二分法求方程的近似解(教案)

3.1.2 用二分法求方程的近似解

（一）教学目标

1、知识与技能

掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解。2、过程与方法

体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想。

3、情感、态度及价值观

在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力。

（二）教学重点与难点

重点：用二分法求方程的近似解；

难点：二分法原理的理解

（三）教学过程

1、复习引入

（1）知识回顾

（a）函数的零点及其等价关系。

＊对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

（b ）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

＊如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

（2）引例

（a ）从学校电房到学校食堂的电缆有5个接点。现在某处发生故障，需及时修理。为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少2次？ （b ）猜数字游戏，看谁先猜中

从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？10次以内猜出，你们能做到吗 ？

2、新课内容

设疑：一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求lnx+2x-6=0的根,能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？

函数：f(x)=Lnx+2x-6有零点

方程：Lnx+2x-6=0有解。

1、你能找出零点落在下列哪个区间吗？

2、你能继续缩小零点所在的区间吗？

解方程：Lnx+2x-6=0

找函数：

f(x)=Lnx+2x-6的零点所在区间

逐步缩小函数：

f(x)=Lnx+2x-6零点所在范围

3、几何画板演示缩小范围

()()()()54433221,.,.,.,.D C B A

4、区间长度、二分法概念

对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。

二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点。

5、二分法求方程近似值适用范围

思考：下列函数中哪个能用二分法求零点？

6、二分法求方程近似解的一般步骤：

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε。

（2）求区间(a,b)的中点c.

（3）计算f(c);

①若f(c)=0,则c就是函数的零点

②若f(a)f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))

③若f(b)f(c)<0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))

（4）判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4。

思考：由|a-b|<ε可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，这是为什么呢？（当然为了方便，这里统一取区间端点a（或b）作为零点的近似值。

7、练习：

（1）求出方程x 2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)（只求大于0的那个）

（2）用二分法求函数y=f(x)在)2,1( x 内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，取区间中点c=1.25且f(1.25)<0，则函数的零点落在区间（ ） 3）用二分法求f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下： f(1.6000)=0.200

f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067 f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=—0.029 f(1.5500)=—0.060

据此可得方程3x-x-4=0的一个近似解（精确度为0.01）为____________

（四）小结

1、适用范围：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用。

2、步骤： 确定初区间

求中点，算其函数值

缩小区间

算长度，比精度

下结论 A.（1，1.25） B.（1.25，1.5） C. （1.5，2） D.不能确定

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