北师大版高中数学必修五数列在日常经济生活中的应用教案.
高中数学北师大版必修5 1.4 教学设计 《数列在日常经济生活中的应用 》(北师大)
《数列在日常经济生活中的应用》◆教材分析等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用。
例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。
著名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列。
这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识。
◆教学目标【知识与能力目标】通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用。
【过程与方法目标】通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用。
【情感态度价值观目标】通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心。
【教学重点】建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题。
【教学难点】在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型。
◆课前准备◆电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
◆教学过程一、导入部分一位中国老太太与一位美国老太太相遇。
美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足。
教师进一步指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁，花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们的生活。
但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，我们究竟选择什么样的方式好呢？二、研探新知，建构概念教材整理数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题。
1．三种常见的应用模型(1)零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。
数列在日常经济生活中的应用教学设计北师大版(优秀教案)
本教案严格控制了难度，目的是让学生进一步理解数列在实际生活中的应用，理解一些 数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．注重了对深层次教学目的的考虑，提高了能力 和素质要求．
入一笔年期定期存款，年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第年的本
金就是第年的本利和．按照定期存款自动转存的储蓄业务
(暂不考虑利息税 )，我们来讨论以下
问题：
()如果储户存入定期为年的元存款，定期年利率为，连存年后，再取出本利和．试求出储 户年后所得本利和的公式；
()如果存入万元定期存款，存期年，年利率为，那么年后共得本利和多少万元
到期一次性支取本息．由于存期灵活，存额变化大，人们可以选择各种教育储蓄方案．
例如选择月存金额元，存期年，年利率为的教育储蓄方案．即每月一次将元存入银行，
连续存次，到年期满后一次性支付本息．在这里，第一次存入的元将经过个月的生息时间，
第二次存入的元将经过个月的生息时间；依次下去，第三次、第四次存款分别将经过个月的
教学设计 数列在日常经济生活中的应用
教学分析 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着 广泛的应用． 例如存款、 贷款、 购物 (房、车 ) 分期付款、 保险、 资产折旧等问题都与其相关． 著 名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列．这些科学事 实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识． 教材对本内容的编排上以问题及其解决为主线，既充分考虑能调动学生进行自主学习， 体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综 合运用知识和方法建立数学模型、解决实际问题的全部过程．又充分注意教材应适用于研究 性学习的特点，使其能较方便于教师组织学生课外学习．因此，整体性、问题性、逻辑性、 实际性、综合性、可操作性是本教材追求的特色，而问题性突出则是本节教材追求的亮点． 银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复 利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型．教材共安排了三个模型，教学时教师可自 己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据 所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略． 三维目标 ．通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题， 体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用． ．通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数 列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用． ．通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学 习的兴趣和信心． 重点难点 教学重点：建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解 决实际问题． 教学难点：在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型． 课时安排 课时
高中数学第一章数列 数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修5
§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
高二数学北师大版必修5教学教案1-4数列在日常经济生活中的应用(1)Word版含解析(1)
数列在日常经济生活中的作用——分期付款教学设计◆教材分析《数列在日常经济生活中的作用》选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第四节。
等差数列和等比数列是日常经济生活中重要的数学模型，有着广泛的应用。
例如存款、贷款和购物分期付款等问题都与之相关。
教材以实例出发，调动学生学习，体会到数学在解决实际问题中的作用，体验数学与日常生活的联系。
在日常生活中学会运用数学知识和方法建立数学模型、解决实际问题。
购物是每个人经济生活中最基本的活动，分期付款也是越来越多人的选择。
因此，理解和掌握分期付款中的相关计算十分重要。
◆学情分析在此堂课前学生已经学习了等差数列和等比数列，会求其前n项和。
大部分学生在日常生活中已经接触过分期付款，但没有将其与数列知识简历联系。
高一学生有一定的建立数学模型能力，但应用的意识淡薄，不能根据实际问题的特征，正确地建立数学模型并解决问题。
◆教学目标➢知识与技能（1）掌握每期等额分期付款与到期一次性付款间的关系；（2）会应用等比数列的知识体系解决分期付款中的有关计算。
➢过程与方法（1）通过探究“分期付款”这一日常经济生活中的实际问题，体会数列知识在现实生活中的应用；（2）感知应用数学知识建立数学模型解决实际问题的方法。
➢情感、态度与价值观（1）体会数列与日常经济生活紧密相关；（2）体会生活中处处有数学，从而激发学生学习的积极性，提高数学学习兴趣和信心。
◆教学重点（1）建立分期付款数学模型，并用于解决实际问题；（2）理解分期付款的优、缺点。
◆教学难点在实际情境中发现并建立“分期付款”数学模型◆主要教学方法启发式教学法◆授课类型新授课◆教具多媒体◆教学过程✧创设情景、引入新课淘宝“花呗”分期付款问题从购买手机入手，给学生展示淘宝购物页面“分期付款（可选）”一栏。
【师生互动】:教师引出购买手机和其他价格较高物品的问题，学生讨论如何购买，展示淘宝购物页面截图。
高中数学 第1章 数列4数列在日常经济生活中的应用同步教学案 北师大版必修5
§4 数列在日常经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，税率为q ，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________. (2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，税率为q ，则到第n 期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________． 2．分期付款问题贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.一、选择题 1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( ) A.53 B.103 C.56 D.1162．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)3．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.a γ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.a γ(1＋γ)5万元 4．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)能力提升 11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a 1代表的实际含义一定要弄清楚．§4 数列在日常经济生活中的应用答案知识梳理1．(1)nAp nApq nAp (1－q )＋A (2)12n (n ＋1)Ap 12n (n ＋1)Apq 12n (n ＋1)Ap (1－q )2.ar (1＋r )m (1＋r )m－1 作业设计1．A [设公差为d (d >0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d ， 则7(20－2d ＋20－d )＝20＋(20＋d )＋(20＋2d )，解得d ＝556，最小的一份为20－553＝53.]2．D [注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1．12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]3．B [设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.] 4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意得(1＋p )12[1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝1－(1＋p )121－(1＋p )(1＋x )，∴x ＝(1＋p )12－1.]5．C [由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2，∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52， ∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．]6．a (1＋b )57．7 260解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔， ∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)． 8.13[(1＋r )3－1] 解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]．9．解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，… 第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)． 即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， …第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)．即每期应还款176元． 10．解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6， ∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 11．C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＝130(－n 2＋15n －9)．a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5，6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a 1，a 2，a 3，…，a n . 则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N ＋)．即a n ＋1＝54a n －200.令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －x4，由x4＝200，∴x ＝800.∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N ＋)故数列{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.∴a 1－800＝250，∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N ＋)．由题意a n ≥4 000.∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16.两边取常用对数得n lg 54≥lg 16，即n (1－3lg 2)≥4lg 2.∵lg 2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，∴n ≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．。
数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大版必修五)
政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
解 (1)设从 2011 年底起以后每年的已退耕还林的土地依次为(单
位：万亩)a1，a2，a3，…，an，….
则 a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，
…，an＝515×(1＋12%)n， h
19
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
… Sn＝a1＋a2＋…＋an＝515×1＋1－0.112.121－1.12n＝6 370－515， ∴515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，即 1.12n≈2.218.
初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为 b(单位：
本
m2)的旧住房．
课 (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
时
栏 (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积
目
开 增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？(计算时取
关
1.15＝1.6)
解 (1)第一年末的住房面积为
－1)，…，xr.组成一个等差数列，又每月本金都是 x 元，共
本
课 n 个月，所有本金为 nx 元，所以 n 个月后本利和为
时 栏 目
nx＋xr(1＋2＋3＋…＋n)＝nx＋nn＋2 1rx(元)．
开
关
h
8
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
探究点二 定期自动转存模型
问题 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，
本
期数
1
2
3
… m－1 m
课 时 栏 目
本息 和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3 … x(1＋r) x
数列在日常经济生活中的应用-北师大版必修5教案
数列在日常经济生活中的应用前言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中数列是一种最基本的数学工具。
在生活中，我们可以看到数列的应用，比如在经济学中，数列被广泛应用于分析和预测市场走势。
本文将讨论数列在日常经济生活中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用数列。
重点一：财务分析数列在财务分析中被广泛使用。
例如，人们可以使用等差数列来计算他们的银行账户余额。
如果一个人每个月存入相同金额的钱，则他/她的账户余额将形成一个等差数列。
通过使用数列的公式和时间价值，可以计算出银行账户的余额，帮助人们更好地管理他们的财务状况。
此外，在股票市场的分析和预测中也使用了数列，股票市场中的股票价格是一个会不断变化的数列。
通过找到股票价格中的模式和规律，可以根据数列的趋势预测股票的价格变化，从而使人们做出更好的投资决策。
重点二：生产和供应数列在生产和供应方面同样非常有用。
例如，供应商可以使用等比数列来确定价格的优惠程度。
通过确定价格的变化趋势，供应商可以调整商品的风险和利润水平。
此外，生产部门也可以使用数列来决定生产率的增长速度。
通过确定与公司生产率相关的因素并建立数列模型，生产部门可以更好地了解生产率变化的趋势和周期性，并进行相应的应对。
重点三：销售和营销数列在销售和营销过程中同样扮演着重要角色。
例如，销售人员可以使用等差数列来记录销售额和客户数量。
通过检查数字的模式和规律，销售人员可以预测未来销售和客户数量的变化情况，从而采取相关的策略和措施以维持或增加销售额和客户数量。
此外，营销部门还可以使用等比数列来确定不同市场中的客户数量和每个市场的市场份额。
这有助于营销部门更好地制定市场策略和推广计划。
总结综述以上，数列在日常经济生活中扮演着重要角色。
它可以帮助人们更好地了解和分析市场趋势，并进行决策。
通过建立数列模型和算法，人们可以更好地用数学工具解决实际问题。
高中数学必修五北师大版 4-数列在日常经济生活中的应用2 教案
§4 数列在日常经济生活中的应用（二）教材分析：本节课是等比数列的前n 项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n 项和公式,并学习了教材中P32的左侧的说明:有关储蓄的计算(单利计息和复利问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。
教学目标：1． 体会“分期付款”日常生活中实际问题；2． 进一步巩固数列知识，熟悉分期付款中的情况；建立数学模型解决问题； 3． 培养学生的科学探索精神及应用意识；体验探索的过程；教学重点：抓住分期付款的本质分析问题；教学难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性； 教学过程： 一、导入新课：幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。
美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活；贷款购物,分期付款已深入我们生活.在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢占市场份额的有效手段，为迎合消费者的心理，商家各尽所能；但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？（投影仪出示）有关分期付款的知识：⒈分期付款是一种新的付款方式，就是可以不一次性将款付清，就使用商品（或贷款），还款时可以分期将款逐步还清；⒉分期付款中，一般规定每次付款额相同；每期付款的时间间隔相同;⒊分期付款中，每月按利息复利计算；(即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金)⒋分期付款中，贷款（或商品价值）与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增值，即分期付款的总额高于一次性付款的总额；⒌分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和；即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等.（此为解题之关键）⒍分期付款的数学方法是等比数列求和. 二、讲授新课： 分期付款模型例：小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付的金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额. 设小华每期还款x 元,第k 个月末还款后的本利欠款数为Ak 元,则x A -+⨯=22)008.01(5000x x x A A --+⨯=-+=24224008.1)008.01(5000)008.01(x x x x A A ---+⨯=-+=246246008.1008.1)008.01(5000)008.01(…………x x A A )1008.1008.1008.1008.1008.1()008.01(5000)008.01(2468101221012+++++-+⨯=-+=由题意年底还清,所以012=A解得：8.880008.1008.1008.1008.1008.11008.1500010864212≈+++++⨯=x 答:小华每次付款的金额为880.8元.分析2:小华在12月中共付款6次,它们在12个月后的本利和的累加与一年后付款总额相等. 解:设小华每期还款 x 元,则购买2个月后第1次付款x 元,此x 元到10个月后本利和为 10)008.01(+x 元 购买4个月后第2次付款x 元,此x 元到8个月后本利和为8)008.01(+x 元 同理,购买12个月后第6次付款x 元,此x 元当月的本利和为0)008.01(+x 元 又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:1208.015000⨯元12108642008.15000)008.1008.1008.1008.1008.11(⨯=+++++x8.880008.1008.1008.1008.1008.11008.1500010864212≈+++++⨯=x 元 思考交流：2台电脑售价为1万元.如果采取分期付款,在1年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%).假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑，除一次性付款外商家还提确.(老师巡视,对有困难的同学个别辅导,然后请最先结束的同学发言,老师板书) 方法1:分析:本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个月的欠款数为0元.设每月应付x 元,则:1211201.解:设每期还款额为x 元,依题意有:1211201.11000001.101.101.1⨯=+⋅⋅⋅+++x x x x即1211201.110000)01.101.101.11(⨯=+⋅⋅⋅+++x ∴121201.11000001.1101.11⨯=--⨯x即49.88801.11)01.11(01.1100001212=--⨯⨯=x 方法2：P34页例3解法 三、随堂练习：由学生完成上表中“方案1”和“方案3”，熟练探究方法； 方案1:：x=1785.86元，付款总额12x=1721.16元； 方案2：x=888.49元，付款总额12x=10661.85元； 方案3：x=3607.62元，付款总额12x=10822.85元请同学们总结一下:分期付款购买售价为a 元的商品,分n 次经过m 个月还清贷款,每月还款x 元,月利率为p, 则x=?老师归纳数学模型:mnm m p p p a x )1(1])1(1[)1(+-+-+= 四、课堂小结：师生共同回顾思维过程,教师提醒.① 分期付款有哪些一般规定?列方程的依据是什么?② 请同学计算出分期付款的付款总额,它与10000元的差额是多少?为什么会有一个差额,你怎样理解这种现象的合理性?③分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前n 项和公式；数学思想：列方程解未知数。
高中数学 1.4数列在日常经济生活中的应用1学案 北师大版必修5
§4 数列在日常经济生活中的应用知能目标解读1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1.零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S=P(1+nr).2.定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r) n.一般地，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额v1=v0(1+a)，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1(1+a)=v0(1+a) 2;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到v t=v0(1+a) t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.3.分期付款模型分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：(1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；(2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月（年）的本金；(3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.(4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于2）越多，差额越大，即付款总额越多.注意：目前银行规定有两种付款方式：(1)等额本息还款法；(2)等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式.4.本节的规律方法(1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P (1+nr ).(2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=P (1+r ) n .(3)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，对于时间x 的总产值为y=N (1+P ) x .(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b =1)1()1(-++n n r a r r . 5.数列模型在实际问题中的应用数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等.6.建立数学模型的过程解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式或递推公式或前n 项和公式求解问题.基本步骤如下表所示：知能自主梳理1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息 ，其公式为利息= .若以P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和（以下简称本利和），则有 .（2）复利：把上期末的本利和作为下一期的 ，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 .2.（1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用 数列，计算复利时用 数列，分期付款要综合运用 、 数列的知识.（2）解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ；②挖掘题目的条件，分析该数列是 数列，还是 数列，分清所求的是 的问题，还是 问题.③检验结果，写出答案.［答案］ 1.（1）不再计算利息 本金×利率×存期 S=P (1+nr ) (2)本金 S=P (1+r ) n2.(1)等差 等比 等差 等比 （2）①数列模型 ②等差 等比 项 求和。
高中数学(北师大版)必修五教案： 拓展资料：数列在生活中的应用
数列在生活中的应用在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。
如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的精彩描述。
首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决办法。
若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:a1=a0(1+p)-a,a2=a1(1+p)-a,a3=a2(1+p)-a,......an+1=an(1+p)-a,.........................(*)将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。
一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。
因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。
(三)数列在艺术中的广泛应用把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
1.4数列在日常经济生活中的应用 教案 (北师大必修5)
1.4数列在日常经济生活中的应用教学目标：1．知识与技能（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；（4）了解“教育储蓄”.2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用.3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”；关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金.学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标.教学设想：1.创设情境：①温故知新等差数列；等比数列；定义；通项公式；前n项和公式②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？2.探索新知：（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款（2）银行存款计息方式：①单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息=本金×利率×存期以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有②复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是（3）零存整取模型例1.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少?分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息：利息=本金×利率×存期（学生思考并解答，教师利用多媒体点评）解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x•r•n元;第二个月存入的x元,到期利息为x•r•（n-1）元;第n个月存入的x元,到期利息为x•r•1元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为而本金为nx元,这样就得到本利和公式为即①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为（3）依题意,在①式中, ，所以答：每月应存入163.48元.（4）定期自动转存模型例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题：（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式;（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.98%，那么5年后共得本利和多少万元？师：定期存款自动转存储蓄，第二年的本金是什么？（第一年的本利和），这种储蓄的计息方式是什么？（按复利计息）（学生思考并独立解答，教师利用多媒体点评）3.发展思维：例3 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少? 师：从1999年11月1日起，国家开始征收储蓄存款利息税：应纳税额=应纳税利息额×税率（学习小组开展讨论，由学生自己解答）解：(1)根据例1，各月利息之和为，税后实得利息为 .而本金为nx元,这样就得到本利和公式，②(2) 若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元.4．巩固深化：例4 “教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元?（学习小组开展讨论，由学生自己解答）解：根据题意，“教育储蓄”是一种零存整取的定期储蓄，由例1到期一次可支取本利公式为当答：到期一次可支取本利和共为19971元.师：同学们，大家都知道有“教育储蓄”这种储蓄业务，但大家知道“教育储蓄”是从什么时候开始的？“教育储蓄”所得利息纳税吗？是否谁都可以办理“教育储蓄”吗？…（教师提出问题，随即打开网页搜索，引导学生学会学习）5．课外作业：课题学习: “教育储蓄”要求课后以学习小组为单位，弄清（网上查找或调查）以下问题，合理使用计算机或计算器等数学工具，解决教材中第46页的10个问题，写成课题学习报告.（1）.教育储蓄的使用对象；（2）.储蓄类型；（3）.最低起存金额、每户存款本金的最高限额；（4）.支取方式；（5）.银行现行的各类、各档存款利率，及利率的换算；（6）.零存整取、整存整取的本利计算方式.6.小结：（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;（2）.银行存款的计息方式;（3）.银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型; （5）.定期自动转存模型；（6）.教育储蓄模型.作业： P36 习题1——4第2题。