【精】2020学年广东省深圳中学高二上学期期中数学试卷和解析
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若（a﹣b）a2＜0，则a≠0，∴a﹣b＜0，即a＜b成立，若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，即“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（0，）D．（，0）【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y＝4x2，则其标准方程为x2＝y，其焦点在y轴正半轴上，且p＝，则其焦点坐标为（0，）；故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3．（5分）已知向量＝（2，3），向量＝（﹣1，2），若+与垂直，则μ＝（）A．﹣1B．1C．D．【分析】可先求出，，根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】解：，；∵+与垂直；∴；解得．故选：C．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用cos＝，即可得出．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨OA＝1，则A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），E．＝（﹣1，0，1），＝．∴cos＝＝＝．∴BE与SA所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆（x ﹣1）2+y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（2，6）B．（5，8）C．（8，12）D．（8，10）【分析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，从而△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B ﹣x A）+2＝3+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+1，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+1+（x B﹣x A）+2＝3+x B，由抛物线y2＝4x及圆（x﹣1）2+y2＝16可得交点的横坐标为3，∴x B∈（5，7），∴3+x B∈（8，10），故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．6．（5分）已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥βB．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．面α内不共线的三点到β的距离相等D．面α，β都垂直于平面γ【分析】A中，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；B中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断α∥β；C中，举例说明α∥β不一定成立；D中，α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】解：对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．故选：B．【点评】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣a＝2a cos B，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】利用正弦定理求出2A＝B，再对结论进行化简，利用基本不等式求出即可．【解答】解：c﹣a＝2a cos B，sin C﹣sin A＝2sin A cos B，化简sin A cos B+cos A sin B﹣sin A＝2sin A cos B，得sin（B﹣A）＝sin（A），得2A＝B，或者B＝180°（舍弃），由＝＝＝＝＝，①由A+B+C＝3A+C＝π，A∈（0，），所以①≥2＝2，当且仅当A＝，取等号，故选：C．【点评】题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．8．（5分）直线y＝﹣与椭圆C：交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．4﹣2【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y＝﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c＝2a．∴故选：B．【点评】本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A．焦点为B．渐近线方程为C．离心率e为D．焦点到渐近线的距离为【分析】利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：，可知a＝3，b＝，c＝4，所以双曲线的焦点坐标（±4，0），所以A不正确；渐近线方程：，所以B正确；离心率为：e＝，所以C正确；焦点到渐近线的距离为：＝，所以D不正确；故选：BC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【分析】根据图象可知，求出周期，进而得到ω的值，然后利用最高点求出φ的值，然后根据解析式确定选项．【解答】解：由题意得，所以T＝π，故ω＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将代入得，所以，结合，可知k＝0时，为所求，故f（x）＝＝．又因为f（）＝sinπ＝0，故（）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题，以及正余弦型三角函数图象与性质，属于中档题．11．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【分析】由平面QEF也就是平面A1B1CD，可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】解：对于A，∵平面QEF也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面A1B1CD的距离是定值，∴点P到平面QEF的距离为定值，故A正确；对于B，∵Q是动点，E，F也是动点，推不出定值的结论，∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值，故B错误；对于C，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，∵点P到平面QEF的距离，∴P到平面QEF的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值，故C正确；对于D，∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值，∴△QEF的面积是定值，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12．（5分）如图，过点P（2，0）作两条直线x＝2和l：x＝my+2（m＞0）分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D（其中A，C位于x轴上方），直线AC，BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4B．点Q在定直线x＝﹣2上C．|PC|最小值是2D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP【分析】设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x，通过韦达定理，判断A；求出直线AC的方程，直线BD的方程，推出Q满足的方程，判断B；求出|PC|判断C；通过P A＝PB，但QA≠QB，判断D．【解答】解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程x＝my+2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0．则y1y2＝﹣4．故A正确；由题得A（2，2），B（2，﹣2），直线AC的方程为，直线BD的方程为，消去y得，将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；计算P A＝2，OP＝2，可知选项C错误；因为P A＝PB，但QA≠QB，所以D错误．故选：AB．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos（30°﹣2α）＝﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得cos（15°﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（30°﹣2α）的值．【解答】解：∵＝cos（15°﹣α），则cos（30°﹣2α）＝2cos2（15°﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，n∈N*．若其前k项和为126，则k＝6．【分析】由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵a1＝2，a n+1＝2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，＝126，故k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．15．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝，AB＝1，则球O的表面积为8π．【分析】利用体积公式推出AB•BC＝1，再利用余弦定理求出AC的最小值，再求出外接球半径R的最小值，代入求出即可．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的体积为，且P A＝2，得到V＝P A•BA•BC sin＝，∴AB•BC＝1，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝，则由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ＝AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC＝3，当且仅当AB＝BC＝1成立，故AC的最小值为，所以2r≥＝2，r的最小值为1，球的半径R＝的最小值为R＝＝．则球O的表面积的最小值是4πR2＝8π．故答案为：8π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知双曲线C的焦点为F1（0，2），F2（0，﹣2），实轴长为2，则双曲线C的离心率是2；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且F1Q⊥F2Q，则△QF1F2的面积为2．【分析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得＝0可得Q 的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】解：由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，所以双曲线的方程为：y2﹣＝1，所以渐近线的方程为：y＝，设Q（﹣y，y）为一条渐近线的点，由F1Q⊥F2Q可得＝0，即（﹣y，y﹣2）（﹣y，y+2）＝0，可得3y2+y2﹣4＝0，所以|y|＝1，所以S＝|F1F2|•|y|＝•4•＝2，故答案分别为：2，2．【点评】本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在①sin A＝2sin C，②a+c＝6，③ac＝15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的△ABC存在，求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b＝3，___．【分析】由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，，可得，可得B＝60°，选择①：利用正弦定理，余弦定理解得c，a的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择②：利用余弦定理可求得ac＝9，结合a+c＝6，可得a，c的值，根据三角形的面积公式即可求解；选择③：利用余弦定理可求得a+c＝3，结合ac＝15，无解，可得△ABC不存在．【解答】解：由题设及正弦定理得，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝180°，可得，故．因为，故，因此B＝60°，选择①：sin A＝2sin C，即a＝2c，根据余弦定理有，＝，代入b＝3，解得c＝，a＝2，所以面积S＝＝，选择②：＝＝，代入a+c＝6，解得ac＝9，结合a+c＝6，所以a＝c＝3，所以面积S＝，选择③：＝＝，代入ac＝15，解得a+c＝3，结合ac＝15，无解，所以△ABC不存在．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论，进一步进行证明．【解答】解：（1）当n＝1时，有，整理得：，解得：a1＝2又由，可得，两式相减得，即有a n+1＝2a n．故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2）由（1）知q≠1，所以．令，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ＝﹣2，此时b n＝﹣2n﹣2，当n＝1时，b1＝﹣2×1﹣2＝﹣4．当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝﹣2n﹣2﹣[﹣2（n﹣1）﹣2]＝﹣2，所以是以﹣4为首项，﹣2为公差的等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【分析】（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D，再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1，⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点F直线l1交椭圆于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）通过离心率以及椭圆经过的点，求出a，b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，利用韦达定理结合△OPQ的面积为，利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：（1）由得a＝2c，所以b2＝3c2，由点在椭圆上得解得c＝1，，所求椭圆方程为．（2）F（0，1），设直线l1：x＝my+1，代入方程化简得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，△OPQ的面积为，所以求ABC的最大值即求|y2﹣y1|的最大值．（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝，令m2+1＝t≥1，上式可表示成，y＝9t+6+，t≥1时，函数是增函数，所以t＝1时，y取得最小值12，|y2﹣y1|的最大值的最大值为：，△OPQ的面积为＝．S△OPQ＝．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，平面P AD⊥平面ABCD，PE∥CD，AB＝BC＝2，AD＝4，，∠PDA的余弦值为，，F为BE中点，G为PD中点（1）求证：FG∥平面ABCD（2）求平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值【分析】（1）取EC的中点H，连结FH，GH，证明FH∥BC，FH∥平面ABCD，HG∥CD，HG∥平面ABCD，然后证明平面FHG∥平面ABCD，推出FG∥平面ABCD．（2）在△P AD中，求出P A＝2，说明P A⊥AD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCE与平面ADE所成角的余弦值即可．【解答】（1）证明：取EC的中点H，连结FH，GH，∵F为BE中点，∴FH∥BC，∵FH⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴FH∥平面ABCD，∵G为PD中点，EP∥CD，∴HG∥CD，∵HG⊄平面ABCD，∴HG∥平面ABCD，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABCD，∵FG⊂平面FHG∴FG∥平面ABCD．（2）解：在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD•cos∠PDA＝，∴P A＝2，∴P A2+AD2＝PD2，∴P A⊥AD又∵平面P AD⊥平面ABCD平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴P A⊥平面ABCD，以AD所在直线为X轴，BA所在直线为Y轴，A为原点建立空间直角坐标系．A（0，0，0），B（0，﹣2，0），C（2，﹣2，0），D（4，0，0），P（0，0，2），设，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，∴点E的坐标为（﹣1，﹣1，2），设平面ADE的一个法向量：＝（（x，y，z）），，∴，∴，设平面BCE的一个法向量，，∴，∴，设平面BCE与平面ADE所成角为θ∴，∴平面BCE与平面ADE所成角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x＝my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【分析】（Ⅰ）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段ON的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2＝2px经过点M（2，2），得22＝4p，故p＝1，c的方程为y2＝2x…（2分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则′＝，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2＝（x﹣2），令y＝0得x＝﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（5分）（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x＝﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x＝my+b，令x＝﹣2，得y＝﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b＝0则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2b…（7分）直线MA的斜率为＝＝，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+＝2×＝1+，即＝1+＝1+，…（10分）整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2＝2m，即b＝2故l2的方程为x＝my+2，即l2恒过定点（2，0）…（12分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键．。
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为（ ）A.(1, 0)B.(14, 0)C.(0, 14)D.(0, 18)【答案】 D【考点】 抛物线的性质 【解析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p ，进而求得焦点坐标． 【解答】整理抛物线方程得x 2=12y ∴ 焦点在y 轴，p =14 ∴ 焦点坐标为(0, 18)2. 若{a →, b →, c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A.b →+c →，b →，b →−c → B.a →，a →+b →，a →−b →C.a →+b →，a →−b →，c →D.a →+b →，a →+b →+c →，c →【答案】 C【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】由平面向量基本定理判断． 【解答】由平面向量基本定理得：对于A 选项，b →=12(b →+c →)+12(b →−c →)，所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面； 对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面；3. 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是（ ） A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.双曲线 【答案】 C【考点】 曲线与方程 【解析】先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论． 【解答】因为：x 2−y 2＝x +y ；∴ x 2−y 2−(x +y)＝0，即(x +y)(x −y −1)＝0； ∴ x +y ＝0或者x −y −1＝0；∴ 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是两条直线．4. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ．设A 1B 1→=a →，A 1D 1→=b →，A 1A →=c →，则下列向量中与2B 1M →相等的向量是（ ）A.−a →+b →+2c →B.a →+b →+2c →C.a →−b →+2c →D.−a →+b →+2c →【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量B 1M →进行线性表示即可． 【解答】由题意得，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，2B 1M →=2(B 1B →+BM →)＝2(A 1A →+12BD →)＝2A 1A →+BA →+AD →=2A 1A →−A 1B 1→+A 1D 1→=−a →+b →+2c →； 5. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225−k +y 29−k =1(k <9)的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等【考点】椭圆的离心率 【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断． 【解答】 曲线x 225+y 29=1表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线x 225−k+y 29−k =1(k <9)表示焦点在x 轴上，长轴长为2√25−k ，短轴长为2√9−k ，离心率为√25−k ，焦距为8．对照选项，则D 正确．6. 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，则cosθ＝（ ） A.n 1→⋅n 2→|n 1|→|n 2→| B.|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→| C.|n 1→||n 2→|n 1→⋅n 2→D.|n 1→||n 2→||n 1→⋅n 2→|【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可． 【解答】平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，若两个平面的夹角为θ，两平面夹角范围是[0, π2]， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|．7. 与圆x 2+y 2＝1及圆x 2+y 2−8x +12＝0都外切的圆的圆心在（ ） A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 【答案】 D【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 【解答】由x 2+y 2−8x +12＝0，得(x −4)2+y 2＝4， 画出圆x 2+y 2＝1与(x −4)2+y 2＝4的图象如图， 设圆P 的半径为r ，∵ 圆P 与圆O 和圆M 都外切， ∴ |PM|＝r +2，|PO|＝r +1，∴ P 点在以O 、M 为焦点的双曲线的左支上，8. 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是（ ） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】 A【考点】空间中的点的坐标 【解析】分别求出AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，再求出模，由此能求出结果． 【解答】∵ A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)，∴ AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，∴ |AB →|=√36+4+9=7，|AC →|=√4+9+36=7，|BC →|=√64+25+9=7√2， ∴ |AB →|＝|AC →|，且|AB →|2+|AC →|2＝|BC →|2，∴ 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．9. 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，点Q 在直线y ＝x +3上，则|PQ|的最小值是（ ）A.√22B.√2C.32√2 D.2√2 【答案】B【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ，则可知|PQ|的最小值即为两直线的距离．直线方程y ＝x +b 与抛物线方程联立，消去x 根据判别式等于0求得b ，根据距离公式求得答案． 【解答】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ， 联立{y =x +by 2=4x 消去x 得y 2−4y +4b ＝0，△＝(−4)2−16b ＝0． ∴ b ＝1．则|PQ|的最小值是√2=√2．10. 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A.12 B.√3010C.√3015D.√1510【答案】异面直线及其所成的角 【解析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD 1与AF 1所成角的余弦值． 【解答】∵ 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，∴ 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ 点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1， ∴ 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则B(0, 20)，D 1(1, 1, 2)，A(2, 0, 0)，F 1(1, 0, 2)， BD 1→=(1, −1, 2)，AF 1→=(−1, 0, 2)， 设BD 1与AF 1所成角为θ， 则cosθ=|BD 1→⋅AF 1→||BD 1→|⋅|AF 1→|=√5⋅√6=√3010． ∴ BD 1与AF 1所成角的余弦值为√3010．11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率e ＝2，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为（ ） A.2 B.3 C.√3 D.√6 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出点A ，B 、C 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k CA ⋅k CB =y 12−y 22x12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1．即可求得结论．【解答】由题意，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)， 则x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减可得y12−y 22x 12−x 22=b 2a 2，∴ k CA ⋅k CB =y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3．12. 已知空间直角坐标系O −xyz 中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA →，PB →，PC →两两垂直，若Q ＝A +B +C −2P （注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是（ ）A.O 为球心，√2−OP →2为半径的球面 →C.P 为球心，√2−OP →2为半径的球面 D.P 为球心，√3−2OP →2为半径的球面【答案】 B【考点】 轨迹方程 【解析】利用已知条件推出OQ →2=3−2OP →2，|OQ →|=√3−2OP →2然后说明结果即可．【解答】由Q ＝A +B +C −2P 得，Q −P ＝(A −P)+(B −P)+(C −P)，即PQ →=PA →+PB →+PC →．又PA →，PB →，PC →两两垂直，所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ →=OP →+PA →+PB →+PC →，得OQ →2=OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)．(∗) 又OA →=OP →+PA →，所以1=OA →2=OP →2+PA →2+2OP →⋅PA →， 同理1=OB →2=OP →2+PB →2+2OP →⋅PB →， 1=OC →2=OP →2+PC →2+2OP →⋅PC →．三式相加，得3=3OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)，代入(∗)式，得OQ →2=3−2OP →2，即|OQ →|=√3−2OP →2（定值）． 所以，动点Q 的轨迹是以O 为球心，√3−2OP →2为半径的球面．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分．双曲线4x 2−y 2+64=0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于________． 【答案】 17【考点】双曲线的标准方程 【解析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a 、b 的值，然后根据双曲线的定义得出|PF 1−PF 2|=2a ，根据题中的已知数据，可以求出点P 到另一个焦点的距离．解：将双曲线4x 2−y 2+64=0化成标准形式：y 264−x 216=1， ∴ a 2=64，b 2=16.P 到它的一个焦点的距离等于1，设PF 1=1， ∵ |PF 1−PF 2|=2a =16，∴ PF 2=PF 1±16=17（舍负）. 故答案为：17.已知PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60∘，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是________． 【答案】 √33【考点】直线与平面所成的角 【解析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．能证明点O 在∠APB 的平分线上，通过解直角三角形PED 、DOP ，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值． 【解答】在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角． 过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ． △DEP ≅△DFP ，∴ EP ＝FP ，∴ △OEP ≅△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60∘，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30∘． 设PE ＝1，∵ ∠OPE ＝30∘∴ OP =1cos30=2√33在直角△PED 中，∠DPE ＝60∘，PE ＝1，则PD ＝2． 在直角△DOP 中，OP =2√33，PD ＝2．则cos∠DPO =OP PD=√33． 即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 √33．已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是________． 【答案】y =−32x(−√2<x <√2)【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】运用中点坐标公式和参数方程，消去m ，即可得到所求的结论． 【解答】设这组平行直线的方程为y =32x +m ，联立{y =32x +m x 24+y 29=1 ，整理得18x 2+12mx +4m 2−36＝0，则x 1+x 2=−23m ，所以它们与椭圆交点的中点坐标为(−13m, 12m)， 即这些点均在y =−32x(−√2<x <√2)上，三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知空间三点A(0, 2, 3)，B(−2, 1, 6)，C(1, −1, 5)． (Ⅰ)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；(Ⅱ)若向量a →分别与AB →、AC →垂直，且|a →|=√3，求a →的坐标． 【答案】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘∴ S =2×12×√14×√14sin60=7√3⋯（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1) 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】（1）以AB 、AC 为边的平行四边形的面积我们选择S =|AB|⋅→|AC|→sinθ，其中θ是AB →,AC →的夹角．（2）设出a →的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可． 【解答】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘1（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1)设抛物线y 2＝2px(p >0)上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为2√p ． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线y ＝2−x 与抛物线相交于A ，B 两点，求证：MA ⊥MB ． 【答案】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1． 所以，抛物线的方程为y 2＝2x ， 点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）由抛物线的定义知p2+2√p =52．解得p ＝1．即可．（2）联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ．解之得即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 即可得k MA ⋅k MB =√51+√5×√51−√5=(−3)2−51−5=−1．即可证明【解答】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1．点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ．如图，在三棱锥O −ABC 中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点．（1）用向量OA →，OB →，OC →表示OG →，并证明你的结论；（2）设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）． 【答案】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)．设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】（1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量OG →，使得它用基底{OA →, OB →, OC →}表示即可；（2）设OP →=xOA →+yOB →，x ，y ∈R ，则点P 在直线AB 上的充分必要条件是：x +y ＝1，且0<x <1，0<y <1．类比平面向量三点共线的结论写出即可． 【解答】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)． 设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．已知动点M 与定点F(c, 0)的距离和M 到定直线l:x =a 2c的距离的比是定值ca （其中a >0，c >0）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状． 【答案】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca． 所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2+y 2a 2−c 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】（1）设出M 的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可． （2）通过a ，c 的大小关系，化简方程，然后推出结果即可． 【解答】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca ．所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a (x −a 2c )2化为x 2a+y 2a −c =1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a 2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线．如图，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠ADC ＝90∘，AB ＝AD ＝DE =12CD ，M 为AE 的中点．（1）证明：AC // 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小． 【答案】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点．又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF →，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=222222=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】 （1）（法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ．说明AC // MN ．推出AC // 平面MDF ． （法2）说明AC →=DC →−DA →=DF →−2DM →，推出AC →与DF →，DM →是共面向量．即可证明AC // 平面MDF ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB ＝a ，求出平面MDF 的一个法向量，求出平面BCF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF 与平面BCF 的夹角即可． 【解答】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点． 又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF→，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a 2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22+12+(−2)2√12+12+02=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．已知直线l:x +y −√2=0经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值． 【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ， 两式相减并整理，得y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|22=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分） 由{x =my +nx 23+y 2=1 ，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切， 所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2．所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a ，b 推出结果．（2）由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，求出圆的方程，设动切线PQ:x ＝my +n ，由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减并整理，得y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0． 所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切，所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2． 所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．。
2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1 B ．√32C ．√22D ．127．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，35] B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝1010．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ）A ．点（4，0）在圆M 内B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√512．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ ．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 ． 四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程． 18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1：（x +2）2+y 2＝1，圆O 2：（x ﹣2）2+y 2＝1，点H （1，0），一动圆M 与圆O 1内切、与圆O 2外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ；（2）令c n =an b n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立；（3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：由等差数列的性质可知a 4+a 8＝a 5+a 7＝20， 又a 7＝12，故a 5＝8，设等差数列的公差为d ，则d =a 7−a57−5=12−82=2， 所以a 4＝a 5﹣d ＝8﹣2＝6． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：依题意，由a 3a 8＝a 7， 可得a 1q 2•a 1q 7＝a 1q 6，化简整理，得a 1q 3＝1，即a 4＝1， ∴公比q =a5a 4=21=2．故选：B ．3．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．3解：根据题意，直线l 1：3x +y ﹣5＝0，其斜率k 1＝﹣3，直线l 2：x ﹣ay ＝0，其斜率k 2=1a， 若两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=−1，解可得a ＝3， 故选：D ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)， ∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．27解：由等比数列的性质可知，a 2a 4=a 32， ∴3a 32=4a 3， 又∵a 3≠0，∴a 3=43， ∵a 6＝2a 5，∴公比q =a6a 5=2，∴a 1=a 3q2=434=13， ∴{a n }的前6项和S n =a 1(1−q 6)1−q =13(1−26)1−2=21．故选：C ．6．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：如图，不妨设F 为双曲线C ：x 23−y 2=1的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，a 2＝3，b 2＝1，则c ＝2， 点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，∠POF =π6，|PF |＝1，PF sin∠POF =OF sin∠OPF，sin ∠OPF =2×121=1，所以OP ⊥PF ，OP =√3， ∴S △OPF =12×√3×1=√32． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0，35]B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)解：△MF 1F 2的面积为12|F 1F 2|⋅|y M |，因为△MF 1F 2的内切圆半径为c2，所以△MF 1F 2的面积可表示为12（2a +2c ）×c2，所以12×2c ×|y M |=12（2a +2c ）×c 2，所以|y M |=a+c2，因为|y M |≤b ，所以a+c 2≤b ，两边平方得：（a+c 2）2≤b 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以（a+c 2）2≤a 2﹣c 2，整理得：5c 2+2ac ﹣3a 2≤0，因为离心率e =ca，所以5e 2+2e ﹣3≤0，解得：0＜e ≤35． 故选：A ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)解：设P （x ，y ），|PB|≥b ⇒√x 2+(y −b)2≥b ⇒x 2+y 2−2by ≥0(∗)， 由x 2a 2−y 2b 2=1⇒x 2=a 2(1+y 2b 2)，代入不等式*中，整理得c 2b 2y 2−2by +a 2≥0恒成立，则Δ=4b 2−4a 2c 2b2≤0⇒b 4≤a 2c 2⇒b 2≤ac ⇒c 2−a 2≤ac ⇒e 2−e −1≤0，解得1−√52≤e ≤1+√52，又e ＞1，则1＜e ≤1+√52； 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝10解：设数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 8＝2a 5＝2，知选项A 正确；a 3a 7＝（a 5﹣2d ）（a 5+2d ）=a 52−4d 2＝1﹣4d 2，由于d 不确定，所以B 错误；由S 9=(a 1+a 9)⋅92=9a 5＝9，知选项C 正确； S 10＝S 9+a 10＝9+a 5+5d ＝10+5d ，由于d 不确定，所以D 错误． 故选：AC ．10．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．点（4，0）在圆M 内 B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切解：x 2+y 2﹣4x +3＝0整理得：（x ﹣2）2+y 2＝1，∵x ＝4，y ＝0时x 2+y 2﹣4x +3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M 外，A 错；∵圆心M （2，0）在直线x +3y ﹣2＝0上，∴圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称，B 对； ∵圆M 半径为1，故C 错；∵圆心M （2，0）到直线x −√3y =0的距离为d =|2|√1+3=1，与半径相等，∴直线x −√3y =0与圆M 相切，D 对． 故选：BD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√5解：不妨设双曲线的右焦点为F （c ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时直线l 的方程为y ＝k （x ﹣c ），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =k(x −c)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2+2a 2k 2cx ﹣a 2（k 2c 2+b 2）＝0，此时b 2﹣a 2k 2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2a 2k 2c b 2−a 2k2，x 1x 2=−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2，所以|AB|=√1+k 2√(−2a 2k 2c b 2−a 2k2)2−4[−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2]=2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，不妨设线段AB 的中点M （x 0，y 0），此时x 0=x 1+x 22=−a 2k 2c b 2−a 2k 2，y 0=k(x 0−c)=k(−a 2k 2c b 2−a 2k 2−c)=−b 2kcb 2−a 2k2，即M(−a 2k 2c b2−a 2k2，−b 2kc b2−a 2k2)，因为k ≠0，线段AB 的中垂线的斜率为−1k ，则线段AB 的中垂线所在直线方程为y +b 2kcb 2−a 2k 2=−1k (x +a 2k 2cb 2−a 2k2)， 令y ＝0，解得x =−k 2c 2b2−a 2k2，即D(−k 2c 3b 2−a 2k2，0)， 所以|DF|=|−k 2c 3b 2−a 2k2−c|=b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，因为|AB|≥√2|DF|，所以2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|≥√2b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，整理得2a ≥√2c ， 则e =c a ≤22=√2， 又双曲线的离心率e ＞1，则双曲线的离心率取值范围为(1，√2]． 故选：BC ．12．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4解：对于A ，由a 1＝1，a 2＝1，且a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，可得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，则a 8＝21，故A 正确； 对于B ，由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且2023＝3×674+1，所以a 2023是奇数，故B 正确； 对于C ，因为a 2＝a 3﹣a 1，a 4＝a 5﹣a 3，⋯，a 2022＝a 2023﹣a 2021，相加可得：a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣1，故C 错误；对于D ，因为斐波那契数列总满足a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，且a 1＝a 2＝1，所以a 12=a 2a 1，a 22=a 2a 2=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3a 3=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 3a 2， 类似的有，a n 2=a n a n =a n (a n+1−a n−1)=a n a n+1−a n a n−1，其中n ≥2， 累加得a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2=a n ⋅a n+1，则S n =π4(a 12+a 22+⋯+a n 2)=π4a n a n+1，故S 2023a 2023⋅a 2024=π4，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ 99 ．解：∵a n =1√n+1+√n=√n +1−√n ，∴S n ＝（√2−1）+（√3−√2）+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∵S n ＝9， ∴√n +1−1＝9， n +1＝100， 解得n ＝99． 故答案为：99．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ √3 ． 解：由圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2，则其圆心为（3，1）， 圆心到直线的距离d =|3−1|√1+1=√2，弦长的一半为1，r =√(√2)2+12=√3．故答案为：√3． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 [√66，√55] ．解：设A （x 1，y 1），则由AF 1→⋅AF 2→=4c 2可得：(−c −x 1，−y 1)⋅(c −x 1，−y 1)=x 12−c 2+y 12=4c 2，可得x 12+y 12=5c 2，即A 点在以（0，0）为圆心，半径为√5c 的圆上；又A点在椭圆上，即可得圆x 12+y 12=5c 2与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有交点，根据对称性可知b ≤√5c ≤a ，即5c 2≤a 2≤6c 2，所以可得离心率e ∈[√66，√55]． 故答案为：[√66，√55]． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 (−23，0) ． 解：∵椭圆方程：x 24+y 23=1，∴A （﹣2，0），B （2，0），又k 1＝2k 2，设l AC ：y ＝k 1（x +2），l BD ：y ＝k 2（x ﹣2）．设C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． 联立{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 12)x 2+16k 12x +(−12+16k 12)=0，∴x A +x C =−16k 123+4k 12，∴x C =−16k 123+4k 12−x A =−16k 123+4k 12−(−2)=6−8k 123+4k 12，因为k 1＝2k 2， ∴x C =6−8k 123+4k 12=6−32k 223+16k 22，∴C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，联立{y =k 2(x −2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 22)x 2−16k 22x +(−12+16k 22)=0，得x B +x D =16k 223+4k 22，∴x D =16k 223+4k 22−x B =16k 223+4k 22−2=−6+8k 223+4k 22，∴D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)，由C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)得，l CD ：9k 2x+(8k 22−3)y +6k 2=0，即8k 22y +(9x +6)k 2−3y =0过定点(−23，0)．故答案为：(−23，0)．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程．解：（1）由圆C 1：（x +1）2+y 2＝4，可得圆C 1的圆心为C 1（﹣1，0），半径为r 1＝2， 圆C 1与圆C 2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：x +3y ﹣1＝0， 圆心C 1到x +3y ﹣1＝0的距离为d 1=√105，所以PQ =2√r 12−d 12=6√105； （2）M （1，0），C 2（0，3），当△MNC 2的面积最大时，NC 2⊥MC 2， 又k MC 2=3−00−1=−3，所以k NC 2=13，所以直线NC 2的直线方程为y =13x +3， 由{x 2+(y −3)2=10y =13x +3，解得{x =−3y =2或{x =3y =4， 所以N （﹣3，2）或N （3，4），所以MN 方程：x +2y ﹣1＝0或2x ﹣y ﹣2＝0．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 由b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2 可得： {b 1q +2a 1+d =105a 1+10d =5b 1q 2+3(a 1+d)⇒{q =2d =2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝2n +1， 数列{b n } 的通项公式是b n =2n−1．（2）∵a n b n =(2n +1)×2n−1，数列{a n •b n }的前n 项和T n ， ∴T n =3+5×2+7×22+⋯+（2n +1）×2n ﹣1，2T n =3×2+5×22+⋯+（2n ﹣1）×2n ﹣1+（2n +1）×2n ，∴﹣T n ＝3+2×（2+22+2n ﹣1）﹣（2n +1）×2n=3+2×2(2n−1−1)2−1−（2n +1）×2n ＝2n +1﹣1﹣（2n +1）×2n ，∴T n =(2n −1)×2n +1．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心为M（x0，0），且x0是整数．则点（x0，0）到直线4x﹣3y+7＝0的距离为3．得022=3，所以x0＝2．轨迹方程：（x﹣2）2+y2＝9；（2）联立轨迹方程与直线方程，（x﹣2）2+y2＝9与ax﹣y+4﹣2a＝0，因为直线与圆有两个交点，所以Δ＞0，得a∈(−∞，−√73)∪(√73，+∞)，（3）存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．理由如下：设l的方程为y=−1a(x−3)−1，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：（x+2）2+y2＝1，圆O2：（x﹣2）2+y2＝1，点H（1，0），一动圆M与圆O1内切、与圆O2外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程E；（2）是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆O1方程知：圆心O1（﹣2，0），半径r1＝1；由圆O2方程知：圆心O2（2，0），半径r2＝1，设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，∴|MO1|＝r﹣1，|MO2|＝r+1，∴|MO2|﹣|MO1|＝2，且2＜|O1O2|＝4，∴动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，∴a＝1，c＝2，b2＝4﹣1＝3，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为：x 2−y 23=1(x ≤−1)；（2）设直线l 为x ＝my +n ， 把x ＝my +n 代入x 2−y 23=1，并整理得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， ∴Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2﹣1）（3n 2﹣3）＞0，即3m 2+n 2﹣1＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−6mn 3m 2−1，y 1y 2=3n 2−33m 2−1， ∴x 1x 2=(my 1+n)(my 2+n)=m 2y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=m 2×3n 2−33m 2−1+mn ×−6mn3m 2−1+n 2=−3m 2−n 23m 2−1＞0，∴3m 2﹣1＜0，又∵x 1+x 2＝（my 1+n ）+（my 2+n ）＝m （y 1+y 2）+2n =m ×−6mn 3m 2−1+2n =−2n3m 2−1＜0，∴n ＜0，∵HA ⊥HB ，∴HA →⋅HB →=0，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+y 1y 2+1＝0， ∴−3m 2−n 23m 2−1−−2n 3m 2−1+3n 2−33m 2−1+1=0，即n 2+n ﹣2＝0，解得n ＝﹣2或n ＝1，当n ＝1时，直线l 为x ＝my +1，过H （1，0），不合题意，舍去； 当n ＝﹣2时，直线l 为x ＝my ﹣2，过定点（﹣2，0）．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ； （2）令c n =a nb n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立； （3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ． 解：（1）由S n =log √3(T n )，令n ＝1得，a 1=S 1=log 312(T 1)=2log 3(b 1)=2log 313=−2，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝a 1+3d ＝4，解得d ＝2，∴a n ＝﹣2+2（n ﹣1）＝2n ﹣4，S n =n(a 1+a n )2=n(−2+2n−4)2=n 2−3n ， 即log √3(T n )=n 2−3n ，可得T n =(√3)n 2−3n．（2）存在，理由如下： 由（1）可得：T n =(√3)n2−3n，当n ≥2时，则T n−1=(√3)(n−1)2−3(n−1)=(√3)n2−5n+4，可得b n =T nT n−1=(√3)2n−4=3n−2； 当n ＝1时，b 1=13也满足上式，所以b n =3n−2(n ∈N ∗)． 故c n =a nb n =2n−43n−2， 要使c n ﹣1＝c n +c n +1成立，即2n−63n−3=2n−43n−2+2n−23n−1，解得n ＝4，此时c 3=23，c 4=49，c 5=29，满足：2c 4＝c 3+c 5， 即c 4为c 3，c 5的等差中项， ∴存在n ＝4符合题意．（3）d n ＝2a n +7＝2（2n ﹣4）+7＝4n ﹣1，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1=(−1)n(4n+1)(4n−1)(4n+3)=(−1)n2(14n−1+14n+3)， Y 2n =12[−(13+17)+(17+111)−(111+115)+⋯+(18n−1+18n+3)]=12(−13+18n+3)=−4n24n+9． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．解：（1）由题意可知P （0，b ），F 1（﹣c ，0），设M （x ，y ）， 因为PF 1→=2F 1M →，可得（﹣c ，﹣b ）＝2（x +c ，y ），所以x =−32c ，y =−b2，而M 在椭圆上，所以94c 2a2+b 24b 2=1，即9c 24a 2+14=1，而2c ＝2√3，则c =√3，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为：x 29+y 26=1；（2）设P （x 0，y 0），PM →=λPF 1→，PN →=μPF 2→，则M （（1﹣λ）x 0，−√3λ，（1﹣λ）y 0）， 代入椭圆的方程：[(1−λ)x 0−√3λ]29+(1−λ)2y 026=1，即（1﹣λ）2（x 029+y 026）−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1， 因为P 在椭圆上，所以x 029+y 026=1，所以（1﹣λ）2−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1，可得λ=x 0+3√3x 0+23， 同理可得μ=0√3x 0−23，所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN=|PF 1|⋅|PQ||PM|⋅|PQ|+|PF 2|⋅|PQ||PN|⋅|PQ|=12λ+12μ=12（0√3x 0+3√3+0√3x 0−3√3）＝1+9x 02−27，因为x 02∈[0，9），所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN∈（12，23]，且当x 0＝0时，即P 为短轴的顶点时，取到最大值23．。
广东省深圳实验学校高中部2020学年高二数学上学期期中试题
深圳实验学校高中部2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ．设11A B =u u u u r a ，11A D =u u u u r b ，1A A =u u u rc ，则下列向量中与12B M u u u u r相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||g n n n nB ．1212|||||g |n n n nC ．1212|||g |n n n n D ．1212|||||g |n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上18．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA u u u r ，PB u u u r ，PC u u ur 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面 B ．O 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面C ．P 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面D ．P 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019_2020学年深圳市高级中学高中部高二上学期期中数学试卷及答案版
A向右平移芒3 个单位长度 C. 向左平移巴6 个单位长度
B. 向右平移竺个单位长度 D. 向左平移？3 个单位长度
;l ,
如图，正方体ABCD
-
A1B1C1趴的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点，A
1
M〉
1 -------+
= -A
3
1
B
,
---+ 1----+
AN=-AC I 则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）．
A. - 1X020 +- 9y12 =1
B.
L+
100
兰
91
=1
c 邑25 十兰16 =1
巴2 25
＋
1ly
2 6
＝
1
设向量r1
=
-+
(3, 邓），b为单位向量，且
d//=
(
).
A (享， — 严(— 享，；） C. (-享，书
B. (卢）
D. (古）或（－亨分）
力， ． 已知函数!(工）是偶函数，当兀 >0时，!(兀）＝咬，则下列函数在区间(—oo,O) 上与函数!(工）的单调
角为（ ）． B
A. 30°
B. 45°
C. 60°
C1 D. 90°
在!::::.ABC中，A=巴，AB=3y13,AC=3,D在边BC上，且CD=2DB,则AD= ( ) .
6
A. 2-/7
B. yl2I
C. 5
D湿
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— 设椭圆mX 2 + — y4 =1 (m2 > 4)与双曲线—22 -— y42 =1在第一象限的交点为T I Fi I 凡为其共同的左
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。
2020学年广东省深圳市深圳外国语学校高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
B．“x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件
C．命题“若 x2﹣3x＝2＝0，则 x＝1”的逆否命题为：“若 x≠1，则 x2﹣3x
＝2≠0”
D．对于命题 p：∃ x≥0，2x＝3，则￢P：∀ x＜0，2x≠3
【答案】D
【解析】根据含有逻辑联结词命题真假性、充分和必要条件、逆否命题和全
称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定说法错误的选项.
2 故答案为： 7
2
金戈铁骑
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【点睛】
本小题主要考查空间向量坐标的线性运算，考查空间两个向量垂直的坐标表
示，属于基础题. 14．若抛物线 y＝4x2 上的点 A 到焦点的距离为 33 ，则 A 到 x 轴的距离是
16 _____．
【答案】 2
点对称，F1, F 关于原点对称，由于 AF BF ，所以四边形 AFBF1 为矩形，对
角线相互平分.由于 ABF
π 6
，故 AF1F
π 6
，故可设
AF n, AF1 3n, F1F2 2n ，根据双曲线的定义可知
e 2c 2c 2a AF1 AF
2n 3n n
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法命题正确的是（）13．若()()1,0,1,0,2,2a b ==r r ，则14．圆224x y +=与圆22+4x y -方程为 .四、解答题15．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()140,a x y a a +-+=ÎR .(1)若1a =，求过点()1,0且与直线l 平行的直线方程；(2)若直线l 与圆22:(2)(2)8C x y -++=相切，求a 的值.16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，1190,60,BAD DAA BAA M Ð=°Ð=Ð=°为11A C 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c===uuu r uuu r uuur r r r .则1A P PB +的最小值为212+对于B ，当1m =时，BP BC l =uuu r uuu r 11//C 面1A BC ,故P 到平面1A BC 对于C ，当1l =时，1BP BC =uuu r uuu10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，1A P BP ×uuur uuu 对于D ，当12m =时，BP uuu r 所以P点轨迹为线段MN．设明；（2）先分别求解出平面AEC 和平面ABC 的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值确定出法向量的夹角，再结合图形求解出二面角的大小.【详解】（1）法一：PA ^平面ABCD 且AC Ì平面,ABCD PA AC \^，又因为AB AC ^且,,PA AB A PA AB Ç=Ì平面P AB ，AC \^平面PAB ，PB ÌQ 平面,PAB AC PB \^.法二：由题意可知,AB AC PA ^^平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AC 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，因为1P A AB AC ===，所以()()()()0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1A B C P ，所以()()1,0,0,0,1,1AC PB ==-uuu r uuu r，即()1010010AC PB ×=´+´+´-=uuu r uuu r，因此AC PB ^uuu r uuu r，故可知AC PB ^.（2）因为底面ABCD 为平行四边形，所以,AB CD AC CD =^，故()1,1,0D -，设平面1A BD的法向量为n=令1x=，则2,1y z==-，所以设直线1AC和平面1A BD所成的角为。
广东省深圳市深圳中学2022-2023学年高二数学期中考试
试卷类型：A深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题年级：高二 科目：数学命题人：金朝阳 审题人：贺汇雅 考试时长：120分钟 卷面总分：150分注意事项：1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。
选择题作答必须用2B 铅笔， 修改时用橡皮擦干净。
一、 单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为−1且倾斜角为3π4的直线方程为2．圆x 2+y 2+ax =0的圆心横坐标为1，则a 等于A ．1B ．2C ．−1D ．−23．在递增的等差数列{a n }中，已知a 4与a 6是方程x 2−10x +24=0的两个根，则a 20=A ．19B ．20C ．21D ．22 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=3, S 5=25，则a 8=A ．13B ．14C ．15D ．16 5．已知点A (−2,−1)，B (3,0)，若点M (x,y )在线段AB 上，则y−2x+1的取值范围6．已知数列{a n }满足a n 2=a n−1⋅a n+1 (n ≥2)，若a 2=3, a 2+a 4+a 6=21，则a 4+a 6+a 8=A ．84B ．63C ．42D ．217．直线2x +y −1=0与直线x −2y −3=0交于点P ，则点P 到直线kx −(k +1)y +1+2k =0（k ∈R ）的最大距离为A ．√2B ．2√2C ．3√2D ．4√28．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，12小时后细胞存活个数A ．2048B ．2049C ．4096D ．4097A ．x +y +1=0B ．x +y −1=0C ．x −y +1=0D ．x −y −1=0A ．(−∞,−12]∪[3,+∞) B ．[−12,3] C ．(−∞,−1]∪[3,+∞)D ．[−1,3]二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分） 9．已知b ∈R ，圆C 1:(x −1)2+(y −b )2=4，C 2:x 2+y 2=1，则10．已知公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9=S 17，下列说法正确的是A ．a 8=0B ．a 9=0C ．a 1=S 16D ．S 8>S 1011．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是A ．若S n =2n 2−3，则{a n }是等差数列B ．若{a n }是等差数列，且a 3=5，a 2+a 10=2，则数列{a n }的前n 项和S n 有最大值C ．若等差数列{a n }的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2D ．若{a n }是等差数列，则三点(10,S 1010)、(20,S 2020)、(30,S3030)共线 12．设圆C:(x −3)2+(y −4)2=9，过点P(1,2)的直线l 与C 交于A ，B 两点，则下列结论正确的为三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n −1，则{a n }的通项公式a n =_____． 14．过点A(1,2)且与两定点(2,3)、(4,−5)等距离的直线方程为_____． 15．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =n ，则1S 1+1S 2+⋯+1S n=_____．16．已知圆 C:x 2+y 2−2ax +4y =0关于直线x +3y +2=0对称，P (x,y )为圆C 上一点，则2x −y 的最大值为_____．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．已知直线l ：x −ky +2+k =0(k ∈R )． （1）若直线不经过．．．第一象限，求k 的取值范围； （2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程． A ．两圆可能外离 B ．两圆可能相交 C ．两圆可能内切D ．两圆可能内含A ．P 可能为AB 中点B ．|AB|的最小值为3C ．若|AB |=2√5，则l 的方程为y =2D ．△ABC 的面积最大值为9218．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC．（1）求B；，求△ABC的周长．（2）若b=1，△ABC的面积为√3419．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，满足a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n⋅b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n．20．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6√2，∠BAC=45°，BC边上的中线为AM．（1）求AM的值；（2）求sin∠BAM．21．数列{a n}中，a1=2，a n+1=n+1a n (n∈N∗)．2n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（1）证明数列{a nn，若数列{b n}的前n项和是T n，求证：T n<2．（2）设b n=a n4n−a n22．函数f(x)=log a(x−4)−1(a>0，a≠1)所经过的定点为(m , n)，圆C的方程为(x−m)2+(y−n)2=r2 (r>0)，直线√3x+y+1−2√3=0被圆C所截得的弦长为√73．（1）求m，n以及r的值；（2）设点P(2 , −1)，探究在直线y=−1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比|TB|=k(k为常数)．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存|TP|在，请说明理由．。
【精品】2020年广东省深圳高中高二上学期期中数学试卷和解析文科
2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=254．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣15．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．58．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=09．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．410．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2018学年广东省深圳高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的）1．（5分）命题p：3是奇数，q：5是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非q为假【解答】解：根据奇数和偶数的定义，得命题p是真命题，命题q是假命题．∵命题q是假命题∴命题“p且q”为假命题，故B错误命题“非q”为真命题，故D错误又∵命题p是真命题∴命题“p或q”是真命题，故A正确命题“非p”为假命题，故C错误故选：A．2．（5分）“x2﹣x=0”是“x=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2﹣x=0 则x=0或x=1．即x2﹣x=0推不出x=1．反之，若x=1，则x2﹣x=0，即x=1推出x2﹣x=0所以“x2﹣x=0”是“x=1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣3）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=25 C．（x﹣2）2+（y+3）2=5 D．（x﹣2）2+（y+3）2=25【解答】解：设圆心C（2，m），根据圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），可得CA2=CB2，即4+（m+4）2=4+（m+2）2，求得m=﹣3，可得圆心为（2，﹣3）、半径为CA=，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5，故选：C．4．（5分）若直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，则a=（）A．1 B．﹣1 C．D．1或﹣1【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或﹣1．故选：D．5．（5分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选：C．6．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．7．（5分）过点P（﹣1，4）作圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的切线，则切线长为（）A．3 B．C． D．5【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣6y+12=0的标准方程是（x﹣2）2+（x﹣3）2=1，∴圆心（2，3）到点P的距离是d==；圆的半径r=1，∴切线长为l===3．故选：A．8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，由4x=4得x=1，当x=1时，代入抛物线方程得y=2，∴切点坐标为（1，2）∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是y﹣2=4（x﹣1）即4x﹣y﹣2=0故选：C．9．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．10．（5分）已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f（﹣1）=；故若方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则方程x2+tx+1=0（t∈R）有两个不同的实根，且x1∈（0，），x2∈（，+∞）∪{0}，故，或1=0解得，t∈（﹣∞，﹣），故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知f（x）=lnx+cosx，则f′=．【解答】解：，∴，故答案为：．12．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．13．（5分）椭圆的离心率为，则实数m的值为．【解答】解：当m＞5时，=，解得m=，当m＜5时，=解得m=3符合题意，故答案为：14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω和的值；（2）求函数f（x）的最大值及相应x的集合．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（）的周期是π且ω＞0∴T=，解得ω=2∴f（x）=sin（2x+）∴f（）=sin（）=sin=（2）∵﹣1∴当2x+=+2kπ（k∈Z）即x=时f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x/x=}．16．（12分）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【解答】解：（1）圆方程可整理为：（x﹣1）2+y2=4，圆心坐标为（1，0），半径r=2，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而，∴．所以，由点斜式方程可得：，整理得：3x﹣2y﹣3=0．（2）圆心（1，0）到直线，故．17．（14分）设函数f（x）=x2e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（6分）（2）令∴x=0和x=﹣2，…（8分）∴∴f（x）∈[0，2e2]…（11分）∴m＜0…（12分）18．（14分）设F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点到两点的距离之和等于4．（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，）到椭圆+=1（a＞b＞0）两焦点F1，F2的距离之和等于4，∴2a=4，a=2．∴+=1，∴b2=3，∴椭圆的方程为：+=1，其焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），∵Q（0，），∴|PQ|2=4cos2θ+=4﹣4sin2θ+3sin2θ﹣sinθ+=﹣sin2θ﹣sinθ+=﹣+5≤5．∴|PQ|的最大值为．19．（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA=﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）∴∴y1+2=﹣（y2+2）∴y1+y2=﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（1）a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，，当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）＞f（0）=a；f （x）在[，e]上单调递减，且．则f（x2）＞a，∵g′（x）=，①当0＜a＜e时，g（x）=alnx﹣x在（0，a）上单调递增，在[a，e]上单调递减；故g（x1）max=g（a）=alna﹣a；则alna﹣a﹣a=a（lna﹣2）＜0；故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立；②当a≥e时，g（x）=alnx﹣x在（0，e]上单调递增，故g（x1）max=g（e）=a﹣e；故a﹣e﹣a=﹣e＜0，故对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
【精】2020学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2018-2019学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，第12小题，共60分）1．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞±2}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|﹣2＜x＜2}2．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b3．（5分）已知{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，则S5等于（）A．36 B．25 C．20 D．494．（5分）等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2等于（）A．1 B．2 C．3 D．65．（5分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则公比q等于（）A．B．2 C．或2 D．﹣26．（5分）在△ABC中，已知b2+c2﹣a2+bc=0，则角A等于（）A．B．C．D．7．（5分）如果△ABC三边a，b，c满足bcosA=acosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则a5=（）A．B．C．D．9．（5分）下列不等式成立的个数是（）①；②；③a2+b2≥﹣2ab；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞）D．（1，+∞）11．（5分）某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（）A．20×（1.01）5万B．20×（1.01）4万C．万D．万12．（5分）关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知△ABC的面积为，a=3，b=2，则C=或．14．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为．15．（5分）一元二次不等式ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式ax2﹣x+c＜0的解集为．16．（5分）求和：=．三、解答题：（本大题共6题，共70分，其中第22题是A层必做，B层选做）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=﹣5，a8=7（1）求数列的通项公式；（2）如果数列{b n}满足b n=|a n|，计算：b1+b2+b3+…+b10．18．（12分）在△ABC中，已知，求边c的长及△ABC的面积S．19．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣a2）（1）当时，求函数f（x）＜0时x的取值范围；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞0．20．（12分）已知等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项的和，求S1+S2+…+S n．21．（12分）如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为100m2的花卉种植区和四周宽为2m 的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为xm和ym，整个花园占地面积为Sm2．（1）求S与x，y的关系；（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．22．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n+1．（1）求a4+a5+a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列的前n项和为T n，证明T n＜．2018-2019学年广东省深圳市宝安区西乡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，第12小题，共60分）1．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞±2}C．{x|x＜﹣2或x＞2}D．{x|﹣2＜x＜2}【解答】解：由图象可知不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|x＜﹣2或x＞2}，故选：C．2．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b【解答】解：对于A，当a=﹣1，b=1时，则不成立，对于B，当a=1，b=﹣1时，则不成立，对于C，当c=0时，则不成立，对于D，根据不等式的基本性质，可知D正确，故选：D．3．（5分）已知{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，则S5等于（）A．36 B．25 C．20 D．49【解答】解：{a n}是等差数列，a n=2n﹣1，可得a3=2×3﹣1=5，S5=5a3=25．故选：B．4．（5分）等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2等于（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1，则a2=S2﹣S1=32﹣1﹣31+1=6．故选：D．5．（5分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则公比q等于（）A．B．2 C．或2 D．﹣2【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，∴，解得或故选：C．6．（5分）在△ABC中，已知b2+c2﹣a2+bc=0，则角A等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，根据余弦定理得：cosA=﹣，又A∈（0，π），则角A=．故选：D．7．（5分）如果△ABC三边a，b，c满足bcosA=acosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB﹣sinBcosA=0，即sin（A﹣B）=0，则A=B，即△ABC是等腰三角形，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=，则a5=（）A．B．C．D．=，得【解答】解：由a n+1，即．又a1=，∴．则数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列．则．∴．故选：A．9．（5分）下列不等式成立的个数是（）①；②；③a2+b2≥﹣2ab；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①，x是负数时不满足，故①错误；②=2，当且仅当x=±1时“=”成立，故②正确；③由a2+b2≥﹣2ab得：a2+b2+2ab≥0，∴（a+b）2≥0，故③正确；④，ab＜0时：结果为负数，故④错误；故选：B．10．（5分）如图，阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由题意知，只要求出目标函数z=x﹣2y的最小值，由可行域可知，当直线y=x经过（0，1）时，最大，即z最小，此时z=﹣2，所以要使阴影部分区域中的任意点（含边界）都满足不等式x﹣2y＞a，只要a＜﹣2；故选：B．11．（5分）某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为（）A．20×（1.01）5万B．20×（1.01）4万C．万D．万【解答】解：某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么1年后这个小镇的人口数为20（1+%），2年后这个小镇的人口数为20（1+%）2，3年后这个小镇的人口数为20（1+%）3，4年后这个小镇的人口数为20（1+%）4，5年后这个小镇的人口数为20（1+%）5=20×（1.01）5．故选：A．12．（5分）关于x的不等式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：当m=0时，不等式为﹣x＞0，即x＜0，不符合题意．当m≠0时，∵式mx2﹣（1﹣m）x+m＞0对任意实数x都成立，∴，解得m．综上，m的取值范围是（，+∞）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知△ABC的面积为，a=3，b=2，则C=60°或120°．【解答】解：∵a=3，b=2，∴△ABC的面积S==，∴sinC=，∴C=60°或120°；故答案为：60°或120°14．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可得：可行域是一个底面AB=3，AB边上的高为的三角形，∴可行域的面积S=×3×=，故答案为：．15．（5分）一元二次不等式ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则不等式ax2﹣x+c＜0的解集为（﹣1，2）．【解答】解：∵ax2+x+c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴﹣2+1=﹣，﹣2×1=，∴a=1，c=﹣2，∴不等式ax2﹣x+c＜0可化为x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．16．（5分）求和：=．【解答】解：，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=2（）=2×=2（1﹣）=．故答案：．三、解答题：（本大题共6题，共70分，其中第22题是A层必做，B层选做）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=﹣5，a8=7（1）求数列的通项公式；（2）如果数列{b n}满足b n=|a n|，计算：b1+b2+b3+…+b10．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解得，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）令a n=2n﹣9≥0可得n≥，∴等差数列{a n}的前4项为负数，从第5项开始为正数，∴b1+b2+b3+…+b10=（7+5+3+1）+（1+3+5+7+9+11）==16+36=5218．（12分）在△ABC中，已知，求边c的长及△ABC的面积S．【解答】解：由正弦定理得∴∵b＞a∴B＞A∴B=60°或120°当B=60°时，，又A=30°，∴C=90°∴当B=120°时，又A=30°，∴C=30°∴19．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣a2）（1）当时，求函数f（x）＜0时x的取值范围；（2）当a＞0时，解不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）当时，，∴，解得＜x＜，∴x的取值范围是；（2）令f（x）=0得x=a或x=a2．当0＜a＜1时，a＞a2，f（x）＞0的解集为（﹣∞，a2）∪（a，+∞）；当a=1时，a=a2=1，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；当a＞1时，a＜a2，f（x）＞0的解集为（﹣∞，a）∪（a2，+∞）．20．（12分）已知等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项的和，求S1+S2+…+S n．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}满足a1+a4=，a1a4=，且公比q＜1∴解方程组可得，∴∴；（2）由（1）可得，∴S1+S2+S3+…+S n=====21．（12分）如图，要设计修建一个矩形花园，由中心面积为100m2的花卉种植区和四周宽为2m 的人行道组成．设这个花花卉种植区矩形的长和宽分别为xm和ym，整个花园占地面积为Sm2．（1）求S与x，y的关系；（2）问花卉种植区的长和宽为多少时，这个花园占地面积最小，并求最小值．【解答】解：（1）如右图，花园的长度为x+4，宽度为y+4，单位：m，所以，花园的面积为：S=（x+4）•（y+4）（x＞0，y＞0），说明：该面积可也写成S=116+4（x+y）（x＞0，y＞0）；（2）∵x＞0，y＞0且xy=100，∴S=（x+4）•（y+4）=xy+4（x+y）+16=116+4（x+y）≥116+8=116+80=196，当且仅当：x=y=10时，花园面积S取得最小值196m2，答：当花卉种植区的长和宽都为10m，整个花园的占地面积最小为196m2．22．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n+1．（1）求a4+a5+a6的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列的前n项和为T n，证明T n＜．【解答】解：（1）由数列{a n}的前n项的和为，a4+a5+a6=S6﹣S3=36+12+1﹣（9+6+1）=33；（2）当n=1时，a1=S1=1+2+1=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，所以；（3）证明：因为数列的前n项的和为T n又，所以=，当n=1时，，当n≥2时，T n=＜+++…+=+﹣+﹣+…+﹣=﹣＜．所以对一切．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
广东省深圳实验学校高中部2019_2020学年高二数学上学期期中试题
深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ．设11A B =u u u u r a ，11A D =u u u u r b ，1A A =u u u rc ，则下列向量中与12B M u u u u r相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||g n n n nB ．1212|||||g |n n n nC ．1212|||g |n n n n D ．1212|||||g |n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上18．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA u u u r ，PB u u u r ，PC u u ur 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面 B ．O 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面C ．P 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面D ．P 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【精品】2020年广东省深圳市宝安中学高二上学期期中数学试卷和解析文科
2018学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}2．（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．85．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．247．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．8．（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A．4 B．C．D．29．（5分）在△ABC中，sin2A﹣sin2C+sin2B=sinA•sinB，则角C为（）A．60°B．45°C．120° D．30°10．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．（5分）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为．12．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．13．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．三．解答题：（共计80分）15．（12分）设函数，（ω＞0），x∈（﹣∞，+∞），且以为最小正周期．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sinαtanα的值．16．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．17．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和．19．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（14分）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．；（1）用b和k表示△AOB的面积S△AOB（2）若△AOB的面积S=|OA|+|OB|+3．△AOB①用b表示k，并确定b的取值范围；②求△AOB面积的最小值．2018学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选：A．2．（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：m2﹣4＞0，解得：m∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C．3．（5分）在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理得：=，即=，∵=，∴sinB=cosB，即tanB=1，则B=45°．故选：B．4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．8【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，且a1＞0，解得，∴a5==1．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选：B．7．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D．8．（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A．4 B．C．D．2【解答】解：∵a+2b=6∴a+2b≥2，∴2，∴，∴2ab≤9，∴ab≤即矩形的面积的最大值是，故选：B．9．（5分）在△ABC中，sin2A﹣sin2C+sin2B=sinA•sinB，则角C为（）A．60°B．45°C．120° D．30°【解答】解：利用正弦定理==化简已知的等式得：a2﹣c2+b2=ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，即0＜C＜180°，则角C为60°．故选：A．10．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C．二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．（5分）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为{x|2≤x≤3} ．【解答】解：不等式x2﹣5x+6≤0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，可化为：或，解得：2≤x≤3，则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．故答案为：{x|2≤x≤3}．12．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．【解答】解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：213．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．三．解答题：（共计80分）15．（12分）设函数，（ω＞0），x∈（﹣∞，+∞），且以为最小正周期．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sinαtanα的值．【解答】解：（1）由题设可知f（0）=3sin（）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）∵f（x）的最小正周期，∴ω==4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴f（x）=3sin（4x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）由f（+）=3sin（α++）=3cosα=，…（9分）∴cosα=，sin2α=，∴sinαtanα===…（12分）16．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC17．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n．故数列{a n}的通项公式为a n=n．（2）由（1）知，b n=2n+n．记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=（21+22+…+2n）+（1+2+…+n）==．故数列{b n}的前n项和为．19．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．20．（14分）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．；（1）用b和k表示△AOB的面积S△AOB=|OA|+|OB|+3．（2）若△AOB的面积S△AOB①用b表示k，并确定b的取值范围；②求△AOB面积的最小值．【解答】解：（1）令x=0，得y=b+2（b＞﹣2）；令y=0，得．点，∴…（5分）（2）①由题意得，解得，结合b＞﹣2，解得b＞0．故k=，b＞0…（10分）②由①得S====b++7=7+2，△AOB当且仅当b=，即b=时取等号，故△AOB面积的最小值为7+2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l 1过A(2，2√3)，B （4，0）两点，且l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√5，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y ＝±x3．“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y +7＝0平行”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．M 是双曲线x 24−y 212=1上一点，点F 1，F 2分别是双曲线左右焦点，若|MF 1|＝5，则|MF 2|＝（ ） A ．9或1B ．1C ．9D ．9或25．已知圆C ：x 2+y 2＝1，直线l ：y ＝2x +b 相交，那么实数b 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，1）B ．（﹣∞，−√5）C ．（√5，+∞）D ．（−√5，√5）6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⊥MF 2的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12) B ．(0，√22) C ．(12，√22)D ．(√22，1)7．已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），其右焦点为F （4，0），过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 212+y 24=1 C ．x 224+y 28=1D ．x 218+y 29=18．已知直线l ：（m ﹣1）x +（m +1）y ﹣3m +1＝0与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√5D ．92二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．9．已知方程x 24−t+y 2t−1=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当1＜t ＜4时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则t ＞410．已知双曲线C ：x 29−y 216=1的焦点分别为F 1，F 2，则下列结论正确的是（ ）A ．渐近线方程为3x ±4y ＝0B ．双曲线C 与椭圆x 225+y 29=1的离心率互为倒数C ．若双曲线C 上一点P 满足|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2的周长为28D ．若从双曲线C 的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 11．下列说法正确的是（ ）A ．直线（3+m ）x +4y ﹣3+3m ＝0（m ∈R ）恒过定点（﹣3，﹣3）B ．直线xcosθ+√3y +2=0的倾斜角的范围是[0，π6]∪[5π6，π) C ．方程|√(x +4)2+y 2−√(x −4)2+y 2|=8表示的曲线是双曲线D ．曲线C 1：x 2+y 2+2x =0与曲线C 2：x 2+y 2−4x −8y +m =0恰有三条公切线，则m ＝412．已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)，过点F 2且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝1，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ） A ．存在点P ，使得∠F 1PF 2＝90°B ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√33C ．满足△F 1PF 2为等腰三角形的点P 只有2个D ．|PF 1|﹣|PF 2|的取值范围为[−2√3，2√3]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点，且离心率为32的双曲线方程为 ．14．求圆x 2+y 2﹣4y +3＝0上的动点P 到直线3x ﹣4y ﹣2＝0距离的最大值 ． 15．已知双曲线x 2m−y 2n=1(m ＞0，n ＞0)和椭圆x 25+y 24=1有相同的焦点，则1m+4n的最小值为 ．16．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点A （0，﹣2）射出的两条光线与圆O ：x 2+y 2＝1分别相切于点M 、N ，称两射线AM 、AN 的切点上方部分与优弧MN 上方所夹的平面区域（含边界）为圆O 的“背面”．若以点B （a ，2）（a ＞0）为圆心，r 为半径的圆处于⊙O 的“背面”，当r 取得最大值时的a 值为 ．四、解答题：（70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知菱形ABCD 中，A （﹣4，7），C （2，﹣3），BC 边所在直线过点P （5，9）．求： （1）AD 边所在直线的方程； （2）对角线BD 所在直线的方程． 18．（12分）已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0．（1）从圆外一点P （2，1）向圆引切线，求切线方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2＝4与圆C 相交于D 、E 两点，求线段DE 的长．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，已知∠BCC 1=π3，BC ＝1，AB ＝C 1C ＝2，点E 是棱CC 1的中点． （1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求平面ABC 与平面AB 1E 夹角的余弦值；20．（12分）已知圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1，动圆M 与圆C 1，C 2均外切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点C 2且斜率为4的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△C 1AB 的面积． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，且|F 1F 2|＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点（2，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q （8，0），求k MQ +k NQ 的值． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F （﹣2，0），点(2，√63)在C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若AB，PQ的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标．2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
广东省深圳市宝安区2020学年高二数学上学期期中试题(答案不全)
广东省深圳市宝安区2020学年高二数学上学期期中试题（答案不全）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1、已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（ ） A .2 B .3 C. 2- D.3-2、等比数列{}n a 中，44a =，则a 2·a 6等于（ ）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．323、已知ABC ∆中，3=a ，33=b ，ο30=A ，则B 等于（ ）ο30.A οο15030.或B ο60.Cοο12060.或D 4、不等式0322≥-+x x 的解集为（ ）A 、}13|{-≤≥x x x 或B 、}31|{≤≤-x xC 、}31|{-≤≥x x x 或D 、}13|{≤≤-x x5、已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．36、符合下列条件的三角形△ABC 有且只有一个的是（ ）A ．a=1，b=，A=30° B ．a=1，b=2，c=3C ．b=c=1，B=45°D ．a=1，b=2，A=100°7、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，并且a ＝1，b ＝3，A ＝30°， 则c 的值为（ ）A 、2B 、3C 、3或2D 、1或28、已知函数f(x)=ax 2-x-c,且不等式ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )9、已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则=++1081311a a a a （ ） A. 27 B.3 C. 1-或3 D.1或2710、已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ） A ．2B ．1C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．11、在△ABC 中，BC=2，AC=2，C=300，则△ABC 的面积为 12、若数列{}n a 满足：n n a a a 2,111==+)(*N n ∈，则=+++n a a a .....21 . 13、若一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.则实数m 的取值范围为14、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．已知A C B sin 41sin sin =- c b 32=，则A cos = ．三、解答题（共6小题，共80分）15、（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==（1）求{}n a 的通项; （2）求 19531.....a a a a +++值。
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2018-2019学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C=，a=2，b=1，则c 等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．（4分）下列结论不正确的是（ ） A ．若ab ＞bc ，则a ＞c B ．若a 3＞b 3，则a ＞b C ．若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc D ．若＜，则a ＞b3．（4分）在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是 （ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形4．（4分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．（4分）数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2015=（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）已知△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cosBsinAsinC=sin 2B ，则（ ）A ．a ，b ，c 成等差数列B ．，，成等比数列C ．a 2，b 2，c 2成等差数列D ．a 2，b 2，c 2成等比数列7．（4分）已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣1|，则不等式f （x ）＞1的解集为（ ）A ．（，2）B ．（，2）C ．（，3）D ．（，3）8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）的分数集合A n，其所有元素和为a n；则为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1a1+a2+…+a n=．三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若数列{c n}满足c n=，且{c n}的前n项和为K n，求证：K n＜3．18．（12分）设二次函数f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；=f（a n）．数列{b n}，{c n}分别满足|b n+1﹣b n|=2，c n+12=4c n2．正项数列{a n}满足a n+1（1）若数列{b n}，{c n}为递增数列，且b1=1，c1=﹣1，求{b n}，{c n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．2018-2019学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选：B．2．（4分）下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b【解答】解：A．ab＞bc，b＜0，则a＜c，因此不成立．B．由函数f（x）=x3在R上单调递增，则a3＞b3⇔a＞b，正确．C．a＞b，c＜0，则ac＜bc，正确．D．∵＜，则a＜b，正确．故选：A．3．（4分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选：A．4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选：B．5．（4分）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A．B．C．D．【解答】解：a1=，代入到递推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；因此{a n}为一个周期为4的一个数列．∴a2015=a4×503+3=a3=．故选：B．6．（4分）已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinC=sin2B，根据正弦、余弦定理得，2••a•c=b2，化简可得，a2+c2﹣b2=b2，即a2+c2=2b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C．7．（4分）已知函数f （x ）=|x +1|﹣2|x ﹣1|，则不等式f （x ）＞1的解集为（ ）A ．（，2）B ．（，2）C ．（，3）D ．（，3）【解答】解：当x ≥1时，f （x ）＞1⇒（x +1）﹣2（x ﹣1）=﹣x +3＞1， 解得：x ＜2，∴1≤x ＜2①，当﹣1≤x ＜1时，f （x ）＞1⇒（x +1）﹣2（1﹣x ）＞1， 解得：x ＞，∴＜x ＜1②，当x ＜﹣1时，f （x ）＞1⇒﹣（x +1）+2（x ﹣1）＞1， 解得：x ＞4无解③综上，不等式的解集为（，2）， 故选：A ．8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n +1（x n +1，y n +1）的一个变换为“γ变换”，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），P n +1（x n +1，y n +1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n =|P n P n +1|，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题设知p 1（0，1），P 2（1，1），a 1=|P 1P 2|=1， 且当n ≥2时，a n 2=|P n P n +1|2=（x n +1﹣x n ）2﹣（y n +1﹣y n ）2=[（y n ﹣x n ）﹣x n ]2+[（y n +x n ）﹣y n ]2=5x n 2﹣4x n y n +y n 2 a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=（x n ﹣x n ﹣1）2﹣（y n ﹣y n ﹣1）2①由得 有代入①计算化简得a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=+=（5x n 2﹣4x n y n +y n 2）=a n 2．∴=，（n ≥2），∴数列{a n }是以为公比的等比数列，且首项a 1=1，∴a n =n ﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=，∴S10==故选：C．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．【解答】解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为﹣3．【解答】解：由等比数列的定义可得：=====﹣3，故答案为：﹣311．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为560．【解答】解：等差数列2，6，10，…，190的通项为a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2，等差数列2，8，10，14，…，200的通项为b n=2+（n﹣1）•6=6n﹣4，数列{a n}与数列{b n}首项a1=b1=2，由这两个等差数列的公共项也是一个等差数列{c n}，首项c1=2，公差为4与6的最小公倍数，d=12，∴c n=2+（n﹣1）•12=12n﹣10，S n==，∴=560．故答案为：560．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．【解答】解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是14．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（0，1），C（1，0）设t=F（x，y）=3x+4y﹣7，将直线l：t=3x+4y﹣7进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值；当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴t最大值=F（0，1）=﹣3，t最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣14∴|3x+4y﹣7|∈[3，14]，故Z=|3x+4y﹣7|的最大值是14．故答案为：14．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=﹣1．【解答】解：由题意a1=a2==﹣（）=﹣a1，a3=﹣a2﹣a1，…a n=﹣a n﹣1﹣…﹣a2﹣a1，由上推理可得a1+a2+…+a n==由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a n==故答案为三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理所得==，可得：AC=AB×=3×=5．（2）由余弦定理所得cosA===﹣，又∵A∈（0，π），∴A=．（3）S=AB•AC•sinA==．△ABC16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【解答】解：（1）由题意得水池底面积为：=1600（平方米）池壁面积S=2（3x+3）=6x+（平方米）（2）设水池总造价为y，所以y=（6x+）×120+1600×150≥2．当且仅当6x=，即x=40米时，总造价最低为297600元．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+2（n≥1，n∈N*），数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）若数列{c n}满足c n=，且{c n}的前n项和为K n，求证：K n＜3．【解答】解：（1）∵a n=S n+2①∴a n=S n﹣1+2②+1﹣a n=S n﹣S n﹣1=a n，即a n+1=2a n，当n≥2时①﹣②a n+1数列{a n}为公比q=2的等比数列．当n=1时，a2=a1+2=4，a2=2a1=4也满足a n+1=2a n．∴a n=a1q n﹣1=2n；（2）b n==，前n项和T n=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，③T n=1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1，④③﹣④：T n=+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1=+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（2n+3）•（）n；（3）证明：由（2）可得c n==＜=2（﹣），前n项和为K n=+++…+＜2+++2（﹣+﹣+…+﹣）=2++﹣，∵＜，﹣＜∴K n＜2++=3，即K n＜3．18．（12分）设二次函数f（x）=（k﹣4）x2+kx（k∈R），对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；正项数列{a n}满足a n+1=f（a n）．数列{b n}，{c n}分别满足|b n+1﹣b n|=2，c n+12=4c n2．（1）若数列{b n}，{c n}为递增数列，且b1=1，c1=﹣1，求{b n}，{c n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若g（n）=（n≥1，n∈N*），求g（n）的最小值；（3）已知a1=，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3（）+log3（）+…+log3（）＞﹣1+（﹣1）n﹣12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）数列{b n}为递增数列，则|b n+1﹣b n|=b n+1﹣b n=2，∴{b n}为公差d=2的等差数列b1=1．∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1（n∈N*）由c n+12=4cn2，∴=4又∵数列{c n}为递增数列，∴=2，∴数列{c n}公比q=2的等比数列，首先c1=﹣1，∴c n=（﹣1）•2n﹣1=﹣2n﹣1，（n∈N*）（2）对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立，即为（k﹣4）x2+（k﹣6）x﹣2≤0，k﹣4＜0，且判别式（k﹣6）2+8（k﹣4）≤0，即为k2﹣4k+4≤0，即（k﹣2）2≤0，解得k=2，即有f（x）=﹣2x2+2x，∴f（n）=﹣2n2+2n，∴g（n）====2•=∴g（n）=为关于n的单调递增函数，又∵n≥1．∴g（n）min=g（1）==﹣2（3）由（2）得f（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+∵a n+1=f（a n），又∵f（x）≤，∴正项数列{a n}满足a n∈（0，]令b n=﹣a n，则b n+1=﹣a n+1=﹣（﹣2a n2+2a n）=2（﹣a n）2，∴lgb n+1=lg2（﹣a n）2=lg2+2lg（﹣a n）=lg2+2lgb n，∴lgb n+1+lg2=2（lg2+lgb n），∵lg2+lgb1=lg（﹣）+lg2=lg∴lg2+lgb n=（lg）•2n﹣1，∴lg2b n=lg（），∴b n=•（），∴log3（）+log3（）+…+log3（）=log32•+log32•3+…+log32•3=nlog32+=nlog32+2n﹣1，要证2n+nlog32﹣1＞﹣1+（﹣1）n﹣1•2+nlog32恒成立即证2n＞（﹣1）n﹣12λ恒成立∴2n＞（﹣1）n﹣12λ恒成立①当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n﹣1有最小值1为．∴λ＜1；②当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值﹣2为．∴λ＞﹣2，所以，对任意n∈N*，有﹣2＜λ＜1．又λ为非零整数，∴λ=﹣1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。