形缺数时难入微,数缺形时少直观——华罗庚
数缺形时少直觉 形缺数时难入微
减 法 ： 过 具 体 的 物 （ ） 助 学 生 建 通 形 帮
倍 数 的意 义 。在 这 里 ． 材从 最 初 的 教
最 直 观 的数 物 （ ） 合 ． 步 过 渡 到 形 结 逐
立起初 步 的比较长短 、 少 、 多 高矮 等
首先 。 教师 做 好 示 范 作 用 。 小 学
生 具 有很 强 的模 仿 能力 ． 多 行 为 习 许 惯 都 是从 教 师 那 里 学来 的 。 因此 ． 教
列 式 为 “ — ＝ （ ） ． 种 错 误 在 小 ８ ５ ３ 个 ”这
学 低 年 级 学 生 中非 常 容 易 出现 ． 多 很 同学 见 “ 了 ”用 去 ” 减 。 对 这 种 吃 “ 便 针
情 况 ． 要 求 学 生 在 审题 时 ． 已 知 我 将
师 的 示 范作 用 ． 引导 学 生 良好 的 学 对
习 习 惯 的养 成 显 得 尤 为 重要 由于 简
性 ． 学 生 提供 充 分 向 从 事 数 学 活 动 的 机 会 ． 助 他 们 在 自主 帮 探 索 和 全 体 交 流 的 吉 过 程 中 真 正 理 解 和
浅 谈 小 学 生 审 题 习 惯 酌 培 养
体的做法是 ：
生 的 认 知 发 展 水 平 和 已 有 的 知 识 经 验 的基 础 上 。 师应 激 教
发 学 生 的 学 习 积 极
“ 剩下 几 个 ” 买 了多 少 个 到题 还 求 看 目中的 “ 了” 习惯 性 用 减 法 计 算 ． 吃 就
数 学／ 撷英 教海
数缺 形 时 少直 觉 形缺数 时难入微
江 西 吉 安 市 北 门小 学 曾剑 雯
高中化学解题方法指导4数形结合思想
高中化学解题方法指导4：数形结合思想我国著名数学家华罗庚先生曾形象地描述数形结合思想的特点：“数缺形，少直观，形缺数，难入微。
”具体地说，就是在解决问题时，根据问题的背景、关系、图形特征或使“数”的问题借助于“形”去观察，或将“形”的问题借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。
“数形结合百般好，割裂分家万事非。
”这就明确告诉我们：在解决问题时，数与形这一对应关系犹如形影不可分离一样，“数”的问题借助于“形”去观察，以形解数；“形”的问题借助于“数”去思考，以数赋形。
这种数形结合的思想也常常用于解决化学问题，直观形象，化难为易，优化解题。
1.1 以形赋数先给出图形，然后根据图形寻找出有用的数据，最后进行计算。
这种方法是将复杂问题以图形方式表示出来，考查学生的识图能力和综合应用知识能力。
第一步：析图形，明意义分析图形的特点及变化趋势，明晰各种点（起点、拐点、极点、终点等）的意义第二步：找数据，定反应在图形中找出各段线发生的反应及离子的变化情况第三步：用原理，作判断利用化学反应原理或化学方程式进行计算并判断正误向FeI2、FeBr2的混合溶液中通入适量氯气，溶液中某些离子的物质的量随通入Cl2的物质的量的变化如图所示。
已知：2Fe2＋＋Br22Fe3＋＋2Br－，2Fe3＋＋2I－2Fe2＋＋I2。
则下列有关说法中，不正确的是A．线段BD表示Fe3＋的物质的量的变化B．原混合溶液中FeBr2的物质的量为6 molC．当通入2 mol Cl2时，溶液中已发生的离子反应可表示为2Fe2＋＋2I－＋2Cl22Fe3＋＋I2＋4Cl－D．原溶液中n(Fe2＋)∶n(I－)∶n(Br－)＝2∶1∶3【思路点拨】第一步，依据溶液中各离子还原性强弱顺序确定反应发生的先后顺序；第二步，对照反应发生的先后顺序从图形中找出各线段对应的发生反应的各种物质及其物质的量；第三步，结合题意，判断选项正误。
【试题解析】通过题给信息可知，发生反应的先后顺序为2I－＋Cl2I2＋2Cl－，2Fe2＋＋Cl22Fe3＋＋2Cl－，2Br－＋Cl2Br2＋2Cl－。
《我国著名数学家华罗庚所说数缺形时少直观,形少数时难》
我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
”。
其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题。
一、数形结合创设直观情境，培养学生发现问题的能力教学的艺术不在于传授知识的多少，而在于激励、唤醒、鼓舞。
教学中老师可以创设一种立足儿童的生活现实，贴近儿童的知识背景形象直观的情境，让学生身临其境，感受到数学的事实、实情，在情境中让学生发现问题，提出问题，从而自主地探索，提高学生解决问题的能力。
例如多媒体出示（泡沫地垫）：3块彩色小正方形表示27，大正方形的表示180根据以上信息，你能提出哪些数学问题？能解决这些问题吗？生1：每块彩色小正方形代表多少？27÷3=9生2：整个大正方形里共有几块小正方形？180÷（27÷3）=20生3：9个小正方形表示多少？27÷3×9=81从贴近学生生活中熟悉的直观图形入手，在富有开放性的问题情境中，通过数形结合，学生的思维开阔了，思维的火花闪现了，利用原有的知识结构去探究该情境中存在的数学问题，并积极地从多角度去思考问题、发现问题。
这样既培养学生的提问能力，又让抽象的数量关系、思考思路形象地外显出来，非常直观，易于小学生理解，提高了学生解决问题的能力。
二、数形结合展现思维过程，帮助学生理清数量关系在课堂教学中，我们经常发现由于年龄、知识、能力等多方面的因素影响，小学生在解决问题的时候，往往遇到这样或那样的困难或障碍。
如何突破障碍和困难呢？可以引导小学生充分利用直观的“形”，把抽象的数量关系形象具体地表示出来。
通过一些看得见、摸得着的集合图、线段图等，抽取出实际问题中的数量，并用简单图形表达这些数量之间的关系，帮助小学生理清数量关系，使复杂的数学问题直观化，为列式建造了一座“桥”。
数缺形时少直观形少数时难入微———《数与形》教学实践与思考
王陈亮———《数与形》教学实践与思考【教材与学情分析】数形结合思想是一种非常重要的数学思想，涉及到数学学习的各个领域。
我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”等抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
《数与形》是人教版六年级上册“数学广角”中的内容。
本课旨在让学生通过自主探究图形中隐藏着的数的规律，尝试应用所发现的规律解决问题，感悟数与形的广泛联系，同时在利用数形结合解决问题的过程中感悟数形结合的数学思想。
【教学过程】一、前测导入，梳理回顾师：同学们，“数与形”一直伴随着我们的数学学习，课前，我们进行了回顾与整理，下面请大家一起来欣赏同学们的作品。
课件依次出示：出示图1：师：从作品中哪里看到了数与形？生：在加减计算中，往往用图来解释计算的算理。
出示图2：师：你看到数与形了吗？生：用线段图帮助解决行程问题。
出示图3：师：这里又用到了哪些数与形？生1：用数字或者算式表示图形的规律。
生2：还可以用图形表示打电话问题中所用时间的规律。
师：在前面所学习的计算、解480千米480÷（80+60）=247（小时）甲乙1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）答：55个教例反思JiaolifanSi54. All Rights Reserved.决问题、探索规律等问题中，有时用图形表示数的规律，有时用数描述图形的规律。
今天这节课我们将继续研究“数与形”。
【设计思考：学生对于“数与形”的知识有着零散的学习经验，这些经验又是学习本课知识的重要经验基础。
在课前安排前测整理学过的“数与形”的知识，教学中基于学生已有的经验，通过呈现学生的前测材料，并且分类呈现，更有利于学生从整体上回顾“数与形”的知识，也有利于学生对本课知识的学习。
如何培养学生的几何直观能力
如何培养学生的几何直观能力几何直观是2011版课标新增的核心概念之一，而数形结合思想正是几何直观能力的一个体现。
我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
而反观我们的教育现状不难发现：大部分教师对几何直观的重视不够，尽管教学时会注意结合图形来讲课，但也只是一讲而过，常常忽视了对学生几何直观能力的培养。
而学生在面对数学问题时很少想到可以借助图形来帮助解题，有时想到动手画一画，可是画出来的图却并不规范。
培养学生几何直观的能力，需要教师的重视。
一、什么是几何直观新课标指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”二、几何直观的作用借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，几何直观可以改变学生的思维方式，使学生的学习更具有创造性。
例如：在教学的长方形的面积时，有这么一道问题：李大爷有一块宽15米的长方形菜地。
后来因建设需要，菜地的宽减少了5米，这样菜地的面积就减少了100平方米。
现在菜地的面积是多少平方米？大部分的学生这样算：100÷5=20（米），20×（15-5）=200（平方米）。
有的学生因为读题不仔细，同时受此前几题都是求原来面积的干扰，算成了20×15=300（平方米）。
当教师呈现还能用100×2=200（平方米）解答时，学生一时还不能理解。
但当老师题目用图还原出来后，再稍做解释，就会恍然大悟。
由此例可看出画图给学生提供了直观的刺激：宽是5米的2倍，长不变，面积自然也是减少部分的2倍；更直接的，先看减少的100平方米，以5米作为标尺，根据图形，现在的面积是就是100平方米的2倍。
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数
程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数
法。
Ｂ
Ｄ
1 2
必做题: P110 变式演练1、2 思考题: P111 改错题
２、直线的方程是必考内容，是基础知识之一。
３、在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型
现，属于中低档题。
均可出
解
解
1、直线一定有倾斜角,但不一定都存在斜率；因此 在求直线方程时，一定要判断所求直线是否存在斜
率，若斜率存在时再选择适当的方程求直线方程。
２、求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方
授课人:邹海燕
华罗庚教授说过：“数 缺形时少直观,形少数时 数形结合 难入微 ,数形结合率的概念，掌握过两点的直线
的斜率计算公式。
２、掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的 关系。
考题方向：
１、以选择填空的形式考查直线的倾斜角和斜率的概念。
数学论文浅谈初中数学解题思想——数形结合思想
浅谈初中数学解题思想——数形结合思想【摘要】我国著名的数学家华罗庚曾说:"数缺形时少直观,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事非。
"这句话说明了"数"和"形"是紧密联系的。
"数"和"形"是数学的两根柱石,所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分利用这种结合来探索解决问题的思路。
数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。
本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。
关键词：数形结合概括提炼思维渗透一、什么是数形结合思想数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。
数形结合思想主要指借助数形对应转化进而解决实际问题，倘若我们令数量关系借助图形性质便可令较多抽象关系、概念变得更为形象与直观，十分有利于探求合理的解题途径，即所谓的以形助数，而倘若一些图形问题能合理的借助数量关系转化又可获取一般化、简捷的解题方式，即以数解形。
由此可见数形结合理念的实质就是有效将直观图形与数学语言结合，令形象思维与抽象思维融合，通过数形转化、图形认识培养学生的形象性与灵活性思维，进而令复杂数学问题趋向简单、抽象问题趋向具体。
可以说数形结合是初中数学教学最为基本的价值化思想之一，在教学实践中应用广泛，是合理解决多类数学问题的重要思维。
高一数学 必修一复习题
高一数学必修一复习题一．选择题（共12小题）1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．2．已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．﹣4B．﹣C．D．﹣83．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）4．“x≤3”是“x2﹣7x+12≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x2C．y＝|x|D．6．已知函数f（x）是定义在[1﹣2m，m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0，m]，当x1≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则不等式f（x﹣1）≤f（2x）的解集是（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[0，]D．[0，]7．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞08．已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）10．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（]C．[]D．[，1）11．已知，则f（x）的解析式为（）A．，且x≠1）B．，且x≠1）C．，且x≠1）D．，且x≠1）12．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）A．﹣2B．﹣1或2C．﹣1或±2D．﹣1或﹣2二．多选题（共4小题）13．“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥014．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P （除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是（）A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集15．函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，以下选项正确的有（）A．f（x）＝2x+1关于中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，﹣2）中心对称C．函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数16．对任意两个实数a，b，定义，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x2﹣2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数B．方程F（x）＝0有两个解C．函数F（x）有4个单调区间D．函数F（x）有最大值为0，无最小值三．填空题（共4小题）17．若∀x∈R，mx2+mx+1＞0，则实数m的取值范围为．18．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是．20．设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为四．解答题（共5小题）21．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x﹣1≤2}．（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M＝{x|k﹣1≤x≤2k﹣1}且M∩A＝M，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．23．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，比较与的大小；（2）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，求的取值范围；24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示：（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式，并在图中补充完整函数f（x）（x∈R）的图象；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2，当x∈[1，2]时，求函数g（x）的最小值．25．已知函数f（x）＝．（1）证明：函数f（x）在[1，+∞）上单调递减；（2）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0；（3）求函数f（x）的值域．高一数学必修一复习题参考答案一．选择题（共12小题）CDBAC，CABCB，CC二．多选题（共4小题）13. BD．14. AD．15.BC 16.BCD三．填空题（共4小题）17. [0，4）．18.{0，，2}．19.（，] 20. 12．二．解答题（共5小题）21．解：（1）因为全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x ﹣1≤2}＝{x|﹣2≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}；（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1，或x＞3}；（2）由M∩A＝M，得M⊆A，①当M＝∅时，k﹣1＞2k﹣1，k＜0．②当M≠∅时，有k﹣1≤2k﹣1，即k≥0，此时只需2k﹣1＜﹣4或k﹣1＞1，解得k＞2．综上：k＜0或k＞2．22．解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝6；（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．23.解：（1）﹣＝＝e•，∵a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，∴a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，又e＜0，∴﹣＞0，∴＞．（2）∵2x+y＝1，x＞0，y＞0，∴+＝（+）（2x+y）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即x＝1﹣，y＝﹣1时等号成立，故的取值范围是[3+2，+∞）．24．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2×（﹣x）＝x2﹣2x（x＞0），即﹣f（x）＝x2﹣2x，得f（x）＝﹣x2+2x．∴．图象如图：；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，由函数图象可知，解得1＜a≤3．故实数的取值范围是（1，3]；（3）g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2＝x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴方程为x＝a+1，当a+1≤1，即a≤0时，g（1）＝1﹣2a为最小值；当1＜a+1≤2，即0＜a≤1时，g（a+1）＝﹣a2﹣2a+1为最小值；当a+1＞2，即a＞1时，g（2）＝2﹣4a为最小值．综上，．25.解：（1）解法一：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，故在[1，+∞）上，∴f′（x）＝≤0，当且仅当x＝1时，f′（x）＝0，故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．解法二：设x2＞x1≥1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，由题设可得，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．（2）由于f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，即不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x ﹣4）＝f（x2﹣2x+4）．∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4＞1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1+2x2 ＜x2﹣2x+4，求得﹣3＜x＜1，故原不等式的解集为（﹣3，1）．（3）当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，f（x）＝≤，即f（x）∈（0，]．根据f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）∈[﹣，0）．综上可得，f（x）的值域为[﹣，]．。
华罗庚名言数形结合百般好
华罗庚名言数形结合百般好1. 华罗庚说的关于数与形的名言是什么数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
1、科学是实事求是的学问，来不得半点虚假。
——华罗庚2、独立思考能力，对于从事科学研究或其他任何工作，都是十分必要的。
在历史上，任何科学上的重大发明创造，都是由于发明者充分发挥了这种独创精神。
——华罗庚3、凡是较有成就的科学工作者，毫无例外地都是利用时间的能手，也都是决心在大量时间中投入大量劳动的人——华罗庚4、任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。
行路，还是要靠行路人自己。
——华罗庚5、天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。
——华罗庚6、我们最好把自己的生命看做前人生命的延续，是现在共同生命的一部分，同时也后人生命的开端。
如此延续下去，科学就会一天比一天灿烂，社会就会一天比一天更美好。
——华罗庚7、聪明在于学习，天才在于积累。
……所谓天才，实际上是依靠学习。
——华罗庚8、科学上没有平坦的大道，真理的长河中有无数礁石险滩。
只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。
——华罗庚9、在寻求真理的长征中，惟有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭。
——华罗庚10、我想，人有两个肩膀，应该同时发挥作用，我要用一个肩挑着送货上门的担子，把科学知识和科学工具送到工人师傅手里；另一个肩膀可以作人梯，让青年们踏着攀登科学的更高一层山峰。
——华罗庚11、时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来——华罗庚12、日累月积见功勋，山穷水尽惜寸阴。
——华罗庚13、自学，不怕起点低，就怕不到底。
——华罗庚14、抓住自己最有兴趣的东西，由浅入深，循序渐进地学……——华罗庚15、学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
作业： 教学与测试》 作业：《教学与测试》 P86
8，9，10 ， ，
(C)
2、不等式3 | x + a | −2 x + 6 > 0在R中恒成立, 则实数a的取值范围是
a > −3
[理一理 注意问题： 理一理] 理一理
1、数与形转化的等价性 、数与形转化的等价性 2、“数”的精确性 、 3、 3、“形”的全面 性 4、不能用图形的直观代替严密的 逻辑推理 客观题：简捷灵活； 客观题：简捷灵活； 主观题：启发思路， 主观题：启发思路，说理严密
1
y
x
O
1
2、已知a是平面内的单位向量，若向量b 满足b • a − b） 0，则 | b 的取值范围是 （ = |
[0,1]
3、对于任意的x ∈ R，不等式 | x |≥ ax恒成立， 则实数a的取值范围是 （A）a < 1 ( B ) | a |< 1 (C ) | a |≤ 1 ( D)a ≥ 1
(C)
4、函数y = x − 2 x + 2 + x − 6 x + 13的
2 2
最小值为
13
x≥0 5、 浙）若a ≥ 0，b ≥ 0，且当 y ≥ 0 时， (08 x + y ≤ 1 恒有ax + by ≤ 1，则以a，b为坐标的点P（a，b） 所形成的平面区域的面积是
1
| lg | x − 1 ||, x ≠ 1 6、设定义域为R的函数f ( x) = x =1 0,
函数y = f（x）的图象与x轴交点的横坐标
6、向量、三角、不等式 、导数、统计、算法 与框图、几何概型等的 图形表示。
二、以数解形
用空间向量解立体几何、用解析法解平面几 何等。
数缺形时少直观,形少数时难入微——“图形中的规律”教学案例及剖析
6. 谈谈这节课你有什么收获。 【教学剖析】 1. 突出了数形结合思想 本节课主要引导学生通过摆小棒的方式，在不断的 操作、观察、讨论、概括和验证的活动中探索图形排列的 规律，学会用算式表达规律，充分体会数形结合的数学 思想。华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入 微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。”教学的过程充 分体现了“形可以表示数，用形还可以研究数”，让学生 感受到形与数的关系，感受到形的直观，发展了自身的 数感和空间想象力。 2. 突出了学生的主体地位 本节课主要的学习方式是学生的自主探究。课堂 30 分钟的时间交给学生自主探究、合作交流和自我展 示，充分体现了学生的主体地位。 3. 突出了教师的主导作用 教师精心设计了“探究学习纸”，通过“探究学习纸” 科学地提出探究问题和学习要求，帮助学生搭好思维的 脚手架。在梳理小结的环节，教师通过北师大版教材中 三个卡通人物“笑笑、淘气、智慧老人”的探索方法来呈 现 规 律 ，呈 现 的 过 程 实 质 上 也 是 学 生 思 考 和 对 比 的 过 程。在每一个探究环节中，教师都精心、科学地设计了 符合学生学情的问题，能够促进学生思考和进一步的探 究，突出了教师的主导作用，为教学活动的开展提供了 有效支撑。
［关键词］探究；创新思维；源于生活 ［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2019）29-0066-02
【教材内容】人教版教材六年级上册“确定起跑线” 【教材简析】“确定起跑线”是在学生系统学习有关 圆的知识后设置的一个综合与实践活动。这个综合实 践活动一是让学生知道环形跑道的组成，并通过自主探 究，灵活运用所学的知识解决问题，学会确定起跑线的 方法；二是让学生体会到生活中处处有数学，到处都能 发现数学问题，培养学生用数学的眼光看待生活、发现 生活中的数学的习惯，进一步提高解决问题的能力。 【教学目标】 1. 让学生知道环形跑道的组成，学会运用所学的知
数缺形时少直观,形少数时难入微
数缺形时少直观，形少数时难入微作者：胡迅来源：《小学教学参考(数学)》2019年第10期[摘要]在“图形中的规律”的教学中引导学生通過摆小棒的方式，在操作、观察、讨论、概括和验证的数学活动中探索图形排列的规律，学会用算式表达规律，充分体会“数形结合”的数学思想。
[关键词]数形结合;图形;规律;主导作用[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）29-0065-02【教学内容】北师大版教材五年级上册“图形中的规律”【教学目标】1.（知识技能目标）通过摆一摆、画一画、填一填、算一算等活动找出图形中的规律;体会图形与算式的联系，发展抽象和概括能力。
2.（过程与方法目标）在不断的操作、观察、讨论、概括和验证等数学活动中探索规律，形成策略和方法，发展思维能力，提升思维品质。
3.（情感与态度目标）能积极参与数学活动;对数学活动有好奇心和求知欲;在学习活动中获得独立思考能力和形成与人合作的意识。
【教学过程】1.揭示课题师：上课前，先问大家一个问题：数学好玩吗？师：今天我们就来学习好玩的数学——摆三角形。
请一位同学到讲台上来帮我摆一个三角形。
师：需要几个小棒？生（齐）：三根。
师：请再摆一个三角形，不相连的。
一共用了多少根小棒？像这样子摆五个、摆十个分别需要多少根小棒？生1：15根和30根。
师：这么快就得到答案了！是怎么算出来的？生2：用三角形个数乘3。
师（出示课件）：像这样摆一排，摆10个三角形需要多少根小棒？;师：还能用三角形个数乘3吗？生（齐）：不能。
师：在这种图形中，三角形个数与小棒的根数是什么关系？有规律可循吗？这节课我们就来研究图形中的规律。
2.自主探究师：这节课主要是让同学们自主探究。
在探究之前明确学习要求：先独立思考;再在小组内交流自己的想法和发现;最后上台汇报展示自己发现的规律。
师：请小组长把探究学习纸、小棒等学具发给自己组的成员，并开始自主探究学习。
关于数学的名言
关于数学的名言:1.韦达说(代数学之父)：“没有不能解决的问题”2.华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”又说“要打好数学基础有两个必经过程：先学习理解“由薄到厚”;再消化提炼“由厚到薄””3.给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习;不是已有的东西，而是不断的获取;不是已到达的高度，而是继续不断的攀登。
——高斯4.爱因斯坦说：“每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。
这样做并没有什么目的，只是让自我有个机会充分享受一下专心思考的愉快”5.数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。
——傅立叶6.数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。
——克莱因7.数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。
所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
——笛卡儿8.傅立叶说：“数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释”9.黄武雄说(台大教授)：“导引定义，经常能够从反例着手”10.数学是一种别具匠心的艺术。
——哈尔莫斯11.数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后高斯(Gauss)音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
――克莱因12.柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”13.卡拉吉奥多里(希腊函数论数学家)说：“学数学，绝不会有过份的发奋”牛b的话数学是除了语言与音乐之外，人类心灵自由创造力的主要表达方式之一，而且数学是经由理论的建构成为了解宇宙万物的媒介。
因此，数学必需持续为知识，技能与文化的主要构成要素，而知识与技能是得传授给下一代，文化则得传承给下一代的。
――录自德国数学家HermannWeyl语14.数支配着宇宙。
——毕达哥拉斯15.数学是人类的思考中最高的成就。
——米斯拉16.华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
”17.“我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸”18.我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分
(C )
4、函数y x 2 x 2 x 6 x 13的
2 2
最小值为
13
x0 5、 (08浙）若a 0，b 0，且当 y 0 时， x y 1 恒有ax by 1，则以a，b为坐标的点P（a，b） 所形成的平面区域的面 积是
1
| lg | x 1 ||, x 1 6、设定义域为R的函数f ( x) x 1 0,
2 则关于x的方程f （ x） bf（x） c 0有7个不同
实数解的充要条件是 ( A)b 0, c 0 ( B)b 0, c 0 (c)b 0, c 0 ( D)b 0, c 0
(C )
[典例剖析]
1 3 2 已知 a是实数，函数 f（x） x ax 3 (1)求f ( x)在区间 [0， 2]上的最小值
二、以数解形
用空间向量解立体几何、用解析法解平面几 何等。
[试一试]
对于满足0 x1 x2 1的任意x1, x2，给出下列结论： （ 1 ）f（x2） f（x1） x2 x1 (2) x2 f ( x1 ) x1 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 (3) f( ) 2 2 其中正确的是 （2）（3）
8，9，10
数轴上的点P
2、有序实数对（ x，y） 坐标平面上的点 P（x，y） y 3、比式 直线OP的斜率kOP x
4、根式 x 2 y 2 距离 | OP |
5、方程f（x） 0的实数根 函数y f ( x)的零点
函数y f（x）的图象与x轴交点的横坐标
6、向量、三角、不等式 、导数、统计、算法 与框图、几何概型等的 图形表示。
形缺数时难入微,数缺形时少直观——华罗庚
形缺数时难入微，数缺形时少直观——华罗庚可见在数学学习中数与形有着紧密的联系。
培养学生的空间观念、几何直观与推理能力，也正是初中数学最重要的环节。
苏科版七年级上第五章走进图形世界5.4从三个方向看。
这是学生进入初中来的首次与空间观念相接触，这一课程其实已经在小学有了初步的学习，但是并没有那么系统。
这一内容正是直观与想象相结合。
如：画出由几个正方体堆成的几何体的三视图课堂准备：若干个小立方体模型可以任意的改变造型。
直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的。
同样的，几何直观是在几何图形（或几何体）为载体进行的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。
因此，几何直观可以培养学生的空间观念。
几何直观一定要是可视的，学生可以利用生活经验观察到其中的联系，故而几何直观可以培养学生的洞察能力。
在此教学中，可以借用数学模型来辅助学生培养这样的几何直观能力，再循序渐进地理解数学本质，促进学生思维的发展，更加容易地为学生形成空间观念。
再根据不同的摆放，训练学生的思维，即时做好相应的经验总结。
在揭示经验的策略的同时，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环。
再如：用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )主视图俯视图A.9与13B.7与10C.10与16D.10与15此类题型与上述问题有着很大的区别，对于学生的空间观念有着更大的考验。
但我们可以借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会。
数缺形时少直观,形缺数时难入微
数缺形时少直观，形缺数时难入微 我国著名数学家华罗庚先生有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述.学好向量这一块内容，能进一步促进学生对代数几何的理解，运用代数几何化、几何代数化的方法，从多角度思维。
（一） 代数几何化
平面向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为向量问题，从而使问题简化.
（二）几何代数化
通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算.
例：已知向量1a b == ，且0120a b 与的夹角为，问x 为何值时，a xb - 的值最小
b a xb
?并求此时与-的夹角.
分析:画出图形（如下图），易知a xb - 就是点A 到直线OB 上的点的的距离。
所以，min A OB a xb -= 点到直线的距离，即图中所示的AH。
在AOH 中易得AH 时2b a xb π
与-的夹角为.
注：本题亦可有代数方法解决，但运算量较大。
用数形结合的方法，就显得简洁。
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合.
正所谓：代数几何巧转换，数形结合多直观。
数缺形时少直观
数缺形时少直观——浅谈“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透华罗庚先生曾这样形容“数”“形”的关系：。
“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”虽然在小学阶段不讲直角坐标系，不讲函数图象，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点。
（一）用好“数尺”“数线”或数轴，感知“数与形”的结合由于学生对直尺非常熟悉，因此可将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，使抽象的数在可看得见的“数尺（没有刻度，只有自然数）”上形象、直观地表示出来，将数与“位置（还没有‘点’的概念）”建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。
如下图所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30“数线”与数轴的区别在于“数线”没有画出“方向”，“数线”与数轴的运用不但能够比较数的大小，而且将“数”与直线上的“点”建立了一一对应关系，而且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。
数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如：“加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者看作是向右平移若干个单位。
“减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看作是向左平移若干个单位。
“乘法”就是在数轴上几个几个的向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍。
“除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，就是“除尽”，数了几次，商就是几。
当不能恰好数到“0”，就产生了“余数”，数轴是理解“有余数除法”的形象化载体。
例如，48÷5=9 (3)（二）借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系方法一：多数学生的解题方法：分着购买所花的钱数：（800-500）×80%+500+200=940（元）合着购买所花的钱数：（800+200-500）×80%+500+200=900（元）合买比分买省的钱数：分着购买所花的钱数：940-900=40（元）方法二：一名学生的解题方法：200×（1-80%）=40（元）当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这位同学进一步解释。
华罗庚的名言名句
华罗庚的名言名句1.数缺形时少直观，形缺数时难入微“又说”要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。
——华罗庚2.科学是没有国界的，因为它是属于全人类的财富，是照亮世界的火把；但学者属于祖国。
3.宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
——华罗庚(华罗庚的名言名句)。
4.聪明在于学习，天才在于积累。
所谓天才，实际上是依靠学习。
——华罗庚5.我们每个人手里都有一把自学成才的钥匙，这就是：理想、勤奋、毅力、虚心和科学方法。
6.独立思考能力，对于从事科学研究或其他任何工作，都是十分必要的。
在历史上，任何科学上的重大发明创造，都是由于发明者充分发挥了这种独创精神。
7.科学是到处为家的--不过在任何不播种的地方，是决不会得到丰收的。
8.同样一件事，反映各不同，努力向上者，取其积极面，自暴自弃者，取其消极面。
9.人家帮我，永志不忘；我帮人家，莫记心上。
——华罗庚10.在科学工作中，不愿意越过事实前进一步的人，很少能理解事实。
11.科学成就是由一点一滴积累起来的，惟有长期的积聚才能由点滴汇成大海。
12.华罗庚锦城虽乐，不如回故乡；乐园虽好，非久留之地。
归去来兮。
13.在美国阿尔巴城的一座优雅别致的洋房前，一辆小汽车停了下来。
华罗庚下了车，疾步走进客厅，冲着他的妻子喊了起来：“中国解放了!”14.学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。
15.只有不畏攀登的采者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。
──华罗庚16.如此延续下去，科学就会一天比一天灿烂，社会就会一天比一天更美好。
华罗庚(中国)17.壮士临阵决死，那管些许伤痕，向千年老魔作战，为百代新风斗争。
18.科学是一切生活的基础，如同一把钥匙，为我们开辟前进的道路。
【中考数学】 有理数解答题(及答案)
【中考数学】有理数解答题(及答案)一、解答题1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．⑴发现问题：代数式的最小值是多少？⑵探究问题：如图，点分别表示的是，．∵的几何意义是线段与的长度之和∴当点在线段上时， ;当点点在点的左侧或点的右侧时∴的最小值是3．⑶解决问题：①. 的最小值是 ________ ；②.利用上述思想方法解不等式：________③.当为何值时，代数式的最小值是2________．2．已知式子M＝(a＋5)x3＋7x2－2x＋5是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b.（1）a＝________，b＝________．A，B两点之间的距离＝________；（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2019次时，求点P所对应的有理数；（3）在(2)的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．3．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.①用代数式表示A、B两点之间的距；②如果 ,求x的值.（3）直接写出代数式的最小值.4．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推（1）阴影部分的面积是多少？（2）受此启发，你能求出1+ 的值吗？5．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：解答下列式子：（1）比较a，，c的大小(用“<”连接)；（2）若，试化简等式的右边；（3）在(2)的条件下，求的值．6．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值．（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．7．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足（1）求a和b的值；（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.8．点A、O、B、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、B、C表示的数分别是a、b、c .（1）若a=﹣2，b=4，c=8，D为AB中点，F为BC中点，求DF的长.（2）若点A到原点的距离为3，B为AC的中点.①用b的代数式表示c；②数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式|x﹣c|﹣5|x﹣a|+bx+cx 的值都不变，求b的值.9．点A在数轴上对应的数为3，点B对应的数为b，其中A、B两点之间的距离为5 （1）求b的值（2）当B在A左侧时，一点D从原点O出发以每秒2个单位的速度向左运动，请问D运动多少时间，可以使得D到A、B两点的距离之和为8?（3）当B在A的左侧时，一点D从O出发以每秒2个单位的速度向左运动，同时点M从B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，点N从A出发，以每秒4个单位的速度向右运动；在运动过程中，MN的中点为P，OD的中点为Q，请问MN-2PQ的值是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；如果没有变化，请求出这个值.10．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点．（1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝________，AC＝________，BE＝________；（2）当线段CE运动到点A在C、E之间时,①设AF长为 x，用含 x 的代数式表示BE的值（结果需化简）；②求BE与CF的数量关系；（3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q 两点间的距离为1个单位长度．11．观察下列等式，，，把以上三个等式两边分别相加得：．（1）猜想并写出： ________．（2）直接写出下面算式的计算结果： =________.12．阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为-2和2，即的值为-2和2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与的距离为2的点的对应数为3和-1，即的值为3和-1．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）（2）（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．13．阅读下列材料:对于排好顺序的三个数: 称为数列 .将这个数列如下式进行计算: ，，，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列的“关联数值”.例如：对于数列因为所以数列的“关联数值”为6.进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列的“关联数值”为0；数列的“关联数值”为 3...而对于“ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.（1）数列的“关联数值”为________；（2）将“ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是________，取得“关联数值”的最大值的数列是________（3）将“ ” 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列.14．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化.（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是(________)A. B.C. D.②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……，依次规律跳，当它跳2019次时，落在数轴上的点表示的数是________.（2）翻折变换①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2019的点与表示________的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示________B点表示________.③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为________.（用含有a，b的式子表示）15．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是-3、1、5。
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形缺数时难入微，数缺形时少直观——华罗庚
可见在数学学习中数与形有着紧密的联系。
培养学生的空间观念、几何直观与推理能力，也正是初中数学最重要的环节。
苏科版七年级上第五章走进图形世界5.4从三个方向看。
这是学生进入初中来的首次与空间观念相接触，这一课程其实已经在小学有了初步的学习，但是并没有那么系统。
这一内容正是直观与想象相结合。
如：画出由几个正方体堆成的几何体的三视图
课堂准备：若干个小立方体模型
可以任意的改变造型。
直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的。
同样的，几何直观是在几何图形（或几何体）为载体进行的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。
因此，几何直观可以培养学生的空间观念。
几何直观一定要是可视的，学生可以利用生活经验观察到其中的联系，故而几何直观可以培养学生的洞察能力。
在此教学中，可以借用数学模型来辅助学生培养这样的几何直观能力，再循序渐进地理解数学本质，促进学生思维的发展，更加容易地为学生形成空间观念。
再根据不同的摆放，训练学生的思维，即时做好相应的经验总结。
在揭示经验的策略的同时，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环。
再如：用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )
主视图俯视图
A.9与13
B.7与10
C.10与16
D.10与15
此类题型与上述问题有着很大的区别，对于学生的空间观念有着更大的考验。
但我们可以借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会。