第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导PPT课件
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隐函数对数函数求导法则课件.ppt
y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法
3.4 隐函数的求导及高阶导数
上式两边对 x 求导得
1 y
y (cos x ln x
sin x x
)
y y (cos x ln x sin x
1
x
sin x
(cos x ln x
sin x
x sin x
)
x
)
方法二：将 y x
改写成 y e
sin x ln x
例 解 两边取对数
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
其中 p 5 ( x ) 为 x 的 5 次多项式,
108 x p 5 ( x )
6
y
(6)
108 6!.
例 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 . 解 方程两边对 x 求导 , 得
结
注意: y 是 x 的函数.
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 高阶导数及其物理意义
思考题
求 f (a ).
设 g ( x ) 连续 , 且 f ( x ) ( x a ) 2 g ( x ),
解答
g ( x ) 可导
( a ) 2 ( x a ) g ( a ) ( a a ) 2 g ( a ) a f x x x x
例 设 y arctan x , 求 y x 0 , y x 0 . 解
y 1 1 x
2
y (
1 1 x
) 2
2x (1 x )
2 2
2x y 2 3 2 2 (1 x ) (1 x )
3 3 , 2 2
1 y
y (cos x ln x
sin x x
)
y y (cos x ln x sin x
1
x
sin x
(cos x ln x
sin x
x sin x
)
x
)
方法二：将 y x
改写成 y e
sin x ln x
例 解 两边取对数
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
其中 p 5 ( x ) 为 x 的 5 次多项式,
108 x p 5 ( x )
6
y
(6)
108 6!.
例 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 )处的值 . 解 方程两边对 x 求导 , 得
结
注意: y 是 x 的函数.
对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 高阶导数及其物理意义
思考题
求 f (a ).
设 g ( x ) 连续 , 且 f ( x ) ( x a ) 2 g ( x ),
解答
g ( x ) 可导
( a ) 2 ( x a ) g ( a ) ( a a ) 2 g ( a ) a f x x x x
例 设 y arctan x , 求 y x 0 , y x 0 . 解
y 1 1 x
2
y (
1 1 x
) 2
2x (1 x )
2 2
2x y 2 3 2 2 (1 x ) (1 x )
3 3 , 2 2
第二章第4节隐函数及参数方程求导9534429页PPT
所d d 以 t0.1(弧 4 /度 分 )
--------对数求导法 适用范围
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
6
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
解 等式两边取对数得 ln y ln x 1 ) ( 1 3 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x
上式两边 x求对导得 y yx1 13(x11)x2 41
y (x ( x 1 )4 3 )2 x ex 1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ].
7
例6 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得
ln y sixn ln x 上式两边x求 对导 ,得
1 yycoxslnxsix n1 x
所y 以 y (cx o ln x s six n 1 x )
其速率1为 4米 0 /分.当气球高5度 0米 0为时 ,观察员视
线的仰角增加率 ? 是多少
解 设气球 t分上 钟 ,其 升 后 高h,度 观为 察员 的视 仰
角为 ,则
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
h 500
上式两边 t求对导得
500米
se2 cddt510d 0dh t
500米
因 为 ddh t14米 0/分 ,当 h 5米 0,0 s时 2 e c 2
yey xeyy，
即
y1exy ey
ey ， 2 y
yeyy(2(2y)y)2ey(y)，
故yey2eyy(2( 2 y)y)2ey(2eyy)
e2y(3 (2
y) y)3
.
4
例4 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的值
高等数学第六版第二章第四节隐函数求导
) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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x (t ) 例3.求参数方程 所表示的函数y f ( x) 的
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导36页PPT
dx n
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
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2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
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4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
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高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
2020/6/12
6
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2020/6/12
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
13
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例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
解： d y y t ( b s in t ) b c o s t b co t t d x x t ( a c o s t ) a ( s in t ) a (t 0,π,2π)
(t) (t)
2020/6/12
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
9
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt
y n(n 1)(n 2)a0 xn3 (n 1)(n 2)(n 3)a1xn4 (n 2)(n 3)(n 4)a2 xn5 3 2an3 ,
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板
1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ． 在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即 解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
， 确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ， 设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4
隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
所以
dy sitn dy
,
3.
dx 1c o t sdxtπ
3
点 P 处的切线方程为
y1 2a3 x 3a2 3a .
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，
如果不计空气阻力，以发射点为原点，
地
平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y
由轴物(如理图学).知道它的运动方程为
|v |v x 2 v 2 yv 0 2 2 v 0 gsti n g 2 t2 ，
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿
炮弹的前进方向，其斜率为
d dx yv0vs0icno sg.t
(2)令
y
=
0，得中弹点所对应的时刻t0
2v0 s in，
g
所 以x射 v0 2程 si2 n .
g t0
,
验证了
2z 2z . xy yx
例
设uexy,z求 3u .
14
x yz
解 因为
u yzexy z, x
2u (yezxy)z z (yexy)z
xy y
y
z[exy zyexyx z ]z
z(1xy )exzy,z
所以
x3yuzzx2uy
[z(1xy)ezx y]z z
(1xy)ezxyz zxyexyz
③
同样对方程 ① 两边求微分，得
dx = (t)dt，
④
③得 ④
即
ddxyf((tt))ddtt,
yx
f(t).
(t)
例4
设参数方程
x
y
a cost，(椭圆方程)确 b s i nt
定了函数 y = y(x)，求 dy .
高等数学-参数方程求导与高阶导数
6
本节内容
01 参数方程求导
02 高阶导数
7
02 高阶导数
1.二阶导数、三阶导数
定义2.4 一般地，如果函数 = ()的导数 ′ ()在
点处可导，那么称 ′ ()在点的导数为函数()在点
处的二阶导数，记作
″ (),
″
或
2
.
2
类似地，二阶导数 ″ () 的导数称为 = () 的三阶导数，
′ () ≠ 0， = ()具有单调连续的反函数 = −1 ()，
则参数方程确定的函数可以看成由 = ()与 = −1 ()
复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有
′ ()
.
=
⋅
= = ′
()
‴ = (−1)(−2)(−3)(1 + )−4 ，
(4) = (−1)(−2)(−3)(−4)(1 + )−5 ，
⋯，
()
= (−1) ∙ ! ∙ (1 + )
−(+1)
=
(−1) !
.
(1+)+1
11
4
01 参数方程求导
=
例1 已知椭圆的参数方程为 = ，求其在 = 6
处的切线方程．
解
当 =
时，椭圆上相应点的坐标是
6
即
3
,
2
2
．
由于
=
( )′
( )′
=
−
=
,
6
本节内容
01 参数方程求导
02 高阶导数
7
02 高阶导数
1.二阶导数、三阶导数
定义2.4 一般地，如果函数 = ()的导数 ′ ()在
点处可导，那么称 ′ ()在点的导数为函数()在点
处的二阶导数，记作
″ (),
″
或
2
.
2
类似地，二阶导数 ″ () 的导数称为 = () 的三阶导数，
′ () ≠ 0， = ()具有单调连续的反函数 = −1 ()，
则参数方程确定的函数可以看成由 = ()与 = −1 ()
复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有
′ ()
.
=
⋅
= = ′
()
‴ = (−1)(−2)(−3)(1 + )−4 ，
(4) = (−1)(−2)(−3)(−4)(1 + )−5 ，
⋯，
()
= (−1) ∙ ! ∙ (1 + )
−(+1)
=
(−1) !
.
(1+)+1
11
4
01 参数方程求导
=
例1 已知椭圆的参数方程为 = ，求其在 = 6
处的切线方程．
解
当 =
时，椭圆上相应点的坐标是
6
即
3
,
2
2
．
由于
=
( )′
( )′
=
−
=
,
6
第四节高阶导数ppt课件
3、 y ln( x 1 x 2 ).
三、试从dx 1 ，导出： dy y
1、d 2 x dy 2
(
y y)3
；
2、
d3x dy3
3(
y)2 yy ( y)5
.
四、验证函数 y c1e x c2e x ( ,c1 满足关系式 y 2 y 0.
,c2 是常数）
五、下列函数的 n 阶导数：
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x),
y(n) ,
dny dxn
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .
隐函数和参数式函数的求导法课件
对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这 两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)
第二章第四讲---隐函数求导和参数式求导
第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。
()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。
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2
例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数
解
yln1(x),y 1 ,
1x
y (1 1 x )2,y (1 1 x 2 )3,y (4 ) (1 1 2 x 3 )4,
一般地,可得
y(n) (1)n1((1nx1))n!,
即
ln1 (x)(n) (1)n1((1nx1))n!
通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
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2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导 数三、相关变化率
四、小节
五、作业
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一、隐函数的导数
1 复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数
2 间接表示
(1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数
高阶导数、隐函数求导、参数方程求导 重点：求导法则、高阶导数的定义 难点：高阶导数的具体求法 关键：高阶导数的求导顺序
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第三节 高阶导数
一、基本概念
1.如果 yf(x)的导数存在，称为 y f(x) 的二阶导数
记作：y ，d 2 y 或 d ( dy )
v2x,v2,v(k)0(k3,4, 2)0,
代入莱布尼茨公式,得
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2)
2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
2 2e 0 2 xx 2 22 0 1e 9 2 x2 x 21 0 2 1 9 e 8 2 x2 2 !
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
dx 2 dx dx
2. y 仍是x的函数，还可以进一步考虑
有三阶导数 y 或 d 3 y ， dx 3
四阶导数 y ( 4 ) 或 d 4 y ，
……
dx 4
n阶导数 y ( n ) 或 d n y .
dx n
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3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
2
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用类似方法,可得
(c
ox)(sn)
c
oxs(n ).
例1 求由方程 eyxye0所确定的隐函数的导数 dy
dx
解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得
deyx yeeyd yyxd,y
dx
dx dx
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第四节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
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第四节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x211Fra bibliotek(2x
x
2
)
3 2
y3
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于是
y3y10
下面介绍几个初等函数的n阶导数
例4 求指数函数y e x的n阶导数 解 y e x ,y e x ,y e x ,y (4 ) e x
一般地,可得 即
y(n) ex,
(ex)(n) ex
例5 求正弦与余弦函数的n阶导数
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解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
例 x2 y2 1 可确定函数 y 1x2 ,
(2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:
x
y
x(t) y(t)
t是参数
方法(1)表示的函数称为隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.
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2 隐函数的定义
一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下 当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函 数
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例7 求幂级数的n阶导数公式
解 设 yx(R),那么
yx1 y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3 一般地,可得
y ( n ) ( 1 ) ( 2 ) ( n 1 ) x n
即 ( x ) ( n ) ( 1 ) ( 2 ) ( n 1 ) x n
2! n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
C u v k (nk) (k) n k0
(3)称为莱布尼兹公式
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例8 设 y x 2 e 2 x ,求 y (2). 0 解 设 ue2x,vx2,则
u(k) 2ke2x
(k1,2,2)0
若为自然n,数 则
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
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高阶导数运算法则
设函u和 数 v具有 n阶导则 数,
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u ) (3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v