高考数学一轮复习 专题2.7 函数与方程(测)

第07节 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届山东省名校联盟一模】已知函数，在下列区间中包含零点的是（ ）A.B.C.D.【答案】C2.若函数()222xf x a x a =+-的零点在区间()0,1上，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 【答案】C【解析】()x f 单调递增,()()()()2102221102><-+-=∴a a a a f f 解得,故选C. 3 已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】令有两个交点，故选C.4.【2018届江西省南昌市二模】已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据分段函数的解析式画出函数图像，得到函数的单调性，由图像知道函数和函数第一段相切即可，进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到,解出方程即可.详解：根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的，由图像知道函数和函数第一段相切即可，设切点为（x,y）则根据导数的几何意义得到解得，k=e.故答案为：C.5.【2018届四川省成都市模拟（一）】已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】A【解析】分析：令函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即的图象如图，结合图象可得的根方程有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.6.【2018届湖南省永州市三模】已知函数()()22log f x a x a =++（0a >）的最小值为8，则（ ）A. ()5,6a ∈B. ()7,8a ∈C. ()8,9a ∈D. ()9,10a ∈ 【答案】A【解析】因为()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增， 则()()2min 0log 8f x f a a ==+=，令()2log 8g a a a =+-，则()g a 在()0,+∞上单调递增，又()255log 580g =+-<， ()266log 680g =+->，所以存在零点()5,6a ∈. 故选A.7.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）】定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知：，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.8.【2018安徽省合肥市第一中学最后1卷】已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：函数存在零点，等价于方程存在实数根，即函数与的图象有交点，画出函数图象，利用数形结合可得结果.详解：函数存在零点，即方程存在实数根，即函数与的图象有交点，如图所示，直线恒过定点，过点与的直线的斜率，设直线与相切于，则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为，又切线过，则，，得，此时切线的斜率为，由图可知，要使函数存在零点，则实数的取值范围是或，故选B.9.【2017浙江台州上期末】已知函数，则方程的实根个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】10.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：将函数的零点问题转化为函数和函数图象交点的问题处理，利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象．结合图象得到两函数交点的横坐标，最后转化为等比数列求和的问题解决．详解：由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D ．二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,23)(x x x x f x ，若1)(0=x f ，则=0x ．【答案】1±【解析】由题意得，当0x ≤时，令003211x x --=⇒=-，当0x >011x =⇒=，所以=0x 1±.12.【2018届河北省衡水中学押题(三）】已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】.【解析】分析：作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解．详解：作出函数的图象，、如图所示， 因为有三个零点，所以，解得，即实数的取值范围是．13.已知函数，，则函数的零点个数为__________．【答案】【解析】由函数，得，所以函数的零点的个数记为函数与函数的图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数与函数的图象（如图所示），结合图象可知，函数与函数的图象有三个不同的交点，所以函数有三个零点．14．【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）=_____；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为_____．【答案】 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x＜0时，f（x）=,因为[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.15.【2018届江苏省盐城中学考前热身2】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】试题分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．详解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x ＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b ＞6，可得b ＜﹣6；当0≤x≤4时，x ﹣x 2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b ∈（﹣，0]． 综上，范围是.给答案为：. 16.【2017江西吉安一中模拟】已知实数()(),0lg ,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．【答案】(],2-∞-17.【2018届河北省衡水中学三轮复习系列七】已知数列的前项和为，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是__________． 【答案】.【解析】分析：由求得；然后根据函数及函数与方程的有关知识求得，得到的表达式后在根据表达式的特征求其取值范围．详解：∵， ∴，∴， 整理得．又,，∴．∵，∴．设，则，∴．∵，∴，即方程在内有且仅有一个实数根，∴．∴．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（二）】实系数一元二次方程有两实根，一根在区间内，另一根在区间内.若，求的取值范围.【答案】【解析】令，因为实系数一元二次方程有两实根，一根在区间内，另一根在区间内，所以可得即，作出可行域如图，可行域是内部的部分.表示的几何意义是过可行域内一点与点的直线的斜率，由得，所以，由图知，的取值范围为，故答案为.的值域是∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).20.是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】存在， ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).. 【解析】令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.21.已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．【答案】 (1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.；(2) (－1,1).【解析】(1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点， 作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1<a <1， 故a 的取值范围为(－1,1)．22. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.【答案】 (1)；(2)2.(3) 0<m <1.【解析】 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a <b 且f (a )＝f (b )， 得0<a <1<b ，且1a－1＝1－1b，∴1a＋1b＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根.。