2010级高二暑假数学补充作业(11)

2010级高二暑假数学补充作业（11）1．设a∈R，若i)i(2-a（i为虚数单位）为正实数，则a=2．设集合}21|{<-=xxM，{|(3)0}N x x x=-<，那么“Ma∈”是“Na∈”的条件3．已知函数xxxf2)(+=，xxxg ln)(+=，1)(--=xxxh的零点分别为,,21xx 3x，则321,,xxx的大小关系是从小到大为4．若曲线C：04542222=-+-++aayaxyx上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为5．（理科做）设naaa,,,21是n,,2,1 的一个排列，把排在ia的左边．．且比ia小．的数的个数称为ia的顺序数（ni,,2,1=）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为6．设等差数列}{na的前n项和为nS，若819=S，则=++852aaa．7．图3入2010=m，1541=n，则输出=m．值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）8．已知44332214)21(xaxaxaxaax++++=+，则4321432aaaa-+-= ．9．若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则=m ． 10．若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 11．（理科做）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=.24,12t y t x （参数R ∈t ），以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为 ． 12、已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ．13、如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．14、已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ， 2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．15、在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3513,a a a a 和4624,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：24+<n n S n ，*n N ∈．3图2010级高二暑假数学补充作业（11）1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =12．设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的必要而不充分条件3．已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x3x ，则321,,x x x 的大小关系是123x x x <<4．若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为),2(∞+5．（理科做）设n a a a ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（n i ,,2,1 =）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为144 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a 27．7．图3入2010=m ，1541=n ，则输出=m 67．号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）8．已知443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=+， 则4321432a a a a -+-=－8．9．若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则=m 6． 10．若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 }2{)0,( -∞．11．（理科做）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=.24,12t y t x （参数R ∈t ），以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离为2．12、已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ． 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω．而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22，解之，得1=ω． （2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ． 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ． 令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ．由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ．又由正弦定理，得22226sin 4sinsin sin ==π==C A AB BC ． 13、如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．证明如下：取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则AC FP //，AC FP 21=， 取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒， ∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 21==．又∵AC ED //， ∴FP ED //且ED FP =， 四边形EFPD 是平行四边形． ∴EF DP //，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， ∴//DP 平面EAB ．（2）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ，∵AC ED //，∴l ED //，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥，∴⊥DC 平面ABC ， 又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ，∴DG l ⊥，A BCDE PMFG∴DGC ∠是所求二面角的平面角． 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，∴a CD GC GD 722=+=， ∴772cos cos ==∠=GD GC DGC θ． 14、已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ， 2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．解：（Ⅰ）设c bx ax x f ++=2)(（其中0≠a ），则b ax x f +=2)('，c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22．由已知，得22(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+b c b a a b a a 2201，解之，得1-=a ，0=b ，1=c ，∴1)(2+-=x x f ． （2）由（1）得，)1,(2t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==，∴切线l 的方程为)(2)1(2t x t t y --=--，即122++-=t tx y ．从而l 与x 轴的交点为)0,21(2t t A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴tt t S 4)1()(22+=（其中0>t ）．∴224)13)(13)(1()('tt t t t S -++=．当330<<t 时，0)('<t S ，)(t S 是减函数； 当33>t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数． ∴93433)]([min =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S t S ． 15、在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3513,a a a a 和4624,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列}1{na 的前n 项和为n S ，证明：24+<n n S n ，*n N ∈． 解：（1）由已知，得31222123=-⨯=-=a a a ，292322234===a a a ，632922345=-⨯=-=a a a ，829624256===a a a ．（2）（法1）∵12212,,+-n n n a a a 成等差数列，∴122122-+-=n n n a a a ， ,3,2,1=n ； ∵22122,,++n n n a a a 成等比数列，∴nn n a a a 221222++=， ,3,2,1=n ． 又1313=a a ，2435=a a ，3557=a a ，……；4924=a a ，91646=a a ，162568=a a ，…… ∴猜想n n a a n n 21212+=-+，222212⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈，以下用数学归纳法证明之．①当1=n 时，1211313112112+===-⨯+⨯a a a a ，22412212112149⎪⎭⎫ ⎝⎛++===⨯+⨯a a a a ，猜想成立；②假设)1(≥=k k n 时，猜想成立，即k k a a k k 21212+=-+，222212⎪⎭⎫⎝⎛++=+k k a a k k ，那么1222212121222121212221232-=-⨯=-=+++++++++kk k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a1212411412212121212121212-+++⨯=-+⨯=-+=-+-++-+k k k k a a a a a a a k k k k k k k 12)1(11)2(2+++=-++=k k k k ，222122222232222223222422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==++++++++++k k k k k k k k k k a a a a a a aa a a 222222222222222122⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++k k k k k k k k a a a a a a a a 221)1(2)1(121122⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⨯=k k k k k k ． ∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立． ∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a aa a a a a a a a a a 2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，22268462422-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n a a a a a a a a a a 2)1(1453423222222+=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n ．（注：如果用数学归纳法仅证明了nn a a n n 21212+=-+，*n N ∈， 则由21(1)2n n n a -+=，得 2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n ； 如果用数学归纳法仅证明222212⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n n a a n n ，*n N ∈， 则由2)1(22+=n a n ，得 2)2)(1(2)2(2)1(2222212++=+⨯+==++n n n n a a a n n n ， 又2)11(111+⨯==a 也适合，∴2)1(12+=-n n a n ．） ∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n n n a n ； 当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2． （注：通项公式也可以写成16)1(721812n n n n a -+++=） （法2）令1212-+=n n n a a b ，*n N ∈，则 12222121212221212122212321-=-⨯=-==++++++++++k k k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b11411412212121212121212-+=-+⨯=-+=-+-++-+n n k k k k k k k b b a a a a a a a ． ∴n n n b b b +-=-+1)1(211，1121)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b ． 从而2111111=---+n n b b （常数），*n N ∈，又21111=-b ， 故}11{-n b 是首项为21，公差为21的等差数列，∴221)1(2111n n b n =⨯-+=-， 解之，得n n b n 2+=，即nn a a n n 21212+=-+，*n N ∈． ∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a a a a a a a a a a a a 2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ， 从而2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1） （注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=，或令122-=n n n a a b ，余下解法与法2类似） （3）（法1）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 显然，2114341111+⨯=<==a S ； 当n 为偶数时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯+++⨯++⨯++⨯=2222)2(1)2(18186161641414218n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯<)2(1)2(18618616416414214218n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2118161614141218n n 2421218+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n ； …………………12分 当n 为奇数（3≥n ）时，)3)(1(82)1()1(411++++--<+=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-++=n n n n n n n n n n n n n n n . 综上所述，24+<n n S n ，*n N ∈． （解法2）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n n S n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立． ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k k S k ， 那么，当k 为奇数时，211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k 22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时， )4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k2)1()1(4+++<k k ． ∴1+=k n 时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式24+<n n S n 成立．。