最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
人教版高中选修2-3《正态分布》教案
人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。
2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。
二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。
2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。
三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。
2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。
3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。
2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。
2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。
3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。
3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。
2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。
四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。
2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。
人教课标版高中数学选修2-3典型例题：正态分布
正态分布1．正态曲线及其性质对于正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
2．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。
由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。
对于抽像函数)()(00x x p x <=-Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N （0，1）、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。
再由N （0，1）的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
3．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。
这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体),(2σμN 转化成标准的正态总体N （0，1）进行研究。
人们经过探究发现：对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。
对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。
这表明，对等式)()(σμ-Φ=x x F 的来由不作要求，只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。
4．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)
正态曲线的由来
某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一 批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43
1 σ 2π
第二十四页，共43页。
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx
a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积
随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间
越大，即X集中在 周围概率越大。
( 的a概, 率 a]
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2以 外取值的概率只有4.6％，在 3 , 以 3外 取值
的概率只有0.3 ％。 称(这 些由3当情于,a况这发些33生概)时之为率正内小值态,很概其总小率他体（事区的一件间取般。取值不值几超几乎过乎总5不％取可值）能于，.区 在通实常间 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
特别地有
x=μ P( X ) 0.6826,
P( 2 X 2 ) 0.9544,
P( 3 X 3 ) 0.9974.
-a
+a
第二十五页，共43页。
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
0.9；974
数学：2.4《正态分布》课件(新人教A版选修2-3)
P(µ − σ < X ≤ µ + σ) = 0.6826, P(µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ) = 0.9544, P(µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ) = 0.9974,
µ−a µ µ+a
2 上述结果可用图 .4 − 7表示
68.26% 95.44%
图2 . 4 − 6
99.74%
,很多随机变量都服从或 近似地服从正 在现实生活中 . ;某一地区同年龄人群的 态分布例如长度测量误差 身 ;一定条件下生长的小麦 的株高、 体重、 的株高、 高、体重、肺活量等 穗长、 ;正常生产条件下各种产 (如 穗长、单位面积产量等 品 器的电容量、 零件的尺寸、 的纤度、 器的电容量、电子 零件的尺寸、纤维 的纤度、电容 ); 气温、 管的使用寿命等 某地每年七月份的平均 气温、平均 湿度、 .一般都服从正态分布 . 湿度、降雨量等
∫
b
a
φ µ,σ (x )dx,
( 则称 X的分布为 正态分布 normal distributi on ).正 态分布完全由参数 µ和 σ (∗ ) 确定,因此正态分布常 记作 N(µ, σ 2 ).如果随机变量 X服从正态分布 , 则记 为 X ~ N(µ, σ 2 ).
(∗)参数µ是反映随机变量取值水 , 平的特征数可以
y
思考 观 察 图2.4 − 4,结 x o 合 φµ,σ (x) 的 图2.4 − 4 解析式及概 可以发现,正态曲线有如下特点 : 正态曲线有如下特点 , 率的性质你 (1)曲线位于 x轴上方, 与x轴不相交; 能说说正态 (2)曲线是单峰的,它关于直线x = µ 曲线的特点 对称; 吗?
(3 )曲线在 x = µ处达到峰值 ; (4 )曲线与 x轴之间的面积为 1.
《正态分布》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.4课时)
第2章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
你见过高尔顿板吗？ 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为 通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层 层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
B. μ1<μ2, 1> 2 D. μ1>μ2, 1> 2
解析：由正态分布性质知，x=μ为正态密度函数图像的对 称轴，故μ1<μ2，又 越小，图像越瘦高，故 1< 2.
课堂练习
B 2. 设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X>c+1)=P(X<c-1)，则c等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
课前导入
下图就是一块高尔顿板示意图
球 球槽
课前导入
如果把球槽编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着试验次 数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各个球槽内 的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.
这节课我们就学习——正态分布
新知探究
A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形
C．球的正投影一定是圆
D．圆锥的正投影一定是三角形
【答案】C 【详解】 A. 三角形的正投影不一定是三角形，错误 C. 球的正投影一定是圆，正确 故选C.
B. 长方体的正投影不一定是长方形，错误 D. 圆锥的正投影不一定是三角形，错误
人教版选修2-3《正态分布》教案
“博古通今”
师：幻灯展示正态分布定义。
生：朗读定义。
师：结合实例对定义做出解释。
生：展示课前搜集并整理的有关正态分布的历史资料，并进行讲解。
生：小组讨论，而后由学生代表展示研讨成果，并由其他小组补充完善。
师：总结学生发言并板书，给出标准正态分布。
通过小组的合作探究，让学生的思维得以碰撞，在养成分析总结的习惯的同时，也体会到解决问题的快乐，感受到与他人合作交流的重要性。
“天生我学必有用”
师：回顾引例中身高的正态分布曲线，引导学生分析其实际意义及应用。另举一例：“两次标准化考试的数学成绩的概率密度曲线图，且两次成绩都服从正态分布”，引导学生对比分析。
生答
师：回顾“钢管尺寸”的实际例子，给出正态分布的原则，并作出解释。
回归到实际生活之中，通过对几个实际问题的分析与解决，让学生充分体会“数学源于生活，而又服务于生活”。
“喜庆丰收”
师：以上就是我们今天的内容，哪位同学愿意与大家分享自己在本节课的收获？
生：（小结）
课堂小结由学生来完成，让学生自己归纳、总结本节课内容，不仅利于学生对知识的系统理解，也让学生学会反思，更为他们提供了更多的展示自我的机会。
教材分析
正态分布是人教A版选修2—3第二章第四节的内容，在这之前学生已经学习了离散型随机变量，正态分布的随机变量是连续型随机变量，因此正态分布既是对前面内容的一种补充，也是必修三第二章概率知识的后续。
教学目标
1.知识目标：理解并掌握正态分布和正态曲线的概念及性质，能简单应用。
人教版高二数学选修2-3第二章第4节《正态分布及小结》教案
2.4.1正态分布【教学目标】1. 了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。
2. 了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。
【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】一、 设置情境，引入新课 这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。
问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？ 问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？ 问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？ 二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：22()2,(),(,),x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσϕ的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？ 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,(<X (),baP a b x dx μσϕ≤=⎰）则称X 的分布为正态分布，记作2N μσ（，），如果随机变量X 服从正态分布，则记为2XN μσ（，）。
问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？问题7.结合()x μσϕ，的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1） 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2） 曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3） 曲线在x μ=（4） 曲线与x 轴之间的面积为1；（5） 当σ一定时，曲线随着μ德变化而沿x 轴平移；（6） 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
人教版数学选修2-3正态分布公开课教学课件共42张PPT
通过本堂课的学习我收获了…
正态分布
正态分布形似钟， 概率计算积分型； 左右位置 定， 高矮胖瘦方差控； 胖大瘦小有规律， 面积始终都是一； 3σ原则作用大， 工业生产需要它。
y
O
x
若 固定, 随 值的变化图象 而沿 轴平移, 故称 为位置 参数；
3
2
μ=0
正态曲线的特点
=0.5
若 固定: 越大,曲线越“矮胖”；
越小, 曲线越“瘦高”, 故称 为形状参数.
=1
=2
(1) 曲线在x轴的上方,与x轴不相交； (2) 曲线是单峰的，它关于直线 x=μ对称； (3) 曲线在x=μ 处达到峰值 ； (4) 曲线与 x 轴之间的面积为1; (5) 当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着
人教版数学选修2-3正态 分布公开课教学课件共
42张PPT
2020/8/27
撞钟
泰山
麦积山
大桥
玉带桥
向日葵
蘑菇
牵牛花
成都万人齐跳小苹果
成都万人齐跳小苹果
成都万人齐跳小苹果
频率
面积等于频率
组距
面积之和等于1
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
o
1
2
3
4
5
一定条件下生长的向日葵的单位面积的产量
一定条件下生长的小麦穗长
正态曲线的特点
y
(1) 曲线位于 轴上方，与 轴不相交； (2) 曲线是单峰的,它关于直线 对称； (3) 曲线在 处达到峰值 ； (4) 曲O线与 轴之间的面积为1. x
概率的性质
σ=0.5
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为φu ,σ(x)=222)(21σπσu x e --，x ∈(-∞,+∞)其中实数u 和σ（σ＞0）为参数.我们称φu ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.要点提示 高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)=⎰ba dx x )(,σμϕ，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N(μ,σ2).参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.热点聚焦 正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值πσ21；（4）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线；特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3）：说明函数x=μ时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-∞，＋∞）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，σ变化时总体分布的集中、离散程度.知识拓展 若标准正态分布N （0，1）总体取值小于x 0的概率用φ(x 0)表示，即φ(x 0)=P(x<x 0),则φ(x 0)+φ(-x 0)=1;对一般正态总体N （μ,σ2）来说，可通过线性代换y=σμ-x 转化为标准正态总体N （0，1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ-a,μ+a ］上的概率若X —N （μ,σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P(μ-a<X≤μ+a)=⎰+-αμαμσμϕdx x )(,为直线x=μ-a,x=μ+a 与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积.对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(μ-a,μ+a ］的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分⎰+-αμαμσμϕdx x )(,计算得到. 深化升华 几个特殊结论：P(μ-a<X≤μ+a)=0.682 6，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0.954 4,P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.997 4.2.3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间(μ-3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X 只取(μ-3a,μ+3a)之间的值，并简称之为3σ原则.深化升华 从理论上可以证明，正态变量在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-∞,+∞）内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则.问题·探究问题 1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X 服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路:由X 服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7 (2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格.探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N （μ,σ2）;二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a ∈(μ-3σ,μ+3σ)，则接受统计假设，如果a (μ-3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P(ξ<1.8)=___________;(2)P(-1<ξ<1.5)=___________;(3)P(ξ>-1.5)=___________;(4)P(|ξ|<2)=___________.思路分析： 由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(ξ<1.8)=φ(1.8)=0.964 1;（2）P(-1<ξ<1.5)=φ(1.5)-φ(-1)=0.993 2-1+φ(1)=0.993 2-1+0.841 3=0.774 5;(3)P(ξ>-1.5)=1-P(ξ≤-1.5)=1-φ(-1.5)=φ(1.5)=0.993 2;(4)P(|ξ|<2)=φ(2)-φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4.方法归纳 利用公式φ(x)=1-φ(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x 0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P （X<x ）=φ(σμ-x )可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握.例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002).现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线.思路分析： 这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解：设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率，即P(ξ≥μ)=2500010000=0.4， 因为ξ—N(500,1002)，所以P(ξ≥μ)=P(100500100500-≥-μξ=1-p(100500100500-<-μξ) =1-φ(100500-μ). 于是有φ(100500-μ)=1-P(ξ≥μ)=1-0.4=0.6. 从标准正态分布表中查得φ(0.25)=0.598 7≈0.6，故φ(100500-μ)≈0.6， 即μ≈525.由此可以估计录取分数线为525分.方法归纳 本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型.例3正态总体N （0，1）的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x ∈R .（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；（2）求ｆ（ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析： 对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.解：（1）对于任意的x ∈R ,f(-x)=2)(221x e --π=2221x e -πf(x).所以ｆ（ｘ）是偶函数；（2）令z=22x ,当ｘ=0时，z=0,e x =1, ∵e x 是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,e x >1，∴当ｘ=0，即ｚ=0时，22x e =e x 取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21（3）任取x 1<0,x 2<0,且x 1<x 2,有x 12>x 22, ∴2222212221,2x x e e x x x --<-<- 所以2222212121x x e e --<ππ,即f(x 1)<f(x 2).这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x 1>0,x 2>0,且x 1<x 2，有f （x 1）>f(x 2)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.拓展延伸 已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析： 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称， μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于ｘ=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1深化升华 通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用. 例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析： 正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-3×0.05，27.45+3×0.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说.解：有两个零件不符合落在区间（27.45-3×0.05，27.453×0.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的.深化升华 本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
新人教版A版选修2-3 高中数学正态分布
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％ ）， ( m 3 , m 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
7 11 15 25 20 12 6 2
0.02
0.07 0.11 0.15 0.25 0.20 0.12 0.06 0.02
0.004
0.014 0.022 0.030 0.050 0.040 0.024 0.120 0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y 频率/组距
－ － － － － －
=2
（6）当 m 一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散 越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中
0
三、特殊区间的概率及3 原则:
P( m X m ) 0.6826, P( m 2 X m 2 ) 0.9544, P( m 3 X m 3 ) 0.9974.
1 4、曲线与x轴之间的面积为 _______ .
m 取不同值的正态曲线图示 固定 的值，
m 1 m 0
m 1
0.5
均值 m 决 定正态曲 线的位置
5当
m 的变化而沿x 轴平移 一定时，曲线随着
-1
0
1
取不同值的正态曲线图示 固定 m 的值，
=0.5
μ=0
=1
标准差 决定正态曲 线的“体型”
高中数学选修2-3：第八讲 正态分布 含解析 精品
第八讲 正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=； （4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三 ：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”， 由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定 解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________． 【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________． 【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=． 又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=， 所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。
人教版高中数学选修2-3-正态分布公开课课件
某种产品的寿命（使用时间）是一个随机变量X， 它可以取大于等于0的所有数值.怎样描述这样 的随机变量的分布情况呢？
设x表示产品的寿命（单位：h），如果我们对该产品 有如下的了解： 寿命小于500 h的概率为0.71， 寿命在500～800 h之间的概率为0.22， 寿命在800 ～1000 h之间的概率为0.07， 这样我们可以画出大致的图像（见教材）图像比较简单， 例如它没有告诉我们寿命在200 ～ 400 h之间的概率， 如果我们想了解更多，图中的区间会分的更细，为了完 全了解产品的寿命的分布情况，需要将区间无限细分，最 总我们会得到一条曲线（如下页图所示），这条曲线称为 随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的 分布密度函数.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当 x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞） 时f (x)为减函数. 正态曲线
正态密O μ一定
ｘ
均值m表明了总体的重 心所在，标准差s 表明了 总体的离散程度。
正态曲线的性质
(1)曲线关于直线x=μ对称.
σ＝0.5
示总式体中的的平实均数数m与标、准s差(.s不同>的0m) 是，参数s ,分对别应表着
不同的正态密度曲线
正态分布密度函数的特征
f (x)
1
e x (
(x )2 2s 2
,
)
2 s
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
X=μ
σ
(3) f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
(2)曲线在x轴上方,与x轴不相交. (3)在x=μ时位于最高点.
人教A版数学选修2—32.4正态分布
尺寸， i 1, 2,,16 ．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值ˆ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除 (ˆ 3ˆ, ˆ 3ˆ ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.1 2
9.96
9.96
10.0 1
10.2 6
9.91
10.1 3
10.0 2
9.22
9.92
10.0 4
9.98
10.0 5
10.0 4
9.95
经计算得
x
1 16
16 i 1
xi
9.97 ， s
1 16
16
( xi
i 1
x)2
1
16
(
16 i1
xi2
16x 2 )2
0.212 ，其中 xi
为抽取的第 i 个零件的
分以上的人数为________． [答案] 10
[解] 由 ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10， 又 P(90≤ξ≤100)＝0.3， ∴P(ξ>110)＝P(ξ<90) ＝1－P90≤2 ξ≤110＝1－2P902≤ξ≤100＝1－22×0.3＝0.2. ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50＝10 人．
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2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。