008(讲座五-2)综合评价方法(二)

2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的 中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑 的准则，子准则，因此又称为准则层； 3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、 决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 13
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素， 这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的， 即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所 有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配 关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析 的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支 配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中 各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个 时，可将该层次再划分为若干子层。
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则矩阵A 是完全一致的矩阵，且有
W1 W1 W2 W 1 W n W 1 W1 W2 W2 W2 Wn W2 W1 W Wn 1 W2 W 2 Wn W Wn n Wn
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对于AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。 此时矩阵的最大特征根max n ，其余特征根 均为零。在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大 max 特征根为单根，且 n 。当判断矩阵具有 满意的一致性时，最大的矩阵的特征值为n，其余 特征根接近于0，这时，基于AHP得出的结论才基本 合理。但由于客观事物的复杂性和人们认识上的多 样性，要求判断矩阵都具有完全一致性是不可能的， 但我们要求一定程度上的一致，因此对构造的判断 矩阵需要进行一致性检验。
二、构造判断矩阵 任何系统分析都以一定的信息为基础。AHP的信息 基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出 的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就 是判断矩阵。判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判 断矩阵是AHP的关键一步。 当上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元 素（目标A或某个准则Z）相联系的下层各元素在上层 元素Z之中所占的比重。
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3.1 层次分析的基本原理
为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简 单的事实。 假定我们已知n只西瓜的每只西瓜的重量分别 n wn 为w1 w2 ，… ， ，且总和为1，即 1 。 wi i 1 把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n只西 瓜相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）：
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象这样类似的问题很多，其特点是这类问题所往 往涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、 判别、评价、决策时这些因素的重要性、影响力或者 优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当重 要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本 质上的困难。
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层次分析法（analytical hierarchy process ,AHP） 是美国匹兹堡大学教授撒泰（A.L.Saaty）于20世纪70 年代提出的一种系统分析方法。它综合定性与定量分 析，模拟人的决策思维过程，来对多因素复杂系统， 特别是难以定量描述的社会系统进行分析。目前， AHP是分析多目标、多准则的复杂公共管理问题的有 力工具。它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系 统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作和生 活中思考问题、解决问题的一种方法。将AHP引入决 策，是决策科学化的一大进步。它最适宜于解决那些 难以完全用定量方法进行分析的公共决策问题。
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假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，…， Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表8.16所示。
表8.16
B1
Ak B1 B2 b11 b21 ┇ bn1 b12 b22 ┇ bn2 … … ┇ … b1n b2n ┇ bnn
判断距阵
B2 … Bn
Bn
表 8.16中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的 数值表示， 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性。
在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优 劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个 标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种 冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这 些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排 序权重。 再如：某人准备假期旅游，初次筛选了桂林、黄山 和北戴河三处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费 用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，如何在3个 旅游地中按照景色、费用、居住条件、饮食和路途6个 因素选择一个最佳的旅游地。
数学建模竞赛
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3 层次分析法 人们在实际问题中常常会遇到各种各样的决策 问题，如旅游地的选取问题，旅游者初次筛选几处旅 游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、 饮食条件交通等各不相同，根据个人的条件和爱好等 如何确定旅游地。 再例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上 的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款 式时，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比 的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信 誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各 中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选 2 购决策。
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AHP将人们的思维过程和主观判断数学化，不仅 简化了系统分析与计算工作，而且有助于决策者保持 其思维过程和决策原则的一致性，对于那些难以全部 量化处理的复杂的问题，能得到比较满意的决策结果。 因此，它在能源政策分析、产业结构研究、科技成果 评价、发展战略规划、人才考核评价以及发展目标分 析等许多方面得到广泛的应用。 下面介绍层次分析法的基本原理、步骤、计算方 法、及其应用。
表示两个元素相比，前者比后者明显重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 表示两个元素相比，前者比后者极端重要
2，4，6，8
倒数
表示上述判断的中间值 若元素 i 与元素j的重要性之比为 b ji , 则元素j与元素 i
1 的重要性之比为 bij = bij
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设填写后的判断矩阵为 B bij nn ，则判断矩阵具有 如下性质：
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则该判断矩阵 为一致性矩阵。
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采用1~9的比例标度的依据是： （1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在 相同属性上差别的分辨能力在1~9级之间，采用1~9 的标度反映了大多数人的判断能力； （2）大量的社会调查表明，1~9的比例标度早已为 人们所熟悉和采用； （3）科学考察和实践表明，1~9的比例标度已完全 能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。 因此目 前在层次分析法的应用中，大多数都采用尺度。当然， 关于不同尺度的讨论一直存在着。
i, j, k 1,2,, n
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系 ，则称矩阵具有完全一 致性。 可以证明具有完全一致性的矩阵A=aij 有以下性
nn
a 阵 对 于 矩ij nn
aik j, k 1 关 aij 如 果i,满 足,2,, n ， a jk
质： 1）A的转置亦是一致阵；
max 2）矩阵A的最大特征根 n ， 其余特征根均为零。 u (u1 , u2 ,, un )T是A对应 max的特征向量，则 3）设
(1) bij 0,
1 (2) bij , b ji
(3) bii 1.
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时， 通常先填写bii =1部分，然后再仅需判断及填写上三角形 或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。 在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：
bij b jk bik
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应用AHP解决问题的思路是，首先，把要解决 的问题分层次系列化，将问题分解为不同的组成因 素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层 聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。 然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据 人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学 方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。 最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值， 得到最低层（方案层）相当于最高层（总目标）的 相当重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择 方案的依据。
W1 W1 W2 W 1 W n W 1 W1 W2 W2 W2 Wn W2 W1 Wn W2 Wn aij nn Wn Wn
显然
1 aii 1， aij a ji
aik aij a jk
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填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询 问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪 个重要，重要多少。对重要性程度Saaty等人提出用19尺度赋值，见下表8.17
表8.17
含 重要性标度 1 表示两个元素相比，具有同等重要性 义
重要性标度含义表
3
5 7 9
表示两个元素相比，前者比后者稍重要
aij ui uj
W1 W2 W2 W2 Wn W2
i, j 1,2,, n
W1 Wn W2 Wn Wn Wn
若记
W1 W1 W2 A W1 W n W 1
W1 W2 W W n
显然是可以的。
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在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解 特征值问题 AW= maxW
求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从 而得到n只西瓜的相对重量。 同样，对于复杂的社会公共管理问题，通过建立 层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方 法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供 决策者参考。
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例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、 社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究 生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为 如图8.1所示的层次结构模型。
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再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：