张家港常青藤高三数学考试

张家港常青藤高三数学考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1．若全集R U =，集合{}02≥-=x x x M ，则集合∁U M = ．1.）（1,0；2．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ．2.6-；3．在平面直接坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 3-=上，且0>x ，则=αsin ．23-4．“1=a ”是“函数aa x f xx+-=22)(在其定义域上为奇函数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 充分不必要 5. 已知函数231()112()4,(2012)2012f x a og b og x f f =++=且则的值为 ．06．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为 . a c b <<7. 已知函数sin()(0,||)2y A x πωφωφ=+><则函数的解析式为 . sin(2)3y x π=+8.若二次函数2242221f (x )x (p )x p p =----+在区间[]11,-内至少存在一点c ,使得0f (c ),>则实数p 的取值范围是_______________.3(3,)2-9.给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 ①，②，④①若Z k k ∈=-=,2,cos cos πβαβα则；②函数)32cos(2π+=x y 的图象关于x=12π对称；③函数))(cos(sin R x x y ∈=为偶函数，④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π.10. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11．8万件． 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是 .1011.已知平面上的向量PA 、PB满足224PA PB+= ,2AB =，设向量2PC PA PB =+ ，则P C的最小值是 212．已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =，若存在常数v u ,对任意正整数n 都有v b a nu n +=l o g 3，则=+v u ．12.613．如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为 ．13.π45；14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为. 14.4二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图：直角三角形ABC 中，AC ⊥BC ，AB=2，D 是AB 的中点，M 是CD 上的动点．（1）若M 是CD 的中点，求MA MB ⋅的值 ； （2）求()M A M B M C +⋅的最小值．MD CBA15．（1）∵MA MD DA =+ ，MB MD DB MD DA =+=-，∴MA MB ⋅ =2222221131224M D D A C DD A⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭．………………6分（2）设MD=x ，则MC=1-x. 其中0<x<1∴()M A M B M C +⋅ =2MD MC ⋅ =2M D M C -⋅ =()21121222x x ⎛⎫--≥-⨯=- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时取等号． ………………12分∴当12x =时， ()M A M B M C +⋅ 的最小值为12-．………………14分16. (本小题满分14分)已知函数)(2cos )322cos )(R x x x x f ∈--=π（（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若23)2(-=B f ，1=b ，3=c ，且b a >，试求角B 和角C.17. (本小题满分14分)如图，现有一个以AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于B A ,的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中OA CD //），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若cm OA 1=，3π=∠AOB ，θ=∠AOC .（1）用θ表示CD 的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的取值范围.17. (本小题满分14分)解：(1) 由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3(6分) (2) 设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(8分)所以f′(θ)＝1－23cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以π3－θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 令f′(θ)＝0，得cos ⎝⎛⎭⎫πθ＝3，所以π－θ＝π，所以θ＝π.所以f(θ)∈⎝⎛⎦⎤2，π＋6＋236.故所需渔网长度的取值范围是⎝⎛⎦⎤2，π＋6＋236.(14分) 18.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有)1()1(-=+x f x f 成立．已知当]2,1[∈x 时，x x f alog )(=．（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；（2）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4f x >．19.（本小题满分16分） 已知函数2()ln ()f x x a x x =+-（1）若1a =-，求证()f x 有且仅有一个零点；（2）若对于[]1,2x ∈，函数()f x 图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于4π，求实数a的取值范围；（3）若()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 19. (1) )0(ln )(2>+-=x x x x x f ，1(1)(21)21()x x x xxf x --+-+='=令()0,f x '=得1=x ，上单调递减上单调递增，在在),1()1,0()(+∞x f .0)1()(==∴f x f 最大值，()f x ∴有且仅有一个零点，该零点即为1.---------4分(2) 221()ax ax f x x-+'=，由已知，0()1f x '≤≤ 在[]2,1∈x 上恒成立. ---------6分由()1f x '≤ 在[]2,1∈x 上恒成立，可得0)21(min 2=--≤x x x a由()0f x '≥ 在[]2,1∈x 上恒成立，可得61)21(max 2-=--≥xx a061≤≤-∴a -------------------10分（3）()f x 存在单调递减区间221()0ax ax f x x-+'⇔=<在),0(+∞上有解2210ax ax ⇔-+<在),0(+∞上有解记=)(x g 221ax ax -+，),0(+∞∈x 当0=a 时，1)(=x g ，不满足条件；当0<a 时，)(x g 为开口向下的二次函数，2210ax ax -+<在),0(+∞上恒有解； 当0>a 时，)(x g 为开口向上的二次函数，对称轴为41=x ，2210ax ax -+<在),0(+∞上有解只需0)(min >x g ，即0)41(>g ，解得8>a综上所述，a 的取值范围为),8()0,(+∞⋃-∞20. (本小题满分16分)已知数列{}n a 是等差数列，221()n n n c a a n +=-∈*N （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果132********,14313a a a a a a k +++=+++=- (k 为常数)，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12n =时取得最大值．若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则 22221121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---2221112()()n n n a a d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列（2）1325130a a a +++= ，242614313a a a k +++=- ∴两式相减：131313d k =-，1d k ∴=-113(131)1321302a d -∴+⨯=3212a k ∴=-+，1(1)(1(133))n a a n d kn k ∴=+-=-+-22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-2226326(21)(1)k n k =-+-+-22(1)25305k n k k =--⋅+-+（3）因为当且仅当12n =时n S 最大，12130,0c c ∴><有即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ⎧⎧--+-+>+->⎪⎪⇒⎨⎨--+-+<-+>⎪⎪⎩⎩ 1191921211k k k k k k ><-⎧⇒⇒<->⎨><⎩或或或数学Ⅱ（附加题）注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。

21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B. 已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.C. 在极坐标系中，圆C 的方程为)4ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。