函数解新式的求法探究
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
函数解析式的求解策略
微专题08 函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知()f x 的解析式，求(())f g x 的解析式类型，直接将()g x 整体代入()f x 中的x ； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数(())f g x 的解析式求()f x 的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令()g x t =，反解出x ，然后代入(())f g x 中得到()f t ，进而得到()f x 的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个f 的解析式，最后可以得到()f x 的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含x ，y ）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式 题型二：已知(())f g x 求解析式 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：求解析式中的参数值 题型五：函数方程组法求解析式 【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（ ）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【答案】D【解析】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-. 故选：D例2．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（ ）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+【答案】B【解析】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意； 当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+. 故选：B.例3．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数23m my x-=(0m ≠且3m ≠)的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知()4,1A ，4CE CD =．(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值． 【解析】（1）由已知点()4,1A 为函数23m my x-=上的点，所以2314m m-=，解得：4m =或1m =-， 所以反比例函数的解析式为4y x=； （2）因为()4,1A ，所以4AE =由已知CDE △与CEA 相似，4CE CD =，所以4EA DB =，所以1DB =，故点B 的横坐标为1， 又点B 在函数4y x=的图象上， 所以B 的坐标为(1,4)，因为点,A B 都在函数y kx b =+的图象上， 所以4k b +=，41k b +=， 所以1k =-，5b =，所以5OF =，5OC =，由COF 为直角三角形， 设点O 到直线CF 的距离为d ， 则5255d ⨯⨯，故522d =， 又当OM CF ⊥时，OM 的长度最小， 所以OM 52例4．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.例5．（2022·全国·高一专题练习）设()f x 是一次函数，且()43f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 【解析】设()()0f x ax b a =+≠，则()()()2=43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=+++⎡⎤⎣⎦,所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--.例6．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ； （2）已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x . 【解析】（1）设()(0)f x ax b a =+≠，则2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++ 因为(())41f f x x =-，所以241a x ab b x ++=-所以241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩ 所以1()23f x x =-或 ()21f x x =-+（2）设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由(0)1f =，得1c = 由(1)()2f x f x x +-=得22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++---=整理，得22ax a b x ++=所以220a a b =⎧⎨+=⎩ 所以11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+例7．（2022·全国·高一专题练习）若二次函数()f x 满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x . 【解析】因为二次函数()f x 满足(0)1f =；所以设2()1f x ax bx =++， 则：22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++； 因为(1)()2f x f x x +-=，所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=；∴22ax a b x ++=；∴220a a b =⎧⎨+=⎩；∴1a =，1b =-；∴2()1f x x x =-+. 故答案为：21x x -+ .例8．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知f （x ）是一次函数，且满足f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋3，求f （x ）的解析式．（2）若二次函数g （x ）满足g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，求g （x ）的解析式． 【解析】（1）设f （x ）＝kx ＋b （k ≠0），则f （x ＋1）－2f （x －1）＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ， 即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴2,33,k k b =-⎧⎨-=⎩解得2,9,k b =-⎧⎨=-⎩∴f （x ）＝－2x －9.（2） 设g （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），∵g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，∴1,5,0,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3,2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴g （x ）＝3x 2－2x .题型二：已知(())f g x 求解析式例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数()221)20(1x f x x x --=≠，则（ ）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()24101()f x x x =-≠-D ．()2214()1011x f x x x x =-≠≠-⎛⎫⎪⎝⎭且 【答案】AD【解析】令()121x t t -=≠，则12t x -=，所以2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误； 22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确． 故选：AD ．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.【答案】()1,+∞ 【解析】令1x t x +=，则111t x=+≠，所以11t x =-， 所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】222121x x x x ⎛⎫-=- ⎝+⎪⎭，因为2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭212x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()22f x x =+，故答案为：22x + .例12．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()1f x x =- B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥【答案】C【解析】因为()2(1)211f x x x x =+=-令()11t x t =≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++ C ．()24f x x x =+D ．()286f x x x =++【答案】A【解析】方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A例14．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【答案】B【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±故选；B例15．（2022·全国·高一专题练习）设()23f x x =+，()()21g x f x +=-，则()g x =（ ） A ．21x + B ．23x -C ．21x -D ．23x +【答案】B【解析】因为()23f x x =+，所以()()1=21321f x x x --+=+ 又因为()()21g x f x +=-，所以()221g x x +=+， 令2x t +=，则2x t =-，()()22123g t t t =-+=-，所以()23g x x =-. 故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16．（2022·全国·高一课时练习）已知()01f =，对于任意实数x y ，，等式()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.【解析】对于任意实数x y 、，等式()()()21f x y f x y x y -=--+恒成立，不妨令0x =，则有 ()()()()201111f y f y y y y y y -=--+=+-=-+ 再令y x -=，得函数解析式为：()2 1.f x x x =++例17．（2022·全国·高一课时练习）定义在实数集上的函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线，x ∀∈R ，()()()3266f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()f x 的最大值为1，最小值为0．(1)求()1f 与()1f -的值； (2)求()f x 的解析式．【解析】（1）令1x =，则()()()321111f f f +=+，得()()()()211111f f f -=-∴()()()()2111100f f f x +-=≥，（） ∴()11f =令1x =-，则()()()321111f f f -+=-+-，同理()11f -=；（2）由()()()2366f x x f x x x f ⎡⎤+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 得()()2610fx x f x ⎡⎤--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()3310f x x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这说明x ∀∈R ，()f x 至少与1，3x ，3x -其中之一相等 ∵()f x 的最大值为1，最小值为0∴在区间(],1-∞和[)1,+∞上，一定有()1f x =()0f x =只能在0x =处取得，因此()00f =又∵函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴()f x 的解析式为()(][)()[)331,,11,,1,0,0,1x f x x x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=-∈-⎨⎪∈⎩例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =满足：对一切实数a 、b ，均有()()()21f a b f b a a b +-=++成立，且()10f =．(1)求函数()y f x =的表达式； (2)解不等式()34f x -<．【解析】(1)由已知等式()()()21f a b f b a a b +-=++，令1a =，0b =，得()()102f f -=．又()10f =，所以()02f =-．再令0b =，可得()()()01f a f a a -=+，即()()12f a a a =+-． 因此，函数()y f x =的表达式为()()12f x x x =+-． (2)因为()()124f x x x =+-<的解集为()3,2-， 所以令332x -<-<，解得15x <<， 即原不等式的解集为(1,5)．例19．（2022·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对一切的实数x ，y ，都满足222()()632f x y f x y x y xy x y +--=++++-，且(0)2f =-.（1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式； （3）求()f x 在[)3,1-上的值域.【解析】（1）令1,x y ==则2(2)(0)11613210,f f -=++++-=(0)2,(2)4;f f =-∴=（2）令0y =则222()()2,()2f x f x x x f x x x -=+-∴=+-； （3）()f x 对称轴为[)11,32x =-∈-， min max 9(),()44f x f x ∴=-=，9(),44f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦．例20．（2022·上海·高一专题练习）函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x y x +-=++成立，且()10f =.求()f x 的解析式；【解析】令1x =，0y =，则()()()1001011f f +-=++⨯，即()002f -=，()02f ∴=-.令0y =，则()()()201f x f x x x x -=+=+，()22f x x x ∴=+-.例21．（2022·江苏·高一课时练习）已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =-+，则有()21f t t t =-+=，解可得1t =-，则()21f x x =--，故(2)413f -=-=； 故选：A.例22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则()2f 的值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．10【答案】C 【解析】()f x 在R 上是单调函数，∴可令()3f x x t -=，()3f x x t ∴=+，()44f t t ∴==，解得：1t =，()31f x x ∴=+，()23217f ∴=⨯+=.故选：C.例23．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数()y f x =，x ∈R ，且()02f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，…，()()()0.520.51f n f n =-，*n N ∈，则满足条件的函数()f x 的一个解析式为________. 【答案】()24x f x =⨯ 【解析】由己知得(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=， 3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅⋅⋅=， ()4(0)x f x f ∴=，又(0)2f =，()24x f x ∴=⨯ 故答案为：()24x f x =⨯例24．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x =_________． 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ， 所以()f x =x ，故答案为：x ,答案不唯一题型四：求解析式中的参数值例25．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知函数()q f x px x =+（p ，q 为常数），且满足5(1)2f =，17(2)4f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】(1)()()512{1724f f ==，∴52{17224p q q p +=+=，解得2{12p q ==，∴函数()f x 的解析式为1()2(0)2f x x x x=+≠. (2)0x >，∴由基本不等式可得()11222222f x x x x x=+≥⋅， 当且仅当122x x =，即12x =时取等号， ∴当0x >，函数()212f x x x=+的最小值是2， 要使0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，只需()min 3f x m ≥-， 所以23m ≥-，解得m 1≥. ∴实数m 的取值范围是[1,)+∞例26．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则（ ） A ．3c ≤ B ．36c <≤C ．69c <≤D ．9c >【答案】C【解析】由已知得(1)(2)(1)(3)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩,即184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩， 又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤， 故选：C.例27．（2022·全国·高一）已知()()()222f x x x x ax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___. 【答案】15-【解析】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-题型五：函数方程组法求解析式例28．（2022·全国·高一专题练习）若函数f （x ）满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则f （x ）可以是___．（举出一个即可）【答案】()()10f x x =≠【解析】若()()10f x x =≠，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若()21xf x x =+，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为：()()10f x x =≠，答案不唯一.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________. 【答案】21x -+【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=， 将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩. 例31．（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知函数()f x 满足()()21f x f x x --=，则()1f =_________【答案】13-【解析】令1x t -=，则1x t =-， 所以()()121f t f t t --=-① 因为()()21f t f t t --=②由①2⨯+②得()32f t t -=-，所以()23tf t -=-，即()23x f x -=-，所以()113f =-故答案为：13-例32．（2022·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数()f x 对0x ≠的一切实数都有()202132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2021f =______．【答案】10092-【解析】()()2021322021202132?f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，()202186?2f x x x ∴=-，()320211·44f x x x ∴=-，()100920212f ∴=-， 故答案为：10092-. 例33．（2022·全国·高一课时练习）已知12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】利用方程组法求解即可：因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭解得()2133x f x x =-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞ 故答案为：2133x x-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 例34．（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【解析】利用方程组法求解即可； ∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈.故答案为：32x - .【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15 B ．15-C ．9D ．9-【答案】A【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2156f x x +=-，且()9f t =，则t =（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】()()51721562122f x x x +=-=+-, ()51722f x x ∴=-. ()517922f t t ∴=-=,解得7t =．故选：A.3．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】C【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+-⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.5．（2022·吉林油田高级中学高一期中）若(1)1f x x =+，则()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x =B ．2()22(0)f x x x x =-+≥C ．2()22(1)f x x x x =-+≥D ．2()1f x x =+【答案】C1x t =，1t ≥，则2(1)x t =-， 则22()(1)122f t t t t =-+=-+，1t ≥， ∴函数()f x 的解析式为2()22(1)f x x x x =-+≥. 故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 满足()12()3f x f x x +=，则()f x 等于（ ）A ．12x x--B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x+=②由①2⨯-②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-. 故选：D7．（2022·浙江·高一阶段练习）设()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数，当()0,x ∈+∞时，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则(3)f 的为A ．2B ．3C ．32D ．43【答案】D 【解析】设1()f x t x -=,则()2f t =,1()f x t x=+ ∵()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数 ∴方程()2f t =只有一解,即t 为定值.又∵()12f t t t =+=∴1t =即()14333f t =+=故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B【解析】用3x -代替原方程中的x 得：f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴22()2(3)(3)2()69?f x f x x f x f x x x ⎧+-=⎨-+=-+⎩消去(3)f x -得：－3f (x )＝－x 2＋12x －18，21()463f x x x ∴=-+.故选：B 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()123f x x x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【解析】令11t x =≥-1x t =+，则()21x t =+，得)()2125fx f t t t ==+，故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD10．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )是一次函数，则y ＝f (f (x ))为一次函数 B ．若y ＝f (x )是二次函数，则y ＝f (f (x ))为二次函数 C ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 有解，则f (f (x ))＝x 有解 D ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 无解，则f (f (x ))＝x 无解 【答案】AC【解析】A.因为y ＝f (x )是一次函数，设()(0)f x kx b k =+≠，则()()2(0)f kx b k kx b b k x kb b k +=++=++≠，即y ＝f (f (x ))为一次函数，故正确；B. 因为y ＝f (x )是二次函数，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，则()()()2222f ax bx c a ax bx c b ax bx c c ++=++++++，34222232222222a x ab x abcx ac a bx a cx abx b x bc c =+++++++++，()()342322222222(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a =+++++++++≠所以 y ＝f (f (x ))不是二次函数，故错误；C.因为f (x )＝x 有解，设0x ，则()00f x x =，所以()()()000f f x f x x ==，则f (f (x ))＝x 有解，故正确；D.若f (x )＝x 无解，即()210ax b x c +-+=无解，则()2140b ac ∆=--<，由()()()2222=f ax bx c a ax bx c b ax bx c c x ++=++++++,得()()34232222222210(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a ++++++-+++=≠，此方程不是一元二次方程，故根据()2140b ac ∆=--<，无法判断方程是否有解，故错误； 故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）一次函数()f x 满足：(())43f f x x =+，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()f x =21x + B ．()f x =12x - C ．()f x =23x - D ．()f x =23x --【答案】AD【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()2(())43f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩，即()21f x x =+或()23f x x =--． 故选：AD ．12．（2022·江西·模拟预测）已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（ ）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥ 【答案】BCD 【解析】21((0))()3f f f b b b b ==-+=，23b ∴=， 即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确； 由均值不等式可得323m n mn +=≥13mn ≤，故C 正确；因为111111313(3)(2)2223232323n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知()2215f x x x =-++，则()2f x 的值域为______．【答案】(,16]-∞【解析】设2t x =，0t ≥，()()2221511616f t t t t =-++=--+≤，所以值域是(,16]-∞． 故答案为：(,16]-∞.14．（2022·全国·高一）已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是___________.【答案】259x x -+【解析】()213f x x x +=-+，令1x t ，则1x t =-，故()()()222113211335f t t t t t t t t =---+=-+-++=-+，故()235f x x x =-+，()()()222113152133559f x x x x x x x x -=---+=-+-++=-+故答案为：259x x -+15．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【答案】12855x x- 【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 四、解答题16．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为))2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．17．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；21（5）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）∵()2f x x =，∴()()222121441f x x x x +=+=++．（2）设2t x =，则2t ≥2x t -，即()22x t =-， ∴()()()222424f t t t t =-+-=-，∴()()242f x x x =-≥． （3）∵()f x 是二次函数，∴设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ， 整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩， ∴()21f x x x =-+．（4）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②2⨯-①，得()233f x x x =+，∴()23x f x x =+． （5）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++．22。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
此法较适合简单题目。
例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x xx x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。
应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
求函数解析式的几种思路
２ １＋ 一 ＝ ｆ ＋身 （
’
．
。
求 ｇ ） 。 （ ］
） ＝
。
解’ ＋ ） ２ １（ ｛ ２ ： ｛： ＋ ： ＋ ） ， ． ’ 一
・
．
．
－ ＝ 厂 （ ）
２ 。
５特殊值法 ． 例７ 设 ） 是定义在 Ⅳ上的函数 ， 足 厂１ 满 （）
一
设 ） ：戤 ＋Ｃ ａ ） ＋ （ ≠０ ， 贝 （ 一２ ＝０ 一２ ＋ｂ 一２ ＋ｃ ０厂 ） （ ） （ ） ＝ ＋（ 一 ａ ＋（ ａ一２ ｂ ４ ） ４ ｂ＋ｃ 。 ） 又 厂 一２ ＝２ ９ （ ） ｘ 一 ｘ＋１ ， ３ 比较 系 数 得 ｒ 口：２ ， ｒ ａ＝２ ，
（ ）高 高
，
＋｝ ：＋ 一） （ １ — １（ １＋￡ ） 一：
ｔ一ｔ ，－ （ ＝ 一 ＋１ ＋１ ．， ） ． 。
４ 消 去法 ．
Ｉ。 ）
‘
例 ６ 若
析式 。
） 羔 ） ＋ ， 厂 ） 十 ：１ 求 （ 的解 （） １
一
解 ：． ） 一５ ＋６ ．ｆ ＋１ ．（ ＋ １ 。 ‘ ／ ： ，‘ （ ． ）－ ７ ） ５ ＋１ ＋ ～３ ２ （ ） ６： ｘ＋ 。
Ｉ配 凑 法 ．
１ １ ＇
） ， 一 １ ） ＋ （ ＝
。
（） ２
代替（ ） 中的 得 １式
，一 （
） ） － ＋ ＝ｘ ２
。
（） ３
（） ３ 一（） 得 １ ＋（） ２ ，
例 ３ 设
１
，
＋ ） ２ ， ＋－ ＝ ＋ ＝ ＋ （ Ｌ） ３
“ ”
【 ｃ：３ 。
厂 （ ＝２ ２ ＋３ ） ｘ 一 。 ３ 换 元 法 ．
函数解析式的七种求法
一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,就是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式就是y ＝f(x),不能把它写成f(x,y)＝0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y 。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f ［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式时可以令t ＝g(x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)与f(－x),或f(x)与f(1/x)的一个方程,则可以x 代换－x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(－x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域就是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型就是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y ＝f ［g(x)］的定义域的求解,应先由y ＝f(u)求出u 的范围,即g(x)的范围,再从中解出x 的范围I1;再由g(x)求出y ＝g(x)的定义域I2,I1与I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域就是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域与对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B 中,集合B 未必就就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C 就是B 的子集;若C ＝B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域就是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)几何图形中函数解析式的求法函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。
求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。
而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。
如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。
但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。
同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。
我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。
下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。
一、 用图形的面积公式确立等量关系例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。
分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式B CADP图1即222)2(y y x =-+ 整理得1412+=x y在Rt ΔABC 中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2 ， ∴BC=332 ，∴0<x <332。
于是1412+=x y (0<x <332)为所求的函数解析式。
(2)略二、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系例4、如图4，在ΔABC 中，AB=8，AC=6，⊙O 是ΔABC 的外接圆，且BC 是直径，⊙O 与⊙O ’内切于点A ，与边AB 、AC 分别交于点D 、E 。
求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。
例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式． 解： 设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１ 故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)． 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得 ２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得 ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。
如何求函数的解析式
如何求函数的解析式求解函数的解析式是数学中的基本问题之一，有多种方法可以用于求解。
下面将介绍三种常见的方法：代数法、绘图法和数值法。
一、代数法代数法是一种利用代数运算和等式关系的方法，通过对函数的性质和已知条件进行分析和推导，从而得到函数的解析式。
1.根据已知条件列方程当已知函数满足一些条件时，可以通过列方程的方式求解函数的解析式。
例如，已知函数f(x)满足以下条件：-f(0)=1-f'(x)=x^2根据条件可得出以下方程：-f(0)=1，即f(0)=1-f'(x)=x^2，即f(x)=x^3/3+C（其中C为常数）通过解以上方程组，可以得到函数f(x)的解析式为f(x)=x^3/3+12.求导或积分函数的微分和积分运算是代数法求解函数的常用手段。
如果已知函数的导函数（一阶导数），可以进行导函数的积分求解。
例如，已知函数f'(x)=6x，则可以通过积分得出函数的解析式为f(x)=3x^2+C。
（其中C为常数）相反，如果已知函数的解析式，可以进行函数的导函数求解。
例如，已知函数f(x)=3x^2，则可以通过求导得出函数的导函数为f'(x)=6x。
通过对函数进行导函数和积分的运算，可以得到更多关于函数的性质和解析式的信息。
3.利用函数的性质一些函数具有特定的性质，通过利用这些性质可以求解函数的解析式。
例如，假设已知函数满足以下条件：-f(x)在区间[a,b]上是连续的-f(x)在区间(a,b)上是可导的-f(a)=0-f(b)=1根据函数的性质，可以得出函数的解析式为f(x)=(x-a)/(b-a)。
二、绘图法绘图法是一种通过绘制函数的图像，观察图像的特征和性质，从而推测函数的解析式的方法。
绘图法主要用于简单函数的求解，对于复杂函数则不太适用。
通过绘制函数的图像，可以观察函数的周期性、对称性、增减性等特征，进而推测函数的解析式。
例如，通过观察正弦函数的图像可以推测出其解析式为f(x) = sin(x)。
(完整版)求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础.熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0）。
2、顶点式:y=a （x －h ）2+k (a ≠0),其中点（h ，k)为顶点，对称轴为x=h.3、交点式：y=a （x －x 1)(x －x 2） (a ≠0），其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标.4.对称点式： y=a （x －x 1）(x －x 2)+m （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件,设出恰当的解析式:1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式.2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式.3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4。
若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m ）（x 2、m ）,则设成： y=a(x －x 1）(x －x 2）+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题,典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0）。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k （a ≠0)，其中点(h,k ）为顶点。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高中函数fx解析式的求法
高中函数fx解析式的求法求解高中函数fx解析式的方法:1. 了解函数fx的定义：函数fx是定义在实数集上的一种特殊函数，其函数图像为一条曲线，它为每个x值都有一个特定的y值。
2. 认识函数fx解析式定义：函数fx解析式就是用x和y组成的有理函数，它可以描述曲线的性质，并指示函数的变化。
3. 简化解析式：要求求解函数fx解析式的时候，首先要将显示的解析式进行简化处理，并且将某些需要考虑的系数特别明确提出，以便更加方便的进行求解。
4. 分类讨论：接下来，就需要根据函数的形式把其分成几类高中解析式：一元函数，参数式函数和二元函数等四类函数。
一元函数：（1）一次函数：形式为 fx = ax+b，其中a为系数，若a > 0，曲线向右上方倾斜；若a＜0 ，曲线向左下方倾斜。
（2）二次函数：形式为 fx = ax2 + bx + c，三个系数a、b、c都可以不为零，此函数为一个二元抛物线，若a > 0，曲线向右上方开；若a＜0 ，曲线向左下方开。
参数式函数：（1）正弦函数：形式为 fx = a*sin(b×x+c)，其中a为系数，b为周期，c为延迟角。
（2）余弦函数：形式为 fx = a*cos(b×x+c)，其中a为系数，b为周期，c为延迟角。
二元函数：（1）直线：形式为 fx = ax + by + c，其中a、b、c均可以不为零，此函数为一条通过坐标原点的直线，当a,b都不为0时，曲线的倾斜程度为a/b。
（2）圆：形式为 fx = r2 - (x - a)2 - (y - b)2，其中r为圆的半径，(a,b)表示圆心的位置。
5. 求解：（1）一次函数和二次函数：根据解析式参数求解方程，以得到函数fx的极值、值域和范围等结果。
（2）参数式函数和二元函数：绘制函数图像，从而得到函数fx的极值、值域和范围等信息。
本文就介绍了求解高中函数fx解析式的方法：首先清楚地了解函数fx 的定义和解析式；其次简化解析式；然后根据函数的形式将其分成几类高中解析式；最后根据解析式参数求解方程，或者绘制函数图像，从而得到函数fx的极值、值域和范围等信息。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。
下面分别介绍这六种方法。
一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。
例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。
设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。
二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。
三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。
例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。
四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。
把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
（注意定义域） 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(xx xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x2、换元法： >已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
（注意所换元的定义域的变化）例2（1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x xxx f 时，求则当1011≠-=解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则3、待定系数法: <当已知函数的模式求解析式时适合此法。
应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
求函数解析式的常用四法
求函数解析式的常用四法一、方程组法型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。
。
即函数的解析式为得：替换为解析：把。
联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。
，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==⇒⎩⎨⎧=-=----=--。
即函数的解析式为得：替换为解析：把。
联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。
，求满足函数例)2(31)()2(31)(1)(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f xx x f x xf x f x f +--=+--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=----=--点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。
)()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+，).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把⎩⎨⎧=+=+=+二、构造法的解析式。
，求函数例)(1)1(.32x f x x x f -= 分析：构造法求函数解析式，主要是要抓住给出的表达式的特征。
此题要把x 1看着一个整体，把所给表达式中的x 都改成x 1的形式。
且函数的解析式为解析：01,1)(1)1(11)1(222≠±≠-=∴-=-=x x x x x f x xx x x f点评： 解析式。
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ｌ 点评ｆ 本题利 用函数 图像上 点的对称性构 式 ，进
而 获解 ．
匦 若／ｓｘ ２ｃ ２， ｃ 等于 （ ） （ｒ） － ｓ 则 ｏ ｉ ＝ ｏｘ ｒ ）
Ａ．２ ｉ ２ －ｓｎ ｘ Ｃ．２一 ｏｓ ｘ ｃ ２ Ｂ．２＋ ｉ ｘ ｓｎ２ Ｄ．２＋ ｏ ２ ｃｓｘ
即 咄。ｇ 一 ｏ ． ｇ 。 ，． ｏ （ｙ） － ０厂一 － （ Ｙ） 又 （） （）． 一 ０ 。 一 ｙ （ Ｘ） ０ （ ｏ， 即 ｈ ｘ＝ ）选 Ｂ ） （ ） （ ， ．
圃 已 ｛） ， ）解 式 取 知 ｛ ＝ 则 的析 可
为 （ ）
旦
奇 一
ｅ 静
ｏ青 － 一
周 令 － ， ） ，） 鲁 ｆ ’ 肚 ． ＝ ．： ‘
Ｘ＋１ 。 ２
试求 ｙ舷） ， ∈［ ，］ １４ 的解析式 ；３试求 ｙ 舷） ４ ９ （） 在Ｅ ，］
上 的 解 析式 ．
圜
由已 知条件 】 ， ＿ 然后反解 以 ＝ 可令￡ ， ｇ
ｓ 一 ） ｌ２ｉ （ － ） ｌ２ ｏ２＝ ＋ ｏ２ ． 案 ： ｉ７ ＝ ＋ ｓ ｎ／ ＂ ｎ ｘ ＝ ＋ ｃｓ ２ ｃｓｘ ｘ 答 Ｄ
Ｉ 例 ４例 ５ 点 、 都是由已知条件／ ） ）先将 【 ｊ ， ＝
） 改写成为 ｇ ） 的表 达式 ， 然后 以 代 ｇ ）便 得 ） ，
一
＝
－
３ ｘ＋１ ５；
当 ６ｘ＿ ＜－ ＜９时 ，＜ 一 ≤４ ）舷一 ）２ 一 ）２ ２ ｌ ５ ＝ ５＝ ［ ５一 ］ ｊ －
５ ２ － ） ５ ＝ （ ７ ， ｘ －
－
数
学
３ １ ｘ＋ ５，
，
．
．
＝
、
函数 性 质 法
Ｘ
：
有 数
Ｉ
Ｉ １已知函数ｆｘ 的图像与函数 ｈ ＝＋ｔ＋ 例 ｌ （） （）ｘ － ２ 一
（）当 ∈［ ，］ ， ２ １４ 时 由题 意 ， 可设 ／ ＝ 一 ） ５ ）。 ２２ －
ａ ）由／ １ （ ＝ ， ａ１ ２ － ＋ （－ ） ５ ０ 解得 ≠０ ， （ ４ ０ 得 （－ ） ５ ａ ２ ＝ ， ） ） ４ －
０ ２ ． ）２ ２ｚ５１ ≤４ ． ＝ ， 。 ＝ 一 ） （≤ ） －
ＣＳ ） ５ ． ） ２ Ｔ 一 （ ≤ ＯＸ ＋ ， ‘ ＝ ｘ－ｘ ５ １ ≤３， ／ １＝ ｘ一 ． ／≤４． ｌ
ｊ 解析Ｊ（） １ 设 ） 图像上任一点坐标为（，） ，点
（ ｙ关于点 Ａ（ ， ） ，） ０ １ 的对称点 （ ，－ ） ｈ ｘ 的 图像 ２ ｙ在 （）
的 图像关于点 Ａ（ ，） ０ １对称 ，求ｆ ｘ 的解析式． （）
匾虱 本题利用函数的奇 偶性和周期性求解 ． 得出
二 、 定 义 法
匿 ￣４ （ ｃＸｃ ２ ｃｘ求 一） 嘲 Ｉ２ Ｏ）ｏ ｘ ｏ ， １ ｆ 一 Ｓ＝ ｓ ＋ ｓ ．
１ 解析 －（ ｃｓ ＝ｃｓ －ｏ － ＝ （－ｏ － （ ｆ２ ｏ ）２ｏｘ ｃｓ １２２ｃ ７ 一 一 ｘ Ｚ ｘ ２
｛◆▲ ｝ — ；—
＝ 一 … … ．． ＝ ｌ ＝ ． 一
… …
维普资讯
． ． ．． 一一 ． ． 一 … ～ … … 一 …～ 一 一 ～ 一 一 … 一 一．． ．． ． 一 ． 一一 ．
ｉ
。 。
函 数 解 新 式 的 求 法 探 究
的义换 思． 还 一 陷： ｒ 定及 元 想 题 有 个 阱 ＿ 本 ￡ 气 ＝ — 一故 确 讲 为 ＝ 一． １ １准 地 应 ） （ １ ≠， 主 ≠）
■湖北省襄樊市田家炳中学 高慧明
求 函数解析式是高考 的常考题型 ，特别是 已知／ （） ｇ ） ］ ］ 或 求 ） ｇ ｘ ， 已知 ） ｇ 求／ 或 （ ）或 或 （）
（） ｇ 】 ）等求 解析式 的问题 ， 或 】 同学们 在解决 这 些问题 时感 到比较棘手 ， 本文对此举例探究、
出ｘ ｇ ， ＝ －ｆ 代入 即可得 ） （ ） 的表达 式． 考查函数 本题
医拥 （ｖ亏 是以５ 星 １ ｙ ） ） 为周期的 周期函 ． （ 数，‘ ４ ．） ｆ
（— ） （１，又 ｒｆ （１ ４５ 一） ＝ ） 一 ≤ ≤１是奇 函数 ，． （） ） ．ｆ １ 。
＝ －
ｆ－ ）－ （ ， １ （ ： ． （１ ｆ４ ． （） ４ ０ ＝ ）‘ ）
的表达式． 三 、换 元 法
ｉ 要求 ｙｈｘ 的解析式， 解析Ｉ ＝ （） 实质上就是求ｙｈｘ ＝ （）
图像 上任一点 Ｐ ｘ，Ｙ） （。 ｏ的横 、纵 坐标 之间 的关 系． 点
Ｐ ｘ，ｏ 于直线 咄 的对称点（ｙ， ） （。 ） ｔ关 —０ 适合 ｙ － ， ｏ ＝ ） ｆ（
评ｌ 本题利 用函数 图像 的对称性和反 函数 的性
质 求 解得 出．
已知 函数 ｙ ） 是定义在 Ｒ上 的周期 函数 ， 周 期 Ｔ５ ＝ ，函数 ｙ ） １ ≤１ （ ≤ － ） 函数 ， 是奇 又知 ｙｆｘ ＝（ ） 在 Ｅ ，］ ｏ １ 上是一 次函数 ，在 ［ ， ］ １４ 上是二次 函数 ， 在 且 ｘ ２时 ， 函数 取 得 最 小 值 － ．（） 明 １ ４＝ ；（） ＝ ５ １ 证 ） ）０ ２
Ｉ ２设函数 ） 例 １ 存在反函数ｇ （） （） ｇ （） ， 与
（） 的图像关于直线 ｘ ｙ Ｏ ＋＝ 对称 ， 则函数 （ ）（ ＝
Ａ （） ．ｆｘ Ｃ －。 ．ｆ 。 ） （ Ｂ －（ ） ．ｆ Ｄ － ） ．ｆ （
）
稠 。 （ｒ） 一１ ｓ ２＝＋ｓ２ ． ｃ ＝ ｓ￣ ２（ ２ｎ ）１ ｉｘ 。 ｏ ＇ ｉ ＝ －ｉ ｆ ｒ ｘ ２ ｎ ， ）