，平移变换可以使对数函数的图像在横轴和纵轴方向上移动。
横向平移可以表示为loga(x-h)，其中 h 表示横向平移的距离。
纵向平移可以表示为loga(x)+k，其中 k 表示纵向平移的距离。
另外，对数函数还可以进行压缩和拉伸变换，这些变换可以通过改变底数和系数进行实现。
三、对数函数的应用对数函数在现实生活中有很多应用。
其中一个常见的应用就是解决指数增长问题。
对数函数可以将指数增长转换为线性增长，从而更容易进行分析和计算。
例如，对于人口增长问题，我们可以使用对数函数来研究不同地区的人口变化趋势。
对数函数还被广泛应用于科学和工程领域。
例如，声音的强度和地震的震级都是使用对数函数进行测量和表达的。
此外，对数函数还可以用于解决复杂的计算问题，如指数方程和指数不等式。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。
高三一轮对数与对数函数
1 即 logaa ≤loga ≤logaa， 3
－1
1 即当 a>1 时，得 a ≤ ≤a，即 a≥3； 3
－1
1 1 当 0<a<1 时，得 a ≥ ≥a，得 0<a≤ . 3 3 1 0， ∪[3，＋∞)． 综上所述，a 的取值范围是 3
－1
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
1 [解析] 由函数 y＝f(x)的图象知，当 x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以 log 2 1 f(x)≤0.又函数 f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以 y＝log 2 f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选 C.
3 答案： e
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考向二 对数函数的图象与性质 [例 2] (2013 年南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝ 1 log f(x)的图象大致是( 2 )
[解析] ∵f(x)＝logax，
1 1 f －|f(2)|＝loga ＋loga2 当 0<a<1 时， 3 3
2 ＝loga >0， 3
1 1 当 a>1 时，f3 －|f(2)|＝－loga －loga2 3
对数与对数函数+课件——2025届高三数学一轮复习
①常用对数：以 05 ___1_0___为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记为 06
____lg__N_．
②
自然
对
数：
以
07
e
_______
为
底的
对
数叫
做
自然
对
数，
并
把
logeN
记为 08
____ln__N_．
2．对数的性质 (1) 09 _____负__数__和_0__没有对数； (2)loga1＝ 10 ______0_；(3)logaa＝ 11 ___1____；
20 __(_0_，__＋__∞__) ___ 21 _____R________ 当 x＝1 时，y＝0，即图象过定点 22 ___(_1_，__0_)_____
性质 当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时，y<0 当 x>1 时，y<0；当 0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是 23 ___增__函__数______ 在(0，＋∞)上是 24 __减__函__数_______
知识梳理(5分钟)
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 01 ___x____叫做以 a 为底
N 的对数，记作 x＝ 02 ___l_o_g_aN_，其中 a 叫做对数的 03 __底_数____，N 叫做 04 真__数_____．
(2)常用对数和自然对数
1．对数运算的两个重要结论 (1)logab＝log1ba(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)． (2)logambn＝mn logab(a>0，且 a≠1；b>0；m，n∈R，且 m≠0)． 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐 标为相应的底数．故 0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐 渐增大．
高三数学对数函数知识点
高三数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，也是高三数学的重点之一。
对数函数的概念与性质需要我们掌握，下面就是一些高三数学对数函数的知识点。
一、对数的定义在数学中，对数是指“以某个数为底的幂等于另一个数”的关系。
设a是一个大于0且不等于1的实数，x是一个正数，那么数b是以a为底x的对数，记作b=logₐx，当且仅当aⁿ＝x，其中a称为对数的底，x称为真数，n称为对数的指数。
二、对数的性质1. 对数的相乘性：logₐ(MN)=logₐM+logₐN。
2. 对数的相除性：logₐ(M/N)=logₐM-logₐN。
3. 对数的幂运算性：logₐ(Mⁿ)=nlogₐM。
4. 对数的换底公式：logₐM=log_bM/log_ba，其中a、b、M都是正数且a≠1，b≠1。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数：以10为底的对数，常用符号是lg。
常用对数的换底公式为lgM=log₁₀M。
2. 自然对数：以自然常数e≈2.71828为底的对数，常用符号是ln。
自然对数的换底公式为lnM=log_eM。
四、指数和对数函数的图像1. 指数函数y=aⁿ的图像特点：当a＞1时，函数的图像是递增的；当0＜a＜1时，函数的图像是递减的；当a＝1时，函数的图像是常数函数。
2. 对数函数y=logₐx的图像特点：当0＜a＜1时，函数的图像是递增的；当a＞1时，函数的图像是递减的；当a＝1时，函数的图像是y=0的一条水平直线。
五、对数函数的应用1. 指数增长与衰减：通过对数函数的性质，我们可以求解指数增长与衰减的问题。
比如，某种细菌的数量以每小时增长50%，那么经过t小时后的细菌数量可以表示为N=No·1.5^t，其中No是初始数量。
2. pH值的计算：pH值是描述溶液酸碱性的指标，可通过对数函数计算。
pH=-log₁₀[H⁺]，其中[H⁺]代表溶液中的氢离子浓度。
3. 预测模型的建立：对数函数可用于建立某些预测模型。
高考数学(对数、指数函数)第一轮复习
高考数学（指数函数和对数函数）第一轮复习资料知识点小结(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x +=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。
性质：见表2试题选讲第一节对函数的进一步认识第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－2 2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t2－k ＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t ＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t －k>1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x－1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是________．解析：函数y ＝2|x |的图象如图．当a ＝－4时，0≤b ≤4，当b ＝4时，－4≤a ≤0，答案：②10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a 的值．解：f (x )＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，∵x ∈[－1,1]，(1)当0<a <1时，a ≤a x ≤1a ，∴当a x ＝1a 时，f (x )取得最大值．∴(1a ＋1)2－2＝14，∴1a ＝3，∴a ＝13. (2)当a >1时，1a≤a x ≤a ，∴当a x ＝a 时，f (x )取得最大值．∴(a ＋1)2－2＝14，∴a ＝3.综上可知，实数a 的值为13或3.11．已知函数f (x )＝－22x －a ＋1.(1)求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称；(2)若f (x )≥－2x在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：设f (x )的图象C 上任一点为P (x ，y )，则y ＝－22x －a ＋1，P (x ，y )关于点M (a ，－1)的对称点为P ′(2a －x ，－2－y )．∴－2－y ＝－2＋22x －a ＋1＝－2·2x －a 2x －a ＋1＝－21＋2－(x －a )＝－22(2a －x )－a＋1， 说明点P ′(2a －x ，－2－y )也在函数y ＝－22x －a ＋1的图象上，由点P 的任意性知，f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称．(2)由f (x )≥－2x 得－22x －a ＋1≥－2x ，则22x －a ＋1≤2x ，化为2x －a ·2x ＋2x －2≥0，则有(2x )2＋2a ·2x －2·2a ≥0在x ≥a 上恒成立．令g (t )＝t 2＋2a ·t －2·2a ，则有g (t )≥0在t ≥2a 上恒成立．∵g (t )的对称轴在t ＝0的左侧，∴g (t )在t ≥2a上为增函数． ∴g (2a )≥0.∴(2a )2＋(2a )2－2·2a ≥0，∴2a (2a －1)≥0，则a ≥0.即实数a 的取值范围为a ≥0.12．(2008年高考江苏)若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1、p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x ).(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1、p 2表示)；(2)设a ，b 是两个实数，满足a <b ，且p 1、p 2∈(a ，b )．若f (a )＝f (b )，求证：函数f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．解：(1)f (x )＝f 1(x )恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔3|x －p 1|≤2·3|x －p 2|⇔3|x －p 1|－|x －p 2|≤2⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32.(*)若p 1＝p 2，则(*)⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|，当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2，x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2，p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1，x >p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32. 当p 1<p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2，x <p 1；2x －p 1－p 2，p 1≤x ≤p 2；p 2－p 1，x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p 1－p 2|≤log 32时，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b ])，则由f (a )＝f (b )及a <p 1<b易知p 1＝a ＋b2.再由f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3p 1－x ，x <p 1，3x －p 1，x ≥p 1，的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为b －a ＋b 2＝b －a2.②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1<p 2，则p 2－p 1>log 32.于是，当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x<3p 2－x <f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2>3log 32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图象交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32.①显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，p 1≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，a ≤x ≤x 0，f 2(x )，x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a ＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32.②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a 2.综合①、②可知，f (x )在区间[a ，b ]上单调增区间的长度之和为b －a2.第二节 对数函数A 组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f (log 43)＝________.解析：0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝ 3.答案：3 4．如图所示，若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a x －1，∴2＝a4－1，即a ＝213>1.又1x ＋1是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010)＝4，则f (2010)的值为_．解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x＝－(a log 2x＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010)－2]＝－2，即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：06．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2.∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1或x >2，－1<x <2.∴0<x <1. B 组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e.答案：1e5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0)6．(2009年高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2.答案：727．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2； 当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1； 当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0； 当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1； 当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：2 8．(2010年福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b)x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单调递增，g (x )单调递增，②正确；当b >1时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．答案：② 9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：910．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0，即(x －1k )(x －1)>0.①当0<k <1时，x <1或x >1k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k或x >1.综上可得当0<k <1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)．(2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)，∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0，又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)．11．(2010年天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x1－x>0 ，解得x ∈(－1,1)．(2)f (－x )＝log a 1－x1＋x＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)若a >1，f (x )>0，则1＋x 1－x >1，解得0<x <1；若0<a <1，f (x )>0，则0<1＋x1－x<1，解得－1<x <0.12．已知函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1(x －x －1)，其中a >0且a ≠1.(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合； (2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )，∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )是R 上的奇函数．当a >1时，a a 2－1>0，a x 是增函数，－a －x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数；当0<a <1，a a 2－1<0，a x 是减函数，－a －x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数．综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)， ∴f (x )－4<f (2)－4，要使f (x )－4的值恒为负数，只需f (2)－4≤0，即a a 2－1(a 2－a －2)－4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3， ∴a 的取值范围是2－3≤a ≤2＋3且a ≠1.第三节 幂函数与二次函数的性质A 组1．若a >1且0<b <1，则不等式a log b (x －3)>1的解集为________．解析：∵a >1,0<b <1，∴a log b (x －3)>1⇔log b (x －3)>0⇔log b (x －3)>log b 1⇔0<x －3<1⇔3<x <4.答案：{x |3<x <4}2．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y ＝x 32的是________．解析：y ＝x 32＝3x 2是偶函数，∴排除②、③，当x >1时，32xx ＝x 31>1，∴x >x 32，∴排除①.答案：④3．(2010年江苏海门质检)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．①2x >x 21>lg x ②2x >lg x >x 21 ③x 21>2x >lg x ④lg x >x 21>2x 解析：∵x ∈(0,1)，∴2>2x>1,0<x 21<1，lg x <0.答案：① 4．(2010年东北三省模拟)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝__________.解析：先画出f (x )＝4x －x 2的图象，再将x 轴下方的图象翻转到x 轴的上方，如图，y ＝a 过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a 的值为4.答案：45．(原创题)方程x 12＝log sin1x 的实根个数是__________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y 1＝x 21 和y 2＝log sin1x 的图象，可知只有惟一一个交点．答案：16．(2009年高考江苏卷)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0.由a 2≥1知a ≤－1.因此，a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)记f (x )的最小值为g (a )．则有f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a 23，x >a ， ①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ， ②(ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2.(ⅱ)当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上，得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2， a ≥0，2a 23， a <0.(3)(ⅰ)当a ∈(－∞，－62]∪[22，＋∞)时，解集为(a ，＋∞)； (ⅱ)当a ∈[－22，22)时，解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)；(ⅲ)当a ∈(－62，－22)时，解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)．B 组1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．解析：设幂函数为y ＝x α，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3＝27，∴x ＝13.答案：132．(2010年安徽蚌埠质检)α则不等式f (|x |)≤2的解集是解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.∴(|x |)12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案：{x |－4≤x ≤4}3．(2010年广东江门质检)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .当k ＝1时，F (x )的值域为__________．解析：当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与幂函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以k ＝1时，F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为__________．解析：由f (－4)＝f (0)，得b ＝4.又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x >0.答案：{x |－3≤x ≤－1或x >0}5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，的图象如图． 知f (x )在R 上为增函数． ∵f (2－a 2)>f (a )，即2－a 2>a . 解得－2<a <1.答案：－2<a <16．(2009年高考江西卷改编)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为__________．解析：由题意定义域D 为不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集．∵ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b24a ，∵a <0，∴0≤y ≤ 4ac －b 24a，∴所有点(s ，f (t ))，(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，意味着方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2应满足|x 1－x 2|＝ 4ac －b 24a，由根与系数的关系知4ac －b 24a ＝b 2a 2－4c a ＝b 2－4aca 2，∴4a ＝－a 2.∵a <0，∴a ＝－4.答案：－47．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f (0)＝－2f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为__________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又f (－1)＝－12，∴－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12.当x >0时，g (x )＝－2＋2x ＝0，∴x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋12x ＋1＋x ＝0，∴x 2－32x －1＝0，∴x ＝2(舍)或x ＝－12，所以有两个零点．答案：28．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实根；③f (x )的图象关于(0，c )对称；④方程f (x )＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________．解析：c ＝0时，f (－x )＝－x |－x |＋b (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，故f (x )是奇函数；b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ＝0，∴x ≥0时，x 2＋c ＝0无解，x <0时，f (x )＝－x 2＋c ＝0，∴x ＝－c ，有一个实数根．答案：①②③9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a ，b ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对于区间[a ，b ]中的任意数x 均有|f (x )－g (x )|≤1，则称函数f (x )与g (x )在区间[a ，b ]上是密切函数，[a ，b ]称为密切区间．若m (x )＝x 2－3x ＋4与n (x )＝2x －3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]解析：|m (x )－n (x )|≤1⇒|x 2－5x ＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x ≤3，故在区间[2,3]上|m (x )－n (x )|的值域为[0,1]，∴|m (x )－n (x )|≤1在[2,3]上恒成立．答案：③10．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)，f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3<c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．解：(1)证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋12.又c <b <1，故c <－c ＋12<1⇒－3<c <－13.方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12知b ≥0.(2)f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0， ∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0， ∴f (m －4)的符号为正．11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ (－b a )2－4(－32－b a )＝(b a ＋2)2＋2.∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R )，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；(2)若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.解：(1)由f (x )＝x 得ax 2＋3x ＋b ＝0(a <0，a 、b ∈R )有两个不等实根为α、β，∴Δ＝9－4ab >0，α＋β＝－3a ，α·β＝ba.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，即(α＋β)2－4αβ＝9a 2－4ba＝1，∴9－4ab ＝a 2，即a 2＋4ab ＝9(a <0，a 、b ∈R )．(2)由(1)得a (a ＋4b )＝9，∵a 、b 均为负整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1a ＋4b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－9a ＋4b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，a ＋4b ＝－3，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ＋4b ＝－9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故所求函数解析式为f (x )＝－x 2＋4x －2.(3)证明：由已知得x 1＋x 2＝－4a ，x 1·x 2＝b a ，又由α<1<β<2得α＋β＝－3a <3，α·β＝ba<2，∴－1a <1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1·x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b a －4a ＋1<2＋4＋1＝7，即(x 1＋1)(x 2＋1)<7.第四节 函数的图像特征A 组1．命题甲：已知函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称．命题乙：函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________．解析：可举实例说明如f (x )＝2x ，依次作出函数f (1＋x )与函数f (1－x )的图象判断．答案：甲2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y ＝x |x |·a x(a >1)的图象的基本形状是_____．解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax (x >0)－ax (x <0)，由指数函数图象易知①正确．答案：①3．已知函数f (x )＝(15)x －log 3x ，若x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为__________(正负情况)．解析：分别作y ＝(15)x 与y ＝log 3x 的图象，如图可知，当0<x 1<x 0时，(15)x1>log 3x 1，∴f (x 1)>0.答案：正值4．(2009年高考安徽卷改编)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是_____．解析：∵x >b 时，y >0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③5．(原创题)已知当x ≥0时，函数y ＝x 2与函数y ＝2x 的图象如图所示，则当x ≤0时，不等式2x ·x 2≥1的解集是__________．解析：在2x ·x 2≥1中，令x ＝－t ，由x ≤0得t ≥0， ∴2－t ·(－t )2≥1，即t 2≥2t ，由所给图象得2≤t ≤4， ∴2≤－x ≤4，解得－4≤x ≤－2. 答案：－4≤x ≤－26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧．(2,5]∈，3－，1,2]－[∈，－32x x x x(1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．,(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．B 组 1.(2010年合肥市高三质检)函数f (x )＝ln 1－x1＋x的图象只可能是__________．解析：本题中f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，从而排除②③选项．又由于u (x )＝－1＋21＋x在定义域{x |－1<x <1}内是减函数，而g (x )＝ln x 在定义域(0，＋∞)内是增函数，从而f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln(－1＋21＋x )在定义域{x |－1<x <1}是减函数． 答案：①2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是解析：运输效率是运输总量Q 与时间t 的函数的导数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确．答案：②3．如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B作y 轴的垂线交函数y ＝4x的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是__________．解析：设C (a,4a )，所以A (a,2a )，B (2a,4a )，又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a 2a，故4a ＝2×2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．答案：(1,2)4．已知函数f (x )＝4－x 2，g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数y ＝f (x )·g (x )的大致图象为__________．解析：f (x )为偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )·g (x )为奇函数，图象关于原点对称，当x →＋∞时，f (x )→－∞，g (x )→＋∞，所以f (x )·g (x )→－∞答案：②5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q 1(吨)，加油机加油箱内余油Q 2(吨)，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与时间t 的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________.解析：加油时间10分钟，Q 1由30减小为0.Q 2由40增加到69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用 6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为__________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数y ＝f (x )为周期为2的周期函数，作图． 答案：67．函数y ＝x mn (m ，n ∈Z ，m ≠0，|m |，|n |互质)图象如图所示，则下列结论正确的是__________．①mn >0，m ，n 均为奇数②mn <0，m ，n 一奇一偶 ③mn <0，m ，n 均为奇数 ④mn >0，m ，n 一奇一偶解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证mn<0，即mn <0，有y ＝x m n ＝x －|m ||n |；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n |定为偶数，n 即为偶数，由于两个数互质，则m 定为奇数．答案：②8．(2009年高考福建卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是①y ＝x 2＋1②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <0解析：∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．答案：③9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，且图象C ′关于点(2，－3)对称，则a 的值为__________．解析：∵C ′与C ：y (x ＋a ＋1)＝ax ＋a 2＋1关于直线y ＝x 对称，∴C ′为x (y ＋a ＋1)＝ay ＋a 2＋1.整理得，y ＋1＋a ＝1－ax －a.∵C ′关于点(2，－3)对称，∴a ＝2.答案：2 10．作下列函数的图象：(1)y ＝1|x |－1；(2)y ＝|x －2|(x ＋1)；(3)y ＝1－|x ||1－x |；(4)y ＝|log 2x －1|；(5)y ＝2|x －1|.解：(1)定义域{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为y ＝⎩⎨⎧(x －12)2－94 (x ≥2)，－(x －12)2＋94(x <2).其图象如图①所示．(3)函数式化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x (x <0)，1 (0≤x <1)，－1 (x >1).其图象如图②所示．(4)先作出y ＝log2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log2x －1|的图象，如图③所示．(5)先作出y ＝2x的图象，再将其图象在y 轴左边的部分去掉，并作出y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝2|x |的图象，再将y ＝2|x |的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x －1|的图象，如图④所示．11．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a.,f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a .∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称．(2)由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.12．设函数f (x )＝x ＋b ax －1(x ∈R ，且a ≠0，x ≠1a )．(1)若a ＝12，b ＝－32，指出f (x )与g (x )＝1x 的图象变换关系以及函数f (x )的图象的对称中心；(2)证明：若ab ＋1≠0，则f (x )的图象必关于直线y ＝x 对称．解：(1)a ＝12，b ＝－32，f (x )＝x －3212x －1＝2x －3x －2＝2＋1x －2，∴f (x )的图象可由g (x )的图象沿x 轴右移2个单位，再沿y 轴上移2个单位得到，f (x )的图象的对称中心为点(2,2)．(2)证明：设P (x 0，y 0)为f (x )图象上任一点，则y 0＝x 0＋bax 0－1，P (x 0，y 0)关于y ＝x 的对称点为P ′(y 0，x 0)．由y 0＝x 0＋b ax 0－1得x 0＝y 0＋bay 0－1.∴P ′(y 0，x 0)也在f (x )的图象上．故f (x )的图象关于直线y ＝x 对称.。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 对数与对数函数(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题⎝⎭．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，cos1x<<，则ln(cos)0x<.故选A．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数()|f x=令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（A ．12B ．14【答案】C【分析】求出A ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果【详解】令11x -=，即2x =，得则21m n +=且0m >，0n >，由222122m n mn mn +≥⇒≥当且仅当14m =，12n =时，等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最41+．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在结合函数图象的走势，排除【详解】()22ln 41x x x f x =+变形为，定义域为()(,00,∞-U )()22ln ln 2222x x x x x x ----==++为偶函数，关于y 轴对称．1x <<时，()0f x <，，排除BC ，→+∞时，()0f x →，故排除故选：A ．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，21log 62b =，12c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．b a c >>B ．c b a >>D ．【答案】A二、多选题当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得当1a ≥时，函数()lg f x x =在[a 由图可知，函数()πsin2x g x =在所以11lg 2a a M m a -=-=，解得结合选项，实数a 可以是13和10故选：BD.三、填空题15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，故答案为：10.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1log 2(0a y x a =+->且1)a ≠的图像恒过定点P ，且点P 在圆220x y mx m +++=外，则符合条件的整数m 的取值可以为__________.（写出一个值即可）【答案】5（不唯一，取4m >的整数即可）【分析】先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.【详解】因为函数()1log 2a y x =+-的图像恒过定点()1,1，所以()1,1P ；因为点P 在圆220x y mx m +++=外，所以22110m m +++>且240m m ->，解得10m -<<或4m >；又m 为整数，所以m 的取值可以为5,6,7, .故答案为：5（不唯一，取4m >的整数即可）.【B组在综合中考查能力】一、单选题A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为二、多选题三、填空题四、解答题【C组在创新中考查思维】一、解答题二、单选题则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+故当()1f x =时，方程()g x =所以，要使函数()()2g x f x =+所以，关于t 方程22t at b ++=所以，由韦达定理得1,a b =-=故选：B【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于1,0a b =-=.三、多选题5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数列说法正确的是（）四、填空题由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线π1tan tan tan()41tan k θαθθ+==+=-设切点A 的横坐标为1x ，切点e mx y m '=，所以1e 2mx AD k m ==。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．【考点】复合函数的单调性．2.已知函数为奇函数则实数的值为【答案】1【解析】由奇函数得：，，，因为，所以【考点】奇函数3.计算．【答案】2【解析】【考点】对数式的运算.4.已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D.【考点】对数函数的图象和性质.5.设且.若对恒成立,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时显然不成立.当时，结合图象可知：.【考点】对数函数与三角函数.6.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.7. (1)解方程：(2)已知命题命题且命题是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解对数方程，一般把利用对数的运算法则把对数方程变形为，转化为代数方程，但解题过程中要注意对数函数的定义域，即，；（2）这类问题的解决，首先要把两个命题化简，本题中命题化为：，命题是命题的必要条件，说明由命题成立可推导出命题也成立，若把命题成立时的变量的集合分别记为，从集合角度，即有，由此我们可得出关于的不等关系，从而求出的取值范围. 试题解析：（1）解：由原方程化简得，即：所以，，解得.（2）解：由于命题是的必要条件，所以，所以.【考点】（1）对数方程；（2）充分与必要条件.8.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．9.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．10.设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．【答案】a＞c＞b【解析】本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2, 11.已知函数f(x)=|log2则m+n等于()A．-1B．C．1D．2【答案】B【解析】由函数f(x)=|log2x|的图象知,当m<n且f(m)=f(n),得mn=1,且0<m<1<n.∴0<m2<m<1<n.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,∴|log2m2|=2,∴m=,n=2,∴m+n=.12.设则a，b，c的大小关系为A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.13.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，∀x1≥0，∀x2≥0，若x1≠x2，则＜0.如果f＝，4f()＞3，那么x的取值范围为()A．B．C．∪(2，＋∞)D．∪【答案】B【解析】依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f()＞3等价于f()>，f(||)＞f，||＜，即－＜＜，由此解得＜x＜2，故选B.14.计算:lg-lg+lg7=.【答案】【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.15.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．16.设，则之间的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．【考点】1.对数函数;2.幂函数的单调性17.使不等式（其中）成立的的取值范围是．【答案】【解析】即，而，所以，，答案为.【考点】对数函数及其性质18.已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，因为且，所以.【考点】对数的运算.19.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为．【答案】．【解析】由题意函数的值域为，，则，当即时，，；当即时，，，．【考点】对数函数的值域.20.设，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】对数比较大小21.函数，其中满足且∥，则_________。
高三 一轮复习 对数及对数函数 教案
对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负当x >1时，y >0； 当0<x <1，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >04．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试]1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．考点一对数式的化简与求值计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245[类题通法]对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数的图像及应用[典例] (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[类题通法]应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [针对训练]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[类题通法]求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． [针对训练]已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．[课堂练通考点]1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.2．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是________．。
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围．
[分析] 定义域为自变量x的取值范围，值域为对应函 数值的集合，单调区间为定义域的子区间．
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[解] 设 u＝g(x)＝x2－2a ＋3 x ＝(x－a)2＋3－a2. )( ∵u＞0 对 x∈R 恒成立， 1 ∴uim ＝3－a2＞0， n ∴－ 3＜a＜ 3(或由 x2－2a ＋3＞0 的解集为 R 得 Δ＝ x 4a2－1 ＜0 求出－ 3＜a＜ 3)． 2 )( ∵f(x)的值域为 R， 2 ∴Δ＝4a2－1 ≥0，即 a≥ 3或 a≤－ 3. 2 ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．
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[规律总结]
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数
或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底
和指数与对数互化．
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒 等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.
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对数函数 图 象
x＞0时，y∈R 当x＝1时， y＝0 性 在(0，＋∞)上是增函数； 质 当x＞1时，y∈(0，＋∞)； 在(0，＋∞)上是减函数；当x＞ (－∞，0) ；当0＜x 1时，y∈ 当0＜x＜1时， (0，＋∞) ＜1时，y∈ . (－∞，0) y∈ .
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∴f(x)在(0,1)上是减函数． 又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上也是减函数．
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备选例题 4
已函 知数
x＋b f(x)＝l a g o (a＞0，b＞0 且 x－b
a≠1)． )( 求 f(x)的定义域； 1 )( 讨论 f(x)的奇偶性； 2 )( 判断 f(x)的单调性并证明； 3 － )( 求 f(x)的反函数 f 1(x)． 4
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1＋x2 1＋x1 1 1 ＝( － )＋( 2 g o l －l 2 g o ) x1 x2 1－x2 1－x1 x2－x1 (1＋x2)(1－x1) ＝ ＋l 2 g o x1x2 (1－x2)(1＋x1) x2－x1 1＋(x2－x1)－x1x2 ＝ ＋l 2 g o . x1x2 1－(x2－x1)－x1x2 ∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0， 1＋(x2－x1)－x1x2 1＋(x2－x1)－x1x2 ＝ . 1－(x2－x1)－x1x2 (1＋x1)(1－x2) ∵(1＋x1)(1－x2)＞0，∴1－(x2－x1)－x1x2＞0. 又∵1＋(x2－x1)－x1x2＞1－(x2－x1)－x1x2， 1＋(x2－x1)－x1x2 ∴ ＞1， 1－(x2－x1)－x1x2 ∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)．
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题型三
对数函数的图象与性质 ①对数函数的图象 思维提示 ②对数函数的定义域、值域及单调性 例3 已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过 这两点的直线平行于x轴； (3)当a、b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正 值．
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x＋b 解：( 由 ) 1 ＞0，得 f(x)的义为 定域 (－∞， b)∪(b， － x－b ＋∞)． －x＋b x＋b －1 )( ∵f(－x)＝l a 2 g o ＝l a( g o ) ＝ f(x)． － －x－b x－b 又函定域于点称 知数义关原对 ， ∴f(x)是函 奇数 ． )( 对 x1，x2∈(b， ∞)， 3 于 ＋ 任 b＜x1＜x2， 取 x1＋b x2＋b 2b(x2－x1) 则 － ＝ . x1－b x2－b (x1－b)(x2－b) ∵x1－b＞0，x2－b＞0，b＞0，x2－x1＞0， x1＋b x2＋b ∴ ＞ ＞0， x1－b x2－b
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1．解决对数函数问题必须注意底数的取值情 况(是大于1还是大于零小于1)，如果底数的取 值不确定，必须对底数分大于1或大于零小于1 两种情况分类讨论．
2．比较两个对数值的大小是一类很容易做错的问
题．解决这类问题首先要分清是底数相同还是真数相同，如 果底数相同，可利用对数函数的单调性；如果真数相同，可 利用图象；如果底数和真数均不相同，可利用中间值(一般是 0和1)比较大小.
x x
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故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直 线平行于x轴． (3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞ f(1)．
这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，
即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
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(4)命题等价于x2－2ax＋3＞0的解集为 {x|x＜1或x＞3}． ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3，即a＝2.
(5)∵y＝f(x)≤－1，∴u＝g(x)值域为[2，＋∞)．
∴3－a2＝2，即a＝±1.
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1.对数式
(1)对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，也
loga 作 就 是 ab ＝ N ， 那 么 ， 数 b 叫 做 以 a 为 底 数 N 的 对 数 ， 记N ＝b 的 ． 没有 由对数的定义可以直接得到对数的几个性质： 0 ①零和负数 ②loga1＝ 1 ③logaa＝ ⑤logaam＝ ，其中a叫做对数的 底数 ，N叫做对数 真数
②loga ＝ logaM－logaN ③logaMp＝ plogaM
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2．对数函数 (1)对数函数的概念 函数 y＝logax(a＞0，a≠1) 叫做对数函数，其中x是 ． 自变量，函数的定义域是 (0，＋∞)
(2)对数函数的图象和性质
①对数函数的图象和画法． ②对数函数的图象和性质．
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)( 由 f(x)在[－1，＋∞)上有意义， 3 知 u＝x2－2ax＋3＞0 对 x∈[－1，＋∞)恒成立． ∵g(x)的对称轴为 x＝a， ∴当 a＜－1
a＜－1 时，g(－1)＞0，即 2a＋4＞0
，
解得－2＜a＜－1. 当 a≥－1 时，Δ＜0，即－ 3＜a＜ 3， ∴－1≤a＜ 3. 故所求 a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1， 3)， 即(－2， 3)．
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[规律总结]
解决对数函数问题，首先要看函数的定义
域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用
定义，也可利用复合函数单调性的判断，也可以利用导数解
决．对于恒成立问题注意等价转化思想的应用.
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x≠0 [解] (1)由1＋x ⇒－1＜x＜1 且 x≠0. 1－x＞0 ∴函的义为 数定域 (－1,0)∪(0,1)． )( ∵f(x)的义关原对 2 定域于点称 ， 1－x 1－x 1 1 f(－x)＝ －l 2 g o ＝ ( ＋l 2 － g o ) x －x 1＋x 1＋x 1＋x 1 ＝ ( －l 2 － g o )＝ f(x)． － x 1－x ∴f(x)是函 奇数 ． 设 0＜x1＜x2＜1，则 1＋x1 1 1＋x2 1 f(x1)－f(x2)＝ －l 2 g o －( －l 2 g o ) x1 1－x1 x2 1－x2
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ax [解] )( 由 a －b ＞0 得( ) ＞1， 1 b a 且 a＞1＞b＞0，得 ＞1，所以 x＞0， b 即 f(x)的定义域为(0，＋∞)． )( 任取 x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0， 2 则 ax1＞ax2，bx1＜bx2， 所以 ax1－bx1＞ax2－bx2＞0， 即(l ax1－bx1)＞l ax2－bx2)，故 f(x1)＞f(x2)． g ( g 所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 假设函数 y＝f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，使直线平行于 x 轴，则 x1≠x2，y1＝y2，这与 f(x) 是增函数矛盾．
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题型一 思维提示
对数的运算 ①对数的定义 ②对数的运算性质
例 1 计算：(1)log2＋ 3(2－ 3)； (2)2(lg 2)2＋lg 2· lg5＋ (lg 2)2－lg2＋1； 1 32 4 (3) lg － lg 8＋lg 245. 2 49 3
，解答下列
例2 对于函数 问题：
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范 围；
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(4)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (5)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (6)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范