4.4平面向量应用举例

方法二：如图，以A为原点，AD所在 直线为x轴建立直角坐标系，则A(0， 0)，D(1，0)，设AB的长为a,则
a 3 a 3 3 因为E是CD的中点，所以 E(1 a ， B( ， a )，C(1 ， a )， a )， 2 2 2 2 4 4 a 3 a a 3 所以 AC (1 a ， 3 a )， BE (1 ， a )， AC BE (1 )(1 ) a 2 1 ， 2 2 4 4 2 4 8 1 即2a2-a=0,解得 a 或a=0(舍去).故AB的长为 1 . 2 2 1 答案： 2
【知识梳理】
1.向量在平面几何中的应用
(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及
数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.
(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧:
问题类型
线平行、点 共线等问题
所用知识
共线向 量定理
公式表示
a=λ b(b≠0) ⇔x 1y2-x2y1=0 a∥b⇔____________ __________ 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2) a·b=0 x1x2+y1y2=0 a⊥b⇔_______⇔__________ a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a,b为 非零向量 cosθ =_____(θ 为向量a,b的夹角)
2 2 1 1 3 AB AC sin A 5 4 5 3. 2 2 2
故S
ABC
4．已知平面向量a=(1，cos θ ),b=(1,3sin θ ),若a与b共线， 则tan 2θ 的值为( A.
1 3
) C. 3
4
B. 2
3
D.1
【解析】选C.因为a与b共线，所以3sin θ-cos θ=0,
)
A. 5
B. 2 5
C.5
D.10
(2)(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,
E为CD的中点.若 AC BE 1, 则AB的长为______.
【解题视点】(1)观察向量 AC与BD 坐标的特点，由此通过计 算判断AC与BD的位置关系，再利用面积公式求解. (2)根据题意，选取 AB ， AD当基底，根据向量的加法及平面向 量基本定理由 AB ， AD表示AC ， BE ，由AC BE 1 列方程求AB的 长，或建系用向量的坐标运算求AB的长.
1 1 CM CB ＝(CA＋ AB) CB ＝CA CB ＋ AB CB 3 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
6.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而 处于平衡状态，已知F1,F2成60°角，且F1,F2的大小分别为2 和4，则F3的大小为________. 【解析】由题意得F3+F1+F2=0，所以
【规范解答】(1)选C.因为 AC BD 0, 所以AC,BD是互相垂直的 对角线，所以 S 1 | AC | BD 1 5 2 5 5．
2 2
(2)方法一：因为 AC AB AD,BE BA AD DE
1 1 －AB AD AB AD－ AB, 2 2 所以AC BE (AB AD) (AD－ 1 AB) 2 2 2 1 1 AD AD AB － AB 2 2 1 1 1 1 | AB | cos 60－ | AB |2 1, 2 2 1 1 所以 1 | AB |－ | AB |2 0, 解得| AB | . 4 2 2
【易错警示】关注四边形面积的求法
本例(1)采用对角线互相垂直的四边形面积的求法，解答
本题易忽视向量 AC ， BD 的关系，误选.求四边形面积的方法有：①特殊四边形套
公式法；②不规则四边形常用分割法；③对角线互相垂直的 四边形，其面积是对角线长乘积的一半.
【互动探究】本例(2)中其他条件不变，若 AB 1 ，试求 AC BE
2 2 2 x y a |a|=________=_________,
垂直问题
数量积的
运算性质 数量积
夹角问题 长度问题
的定义
数量积 的定义
ab a b
其中a=(x,y)
(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 平面几何问题 何问题 向量问题 解决向量问题 解决几
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合 成和向量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即 F·s _____________( |F||s|cosθ θ 为F与s的夹角). W=_____=
因为△ABC是边长为 2 3 的等边三角形,
1 所以 CA CB 12， CA CB 2 3 2 3 6，
2 2
2 所以 MA MB 2 12 7 6 5 12 2. 9 18 36
B － 3， 0 ,C


3,0 .

设M(x,y)，则 CM x 3, y ，
3,3 .
CB 2 3,0 ， CA



由 CM 1 CB 2 CA得,
6 3 1 2 x 3, y 2 3,0 3,3 3, 2 , 6 3
BC BA =(-6，-6)·(-2，2)=12-12=0，所以角B是直角，故
△ABC是直角三角形.
3.(2014·武汉模拟)在△ABC中， AB 5， AC 4， AB AC 10， 则△ABC的面积是( A.5 B.10 ) C. 5 3 D.20
【解析】选C.由 AB AC AB AC cos A 5 4cos A 10, 得 cos A 1 , 所以sin A 1 cos 2 A 3 ，



所以x=0，y=2,所以点M的坐标为(0,2).
所以 MA＝ 0，， 1 MB ＝ － 3，－2 ．
所以 MA MB 2.


方法二:由于 MA CA CM CA ( 1 CB 2 CA ) 1 CA 1 CB,
6 3 3 6 1 2 2 5 MB CB CM CB ( CB CA) CA CB, 6 3 3 6 所以 MA MB ( 1 CA 1 CB) ( 2 CA 5 CB) 3 6 3 6 2 2 2 7 5 CA CA CB CB . 9 18 36
2 所以 sin〈a, b〉 1 cos 〈 a, b〉
ab , ab
ab 2 (a b)2 1( ) 1 , 2 ab a | b | 所以S
OAB
1 1 (a b) 2 | a | b sin〈a, b〉 | a | b 1 2 2 2 a | b |
1 (a b)2 1 2 2 2 2 2 (| a | b ) (| a | b ) a b ( a b ) . 2 2 2 a | b |
【规律方法】向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐 标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决.
(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系 构造关于未知量的方程来进行求解 . 提醒：用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用 基向量解题时要选择适当的基底.
【加固训练】 1.已知△ABC，点D在BC边上，且 CD 4DB mAB nAC ， 则m+n的值为( A. 8
5
) C. 8
5
B.0
D. 16
5
【解析】选B.如图，因为 CD 4DB ，
所以 CD 4 CB 4 (AB AC) 4 AB 4 AC.
5 5 5 5
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)， C(-1，-4)，则这个三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 )
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选B.由题意，得 AB 2， 2 ， AC 4， 8 ， BC 6， 6 ， 显然 | AB || AC | BC ,AB AC 8 16 8 0, 所以角A是锐角，
又 CD mAB nAC ， AB ， AC不共线，
4 4 所以m , n , 故m n 0. 5 5
2.若等边△ABC的边长为 2 3，平面内一点M满足 CM 1 CB 2 CA，
6 3
则 MA MB ＝_____. 【解析】方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立 如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知 A(0，3)，
【变式训练】(2014·沧州模拟)平面上O,A,B三点不共线，设 则△OAB的面积等于( OA a,OB b，
A. a B. a C.
2
)
b a b
2
2
2
b a b
2
2
1 2 2 2 a b a b 2 1 2 2 2 D. a b a b 2
【解析】选C.由条件得 cos〈a, b〉
【考点自测】 1.(思考)给出下列结论： ①若 AB与CD 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上； ②若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB x 2 x1 2 y2 y1 2； ③在△ABC中，若 AB BC＜0， 则△ABC为钝角三角形； ④物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量，可 用向量表示. 其中正确的是( A.①② ) B.①③ C.②④ D.①④
【解析】选C.①错误，线段AB，CD所在的直线也有可能平行； ②正确，因为 AB x 2 x1，y2 y1 ，所以 AB
x 2 x1
2
y 2 y1 ；
2
③错误，由 AB BC 可得角B为锐角，但三角形的 ＜ 0得BA BC ＞0， 形状不能判定；
④正确，由物理学的知识知④正确.
2 F3 F32 ［ F1 F2 ］
F1 F2 4 16 2 2 4cos 60 2 7.
2
答案：2 7
考点1
向量在平面几何中的应用
【典例1】(1)(2013·福建高考)在四边形ABCD中，AC 1, 2 ，
BD －4, 2 , 则该四边形的面积为(
2 1 2tan 3 3. 即tan , 所以tan 2 3 1 tan 2 1 1 4 9
5.(2014·益阳模拟) 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3， 点M满足 BM ＝2MA ，则CM CB 等于( A.2 B.3 C.4 ) D.6
【解析】选B.由题意可知，
第 四 节
平面向量应用举例
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 考纲 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问 要求 题
13年(3考):福建T10 三年 12年(2考):湖南T15 考题 11年(1考):天津T14
天津T12 陕西T7
江苏T15
1.以向量的线性运算、向量共线和垂直的条件、平面向 考情 量的数量积为工具解决三角函数、平面几何及解析几何 播报 等问题是近几年高考命题的热点之一 2.三种题型都有可能出现,属中低档题
2
的值. 【解析】如图，令 AB a， 则 AD b， |a|= 1 ， |b|=1，a与b的夹角为60°，
2
AC =a+b，
因为E是CD的中点，
1 1 1 所以BE BC CE b ( a) b a，故 AC BE a b ( a b) 2 2 2 1 1 1 1 1 a 2 a b b 2 1 cos 60 1 1. 2 2 8 2 2