4-16 -欧拉方程、求解线性非齐次高阶方程的特解、待定系数法

(2) 方程的特征方程为 λ λ 6 0 ，特征根为 λ1 3, λ 2 1 . 令 x e y ，则原方程可
2
t
化为
d 2 y ~ dy ~ p q y 2t . 由前面齐次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具 dt 2 dt
*
有零特征根且重数为 k=1，于是新方程具有如下形式特解 y t(At B) ，于是原方程具有 形式特解 x e t(At B) e (At Bt) ，
例 52. 求解微分方程 x
2
d2 y dy x y0. 2 dx dx
λ λt
解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令 y x e ，得到欧拉方程的特征方程为
λ(λ - 1) λ 1 0 ，解得 (λ 1) 2 0 . 于是 λ 1 为二重根.
于是得到欧拉方程的基本解组为 e , te ， 返回原变量为 x , ln | x | x ， 因此原欧拉方程的通 解为 y c1x c 2 xln | x |, c1 , c 2 R . 例 53 Find the general solution of the following equation: (1) x y' '3xy'10y 0 ;
2 t t 1 1
Solution (1) Let y e x ，then the associated characteristic equation of Euler equation is
λt λ
λ(λ 1) 3λ 10 0 . By solving the algebraic equation, we get λ1,2
2
2
d2y dy (2) x y' '3xy'4y 0 ; (3) x 3x 5y 0 . 2 dx dx
2. 非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients’ method) （1）非 齐 次 线 性 微 分 方 程 通 解 结 构 ： 考 察 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程
y c1x 1cos(3ln | x |) c 2 x 1sin(3ln | x |) ,
c1 , c 2 are two independent variables.
作业 47.
2
Find the general solution of each of the following equation: (1) x y' '2xy'12y 0 ;
* k 2
作业 48 求方程
d2y dy 2 3y 3t 1 的通解. 2 dt dt
例 55. 求解二阶非齐次方程 (1)
2
d 2 x dx d 2 x dx t ; (2) 6x 2t e 6x 2t e 3t 的通解 . dt 2 dt dt 2 dt
t
* 3t 3t 2
dx * e 3t (3At 2 3Bt 2At B) ， dt
d 2 x* e 3t (9At 2 9Bt 6At 3B) e 3t (6At 3B 2A) e 3t (9At 2 (9B 12A)t 6B 2A), 2 dt
2 d2y dy dy d 2 y 2 t dt 2 t d y dt x x ( e ) x e ( 2 )- 2 ； dx 2 dx dt dt dx dt dt 2
因此，原方程化为
λt λ
d2y dy (p 1) qy 0 ，这是一个常系数线性微分方程. 2 dt dt
[教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介 绍非齐次线性方程特解的常数变易法. [教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运 用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中
d2x dx d2x dx . 若 为 x (t), x (t) p(t) q(t) f(t) p(t) q(t) 0 的基本解组且 x * (t) 1 2 2 2 dt dt dt dt
为原非齐次方程的一个特解， 则原 非齐次线性方程的通解为 x(t) c1x1 (t) c 2 x 2 (t) x (t)
dx * e t (At B) e t A ， dt
A A 6A 2 d 2 x* e t (At B) 2e t A, 代 入 原 方 程 得 到 ， ，得到 2 dt B 2A B A 6B 0
A 1/3, B 1 1 1 * t . 所 求 特 解 为 x e (- t ) . 因 此 ， 原 方 程 的 通 解 为 18 3 18 1 1 x * c1e 3t c 2 e -2t e t (- t ) ， c1 , c 2 R . 3 18
λt λ2t
或 e 1 , te
λt
λ1 t
，或 e cos( t ), e sin( t ) .
λ λ2
t
t
返 回 原 变 量 得 到 欧 拉 方 程 的 基 本 解 组 为 x 1,x
或 x 1 , ln | x | x
λ
λ1
， 或
x cos( ln | x |), x sin( ln | x |) .
*参见教材 P127 定理 7)
（2）待定系数方法求解非齐次方程的特解
例 54. 求解二阶非齐次方程(1)
d 2 x dx d2x ; (2) 6x 2t 2t 的一个特解. dt 2 dt dt 2
解：(1) 方程的特征方程为 6 0 ，得到 λ1 3, λ 2 2 . 猜想：原方程具有如下形
4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法
(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)
证明： (1) 由函数 ( x) i ( x) 为方程 线性性质知，
d 2 d 2 i dx 2 dx 2

d d p i dx dx
q ( ( x) i ( x)) u ( x) iv( x) 。
由两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部同时相等知，
t
2
令 y e (y x ) 代 入 方 程 得 到 ， 方 程 为 e (λ (p 1)λ q) 0 （ 或 ，称 λ(λ 1) pλ q 0 为欧拉方程的特征方程. λ(λ 1) pλ q 0 ） 由此得到新方程的基本解组为 e 1 , e
3t
; (2)
d2y dy 2 3y e t (3t 1) 的通解. 2 dt dt
定理 1. 考察方程
d2y dy p qy u ( x) iv( x) ，其中 p, q 为实数， u ( x), v( x) 为两个连 2 dx dx
续实函数. 如果 ( x) i ( x) 是上述方程的解函数，则有如下结论：
d2y dy (1) 函数 y ( x) 为方程 p qy u ( x) 一个解函数； 2 dx dx
(2) 函数 y ( x) 为方程
d2y dy p qy v( x) 一个解函数。 2 dx dx d2y dy p qy u ( x) iv( x) 的解函数和求导运算 2 dx dx
解：(1) 方程的特征方程为 λ λ 6 0 ，特征根为 λ1 3, λ 2 1 . 令 x e y ，则原方 程可化为
d 2 y ~ dy ~ 于 p q y 2t . 由上例分析知，新方程具有如下形式特解 y* At B ， 2 dt dt
* t
是原方程具有形式特解 x e (At B) ，
Then two dependent solutions to the
1 t t
2 i6 1 3i . 2
new equation is e cos(3t), e sin(3t) , and fundamental
1
solutions to Euler equation is x cos(3ln | x |), x sin(3ln | x |) . Therefore, the general solution is given by
2
式特解： x (t) At B （原因是 C t 经过两次求导最高次数为 0，一次求导后最高次数为
*
2
1 ， 方 程 两 边 比 较 得 到 C=0 ） ， 代 入 方 程 得 到 A 6At 6B 2t ， 比 较 系 数 得 到
6A 2 1 1 1 1 * ，得到 A , B 。因此所求原方程的一个特解为 x (t) - t . 3 18 3 18 A 6B 0
小结：考察
d2x dx （1）若 0 不是相应齐次方 p(t) q(t) f(t) ， f(t) at 2 bt c ， 2 dt dt
* 2
程特征方程的特征根，则可设特解形式为 x (t) At Bt C ；(2)若 0 是微分方程的 特征方程的 k 重特征根，则可设特解形式为 x (t) t (At Bt C) .
9A - 3A 6A 0 2 代入原方程得到， 9B 12A 3B 2A 6B 2 ，得到 A 1/5, B . 所求特解为 25 6B 2A B 0