高考数学专题复习第二轮第 4讲 函数与方程的思想方法
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
运用函数与方程的思想方法解题4大核心考点)(课件)-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)
高考二轮复习讲练测
思想03 运用函数与方程的思想方法解题
E
N
T
S
01
02
03
04
考情分析
方法技巧
真题研析
核心考点
01
考情分析
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，
兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高
考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的
考点题型二： 运用方程的思想研究问题
【变式2-1】已知直线l与曲线 = −2 和 = ln都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程：__________，
__________．
1
【答案】 = − 1 ； =
【解析】设直线l与曲线 = −2 的切点为(0 , 0−2 )，直
1
大值8，∴实数的取值范围是 ≥ 4
1
1
1
3
（2）当 = − 4时，() = − 2 + 可变形为4 2 − 2 +
ln − = 0
1
3
令() = 4 2 − 2 �� + ln − ( > 0)，则′() =
(−2)(−1)
在(1,2)上，′
．
1
9
2
9
2
由题意知方程′() + () = 2 2 − − 5 + 4 = 0在 ∈
83 > − + 8 > 0，所以ℎ()的最大值为− + 83，所以
[1，9]上有解，
的最大值为− 2 + 83．
高三数学[人教版]题型解法：函数与方程思想方法
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高三数学[人教版]题型解法：函数与方程思想方法函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
高中数学解题方法辅导-函数和方程的思想方法
函数和方程的思想方法【高考能力要求】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题解决。
有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面 （1） 具体的原始意义上的函数问题 （2） 方程、不等式与函数的综合题 （3） 数列这一特殊的函数 （4） 利用辅助函数解体高考中有关方程的试题主要有三个方面（1） 列方程解应用题 （2） 求曲线的方程 （3） 方程与函数的综合在高考复习时，函数和方程之间往往是可以互相转化的。
函数的许多性质可以归纳为对方程的研究；而方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数的问题，即用函数思想解答菲函数问题。
【例题精讲】【例1】若关于x 的方程0322=++k kx x 的两不同的根都在1-和3之间，求k 的取值范围。
分析：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解而根据要求更根必须都在1-和3之间，则可以先画出符合题意函数)(x f y =的草图，结合图像找关系。
解：若令，k kx x x f 32)(2++= 其图像与x 的交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解 而根据要求更根必须都在1-和3之间，则画出符合题意函数)(x f y =的草图由)(x f y =的图像可知，要使两根都在1-和3之间则只需⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-=-<-=->>-)3,1(20)()2(0)3(0)1(k abk f a bf f f )0,1(-∈k说明：本题是二次方程的实数根问题，是高中阶段的重要问题之一。
主要考查了三个二次：二次函数、二次方程根及二次不等式之间的关系，结合对应的二次函数草图来得到满足二次方程根要求的二次不等式。
最新高三数学第二轮专题复习函数方程思想教学设计
高三数学第二轮专题复习：函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角 求证 m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和ta n(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏（1）证明 f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0 依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明 ∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解 ∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8 即1+(m +1)+m =8，∴m =3例3关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为解析 设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值 答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称 ∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=abx x 2221-=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a ab a b ， 即aa a ab 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a 1即a =22∈(0,1)时取等号， 故b ≥–221，得b学生巩固练习1 已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A (0,41] B (0,41) C ［41,1) D (41,21）2 函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A ［45，+∞) B (1,45] C ［47,+∞) D (1,47］3 关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a4 如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m5 设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围参考答案1 解析 考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A2 解析 由题意可得f (–x +1)=–f (x +1) 令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x )当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞) 答案 C3 解析 显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10 又x =a -1029＞3可得a 31 答案 31＜a ＜10 4 解析 原式化为4)2(cos 22m m x y --= 当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符当2m＞1，y min =1–m =–4⇒m =5 答案 ±55 解 (1)令2x =t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4验证t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g (a )=(x –2)a–(x 2–6x )＞0恒成立 只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2。
函数与方程答题思路高考数学复习
函数与方程答题思路高考数学复习高考数学解题思想：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数) 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题; 方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
例3 若曲线y=2x+1 与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是分析：本题从方程的角度出发可直接作出方程y=2x+1 的方程y=b 的图像，观察即可得出结论，也可将“曲线y=2x+1 与直线y=b 没有公共点”转化为判断方程b=2x+1 何时无解的问题。
解：因为函数y=2x+1的值域为(1,+ X)，所以当b< 1,即-1 < b< 1时，方程b=2x+1无解，即曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点。
例4设函数f(x)=log2(2x+1) 的反函数为y=f-1(x) ,若关于x 的方程f-1(x)=m+f(x)在[1,2]上有解，则实数m的取值范围是。
分析：求出函数f(x) 的反函数f-1(x)=log2(2x-1) ,可将方程转化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1) ,于是原问题转化为求函数y=log2(2x-1)-log2(2x+1) , x € [1,2]的值域。
解：由已知f-1(x)=log2(2x-1) ，所以f-1(x)=m+f(x) 化为m=log2(2x-1)-log2(2x+1)，令y=log2(2x-1)-log2(2x+1) ,x € [1,2], 则y=log2 ■=log2(1- ■ ) ，此函数在［1,2］上是单调递增函数，所以值域为［Iog2 ・,log2 ■］，于是m的取值范围为［Iog2 ■ ,log2 ■,］。
1. 在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。
所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。
高中数学高考数学学习资料：专题4 第4讲 数学思想方法与答题模板建构
方法
与答 题模 板建 构
巧用答题模板 建立答题规范
空间几何体在高考命题中涉及的常见数学思想有数形结 合思想、函数与方程思想及化归与转化思想． 1．函数与方程思想 (1)在空间几何体的表面积体积计算中，常根据条件分析列出
方程，利用方程确定未知量．
(2)在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、 垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程( 组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量， 然后进行计算．zxxk
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点
[答题模板构建]
[例 3]
(2011· 福建高考)
(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD.四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AB＋AD ＝4，CD＝ 2，∠CDA＝45° . (1)求证：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)设 AB＝AP.
(ⅰ)若直线PB与段 AD 上存在一个点 G，使得点 G 到 P，B，C，D 的距离都相等， 设 G(0，m,0)(其中 0≤m≤4－t)， 则GC ＝(1,3－t－m,0)，GD ＝(0,4－t－m,0)， GP ＝(0，－m，t)． 由|GC |＝|GD |得 12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2， 即 t＝3－m；① 由|GD |＝|GP |得(4－t－m)2＝m2＋t2.② 由①、②消去 t，化简得 m2－3m＋4＝0.③(10 分)
(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)． (4分) 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CD· cos45°＝1， CE＝CD· sin45°＝1.
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第4讲函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。
(4) 函数f(x)＝n( （n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用ax)b赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、例题解析Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。
例1 已知155=-ac b ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤解析 法一：依题设有 a ·5－b ·5＋c ＝0∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥ 故选(B) 法二：去分母，移项，两边平方得：22210255c ac a b ++=≥10ac ＋2·5a ·c ＝20ac∴ac b 42≥ 故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b 2是a 、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
练习1 已知关于x 的方程 2x －（2 m －8）x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________。
答案：17{|}22m m -<<；2 已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ） （A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈ (C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞ 答案：A.3 求使不等式)lg(xy ≤a lg ·y x 22lg lg +对大于1的任意x 、y 恒成立的a 的取值范围。
Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题： 例2 已知t t f 2log)(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式x m mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。
解析∵t ∈[2，8]，∴f(t)∈[21，3]原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要） 当x ＝2时，不等式不成立。
∴x ≠2。
令g(m)＝2)2()2(-+-x x m ，m ∈[21，3]问题转化为g(m)在m ∈[21，3]上恒对于0，则：⎪⎩⎪⎨⎧>>0)3(0)21(g g ；解得：x>2或x<－1评析 首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。
在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。
例3 为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A 处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动），然后又在观测站B 处的观测半径为5km 。
(1)据表中信息：①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度；②试写出a 、b 近似地满足的关系式并 画出鲸的运动路线草图；（2）若鲸继续以（1）－②运动的路线运动，试预测，该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站B 的观测范围？并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。
（注：41≈6.40；精确到1分钟）解析（1）由表中的信息可知： ①鲸沿海岸线方向运动的速度为：101（km/分钟）②a 、b 近似地满足的关系式为：a b =运动路线如图（2）以A 为原点，海岸线AB 为x 位置点P （x ，y ），由①、②得：x y =，又B （15，0），依题意：观测站B 的观测范围是：海岸西东图1B22)15(yx +-≤5 （y ≥0） 又x y =∴x x +-2)15(≤25 解得：11.30≤x ≤17.70由①得：∴该鲸经过t ＝10130.11＝113分钟可进入前方观测站B 的观测范围持续时间：10130.1170.17-＝64分钟∴该鲸与B 站的距离d ＝22)15(y x +-＝225292+-x x 当d 最小时为最佳观测时刻，这时x ＝229＝14.5，t ＝145分钟。
练习4．已知关于x 的方程x a x cos sin 2+－2a = 0有实数解，求实数a 的取值范围。
（答案：0≤a ≤4－32）Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题例4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0， （1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
解析（1）由123=a 得：d a 2121-=，∵12S ＝d d a 4214444121+=+>0 13S ＝d d a 5215678131+=+<0 ∴724-<d<－3（2）n d dnd n n na S n )2512(212)1(21-+=-+=∵d<0，n S 是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ＝d1225-∵724-<d<－3 ∴6<d1225-<213 ∴当n ＝6时，n S 最大。
三、强化练习 1．8(x-展开式中5x 的系数为____________.2．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n -=( )A 1 B34C12D383.设双曲线的焦点x 在轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率e =（ ）A 5B C2D544．已知锐角三角形ABC 中，31sin(),sin()55A B A B +=-=。
Ⅰ.求证tan 2tan A B =；Ⅱ.设3A B =，求AB 边上的高。
5．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29。
Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。
6．设0a >，2()f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点Ｐ到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ）1.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1.0,2B a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .0,2b C a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1.0,2b D a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦7.设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B 。
Ⅰ.求双曲线C 的离心率e 的取值范围；Ⅱ.设直线l 与y 轴的交点为P ，且512P A P B =，求a 的值。