解答学生关于隐函数的二阶导数计算中的疑问
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于在给定一个方程时，求解出其中的变量关系，并对其进行求导。
隐函数求导可以通过求导公式法来进行，该方法适用于一些特定类型的隐函数。
首先我们来看一下隐函数的一阶导数的求导公式。
设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式，则根据链式法则有:dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0其中dF/dx表示对F(x, y)关于x求偏导，dF/dy表示对F(x, y)关于y求偏导，dy/dx表示f(x)对x的导数，即f'(x)。
根据上述公式，我们可以通过求导公式法来求解隐函数的导数。
下面我们通过一个例子来说明该方法的具体应用。
假设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们要求解出y对x的导数。
首先，我们对隐函数方程两边同时求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，将dy/dx表示出来，得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y通过这个例子，我们可以看到隐函数的导数可以通过求导公式法来求解。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的隐函数，需要运用多次求导公式法或者其他方法来求解。
除了一阶导数的求导公式法，我们还可以推广到二阶导数的求导公式法。
设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式。
根据求导公式法，我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0对该式两边再次求导，得到：d^2F/dx^2 + d^2F/dy^2 * dy/dx + (dF/dx * dy/dx + dF/dy *d^2y/dx^2) = 0化简上述方程，可以得到二阶导数的求导公式：d^2y/dx^2 = - (dF/dx * dy/dx + dF/dy * d^2y/dx^2) / (d^2F/dy^2) 通过这个公式，我们可以求解出隐函数的二阶导数。
总结一下，隐函数的求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。
大一隐函数的导数知识点总结
大一隐函数的导数知识点总结一、引言在微积分学中，隐函数是指由两个或多个变量之间的方程所确定的函数。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用一些特定的方法和规则。
本文将对大一隐函数的导数知识点进行总结和归纳。
二、隐函数的导数定义隐函数的导数表示了函数在某一点处的变化率。
设函数 y=f(x)在点 (x,y) 处满足方程 F(x,y)=0，则 y 是 x 的隐函数，并且可以看作自变量 y 和函数 y=f(x) 的函数关系。
隐函数的导数可以通过求导来计算。
三、常用求导法则1. 隐函数的导数：设 y 是 x 的隐函数，可以通过求导求得 y 对x 的导数，即 dy/dx。
2. 利用链式法则求导：通过将隐函数的方程两边同时对x 求导，然后解方程得到 dy/dx。
3. 隐函数的高阶导数：通过多次使用链式法则，可以求得隐函数的高阶导数。
四、常见的隐函数求导方法1. 参数方程法：将隐函数表示为参数方程，对参数方程中的参数求导，然后根据参数与自变量之间的关系求得隐函数的导数。
2. 对数导数法：将隐函数两边同时取对数，然后对取对数后的方程两边求导。
3. 微分形式法：将隐函数的微分形式表示为等式形式，然后对等式两边求导。
4. Laplace公式法：对于特定的隐函数形式，如 y=f(x)^{g(x)}，可以使用 Laplace 公式来求导。
5. 特殊函数求导法：对于一些特殊的隐函数，如反函数、对数函数、指数函数等，可以利用已知的导数性质求导。
五、隐函数的应用举例1. 切线与法线：通过求解隐函数的导数，我们可以得到曲线上某一点处的切线斜率，进而求得切线和法线的方程。
2. 最值问题：利用隐函数的导数求得极值点的横坐标，进而求得隐函数在该点的最值。
3. 隐函数图像绘制：通过求解隐函数的导数，我们可以了解到隐函数在不同区间的单调性和凹凸性，有助于绘制函数图像。
六、结论隐函数的导数是微积分学中的重要概念，它帮助我们理解和解决具有复杂关系的函数问题。
求隐函数的二阶导数
隐函数的导数和微分
隐函数的导数和微分在微积分中，函数的导数和微分是两个重要的概念。
当函数关系以显式形式给出时，求导和微分是相对简单的。
然而，当函数关系以隐式形式给出时，我们就需要使用隐函数的导数和微分的概念。
一、隐函数的导数考虑一个平面上的曲线，可以用方程 f(x, y) = 0 来表示，其中 y 是 x 的函数。
我们可以将这个方程看作是两个变量 x 和 y 的关系式。
若我们想要计算这个曲线上某点的斜率，也就是该点的切线斜率，我们可以使用隐函数的导数。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以对其两边同时求导数，得到：∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy = 0这里∂f/∂x 和∂f/∂y 分别表示函数 f 对 x 和 y 的偏导数。
根据隐函数的导数的定义，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这就是隐函数的导数的计算公式。
例如，考虑方程 x^2 + y^2 - 1 = 0，这是一个单位圆的方程。
我们可以对其两边同时求导数，得到：2x dx + 2y dy = 0根据隐函数的导数的计算公式，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - x / y二、隐函数的微分隐函数的微分是在求导的基础上推广得到的。
微分表示函数在某一点的增量与自变量增量之间的关系。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以将其写为：f(x, y) + dy = 0当 x 发生微小的增量 dx 时，函数 f(x, y) 应该发生微小的变化 df，即：f(x + dx, y + dy) = 0我们可以将 f(x + dx, y + dy) 展开成泰勒级数，忽略高阶无穷小项，得到：f(x + dx, y + d y) ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy由于 f(x + dx, y + dy) = 0，我们可以将其代入上式，得到：0 ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy化简后可得：dy ≈ - (∂f/∂x) / (∂f/∂y) dx这就是隐函数的微分的计算公式。
隐函数的求导法则
求 2z . x2
解 令 F (x, y, z) x2 y2 z2 4z, 则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x ,
x
Fz 2 z
2z x2
(2 z) x z
x
(2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
.
注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，生搬硬套地套公
dx Fy
y dx x0
二阶导数为
d2y dx 2
y xy y2
y x( x )
y y2
1 , y3
d2y
dx2
1.
x0
例 2 求由方程 xy ex ey
0 所确定的隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过，
这里我们直接用公式求之.
z
z(x,
y) ，
y
sin
x,
求
du dx
时要考虑到上面各种联系.
例 8 设 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) 由方程(x2, ey , z) 0 确定，
其中 f , 具有一阶连续偏导数，且 0, 求 du .
z
dx
解 由 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) ，
使 Fz0，于是得
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
例 1 证明方程 x2 y2 1 0 在点(0，1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导
数且当 x 0 时 y 1的隐函数 y f (x) ，求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值.
(完整版)导数的运算经典难题
(完整版)导数的运算经典难题导数的运算经典难题
导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在进行导数的运算中，常常会遇到一些经典的难题。
本文将介绍一些常见的导数运算的难题，并给出相应的解法。
问题一：链式法则
链式法则是导数运算中的一个基本规则，用于计算复合函数的导数。
具体而言，对于一个由两个函数构成的复合函数 f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为 f'(g(x)) * g'(x)。
问题二：求导数的规则
求导数的规则是导数运算的基础，常见的规则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
通过应用这些规则，可以快速得到函数的导数。
问题三：高阶导数
高阶导数是指对一个函数进行多次导数运算的结果。
对于一个n 次可导的函数 f(x)，其 n 阶导数可以通过连续地对函数进行导数运算得到。
高阶导数在描述函数的曲线特性以及计算极值等问题中具有重要的作用。
问题四：隐函数求导
隐函数求导是指对于一个由隐含方程定义的函数，如何求得其导数。
隐函数求导的关键在于运用隐函数微分法和求导链式法则，通过适当的代换和求导运算，可以求得隐函数的导数。
问题五：参数方程求导
参数方程求导是指对于由参数方程定义的函数，如何求得其导数。
参数方程求导的关键在于将自变量用参数表示，并通过对参数进行导数运算得到函数的导数。
综上所述，导数的运算涉及到一些经典难题，如链式法则、求导数的规则、高阶导数、隐函数求导以及参数方程求导。
熟练掌握并灵活运用这些难题的解法，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题具有重要意义。
求隐函数二阶导数
二阶导数求导方法大家谈 隐函数的导数
参考讨论题：1．有哪些求导法则？2．你是如何求复合函数的导数的？3．求一般初等函数的导数的方法是怎样的？4．如何求二阶导数？5．怎样求隐函数的导数？一、有哪些求导法则 求导基本的求导法则：[f(x)十g(x)]'=f'(x)十g'(x)[f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)十f(x)*g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g ²(x)基本初等函数的求导公式和上述求导法则;(1) （C 为常数） (2)(3) (4)(5)(6) (7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13)(14) (15) (16)二、如何求复合函数的导数的复合函数求导:由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
就是：若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f ' (g(x))g ' (x)0)(='C 1)(-='μμμx x x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='x x 2sec )(tan ='x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec ='x x x cot csc )(csc -='a a a x x ln )(='(e )e x x '=a x x a ln 1)(log ='x x 1)(ln ='211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='21(arctan )1x x '=+21(arccot )1x x '=-+三、求一般初等函数的导数的方法是怎样的？一般方法有直接代公式，导数四则运算的公式，链式法则1.基本初等函数的求导公式：就是第一题中的16个基本公式2.导数四则运算的公式（函数的和、差、积、商的求导法则）设，都可导，则（1） （2）（C 是常数）（3）（4） 3.链式法则: 若h(a)=f(g(x))则h'(a)=f ' (g(x))g ' (x) 四、如何求二阶导数二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导 二阶导数记作即y''=（y'）'实际计算步骤可以分为两步：先求 y'(t)=dy/dt ,x'(t)=dx/dt得 dy/dx ＝y'(t)/x'(t)再求 d(dy/dx)/dt则二阶导数：d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt 。
隐函数与隐式微分法
隐函数与隐式微分法隐函数与隐式微分法是微积分中的重要概念和方法，用于研究隐式方程和隐函数的性质。
在本文中，我们将介绍隐函数和隐式微分法的概念、应用以及解题步骤。
一、隐函数的概念隐函数是指由一个或多个变量的方程所确定的函数，其中变量和函数之间的关系方式不是直接给出的。
通常情况下，我们只能通过给定的方程进行求解。
例如，考虑方程 2x + 3y - 4 = 0。
如果我们要确定变量 y 关于 x 的函数关系，即 y = f(x)，那么这个函数关系就是一个隐函数。
二、隐函数的求导方法为了求解隐函数的导数，我们引入了隐式微分法。
隐式微分法是一种通过微分运算求解隐函数导数的方法。
考虑一个隐函数方程 F(x, y) = 0，其中 y = f(x) 是我们要求解的隐函数。
我们可以通过将该方程两边同时对 x 求导，然后解出 dy/dx，从而得到隐函数的导数。
具体求导步骤如下：1. 对隐函数方程 F(x, y) = 0 的两边同时对 x 进行求导；2. 使用链式法则计算 dy/dx；3. 解方程 dy/dx 等于某一变量或常数；4. 得到隐函数的导数 dy/dx 的表达式。
三、隐函数与隐式微分法的应用隐函数和隐式微分法在数学和物理等学科中有着广泛的应用。
以下列举几个应用的例子：1. 曲线的切线和法线：通过求解隐函数的导数，我们可以得到曲线在某一点的切线和法线的斜率，从而帮助我们确定曲线的性质和方程；2. 函数的极值点：通过隐式微分法求解隐函数的导数，可以帮助我们确定函数的极值点；3. 高阶导数的求解：通过不断求导，我们可以得到隐函数的高阶导数；4. 物理学中的应用：例如，波动方程、电磁场方程等常常涉及隐函数和隐式微分法。
综上所述，隐函数与隐式微分法是微积分中的重要概念和方法。
通过隐函数和隐式微分法，我们可以求解隐函数的导数以及应用于各个领域中的问题。
对于理解微积分的基础知识和应用都有着重要的意义。
matlab隐函数二阶导
matlab隐函数二阶导隐函数求导是数学中的重要内容，而在MATLAB中，求解隐函数的二阶导数也是一个非常实用的工具。
本文将介绍MATLAB中求解隐函数二阶导数的方法以及示例应用。
一、MATLAB求解隐函数二阶导数的方法MATLAB中求解隐函数二阶导数的方法分为两种：数值求解和符号求解。
1.数值求解数值求解是指利用数值方法求解隐函数的二阶导数。
常用的数值求解方法有牛顿法、修正的牛顿法、黄金分割法等。
这里以修正的牛顿法为例，介绍MATLAB中求解隐函数二阶导数的数值方法。
修正的牛顿法的基本思路是在原牛顿法的基础上，根据一些特殊的需求修正迭代公式和收敛步长。
在MATLAB中实现隐函数二阶导数的修正牛顿法代码如下：syms x y ff = x^2 + y^2 - 25;fpx = diff(f, x);fpy = diff(f, y);fx = matlabFunction(fpx);fy = matlabFunction(fpy);f_xy = matlabFunction(f);x0 = [1;1][xOpt, fval, exitflag] = fminunc(@(x)fixNewtonMethod(f_xy, fx, fy, x), x0);其中，fixNewtonMethod是修正牛顿法的迭代函数，在此不再赘述。
需要注意的是，由于牛顿法是基于一点的搜索方法，所以需要提供初始点x0。
2.符号求解符号求解是指利用符号计算的方法求解隐函数的二阶导数。
在MATLAB中，通过定义符号变量实现符号计算。
例如，我们可以通过下面的代码定义符号变量：syms x y然后，我们可以使用diff函数求解隐函数的二阶导数，例如：f = x^2 + y^2 - 1;dfdx = diff(f,x,2) % 二阶关于x的导数dfdy = diff(f,y,2) % 二阶关于y的导数dfdxy = diff(diff(f,x),y) % 二阶混合导数二、示例应用下面通过一个实际的例子，演示如何在MATLAB中求解隐函数二阶导数。
二阶隐函数求偏导法则
二阶隐函数求偏导法则一阶隐函数求偏导法则：设函数F(x,y)=0隐式定义了y作为x的函数，即y=f(x)，其中f是对应于y的函数，如果f在点(a,b)处可导且f'(a)≠0，则这个隐函数在点(a,b)附近有唯一的表达式y=f(x)。
对F(x,y)=0两边同时对x求偏导得到：∂F/∂x+∂F/∂y*∂y/∂x=0(1)由于y=f(x)，所以∂y/∂x = dy/dx将(1)式中的∂y/∂x用dy/dx代替得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0 (2)由于f在点(a,b)处可导，所以dy/dx可以表示为f'(a)=dy/dx = -∂F/∂x/∂F/∂y。
将dy/dx代入(2)式中得到：∂F/∂x+∂F/∂y*(-∂F/∂x/∂F/∂y)=0化简得：∂F/∂x-(∂F/∂y)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=0即：∂F/∂x-(∂F/∂y)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=0将∂F/∂y=-(∂F/∂y)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)代入上式得到：∂F/∂x=(∂F/∂y)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)化简得：∂F/∂x=(∂F/∂x)/(∂F/∂y)这就是一阶隐函数求偏导法则。
在一阶隐函数求偏导法则的基础上，继续对上面的式子两边同时对x 求偏导，得到：∂^2F/∂x^2=(∂^2F/∂x∂y)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)+(∂F/∂y)(∂^2F/∂x^2)/(∂F/∂y)同样对上面的式子两边同时对y求偏导，得到：∂^2F/∂y^2=(∂^2F/∂y∂x)(∂F/∂x)/(∂F/∂y)+(∂F/∂x)(∂^2F/∂y^2)/(∂F/∂x)化简以上两个式子得到：∂^2F/∂x^2=(∂^2F/∂x∂y)/(∂F/∂y)+(∂^2F/∂x^2)/(∂F/∂y)∂^2F/∂y^2=(∂^2F/∂y∂x)/(∂F/∂x)+(∂^2F/∂y^2)/(∂F/∂x)这就是二阶隐函数求偏导法则。
二阶隐函数含对数
二阶隐函数含对数（原创版）目录1.引言2.二阶隐函数的定义和性质3.对数的概念和运算规则4.二阶隐函数含对数的求解方法5.结论正文一、引言在微积分中，隐函数是一种重要的研究对象。
所谓隐函数，是指将一个函数的表达式作为另一个函数的自变量。
二阶隐函数是指包含两个未知数的隐函数。
当二阶隐函数中含有对数时，其求解方法较为复杂。
本文将介绍二阶隐函数含对数的求解方法。
二、二阶隐函数的定义和性质1.定义：二阶隐函数是指形如 F(x, y) = 0 的方程，其中 x 和 y 是两个未知数。
2.性质：二阶隐函数的性质包括：- 二阶隐函数的图像通常是光滑的；- 二阶隐函数可能有多个解；- 二阶隐函数的解可能存在奇点。
三、对数的概念和运算规则1.概念：对数是一种数学运算，表示一个数的幂次。
常用符号为 log。
2.运算规则：- 对数的乘法规则：log(a) + log(b) = log(ab)；- 对数的幂运算规则：log(a^b) = b * log(a)；- 对数的倒数规则：log(a^(-b)) = -b * log(a)。
四、二阶隐函数含对数的求解方法1.换元法：将二阶隐函数中的一个未知数用对数表示，从而将二阶隐函数转化为一阶隐函数。
2.积分法：利用对数的积分公式，将二阶隐函数转化为可积的形式，然后求解。
3.数值法：对于求解困难的二阶隐函数含对数的问题，可以采用数值方法求解，如牛顿法、梯度下降法等。
五、结论二阶隐函数含对数的求解方法较为复杂，需要运用换元法、积分法和数值法等多种方法。
2.4隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
2x x2
2)
六、设 xy yx x2 ，求 dy ． dx
解： eyln x exln y x2 eyln x ( y ln x y ) exln y (ln y x y) 2x
x
y
dy
y
exln y
ln
y 2x e yln x
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
3
dt
(1 t 2 )2
故切线方程为 y 12 a 4 (x 6 a) ，法线方程为 y 12 a 3 (x 6 a)
5
35
545
九、设
x
y
ln(1 t) arctan t
，求
d2 y dx2
t0
．
1
解： dy dx
1 t2 1
1 t 1 t2
二、设函数 y y(x) 由方程 exy sin(x2 y) y 所确定，试求 y(0) ．
解：方程两边同时对 x 求导有， exy ( y xy) cos(x2 y) (2xy x2 y) y
当 x 0 时， y 1，代入上式得 y(0) 1
注：由于是求隐函数在某点的导数，可不必写出导函数的表达式，直接代入即可
f (t) tf (t) f (t)
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解答学生关于隐函数的二阶导数计算中的疑问作者：沈兆益来源：《科教导刊》2014年第32期摘要在高等职业学校高等数学多元函数微积分教学内容中，多元隐函数二阶导数的求解由于并没有沿用该章节隐函数的一阶导数求解方法，学生在学习中会产生一些疑问，这是由于对函数的复合理解不够深入，甚至导致对二阶偏导数求解出现错误。
本文针对学生在这一内容的学习中出现的问题，挖掘根源，找到学生理解的不足。
并进行知识与方法总结，对高等教学提供具有参考意义的教学方法和学习参照。
关键词多元函数微分隐函数二阶偏导中图分类号：G424 文献标识码：AAnswer Students' Doubt about the Second DerivativeCalculation of the Implicit FunctionSHEN Zhaoyi（Wuxi City College of Vocational Technology， Wuxi， Jiangsu 214153）Abstract Higher Mathematics at higher vocational schools teaching multi-function calculus content， multiple implicit function solving the second derivative does not follow that section because of the implicit function of the first order derivative solution method， the students in the study will produce some doubt that this is due to the understanding of the complex function is not deep enough， and even lead to solving second order partial derivative errors. In this paper， the students appearing in learning the content of this problem， digging roots find enough students to understand. And summarize the knowledge and methods of higher education to provide a reference meaningful teaching methods and learning reference.Key words multi-function differential; implicit function; second order partial derivatives在教学过程中，教师需要随时应对学生出现的问题，进行答疑解惑。
高职微积分的教学内容中，多元函数微积分的学习阶段，由于对知识掌握不够透彻，学生在学习过程中常会产生这样一个问题。
这就是在“多元隐函数求导”内容学习过程中，对于隐函数的二阶偏导数遇到的困难。
学生学习产生的困惑的具体表现，可以使用一个简单的例子进行说明：已知隐函数： + ;= 1，求解二阶偏导数。
学生能做到迅速正确地求解这一问题的前半部分，即求解出一阶偏导数，依据多元函数微积分这一章节中刚学习的方法，设（） = ;+ ;1 = 0，则 = 2， ;= 2，得到 = ;= ;= 。
但接下来求解二阶导数，学生就产生了一系列疑问。
第一个问题就是：此时，令 = ;= ，则原先的一阶导函数变为 = 。
而后， = 对于求偏导，得到 = 。
这显然与正确的求解： = ;= ;= 不符。
但学生辨别不出自己解法中的错误，需要教师进行详细解释与指导，向学生提出其错误所在。
第二个问题是：在多元函数微积分章节，新学习的求解隐函数的方法，并没有在求解二阶导过程中加以继续使用，反倒是使用了函数复合类型的隐函数求解方法，是老的方法。
新方法为什么不沿用？在此，教师需要通过向学生解释在此处改变求导方法的理由，并加深学生对于复合函数求导的原理的理解。
学生的这两个问题，其根源是对于函数复合的理解不够明确，由此对于多元函数微分中，隐函数的求解公式理解有偏差。
在之前例子中，求的二阶导数，令 = ;= 。
得到 = 是可以的，但这时 = 对于求导，需要注意是的函数。
即 = 不正确，而应该注意到是的函数，这一函数复合的求导过程不可或缺。
即：= ;= ;=但是这一解释，往往还不能使得学生明了自己的知识性缺失，在了解了之前的解释之后，学生提出了第三个疑问：“如果是这样，之前求解函数一阶导数的过程中，设（） = ;+ ;1 = 0，则求偏导 = 2就有问题，因为同样没有将看作的函数，对求导结果为0，这又是为什么？究竟什么时候需要将看作的函数，什么时候又将其视为两个不同的变量呢？而且，学生对这一知识点的疑问，是在接触到了更为复杂的练习题而产生的，更为复杂的题目加重了学生的迷惑。
如笔者遇到学生列举了2007年7月高等教育自学考试全国卷高等数学（一）试题第20题：“设函数 = 是由方程++ = 所确定的隐函数，求”。
更为复杂的多元隐函数的二阶偏导加大了学生对于问题的理解难度。
要解答学生这一系列的迷惑，需要教师从学生对于复合函数求导理解不够深入这一根源入手。
使得学生了解到，两种隐函数的求解方法是相通的，都是基于复合函数求导计算的变形，只是第一种方法体现得更明确，而多元函数微积分这一章节中介绍的方法似乎隐藏了这一特征。
因此需要详细介绍这一方法的由来： = （）的函数关系是由方程（） = 0确定的，确实是的函数。
于是对（） = 0求的导数得到的是 = 0。
这是体现出了复合函数求导的特征的。
而在此之后将这一等式变形为隐函数求导的公式，将和分开了，似乎不再具有函数复合求导的特征，只是推导出学生经常使用而并未深层次理解的 = 。
向学生讲解求出隐函数的二阶导数求解原理，在前面讲解的基础上，可以通过类比的方法，进行类似的变换。
将一阶导函数形式视为 = （），然后将移项，得到（） = 0。
设方程（） = （） = 0，即得到由“”、“”、“”三个变量构成的方程，其中，“”和“”都是“”的函数。
并提请学生注意，在求导过程中是存在复合函数求导的要求的。
对方程求解的导数，得到 + ;+ ;= 0。
因为（） = （） = 0，所以上式继续变形为 + ; ;= 0，特别需要学生注意到 = 。
而也就是。
因此， + ; ;= 0也就可以变形为 = ;+ 。
这与 = （）直接进行二阶导数计算，得到的结果是一致的。
基于向学生展示这一类比过程，就能解开学生之前的疑问。
首先是第二个问题，该章节介绍的隐函数一阶偏导的公式，是以复合函数求导为基础并加以变形的，在本质上并没有将函数复合的性质抹去。
而学生认为的“”和“”不再具有函数关系这一思想是片面的。
只是同样的变形过程使用在二阶偏导的计算中，并没有形成与求隐函数一阶导数类似的公式。
其化简后得到的结果与直接利用函数复合进行二阶求导（之前的方法）一致。
因此隐函数的二阶导数或偏导数不再有类同于 = 或 = 的公式。
然后，因为函数复合的事实，学生的第一个问题中，由于“”依然是“”的函数。
= 对于求导，若只得到 = 。
就是没能正确认识这一函数复合的情况，所产生的错误。
第三个问题中，设（） = ;+ ;1 = 0，则 = 2没有问题。
理由是（） = 0求的导数得到的是+ ;= 0，之后变为 = ，这时候求解偏导数是没有问题的。
而且，求解隐函数的导数，不论是哪一种方法，不论是一阶还是二阶导数，本质上都不能忽视函数的复合。
只是在一阶导数的求解过程中获得了本质相同，形式上有所差异的两种方法。
而二阶导数的求解过程，不再有两种方法，唯有直接求解，必须注意复合函数求导。
因此，同样的推导方法类比到多元隐函数求导，即（，，） = 0求解的二阶导数也是如此。
将一阶导函数形式看做 = （，，），设（，，，） = （，，） = 0，对方程求的偏导数，得到 + ;+ ;= 0，此时“”是常数，而“”和“”均是的函数。
又因为（，，，） = （，，） = 0，将其代入，继续变形为 + ; ;= 0，得到与之前得到的一元隐函数推导类似的结果： = ;+ ;。
所以学生提出的较为复杂的二元隐函数二阶导题目“设函数 = 是由方程++ = 所确定的隐函数，求”的求解也只需在二阶导数时注意是的函数，须有复合函数的求导。
先进行的一阶偏导计算，可以使用隐函数求偏导公式：方法一：设（，，）= ++ ; = 0，则 = 1， ;= 1， ;=得到 = = ;=也可以利用复合函数求导：方法二：左右两边对求导， = ，求导时注意为的函数。
得到1 + 0 + ;= ，化简后 =两种方法所得到的一阶导函数是一致的。
继续求解二阶导数： = ，此时不再有类似与方法一的公式，只有一种方法，求导时注意为的函数。
= ;= ;=再将 = 代入，得到 = 。
通过向学生阐述隐函数求导或偏导公式的来源介绍，进一步强调复合函数求导在隐函数求导的基础性作用，在二阶导计算与多元函数隐函数求导中进行类比。
使学生理解隐函数求导的两种常见方法的本质与联系。
消除学生在处理具体问题中，隐函数的二阶导数计算的困惑，加强学生对于求解隐函数二阶导数所用方法的理解，降低学生处理相关问题的思维难度，减少对这一知识点的理解和计算错误。
参考文献[1] 章学诚.高等数学（一）微积分[M].武汉大学出版社，2004.[2] 扈志明.高等数学（一）[M].高等教育出版社，2013.[3] 高安力.数学（第二册）[M].苏州大学出版社，1998.。