复变函数与积分变换复习题(专升本)
复变函数积分变换复习题
复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为( )02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为( ) A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为( ) A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ,则( )A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i),则Imw 等于( ) A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域:0<argz<π3,0<|z|<2映射成W 平面上的区域( ) A.0<argw<23π,0<|w|<4 B.0<argw<π3,0<|w|<4 C.0<argw<23π,0<|w|<2D.0<argw<π3,0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析,在C 上连续,且z=a 为D 内任一点,n 为正整数,则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于( )A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2,n 为正整数,则积分dz z i n C()-+⎰1等于( )A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1,则积分dzz C ||⎰等于( ) A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0,则f(z)等于( )A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周,则z z dz C +⎰12等于( )A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中,积分值不为零的是( ) A.()z z dz C323++⎰,其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰,其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰,其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1,其中C 为正向圆周|z|=2 14.复数方程z=2+θi e (θ为实参数,0≤θ<2π)所表示的曲线为( )04-4 A .直线 B .圆周 C .椭圆D .抛物线15.已知4z arg 2π=,则argz=( ) A .8πB .4π C .2πD .π16.Re(cosi)= ( ) A .2e e 1-+B .2e e 1--C .2e e 1+--D .2e e 1--17.设f(z)=(1-z)e -z ,则)z (f '=( )A .(1-z)e -zB .(z -1)e -zC .(2-z)e -zD .(z -2)e -z18.设e z =i 31+,则Imz 为( )A .ln2B .32π C .2k π,k=1,0±…D .3π+2k π,k=0, 1±… 19.设C 为正向圆周|z|=1,则⎰=C dz z zcos ( ) A .i πB .2i πC .0D .120.设C 为正向圆周|z -1|=1,则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于( )A .5i πB .7i πC .10i πD .20i π21.设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时,f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21( )A .0B .1C .3)2z (2-D .3)2z (2--22.设z=3+4i,,则Re z 2=( )05-4 A .-7B .9C .16D .2523.下列复数中,使等式z1=-z 成立的是( ) A .z=e 2πiB .z=e πiC .z=i2e π-D .z=i 43e π24.设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A .z=(1+i)tB .z=e it +2iC .z=t+tiD .z=2cost+i3sint25.下列区域为有界单连通区域的是( ) A .0<|z-i|<1B .0<Imz<πC .|z-3|+|z+3|<12D .0<argz<43π26.若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数,则f '(z)=( )A .y u i x u ∂∂+∂∂B .x v i y v ∂∂+∂∂C .xv i x u ∂∂-∂∂ D .xvi y v ∂∂-∂∂ 27.设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析,则常数A=( )A .0B .e -1C .1D .e28.设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数,则实常数a,b 为( ) A .a=-1,b=1 B .a=1, b=1 C .a=-1,b=-1D .a=1,b=-129.设z 为复数,则e -iz =( ) A .cosz+isinzB .sinz+icoszC .cosz-isinzD .sinz-icosz 30.设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续,则下列式子错误..的是( ) A .⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB .⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C -为C 的反向曲线C .⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D .⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331.设C 为从-I 到I 的左半单位圆周,则⎰=Cdz |z |( )A .iB .2iC .-iD .-2i 32. 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为..0的是( ) A .⎰-C dz 1z zB .⎰C 3zdz cos zC .⎰C dz zz sinD .⎰-C zdz 3z e 33.设D 是单连通区域,C 是D 内的正向简单闭曲线,则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A .f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B .f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21,z 在C 的内部,n ≥2 C .f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ,z 在C 的内部,n ≥2 D .f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ,z 在C 的内部,n ≥2 34.设z 为非零复数,a ,b 为实数,若ib a zz+=_,则a 2+b 2的值( )08-4 A .等于0 B .等于1 C .小于1D .大于135.设2,3z w i z =+=,则( ) A .3arg π=w B .6arg π=wC .6arg π-=wD .3arg π-=w36.=i 2ln ( ) A .2ln B .i 22ln π+C .i 22ln π-D .i i 2Arg 2ln +37.设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=( )A .i π6B .i π4C .i π2D .038.设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=( ) A .e 2 B .i e 22π C .i e 2πD .i e 22π-39.设C 为正向圆周|z |=2,则dz z e z zC4)1(++⎰=( ) A .i e3π B .e6πC .ei π2D .i e 3π 40.设z =1-i ,则Im(21z)=( )09-4 A .-1 B .-21 C .21 D .141.复数z =ii-+23的幅角主值是( ) A .0 B .4π C .2π D .43π 42.设n 为整数,则Ln (-ie )=( )A .1-2πiB .)22(πn π-iC .1+)i π(n π22-D .1+i π(n π)22+43.设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数,则( ) A .m =-3,n =-3 B .m =-3,n =1 C .m =1,n =-3 D .m =1,n =144.积分⎰=2i iπz dz e ( )A .)1(1i +πB .1+iC .πi2D .π245.设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=( ) A .i π23- B .i π3- C .i π43 D .i π2346.设C 是正向圆周3=z ,则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=( ) A .i π2- B .i π- C .i πD .2i π47.拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是 ( )(A )()+∞,0 (B )[)+∞,0 (C )()+∞∞-, (D )()0,∞-48.拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是 ( )(A ) 实变数 (B )虚变数 (C )复变数 (D )有理数49.若()[]()s F t f L =,那么()[]=-t f e L at ( )(A )()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150.若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ,则 ( )(A )()()t u t f = (B )()t t f = (C )()()t t f δ= (D )()1=t f 51.若()[]()s F t f L =,那么()[]=+a t f L ( )(A )()s F e as - (B )()s F e as (C )()a s F e as -- (D )()a s F e as +52.若()[]()s F t f L =,那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1( )(A )()s F '- (B )()s F s 1(C )()ds s F s ⎰+∞ (D )()ds s F s ⎰053.若()[]()s F t f L =,那么()[]='t f L ( )(A )()s F ' (B )()s sF (C )()s F s ' (D )()()0f s sF -54.若()[]()s F t f L =,那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 ( ) (A )()s F s 1(B )()ds s F s ⎰+∞ (C )()ds s F s ⎰0(D )()s F s e -55.若()[]()s F t f L =,当0>a 时,那么()[]=at f L ( )(A )()s F a 1 (B )⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 (C )⎪⎭⎫⎝⎛a s aF (D )()a s F - 56.若()[]()s F t f L =,且()()000='=f f ,那么()[]=''t f L ( )(A )()s F s ' (B )()s F '' (C )()s F s 2 (D )()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100,则Imz= .3.设z=e 2+i ,则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1,则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12,则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2,f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C,其中|z|<2,则'=f ()1 . 9.设i z 101103+-=,则=_z ____________.10.方程i z 31ln π+=的解为____________.11.设C 为从i 到1+i 的直线段,则=⎰zdz CRe ____________.12.设C 为正向单位圆周在第一象限的部分,则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13.设C 为正向圆周|z |=2,则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14.复数1i --的指数形式为__________.15.设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i ),则z =__________. 16.区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17.设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ,则z 1·z 2=________.19.若cosz=0,则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|,则|:|, 55d ζz)( cos e 2________. 21.在复数域内,方程cosz=0的全部解为 。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+;复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2;23Argz k pp =+;arg 3z p=;13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î,求解方程组可得,45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+;ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+;0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=;221cos ()22i e e pp p -=+;10 、21024z dzz z ==++ò ;1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=,则0z =是(一级极点);31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=,0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导?何处解析?在可导处求出导数。
(1)()22f z x iy=+;解:22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶,一阶偏导连续,因此当,x y y x u v u v ==-时,即x y =时可导,在z 平面处处不解析。
成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
()
6.对于傅里叶变换,以下表述正确的是()
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
()
7.以下关于复变函数积分变换的表述,正确的是()
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
()
16.以下关于积分变换的表述,正确的是()
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。()
9.在复变函数中,任何连续函数的积分都是路径无关的。()
10. Z变换是复变函数积分变换的一种,常用于控制理论。()
五、主观题(本题共2小题,每题10分,共20分)
1. (10分)请说明复变函数解析的概念,并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念,并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析,但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析,积分路径包围了奇点
()
13.以下哪些是复变函数的应用领域?()
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
()
14.关于积分变换的性质,以下哪些是正确的?()
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
2.-8i得三个单根分别为:、、。
3.Lnz在得区域内连续。
4.得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
5.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
7.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8.幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
10.若f(t)满足拉氏积分存在条件、则L [f(t)]= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)=0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2.C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
(2)七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0得解y (t )。
八、(10分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1.ﻩﻩ、ﻩ ﻩ2、ﻩ-i ﻩﻩ2iﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 4、 空集5、ﻩ2z ﻩ6.0 7、将常形域映为角形域ﻩ8、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ10、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0(3分)∴ﻩﻩ(2分)三、解:原式=(2分)ﻩ(2分)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(3分) z 1=0 ﻩz2=1ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2.解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)( ﻩﻩ(2分) ﻩ2.解: (1分)ﻩ(2分)六、1.解:∵ﻩ(3分)ﻩ∴结论成立 (2)解:∵ﻩ(2分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴(2分)七、解:∵ﻩﻩ(3分)S (2)-(1):∴ (3分)∴八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是f(z)在D 内解析得(ﻩ ﻩ)条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.的模 ,幅角 。
)31ln(i --2.-8i 的三个单根分别为: ,,。
3.Ln z 在 的区域内连续。
4.的解极域为:。
z z f =)(5.的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6.。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7.指数函数的映照特点是:。
8.幂函数的映照特点是:。
9.若=F [f (t )],则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。
二、(10分)已知,求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数,且f (0)=0。
三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2)1.⎰=-2||)1(z z z dz2. C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、(10分)求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z 六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1., 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6.07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解:∵∴(5分)yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴(2分)222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z (2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(∴原式=(2分) =23126⨯⨯i πi 63π-四、1.解:原式(3分)z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0(2分)]11[2+-=i π2.解:原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-=1ich π-五、1.解:ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分)(分)(分)((2分)11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)(2分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1.解:∵(3分)∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(2)解:∵(2分)1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴(2分))(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解:∵(3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S (2)-(1):∴(3分)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ;③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
自考复变函数与积分变换试题试卷真题
复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)1.z=2-2i ,|z 2|=( )A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是( )A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=( )A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是( )A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析,则a=( )A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ,y)+iv(x ,y)在Z 平面上解析,v(x,y)=e x (ycosy+xsiny),则u(x ,y)=()A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =( )A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=( ) A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =( ) A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ,则Res[f(z),2π ]=( ) A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是( ) A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的( ) A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是( ) A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-( ) A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为( )A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ,则z 1·z 2=________.17.若cosz=0,则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|,则|:|, 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0,求f ′(z),并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数,试确定a ,b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值,其中C :|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值,其中C :|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ,其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中,第29小题必做,第30、31小题中只选做一题。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题(本题共8小题,每小题2分,满分16分) 二、(1))ln(-1i +的虚部是π43 三、(2)映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、(3)设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数,则常数=m 1 ,=n -3 五、(4)沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、(5)若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ,则该级数的收敛半径为2七、(6)设()z f 在10<<z 内解析,且()10=→z zf lim z ,则 ()[]=0,z f s Re i π2八、(7)设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、(8)设t cos e )t (f t=,则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题(本题共5小题,每小题2分,满分10分。
) (1)2z )z (f =在0=z 处(B )(A )解析 (B )可导(C )不可导 (D )既不解析也不可导 (2)下列命题中正确的是( D )(A )设y ,x ,iy x z +=都是实数,则()1≤+iy x sin (B )设)z (g )z z ()z (f m--=0,)z (g 在点0z 解析,m 为自然数,则0z 为()z f 的m 级极点(C )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (D )幂级数的和函数在收敛圆内解析(3)级数∑∞=-+02))1(1(n n n in(A )(A )条件收敛 (B )绝对收敛 (C )发散 (D )敛散性不定(4)设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点,则=m ( C )(A )5 (B )4 (C )3 (D )2(5)设)()(0t t t f -=δ,则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f ( D )。
复变函数与积分变换模拟试题和答案
模拟试卷一一.填空题1. =⎪⎭⎫⎝⎛+-711i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z ez cz,则I= .3.z1tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数?4.其中c 为2=z的正向:dz z z c1sin 2⎰=5. 已知()ωωωsin =F ,则()t f =二.选择题 1.()()z z z f Re =在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分.dz z zz ⎰=-221sin =(A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对.3.()∑+∞-∞=--n n nz 14的收敛域为(A) .4141<-<z . (B)e z <-<21 (C) 211<-<z . (D)无法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则()()z f z f '在点z =a 的留数是 .(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.()iv u z f +=为解析函数,322333y xy y x x v u --+=-,求u2.设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点,那么函数()()z g z f .在z=a 处极点如何?3.求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
()1,102-==z zz f 4.求拉氏变换()t t f 6sin =(k 为实数)5. 求方程te y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解.四.证明题1.利用e z的Taylor 展式,证明不等式zz ze z e e ≤-≤-112.若()=ϖF ℱ()[]t f (a 为非零常数) 证明:ℱ()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a F a at f ϖ1 模拟试卷一答案一.填空题1. i2. 03.否 4.1/6- 5.()0.5,10,10.25,1t f t t t ⎧<⎪=>⎨⎪=⎩二.选择题1. (D)2. (A) 3.(A) 4. (C) 三.计算题1.233u x y y c =-+2.函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级3.()()121111n n f z n z R z ∞-===+=∑4.2636s +5.()3371442t t ty t e e te ---=-++.模拟试卷二一.填空题1. C 为1=z 正向,则⎰c dz z =2.()()2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数,则l, m, n 分别为 .3.2Re ,0shz s z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4. 级数()∑∞=-122n nnz .收敛半径为5. δ-函数的筛选性质是二.选择题 1.()()1-=-t u e t f t ,则ℒ()f t =⎡⎤⎣⎦(A) .()11---s e s (B)()11---s e s (C)2()11---s e s (D) 以上都不对2.ℱ()[]()ωF t f =,则ℱ()()[]=-t f t 2(A)()()ωϖF F 2-' . (B)()()ωϖF F 2-'-.(C)()()ωϖF F i 2-'. (D) 以上都不对3.C 为3=z 的正向,().2103⎰-c zz dz(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分dzz zz ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin π =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求sin(3+4i).2.计算()()⎰--cb z a z dz,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数,a ≠b.3.求函数()1,110=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
复变函数与积分变换(专升本)
总分: 100分考试时间:分钟填空题1. |z-i|=|z-1|的图形是___(1)___ .(6分)(1).参考答案:线段i到1的垂直平分线判断题2. 若存在,则在处解析。
(6分)正确错误参考答案:错误解题思路:3. 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。
(6分)正确错误参考答案:正确解题思路:4. 若和的偏导数连续,则可导。
(6分)正确错误参考答案:错误解题思路:5. 若是的奇点,则在处不可导。
(6分)正确错误参考答案:错误解题思路:单选题6. (cos+isin)3= 。
(5分)(A) cos(3)+isin(3)(B) cos(C) cos(3)+3isin(3)(D) cos参考答案:A7. 设z=x+iy,则下列函数为解析函数的是。
(6分)(A) f(z)=x2-y2+i2xy(B) f(z)=x-iy(C) f(z)=x+i2y(D) f(z)=2x+iy参考答案:A8. 在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示。
(5分)(A) 直线(B) 圆周(C) 椭圆周(D) 抛物线参考答案:C9. 设,则的零点个数为。
(5分)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3参考答案:C10. 关于函数,以下哪个说法是错误的。
(5分)(A) 它是有界函数(B) 它是周期函数(C) 它仅有实零点(D) 它是解析函数参考答案:A11. 。
(6分)(A)(B)(C)(D)参考答案:C12. arg。
(5分)(A) -(B) -+2,(k=0,±1,±2)(C)(D) +2,(k=0,±1,±2)参考答案:C13. ln(-4-3i)= 。
(6分)(A) ln5+i(-π+arctg)(B) ln5+i(π+arctg)(C) ln5+i(-π+arctg)(D) ln5+i(π+arctg)参考答案:A14. 2sini= 。
(5分)(A)(B)(C)(D)参考答案:C15. arg(-1+)= 。
复变函数与积分变换考试题
[试题分类]:复变函数与积分变换[题型]:单选[分数]:2分1.复数 3 – 2i的虚部为()。
A. 3B.– 2iC.– 2D.–i[答案]:C2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于()。
A. 4 –iB. 4 – 3iC. 2 –iD. 2 – 3i[答案]:B3.算式(–1 + i)2的值等于()。
A. –2iB. 2 – 2iC. 2D. 2i[答案]:A4.算式的值等于()A.B.C.D.[答案]:D5.已知z1和z2 是两个复数,以下关于共轭复数运算的式子()是正确的。
A.B.C.D.[答案]:A6.方程组的解为()。
A.B.C.D.[答案]:B7. 复数的三角表示式为()。
A.B.C.D.[答案]:D8.复数z的主辐角在()上不连续。
A. 负实轴B. 正实轴C. 原点及负实轴D. 原点及正实轴[答案]:C9. 复数的三角表示式为()。
A.B.C.D.[答案]:D10. 的值等于()。
A.8iB.–8iC. 8D.–8[答案]:B11. 圆周方程的复数形式为()。
A.B.C.D.[答案]:A12.复数的模等于()。
A.13B.49C.7D.[答案]:C13.复数6 – 8i的模等于()。
A. 10B.–10C.D. 100[答案]:A14.复数2 + 3i的主辐角()。
A.B.C.D.[答案]:B15.复数–4 + 6i的主辐角()。
A.B.C.D.[答案]:D16.复数–1 – 2i的主辐角()。
A.B.C.D.[答案]:B17.复数 1 – 2i的主辐角()。
A.B.C.D.[答案]:C18.以下式子中,不正确的是()。
(注:Re表示实部,Im表示虚部)A.2i > 0B.| 2i | > 1C.Re (2i) = 0D.Re (2i) < Im (2i)[答案]:A19.以下()不是方程的根。
A.B.C. 2D. –2[答案]:C20. 以下复数中只有()是方程的根。
大学复变函数复习题+答案
《复变函数和积分变换》一.(本题30分,其每小题各3分)1. 方程()t i 1z +=(t 为实参数)给出的曲线是 ;2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-,z=0为 级极点,2i z ±=为 级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ,则其收敛半径 ; 6.计算留数:⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ;7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心,r 为半径的圆周,计算()⎰-Cna z dz(n 为正整数) ;10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题(25分,每小题各5分)(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为: ①连接由原点到1+i 的直线段;②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知:()()3z e 1zsinzz f -=求:]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4)、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-,其中2||=z C 为正向圆周:。
(5)计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-(7分)四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=,已知()233x y x y ,x u -= ,且()i 0f =. (7分)五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程,即0,0=∆=∆ψϕ;其中22yx ∂∂+∂∂=∆, 并求以此为虚部的解析函数()z f .(8分六、(8分)求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式(1).1|1|0<-<z (2)0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线(8分)八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换(7分)答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为: z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数与积分变换复习提纲以及5套题
标准实用复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:两个复数不能比较大小. 2.复数的表示1)模:z =2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3)()arg z 与arctanyx之间的关系如下: 当0,x > arg arctan yz x=;当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4)三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:i z z e θ=,其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法:若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法:1)若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()11221111212122222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2)若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=;()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1) 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(c o s s i n )nnn in z z n in z e θθθ=+=。
复变函数及积分变换试题及答案
第一套第一套一、选择题(每小题3分,共21分)1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。
A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰( )。
A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的( )。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。
A.22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. ks 1.二、填空题(每小题3分,共18分)1.23(1)i += [1] ;----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z !收敛于 [2] ;3. 设0Z 为复函数)(z f 的可去奇点,则)(z f 在该点处的留数为 [3] . ;4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-(k 为待定复常数)可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<;5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成,分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ; 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ;三、判断题 (每小题2分,共10分)1. 平面点集D 称为一个区域,如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来,这样的集合称为连通集。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模,幅角。
2.-8i 的三个单根分别为: , , 。
3.Ln z 在 的区域内连续。
4.z z f =)(的解极域为:。
5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7.指数函数的映照特点是: 。
8.幂函数的映照特点是:。
9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f。
10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且f (0)=0。
三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2) 1.⎰=-2||)1(z z z dz2.⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、(10分)求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z六、证明以下命题:(5分×2)(1))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1. 22942ln π+ ,ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6. 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解:∵yu x x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=(5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0 c =0 (3分)∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=(2分)三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1.解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221(3分) z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 (2分)2.解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-==1ich π-五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)(11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(2分)2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i (2分) 六、1.解:∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ (3分) ∴结论成立(2)解:∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e(2分)∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i(2分)七、解:∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX (3分)S (2)-(1): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s (3分)∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解:①定义; ②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i-的幅角是〔〕;2.)1(iLn+-的主值是〔〕;3.211)(zzf+=,=)0()5(f〔〕;4.0=z是4sinzzz-的〔〕极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zf s〔〕;二.选择题〔每题3分,共计15分〕1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕;〔A〕yxiuuzf+=')(;〔B〕yxiuuzf-=')(;〔C〕yxivuzf+=')(;〔D〕xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf〔〕,那么0d)(=⎰C zzf.〔A〕23-z;〔B〕2)1(3--zz;〔C〕2)2()1(3--zz;〔D〕2)2(3-z. 3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 〕.(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成以下各题〔每题10分,共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a〔2〕.计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数; 〔1〕110<-<z ,〔2〕10<<z ,〔3〕∞<<z 1五.〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕;2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕; 3.211)(z z f +=,=)0()5(f 〔 0 〕,4.0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s 〔-1 〕; 二.选择题〔每题4分,共24分〕1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕;〔A 〕 y x iu u z f +=')(; 〔B 〕y x iu u z f -=')(;〔C 〕y x iv u z f +=')(; 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f 〔 D 〕,那么0d )(=⎰Cz z f .〔A 〕23-z ; 〔B 〕2)1(3--z z ; 〔C 〕2)2()1(3--z z ; 〔D 〕2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 D 〕.的可去奇点;为、zA 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成以下各题〔每题10分,共40分〕〔1〕.设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-专升本
《复变函数与积分变换》复习题一、填空题1、写出复数1i +的其他两种表示形式:______________________;______________;2、ln(3)-= __________________;3、221Re [3,]s z z z++∞=___________; 4、映射2w z =,在1z i =+处的旋转角是___________,伸缩率_____________;5、设2()cos f t t t =+,则()f t 的拉氏变换为______________。
6、3270z +=的根为__________;7、1i e -+ 的模__________;8、2213Re [2(1),1](1)1s z z z ++-=--__________; 9、3,02i z e θθπ=≤≤,表示何种曲线_________;10、映射21w z =-,在z i =处的旋转角是________,伸缩率_________。
二、计算题1、解方程 380z +=2、(1Re )Cz dz +⎰,其中C 为沿虚轴从i -到i 3、()21z zdz z =-⎰ 4、112cos z z dz z=⎰ 5、用留数定理计算积分22sin (1)z z dz z z =-⎰,6、()=w F ()()()11i w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
7、求幂级数21nnz n ∞=∑的收敛半径,并指出在收敛圆周上的敛散性;8、C z dz ⎰,其中C 为沿虚轴从i -到i 。
9、5sin 2z zdz z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰10、74zz e dz z =⎰ 11、用留数定理计算积分21sin (1)z z zdz z e =-⎰,12、已知()2,t f t e cos t =求()f t 的拉普拉斯变换;13、()=w F ()()()22w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
14、判断级数112n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性,绝对收敛性;三、解答题1、讨论函数()3223f z x y i =+的连续性、可导性及解析性;2、3cos 1(1)z z z --的奇点?各属何类型?如是极点,指出它的阶数。
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《 复变函数与积分变换 》复习题(专升本)
一、判断题
1、cos z
与sin z 在复平面内有界.
( ) 2
、
若
{}n z 收
敛
,
则
{Re }n z 与
{Im }
n z 都
收
敛
.
( )
3、若函数()f z 在0z 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
4、若()f z 在区域D 内解析,且'()
0f z ,
则()f z C (常数)
. ( ) 5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0C
f z dz . ( )
6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导,则函数()f z 在0z 解析. ( )
7、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )
8、若()f z 在区域D 内解析,且'()
0f z ,则()
f z C (常数). ( )
9、若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( ) 10、若0
lim ()z
z f z 存在且有限,则0z 是函数()f z 的可去奇点. ( )
二、选择题 1.arg 13i ( )
A.-3
π B.
3π
C.3
2π D.3
n 2
π+2 2.
2z 在0z 复平面上( )
A.不连续
B.可导
C.不可导
D.解析
3.设z x
yi ,则下列函数为解析函数的是( )
A.2
2
()2f z x y xy
B.()f z x iy
C. ()
2f z x i y
D.()
2f z x
iy
4.0z 是
3sin z
z
的极点,其阶数为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
5.整数0k 则Res[cot ,]z =( )
A.1k
B.0
C.
1k
D.k
6、设复数1
cos
sin
3
3
z i ,则arg z
( )
A.-3
B.
6
C.
3
D.23
7、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的( )
A.非负实轴
B.实轴
C.上半虚轴
D.虚轴
8、下列说法正确的是( )
A.ln z 的定义域为0z
B.|sin |1
z
C.0z
e
D.3z 的定义域为全平面
9、设C 为正向圆周||1z ,
sin n C
z
dz z
=2i ,则整数n 为( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. 2
10、设
n
n n a z 0
n n n b z 和
()n n n n a b z 的收敛半径分别为R 1,R 2和R ,则( )
A. 1R R
B.12min{R ,R }R
C. 2R R
D.12min{R ,R }R
三、填空题
1、设11z
i
,则Im z
__________。
2、若21(1)1
n
n
n z i n
n
,则lim n
n z __________。
3、若0z 是()f z 的m 阶零点且1m ,则0z 是()f z 的___________零点。
4、设(cos
sin )z r i ,则n
z ___________________。
5、设sin
cos z i ,则z 的三角表示为________________________。
6、设11
z i
,则Re z
_________________。
7、设()ln f z z , 则()f z 的定义域为_________________。
8、若11sin
(1
)1
n
n
z i n
n
, 则lim n z ___________。
9、函数z e 的周期为______ ___。
10、0z
是()f z 的极点,则0
lim ()
z
z f z 。
四、计算题 1、 计算积分
||2(1)
z dz
z z 解:
2、将复数
11.22
n
n
i i
化简为代数形式
3、设1()(1)(2)
f z z
z
, 求()f z 在{:0||1}D z z 内的罗朗展式.
4、求单边衰减函数0(t)
00
t
e t
f t 的傅里叶变换。
5、化简
2
2
112
2
i
i
为复数的代数形式.
6、化简ln 34i 为复数代数形式
7、求函数
2
10
(1)(2)
z z z 在z 内的罗朗展式.
8、利用拉普拉斯变换求解微分方程方程
()
()
t y t y t e ,(0)
0y
五、综合计算题 1.已知(,)(cos sin )x u x y e x y
y y ,求函数(,)v x y 使函数()
(,)(,)f z u x y iv x y 为解析函数,
且(0)
0f 。
2. 验证柯西黎曼方程,证明函数cos sin cos sin ()x x e x y y y ie y f z y x y 在z 平面
上解析,并求其导数
六、证明题(
1.若0z 是()f z 的m 阶零点, 证明0z 是1
()
f z 的m 阶极点. 2.利用儒歇定理,求4510z z , 在1z
内根的个数为5个.
参考答案
一、判断题
1、×
2、√
3、√
4、√
5、×
6、×
7、√
8、√
9、√ 10、× 二、选择题 C B A B C B A C D D 三、填空题
1、12
;
2、1ei
3、1m 阶
4、cos sin n r n i n
5、cos
sin
22
i
6、 1
2
7、0z ,
8、ei 9、2()k i k z
10、
四、计算题 略 五、综合计算题 略 六、证明题 略。