第25章概率及其意义
概率论(仅供参考)
前言由于汤老师不给力，下面由刘老师来为你们划重点 内部使用，仅供参考，不承当任何后果。
参考： 课本 课件第一章该章概型和公式比较多，每个都配上了一个例题便于理解第一节重点：德·摩根律公式交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C ）（A∩B)∩C=A∩(B∩C ）分配律：A∩(B ∪C) = (A∩B)∪( A∩C )A ∪(B∩C) = (A ∪B)∩(A ∪C ） 德·摩根律A B AB A B A B ==第二节频率性质1. 样本任意一事件概率不小于0（非负性）2. 样本事件概率和为1（规范性）3. 如果AB 互斥 ()()()n n n f A B f A f B =+4. 如果AB 不排斥 ()()()()n n n n f A B f A f B f A B =+-⋂5. ()1().P A P A =-第三节 古典概型性质1. 样本空间中样本点有限，既事件有限2. 样本点概率等可能发生3. ()==k A P A n 中所含的基本事件数基本事件总数例题排列组合问题（要是考应该不会太难）几何概型求法：1.求出状态方程2.根据定义域画图3.求概率=阴影面积/总面积第四节条件概型公式：()()()() (|).()()()()AB AB P AB P A BB B P BμμμΩμμμΩ===条件概率满足概率的一切性质既非法性，规范性，可加性例题11()()()()n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑例题 书 p251()(|)(|)()(|)i i i ni ii P A P B A P A B P A P B A ==∑第五节独立性如果AB事件独立P AB P A P B()()()若多事件相互独立，理论仍然成立贝努利概型既服从二项分布模型抽取n次的组合次数第二章重点章节，几大分布都是后几章的基础第二节 离散型随机变量及其分布律1. 两点分布、0﹣1分布既随机变量 X 只可能取0或1两个值，事件执行一次只有两种情况，例如抛硬币 记为 X~b （1，p ） p 表示事件的概率，样本点个数为1, 并且1-p 表示相反事件概率 2. 二项分布（应用于上章的贝努利概型）与0-1分布类似，事件执行n 次，记为 X~b （n ，p ） p 表示事件的概率 样本点个数为n 3. 泊松分布{}e ,0,1,2,,!kP X k k k λλ-===⋅⋅⋅记为 X~π(λ)，如果出题，应该会标明是泊松分布，或者给出明确的λ二项分布X~b （n ，p ）当n 充分大，p 充分小时，对于任意固定的非负整数k ，与泊松分布概率近视相等，并且λ=nb （数学期望相等） 4. 几何分布既抽取问题中可放回情况，该分布具有无记忆性-1{}(1),1,2,k P X k p p k ==-=5. 超几何分布既抽取问题不放回情况12{},0,1,2,k n k N N nNC C P X k k C-===第三节 随机变量及其分布随机变量分布（感觉这个知识点必考，虽然不知道会是什么题） 求事件概率公式，p511. 已知分布函数求分布律，并求事件概率（习题2第一题）根据公式000{}(0)(0)P X x F x F x ==+--求出各个点的概率，并画出分布表，求事件概率可以不会套公式，可以直接看表。
九年级数学人教版(上册)第25章小结与复习
乙转盘
第一回 第二回
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共有9种等可能结果，其中中奖的有4种；
∴P(乙）=
4； 9
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市
购物？说明理由.
选甲超市.理由如下：
∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
必然事件
事 件 不可能事件
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 1 3
5
5
25
25
4. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相
同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
随机事件 与概率
概
率
初
步 列举法求
概
率
用频率估 计概率
侵权必究
概率
随机事件
定义
刻画随机事件发生可能 性大小的数值
计算 公式
P(A) m (m为试验总结果数， n
n为事件A包含的结果种数）
直接列举法 列表法
画树状图法
适合于两个试验因素或分两步进行 适合于三个试验因素或分三步进行
频率与概 率的关系
在大量重复试验中，频率具有 稳定性时才可以用来估计概率
那么重转一次，直到指针指向 4 3
某一份为止）.
12
数学九年级上册第二十五章《概率初步》小结与复习(共27张PPT)
B）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸 出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
第二十五章 概率初步
小结与复习
复习目标
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识. 2.巩固并能熟练运用列举法、列表法和树状图法求 概率.（重、难点） 3.能应用频率估计概率解决生活中的实际问题.
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
不可能事件：必然不会发生的事件
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件
考点二 概率的计算 例2 (1)一个口袋中装有3个红球，2个绿球，1 个黄球，每个球除颜色外其他都相同，搅匀后
1
随机地从中摸出一个球是绿球的概率是___3___.
(2)三张分别画有平行四边形、等边三角形、圆的 卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，
从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称 2
(2) 如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购 物？说明理由.
(2) 选甲超市.理由如下： ∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
成活 数
47
235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活 频率
0.94
0.87 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率约为（ C ） (结果保留小数点后两位)
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第25 章 随机事件的概率 第1课时 概率及其意义
解：(1)∵成绩在80～90分(含80分，不含90分)的学生有3人，占抽查人 数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20(人)，则成绩在100～110 分的学生人数m＝20－(2＋3＋7＋3)＝5 (2)这名学生成绩为优秀的概率为5＋ 203 ＝25
(3)估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×25 ＝ 120(人)
5．(宜昌中考)在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动 中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类 别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇 参赛时抽到“生态知识”的概率是( B ) A．12 B．14 C．18 D．116
6．(2020·恩施州)“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈 准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽 和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( D )
解：(1)根据题意，知白球有290×219 ＝10(个)，红球和黑球总数为290 －10＝280(个)，设黑球有x个，则红球有(2x＋40)个，∴x＋2x＋40＝ 280，解得x＝80.故红球有2x＋40＝200(个) (2)80÷290＝289 .答：从 袋中任取一个球是黑球的概率是289
14．(兰考期末)一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球， 它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同的数量的黄球，搅拌均匀后使 从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的
一次函数的概率为_5___． 12
13．(眉山中考)一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地 相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个，从袋中任取一个
人教版初高中数学章节目录
人教版初中数学章节目录七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）_______________________________________________________________________________ 七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据的收集整理与描述（9）_______________________________________________________________________________ 八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）_______________________________________________________________________________ 八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）_______________________________________________________________________________ 九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）_______________________________________________________________________________ 九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10．1几种常见的统计图表10．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～第十一章全等三角形11．1全等三角形11．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11．3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12．1轴对称12．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13．1平方根13．2立方根13．3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15．1整式的乘法15．2乘法公式阅读与思考杨辉三角15．3整式的除法15．4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习：重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
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12．3数列的进一步认识 第13章 不等式 13．1不等关系 13．2一元二次不等式 13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题 13．4基本不等式 选修1-1 第1章 常用逻辑用语 1．1命题及其关系 1．2简单的逻辑联结词 1．3全称量词与存在量词 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线 2．2椭圆 2．3双曲线 2．4抛物线 2．5圆锥曲线与方程 第3章 导数及其应用 3．1导数的概念 3．2导数的运算 3．3导数在研究函数中的应用 3．4导数在实际生活中的应用 选修1-2 第1章 统计案例 1．1假设检验 1．2独立性检验 1．3线性回归分析 1．4聚类分析 第2章 推理与证明 2．1合情推理与演绎推理 2．2直接证明与间接证明 2．3公理化思想 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 5．2结构图 选修2-1 第1章 常用逻辑用语 1．1命题及其关系 1．2简单的逻辑连接词 1．3全称量词与存在量词 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线 2．2椭圆
2．3双曲线 2．4抛物线 2．5圆锥曲线的统一定义 2．6曲线与方程 第3章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 3．2空间向量的应用 选修2-2 第1章 导数及其应用 1．1导数的概念 1．2导数的运算 1．3导数在研究函数中的应用 1．4导数在实际生活中的应用 1．5定积分 第2章 推理与证明 2．1合情推理与演绎推理 2．2直接证明与间接证明 2．3数学归纳法 2．4公理化思想 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 选修2-3 第1章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合 1．4计数应用题 1．5二项式定理 第2章 概率 2．1随机变量及其概率分布 2．2超几何分布 2．3独立性 2．4二项分布 2．5离散型随机变量的均值与方差 2．6正态分布 第3章 统计案例 3．1假设检验 3．2独立性检验 3．3线性回归分析 4．4聚类分析
九年级上册数学教学计划冀教版汇总(八篇)
最新九年级上册数学教学方案冀教版汇总(八篇)九年级上册数学教学方案冀教版篇一通过九年数学的教学，提供进一步学习所必需的数学根底知识与根本技能，进一步培养学生的运算才能、思维才能和空间想象才能，可以运用所学知识解决简单的实际问题，教育学生掌握根底知识与根本技能，培养学生的逻辑思维才能、运算才能、空间观念和解决简单实际问题的才能，使学生逐步学会正确、合理地进展运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。
会用归纳演绎、类比进展简单的推理。
进步学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。
顽强的学习毅力和独立考虑、探究的新思想。
培养学生应用数学知识解决问题的才能。
本学期的教学内容共五章：第22章：二次根式；第23章：一元二次方程；第24章：图形的相似；第25章：解直角三角形；第26章：随机事件的概率。
重点：1、要求学生掌握证明的根本要求和方法，学会推理论证；2、探究证明的思路和方法，提倡证明的多样性。
难点：1、引导学生探究、猜测、证明，体会证明的必要性；2、在教学中浸透如归纳、类比、转化等数学思想。
〔1〕认真备课。
认真研究教材及考纲，明确教学目的，抓住重点、难点，精心设计教学过程，重视每一章节内容与前后知识的联络及其地位，重视课后反思，设计好每一节课的师生互动的细节。
〔2〕抓住课堂45分钟。
严格按照教学方案，精心设计每一节课的每一个环节，争取每节课到达教学目的，突出重点，分散难点，增大课堂容量组织学生人人参与课堂活动，使每个学生积极主动参与课堂活动，使每个学生动手、动口、动脑，及时反响信息进步课堂效益。
〔3〕课后反响。
精选适当的练习题、测试卷，及时修改作业，发现问题及时给学生面对面的指出并指导学生搞懂弄通，不留一个疑难点，让学生学有所获。
1、认真学习钻研新课标，掌握教材。
2、认真备课，争取充分掌握学生动态。
3、认真上好每一堂课。
4、落实每一堂课后辅助，查漏补缺。
5、积极与其它老师沟通，加强教研教改，进步教学程度。
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华东师大版初中数学教材目录七上§2.7有理数的减法第 1 章走进数学世界§2.8有理数的加减混淆运算数学伴我们成长 1.加减法一致成加法人类离不开数学 2.加法运算律在加减混淆运算中人人都能学会数学的应用阅读资料华罗庚的故事阅读资料中国人最早使用负数阅读资料幻方第2章有理数－《九章算术》和中国古代的“正§2.1 有理数负术”1.正数与负数§2.9 有理数的乘法2.有理数1. 有理数的乘法法例§2.2 数轴2. 有理数乘法的运算律1.数轴§2.10 有理数的除法2.在数轴上比较数的大小§2.11 有理数的乘方§2.3 相反数阅读资料264有多大§2.4 绝对值§2.12 科学记数法§2.5 有理数的大小比较§2.13 有理数的混淆运算§2.6 有理数的加法§2.14 近似数1.有理数的加法法例阅读资料巧算平均数2.有理数加法的运算律§2.15 用计算器进行计算阅读资料从结绳记数到计算器小结小结复习题复习题综合与实践身份证号码与学藉号第 3章整式的加减第4章图形的初步认识§3.1 列代数式§4.1生活中的立体图形1.用字母表示数§4.2立体图形的视图2.代数式1.由立体图形到视图3.列代数式2.由视图到立体图形§3.2 代数式的值§4.3立体图形的表面张开图阅读资料幽默的“3x1问题”§4.4平面图形§3.3 整式阅读资料七巧板1.单项式§4.5最基本的图形－点和线2.多项式1.点和线3.升幂排列与降幂排列2.线段的长短比较§3.4 整式的加减阅读资料欧拉公式1.同类项§4.6角2.归并同类项1.角3.去括号与添括号2.角的比较和运算4.整式的加减3.余角和补角阅读资料用分别系数法进行整小结式的加减运算复习题综合与实践制作包装盒 2. 解一元一次方程第 5章订交线与平行线阅读资料丢番图的墓志铭与方程§5.1 订交线§6.3 实践与研究1.对顶角小结2.垂线复习题3.同位角、内错角、同旁内角§5.2 平行线第 7 章一次方程组1.平行线§7.1二元一次方程组和它的解2.平行线的判断§7.2二元一次方程组的解法3.平行线的性质* §7.3三元一次方程组及其解法阅读资料九树成行§7.4实践与研究小结阅读资料鸡兔同笼复习题小结复习题数学实验附图方格图第8章一元一次不等式格点图§8.1认识不等式七下§8.2解一元一次不等式第 6章一元一次方程 1. 不等式的解集§6.1 从实责问题到方程 2.不等式的简单变形§6.2 解一元一次方程 3.解一元一次不等式1. 等式的性质与方程的简单变形§8.3一元一次不等式组阅读资料等号与不等号的由来 3.画轴对称图形小结 4.设计轴对称图案复习题阅读资料 Times and Dates综合与实践球赛出线问题§10.2 平移1.图形的平移第 9章多边形2.平移的特点§9.1 三角形§10.3 旋转1.认识三角形1.图形的旋转2.三角形的内角和与外角和2.旋转的特点3.三角形的三边关系3.旋转对称图形§9.2 多边形的内角和与外角和阅读资料古建筑中的旋转对称§9.3 用正多边形铺设地面图形－从敦煌洞窟到欧洲教堂1.用同样的正多边形§10.4 中心对称2.用多种正多边形§10.5 图形的全等阅读资料多姿多彩的图案小结小结复习题复习题综合与实践图案设计第 10 章轴对称、平移与旋转数学实验附图§10.1 轴对称方格图1. 生活中的轴对称格点图阅读资料剪五角星2.轴对称的再认识八上§12.3 乘法公式第 11章数的开方 1.两数和乘以这两数的差§11.1 平方根与立方根 2.两数和（差）的平方1. 平方根阅读资料贾宪三角2. 立方根§12.4 整式的除法§11.2 实数 1.单项式除以单项式阅读资料为什么说 2 不是有理 2.多项式除以单项式数§12.4 因式分解5 的算法小结小结复习题复习题综合与实践面积与代数恒等式第 12章整式的乘除第 13 章全等三角形§12.1 幂的运算§13.1 命题、定理与证明1.同底数幂的乘法 1.命题2.幂的乘方 2.定理与证明3.积的乘方§13.2 三角形全等的判断4.同底数幂的除法 1.全等三角形§12.2 整式的乘法 2. 全等三角形的判断条件1.单项式与单项式相乘 3.边角边2.单项式与多项式相乘 4.角边角3. 多项式与多项式相乘 5. 边边边6. 斜边直角边第 14 章勾股定理阅读资料图形中的“裂痕”§14.1 勾股定理§13.3 等腰三角形 1.直角三角形三边的关系1.等腰三角形的性质2.直角三角形的判断2.等腰三角形的判断3.反证法§13.4 尺规作图阅读资料勾股定理史话1.作一条线段等于已知线段美丽的勾股树2.作一个角等于已知角§14.2 勾股定理的应用3.作已知角的均分线阅读资料勾股定理的“无字证4.经过一已知点作已知直线的垂明”线小结5.作已知线段的垂直均分线复习题阅读资料由尺规作图产生的三第 15 章数据的收集与表示大难题§15.1 数据的收集§13.4 抗命题与逆定理1.数据适用吗1.互抗命题与互逆定理2.数据的收集2.线段垂直均分线阅读资料谁是《红楼梦》的作者3.角均分线§15.2 数据的表示阅读资料《几何原来》1.扇形统计图小结2.利用统计图表传达信息复习题阅读资料计算机帮我们画统计图阅读资料光年和纳米小结小结复习题复习题综合与实践叶子的特点第17章函数及其图象数学实验附图§17.1变量与函数方格图§17.2函数的图象格点图 1.平面直角坐标系八下 2.函数的图象阅读资料笛卡尔的故事第 16章分式§16.1 分式及其基本性质1.分式2.分式的基本性质§16.2 分式的运算1.分式的乘除法2.分式的加减法阅读资料类比§16.3 可化为一元一次方程的分式方程§16.4 零指数幂与负整数指数幂1.零指数幂与负整数指数幂§17.3 一次函数1.一次函数2.一次函数的图象3.一次函数的性质4.求一次函数的表达式阅读资料小明算得正确吗§17.4 反比率函数1.反比率函数2.反比率函数的图象和性质§17.5 实践与研究阅读材料The Graph of a Function2. 科学记数法小结复习题第20章数据的整理与初步办理第 18章平行四边形§20.1 平均数1. 平均数的意义§18.1 平行四边形的性质§18.2 平行四边形的判断2. 用计算器求平均数3. 加权平均数阅读资料牢固性PK不牢固性阅读资料平均化小结§20.2 数据的会集趋势复习题1. 中位数和众数2. 平均数、中位数和众数的采用第 19章矩形、菱形与正方形阅读资料计算机帮我们求平均§19.1 矩形数、中位数和众数1.矩形的性质§20.3 数据的失散程度2.矩形的判断1. 方差阅读资料圆满矩形2. 用计算器求方差§19.2 菱形阅读资料早穿皮袄午穿纱1.菱形的性质小结2.菱形的判断复习题§19.3 正方形综合与实践通讯录的设计阅读资料四边形的变身术小结数学实验附图复习题方格图综合与实践图形的均分格点图九上§22.3 实践与研究第 21章二次根式小结复习题§21.1 二次根式阅读资料蚂蚁和大象同样重吗第23章图形的相像§21.2 二次根式的乘除法§23.1 成比率线段1.二次根式的乘法 1.成比率线段2.积的算术平方根 2.平行线分线段成比率3.二次根式的除法阅读资料黄金切割§21.3 二次根式的加减法§23.2 相像图形小结§23.3 相像三角形复习题 1.相像三角形2.相像三角形的判断第 22章一元二次方程3.相像三角形的性质§22.1 一元二次方程4.相像三角形的应用§22.2 一元二次方程的解法§23.4 中位线1.直接开平方和因式分解法§23.5 位似图形2.配方法阅读资料数学与艺术的美好结3.公式法合－分形4.一元二次方程的根的鉴别式§23.6 图形与坐标* 5 .一元二次方程的根与系数的1. 用坐标确定地址关系2.图形的变换与坐标阅读资料“代数学之父”韦达小结 1.概率及其意义复习题 2.频次与概率阅读资料电脑键盘上的字母为第 24章解直角三角形§24.1 测量§24.2 直角三角形的性质§24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数2.用计算器求锐角三角函数值§24.4 解直角三角形阅读资料葭生池中小结复习题综合与实践高度的测量第 25章随机事件的概率§25.1 在重复试验中察看不确定现象阅读资料计算机帮我们画趋势图何不按次次排列3.列举所有机会均等的结果阅读资料 The Birthday Problem模拟试验小结复习题综合与实践骰子与概率数学实验附图方格图格点图九下第26章二次函数§26.1 二次函数§26.2 二次函数的图象与性质搅匀对保证公正很重 1.二次函数 y ax 2的图象与性要质§25.2 随机事件的概率 2.二次函数 y ax 2 bx c 的图象与性质3.求二次函数的表达式阅读资料生活中的抛物线§26.3 实践与研究小结复习题第27章圆§27.1 圆的认识1.圆的基本元素2.圆的对称性3.圆周角§27.2 与圆相关的地址关系1.点与圆的地址关系2.直线与圆的地址关系3.切线阅读资料圆与圆的地址关系§27.3 圆中的计算问题阅读资料古希腊人对大地的测量§27.4 正多边形和圆阅读资料圆周率Can you draw these patterns小结复习题综合与实践硬币转动中的数学第28章样本与整体§28.1 抽样检查的意义1.普查和抽样检查2.这样选择样本合适吗阅读资料空气污介入数（ API ）§28.2 用样本估计整体1.简单随机抽样2.简单随机抽样检查可靠吗阅读资料闲谈收视率§28.3 借助检查作决议1.借助检查做决议2.简单误导读者的统计图小结复习题综合与实践改良我们的课桌椅数学实验附图方格图格点图。
概率论与数理统计自学指导书
《概率论与数理统计》自学指导书一、课程名称：槪率论与数理统讣二、自学学时：120三、课件学时：四、教材名称：《概率论与数理统讣》，袁荫棠编，中国人民大学出版社。
五、参考资料：六、考核方式：章节同步习题（10%） +笔试（90%）七、课程简介本课程主要讲解概率统汁的基本概念、理论与方法。
内容主要包括：随机事件及其概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、几种常见的分布、大数泄律与中心极限立理、样本分布、参数估计、假设检验以及回归分析等。
八、自学内容指导第一章随机事件及其概率（一）本章内容概述本章主要讲授随机试验、样本空间、古典概型、概率的立义和性质，加法及乘法公式、条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式，事件的独立性及独立试验概型等。
（二）自学课时安排（三）知识点1、随机事件（1）随机试验是指具有下列特点的试验：•在相同条件下可重复进行；•每次试验的结果不唯一，且试验前可确知所有可能结果；•每次试验前不可准确预知该次试验会岀现哪一种结果。
（2）随机事件在每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件。
必然事件一一每次试验中一泄发生的事件，记不可能事何一每次试验中一定不发生的事件，记①。
基本事件与样本空间。
（3）事件的关系和运算①熟悉两个事件的和事件、积事件、差事件的含义及符号表示，并熟悉推广到多个事件的情形。
②此外，还有互斥事件、对立事件以及完备事件组的槪念。
互斥事件：如果事件A与B不能同时发生，即= ©，称事件A与B互不相容（也称互斥）。
对立事件：事件“非A”称为A的对立事件（或逆事件），记作7。
注意：AA=^,A + A = Q.,A = Q.-A,A = A O③事件的运算规律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、对偶律，特别要注意对偶律：2、概率注意：三种概率的泄义（概率三种定义：统计泄义、古典定义、公理化左义），但重点是概率的古典左义，它是我们计算事件概率的主要依据。
华师版九年级上册数学第25章 随机事件的概率 概率及其意义
知1－讲
【例2】 甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1 个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个口袋 中随机摸出一个球. （1）求摸出的2个球都是白球的概率； （2）下列事件中，概率最大的是（）． A. 摸出的2个球颜色相同 B. 摸出的2个球颜色不相同 C. 摸出的2个球中至少有1个红球 D. 摸出的2个球中至少有1个白球
程5x＝10的解为负数的概率是________．
知2－练
2下列事件发生的概率为0的是( ) A．射击运动员只射击1次，就命中靶心 B．任取一个实数x，都有|x|≥0 C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm D．拋掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正
方体骰子，朝上一面的点数为6
知2－讲
导引： (1)转盘被平均分成12份，获得45元购书券需转到红
色区域，因为红色区域占12份中的1份，所以转动一次转盘
获得45元购书券的概率为；
1 12
(2)分别算出两种方式读者转动转盘一次平均获得的购书券的
金额，再进行比较．
解：
(1)P(获得45元购书券)＝.
1 12
(2)通过转动转盘读者转动转盘一次平均获得购书券的金
解：P（抽到男同学名字）= 22 = 11， 20 22 21
P(抽到女同学的名字） 因为 10 ＜ 11，
21 21
= 20 = 10 . 20 22 21
所以抽到男同学名字的概率大.
知2－讲
知2－讲
【例4】甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个 红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没有任何其他 区别.两袋中的球都已经各自搅匀. 从袋中任取1个球，如果你想 取出1个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？
概率统计课后答案
第 一 章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年,英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题 一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()AB A B AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率.解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则总数为kn C ，而全为白球的取法有k m n C -种，故所求概率为k n k mn C C --1.解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i =B —无一人中奖，则k A A A B 21=，注意到k A ，，A ，A 21不独立也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P(1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=⋅⋅---+!,1k k n m n m k k n n C C k C C ---同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的概率是多少？解：122585410()C C C P A C -=7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过15的概率. 解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]5151[，-，从而所求概率为121525P ⋅==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满足： 0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率＝14CDEOAB SS =. 9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于14的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积小于14:14XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1ln4)4+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P AB . 解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P AB P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、B 相互独立，求()P B . 解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.3P B P A B P A =-=-=；若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比 解： 设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A {用户至少订有日报和晚报一种}，=AB {用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则=AB {第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(==A B P A P ，则0909.0999010010)()()(===A B P A P AB P 16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P 且5()8P BC =，求()P A B . 解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因 25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程 085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==⇒=舍去，，()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-==17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率为1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =- 121()()()n P A P A P A =-⋅⋅⋅（独立性） 1(1)n ε=--∴12lim ()1n n P A A A →∞=，证毕.18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率.解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则 ()()()1 P D P A B C P A B C ==- 1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=. 19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而所求概率为31231(1)p p p --；（2）同理得2312[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3A —第一第三台机 器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-⨯⨯=21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A=，求()P A B . 解：由()0.4B P A =得 ()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B B B P P A A P A P A ===== 23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内 发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+⋅+⋅= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ==== 25．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********⨯+⨯=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P%70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A P B A P 所以)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B AP B P A P ++==⋅+⋅+⋅=%70%1%80%4%90%950.89427．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以B i 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =32()0.7,()0.85A A P P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得：123123()()()()()()()A A A P A P B P P B P P B P B B B =++0.650.40.70.350.850.250.7175.=⨯+⨯+⨯=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ==== 28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,A A P P B B ==()0.0005,P B =所求概率为().B P A()0.10,()0.9995.AP P B B ==由Bayes 公式得 ()()()()()()()AP B P BB P A A A P B P P B P B B=+0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10⨯===⨯+⨯ 29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1AA A P P PB B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是 （1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)i ii P B P A B P B A P B P A B ====∑. 30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A ——需经调试 A ——不需调试 B ——出厂则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P（1）由全概率公式：)()()()()(ABP A P A B P A P B P ⋅+⋅= %941%70%80%30=⨯+⨯=. （2）由贝叶斯公式：9470%94)()()()()(=⋅==A B P A P B P B A P B A P . 31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解：所求的概率为234(1)p p -.32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n 次才取k 次()k n ≤红球的概率解：所求的概率为11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h 后，最多只有一个坏了的概率.解：由二项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+⋅=34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r 根的概率.解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2P A =， 则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为222211()()()222n n n n r n r n r n r n rC P n C -----==.第 二 章思 考 题1. 随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量[]2,0~U X ，令⎩⎨⎧≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g 则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型.事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当0<y 时，0)(=y F Y ；1≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，()2))(()(y y X P y X g P y F Y =≤=≤= 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y首先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.习 题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ，若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<. 解：1221{}{}{}P x X x P X x P X x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-431X P （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21X P解：41)21(21)1(==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ； （2）1690169)1()43(431=-=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P ； （3）43)21(121121=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>F X P X P .5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，2133353{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所示： 由()k kx xF x P≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩ 0 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，()F x 的图形如图所示.X 0 1 2 P0.10.60.36．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的概率分布 解：7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第一次取得合格品，事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有19{0}()0.7512P X P A ====， 21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A ====⋅=≈（）（）， 3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===⋅⋅=≈（）（）（）=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A PPPA A A A A A ====⋅⋅⋅=≈（）（）（）（）所以X8.从101-中任取一个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件 1,2,,10P X i ki i ===（），（），由分布律的性质1011ii p==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数N .解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2!2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为2022!0)0(--===e e X P .11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，1~(100,)1000X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=μ1.010001100=⨯，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---μμμμμμe eeX P故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率. 解：()1,2530 ,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其余，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表示三次重复独立观察中A 出现次数，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)XB ，X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k14.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==⎰，由二项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===. 15.已知X 的概率密度为2,()0,x ax e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩，试求： （1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1(0,)λ内取值的概率.解：（1）由⎰+∞-=021dx eax xλ，解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx +∞-∞=≤=⎰，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++⎰,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ⎧-++>⎪=⎨⎪≤⎩ .（3）511(0)()(0)12P X F F eλλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)内服从均匀分布，求方程210x Xx ++=有实根的概率.解: “方程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=45. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ，求,a b .解：由题意222(0)1a b a a a ⎧+=>⎨⋅=⎩解得：1,1a b ==-18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内 的概率达到最大，求λ.解：2(12)(1)(2)()P X P X P X e e g λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ，∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)XN ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <.解：01 1.61(0 1.6)()22P X P X --≤<=≤< 1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电子元件损坏，则 （1）123,,A A A 完备，由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，今()()()12002200.810.80.21225P A -⎛⎫=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭，同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=，()310.2120.5760.212P A =--=， 从而()0.062P D α==.（2）由贝叶斯公式()()222D P A P A A P D P D β⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭0.5760.0010.0090.062⨯==. 21.随机变求2Y X =的分布律解：. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求2X 及22X X -的概率分布.解．X 的分布为易见，2X 的可能值为0和1；而22X X -的可能值为1-和0，由于2{}P X u =={P X }u =(0,1)u =，可见2X 的概率分布为：由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)X f x x π=+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .解：2y x =的反函数为2yx =，代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Y f y . 解法一（分布函数法） 当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时，()(Y XF y P X F ==从而 ()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余解法二（公式法）2y x =在()0,2单增，由于反函数x =在()0,4可导，'y x =，从而由公式得()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余25. ,0)0 ,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩（，求X Y e =的密度.解法一（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=，()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -⎧==>⎪∴=⎨⎪≤⎩.解法二（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z .解：X 的密度为1, 01() x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,若其它，（1）函数x y e =有唯一反函数，ln x y =，且1Y e <<，故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它1, 1 y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯一反函数z x e -=，且0Z >，从而()(), () z z X Z f e e f z -->⎧'⎪=⎨⎪⎩z 00,其它 0, zz e ->⎧⎪=⎨⎪⎩0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =.证法一（分布函数法）()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--⋅-=，得证.证法二（公式法）由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，0,>+∞<<-∞σμ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则⎰∞-=xdt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，其反函数)(1x F -存在，又因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤<⎧=⎨⎩其它即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.第 三 章 思 考 题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习 题 三1 解：)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P 2121212121}1{}1{}1{}1{=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P . 由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由∑∑ijijp=1可得：14.0=b ,从而得：.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立. 7.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P3解: )()1,1(11AB P Y X P p ====,121)()(==A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p ====613241)()(=⋅==A B P A P因为: ,32)(1)(:,1)()(=-==+A B P A B P A B P A B P 所以121)()()()()()()()1,0(21=-=-=-=====AB P B A P AB P AB P B P A B P B A P Y X P p 12812161121122=---=p ,结果如表所示. 4 解: X 的边缘分布律为32}2{,31}1{====X P X PY 的边缘分布律为21}2{,21}1{====X P Y P 1=Y 的条件下X 的条件分布为0}1{}1,1{}11{=======Y P Y X P X P1}1{}1,2{}12{=======Y P Y X P Y X P2=X 的条件下Y 的条件分布为,32}2{}1,2{}21{=======X P Y X P X Y P ,31}2{}2,2{}22{=======X P Y X P X Y P5 解：（1）由乘法公式容易求得),(Y X 分布律．易知，放回抽样时,61}1{,65}0{,61}1{,65}0{========Y P Y P X P X P且}{}{},{i X P i X j Y P j Y i X P ====== .1,0;1,0}{}{=====j i j Y P i X P于是),(Y X 的分布律为（2）不放回抽样，则,61}1{,65}0{====X P X P ,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故 ,112}01{,119}00{======X Y P X Y P 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故6解 ),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--.,0,,,))((1否则d y c b x a d c a b⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a x b x a ab x f X ,0,1)(, )(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-d y cy d y c d c ,0,1 随机变量X 及Y 是独立的.7 解 （1）),(y x f =y x y x F ∂∂∂),(2=)9)(4(6222y x ++π （2）X 的边缘分布函数=+∞=),()(x F x F X )22)(22(12ππππ++x arctg =)22(1xarctg +ππ.由此得随机变量X 的边缘分布密度函数==)()(x F dxdx f X X )4(22x +π同理可得随机变量Y 的边分布函数=+∞=),()(y F y F Y )32)(22(12y arctg ++ππππ=)32(1yarctg +ππ Y 的边缘分布密度函数==)()(y F dy dy f y Y )9(32y +π （3）由（2）知)(x f X )(y f Y =)4(22x +π)9(32y +π=),(y x f ，所以X 与Y 独立. 8 解 因为X 与Y 相互独立，所以Y X ,的联合概率密度为∞<<-∞∞<<-∞==+-y x e y f x f y x f y x Y X ,,21)()(),(222π⎰⎰⎰⎰≤+---+--=-====120102110222222222,12121}2{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰≤+≤----+--=-====41202122121222222222,2121}1{y x r r y x e ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰>+∞-∞--+-=-====420222222222222,2121}0{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ所以，Z 的分布律为:.1}2{,}1{,}0{212212-----==-====eZ P eeZ P e Z P9解：（1）由⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰∞+∞++-==⇒0)43(121Adxdy e A y x ，即 12=⇒A因此),(y x f =,,00,0,12)43(⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它y x e y x （2）X 的边缘概率密度为 当0>x ，)(x f X =⎰∞∞-dy y x f ),(=⎰∞+-0)43(12dy e y x =x e 33-，当0>y ，)(y f Y =⎰∞),(dx y x f =⎰∞+-0)43(12dx e y x =y e 44-，可知边缘分布密度为：)(x f X =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,0,0,33其它x e x)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,00,44其它y e y（3）}20,10{≤<≤<Y X P =⎰⎰--+---=102083)43()1)(1(12e e dxdy e y x10解 因为⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰=101021dy y xdx c ， 6,13121==⋅⋅c c对任意10<<x ，)(x f X =⎰∞+∞-dy y x f ),(=⎰=10226x dy xy，所以)(x f X =⎩⎨⎧<<,,0,10,2其它x x对任意10<<y ，)(y f Y =⎰∞+∞-dx y x f ),(=⎰=122,36y dx xy ，所以)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,10,32其它y y故),(y x f =)(x f X )(y f Y ，所以X 与Y 相互独立. 11解 由 2ln 12211===⎰e e D x dx xS当21e x ≤≤时，,2121),()(1010xdy dy y x f x f x x X ===⎰⎰其它)(x f X =0. 所以:.41)2(=X f 12解（1）X ，Y 的边缘密度为分布密度为：)(x f X =⎰-<<=xx x x dy 10,21)(y f Y =⎰<<--=111,11yy y dx故)(y x f Y X =)(),(y f y x f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<-,,0,,11其它x y y)(x y f X Y =)(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,1,21其它y x x（2）因为)(x f X )(y f Y y -=1≠),(y x f =1，故X 与Y 不相互独立.13证 设X 的概率密度为)(x f ，Y 的概率密度为)(y f ，由于Y X ,相互独立，故),(Y X 的联合密度为),(y x f =)(x f )(y f .于是⎰⎰⎰⎰≤∞+∞-∞+==≤yx x dy y f dx x f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{⎰⎰⎰⎰>∞+∞-∞+==>yx ydx x f dy y f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ 交换积分次序可得：⎰⎰∞+∞+∞-=xdy y f dx x f )()(⎰⎰∞+∞+∞-ydx x f dy y f )()(所以=≤}{Y X P =>}{Y X P 1－}{Y X P ≤故21}{=≤Y X P . 14解 设)(A P p =，由于Y X ,相互独立同分布，于是有,)(}{}{)(p A P a X P a Y P B P ==≤=≤=则,1)(p B P -=又=)(B A P )(A P +)(B P －)(A P )(B P =p +（)1p -－p )1p -=9712=+-p p 解得：,32,3121==p p 因而a 有两个值. 由于2121}{)(1-==≤=⎰a dx a X P A P a ，所以，当311=p 时，由21-a =31得35=a当322=p 时，由21-a =32得37=a . 15解 （1）Y X +的可能取值为2，3，4.且,41}1{}1{}2{=====+Y P X P Y X P 2141414141}1,2{}2{}1{}3{=⋅+⋅===+====+Y X P Y P X P Y X P ,41}2{}2{}4{=====+Y P X P Y X P 故有:;41}4{,21}3{,41}2{==+==+==+Y X P Y X P Y X P（2）由已知易得 ;21}42{,21}22{====X P X P16解 由已知得所以有17证明：对任意的,,,1,021n n k += 我们有∑=-====ki i k Y P i X P k Z P 0}{}{}{（因为X 与Y 相互独立）=∑=-----ki i k n i k i k n i n i i nq p C q p C 0)(2211 =∑=-+-ki k n n k ik n i n q p C C 02121)(（利用组合公式 ∑=+-=ki k n m i k n im C C C）=kn n k kn n qp C -++2121即Y X Z +=～),(21p n n b +18解 Y X Z +=在[0，2]中取值，按卷积公式Z 的分布密度为：,)()()()(1dx x z f dx x z f x f z f Y Y X Z -=-=⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤≤,1,10:,10,10:z x z x x z x 即其中如图，从而：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤==⎰⎰-。
高等数学概率论与数理统计课件PPT大全
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为={e}；
2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集 称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC )
30% 3 10% 0 0 0 80%
例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求
（1）取到的数能被2或3整除的概率，
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。
解:设A—取到的数能被2整除; P(A) 1 P(B) 3
的概率有多大？
3.分组问题
例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均 分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组
概率论主要内容概括1-3
21
概率密度函数的两个性质
连续型的概率非负性和概率完备性表现为 （1）非负性 ：f(x) 0，(- <x< +)；
＝ （2）归一性： f ( x)dx 1.
f(x)
f ( x )dx 1
0
x
22
分布函数F(x)性质F(x)=P(Xx), -<x<
(1) 0 F ( x) 1, 对一切x R成立 (2) F ( x)是x的不减函数, 即 任给x1 , x2 R, x2 x1有 F ( x2 ) F ( x1 ) (3) F () lim F ( x) 0
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人 们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这 些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差等。
26
期望
EX xk pk
k 1 n
EX
xf ( x)dx
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b;
有利于A的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
7
概率公理化定义
注意到概率古典定义和频率定义都具有非负性、 正则性、可加性。 1933年,前苏联数学家柯尔 莫哥洛夫通过规定概率应具备的基本性质给出 一般性的公理化定义。 定义:设试验E的样本空间为Ω,对于试验E 的每 一个事件A ,即对于样本空间Ω的每一个子集A, 都赋予一个实数P(A),若P(A)满足下面3条公理： 公理1:对任何事件A,有P(A)≥0。 (非负性) 公理2:对于必然事件Ω, P(Ω)= 1。(正则性) 公理3:对于任意可列个互斥事件A1,A2,…,An, …, 满足P(ΣAi)= ΣP(Ai)。(可列可加性) 则称实数P(A)为事件A的概率。
九年级数学上册 25.2.1 随机事件的概率—概率及其意义教学课件 (新版)华东师大版
（1）1，表示掷一7次 朝， 上数 的字 机 1. 会为
7
7
（2）3，表示掷一次 16， 数结 字果 中是 的一个 3. 的机会为
4
4
（3）3，表示掷一次 16， 数结 字果 中是 的一个 3. 的机会为
44典例分析 Nhomakorabea• 例2.班级里有23位女同学和20为同学，班上每位 同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一 个盒中搅拌，如果老师随机地从盒中取出一张纸 条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同 学的名字的概率大？
解：P（抽到男同学的名字） 22 20 22
率相加，你发 现了什么？利 用你的发现，
P（取出红球 ）8 1. 816 3
取出红球的概 率还可以怎么
计算?
所以，取出黑球的为概2，率取出红球的概1率. 为
3
3
典例分析
• 例4.甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个红球，80个黑 球和10个白球.三种球除了颜色之外无任何区别.两袋中的求都已经各 自搅匀.从袋中任取1个球，如果你想取出1个黑球，选那个袋成功的 机会大呢？
的概率( P .)例如抛掷一枚硬币，出现“反面
朝上”的概1率为 2
，可记为P(出现反面）1. 2
思考：如果是掷一颗骰子，掷得6的概率为 现6这个数字.
1 6.是不是表示每6次就有一次出
思考与探索：
• 1.已知掷得“6”的概率为16 ，那么掷得点数不是 “6”（也就是1—5）的概率等于多少呢？这个概 率值表示什么意思呢？ 1
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第25章 随机事件的概率 随机事件的概率 第2课时 概率及其意义
现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y＝x图象上的概率
是( C ) (1，1)
(1，2)
(1，3)
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(3，1)
(3，2)
(3，3)
A.0.3 B．0.5 C．13
D．32
12．如图，共有 12 个大小相同的小正方形，其中阴影部分的 5 个小正方 形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个
4．(8分)“从布袋中取出一个红球的概率是0”这句话的意思就是取出一 个红球的概率很小，这种理解是否正确？请说明理由．
解：不正确．理由：概率为0，即发生的可能性为0
简单事件的概率
5．(3 分)四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行
四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中
解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为 1，2，3，4，5，6，共 6 种．这 些点数出现的可能性相等．(1)点数为偶数有 3 种可能，即点数为 2，4， 6，∴P(点数为偶数)＝36 ＝12 (2)点数大于 2 且小于 5 有 2 种可能，即
点数为 3，4，∴P(点数大于 2 且小于 5)＝26 ＝31
解：(1)每人随机取一张牌共有 9 种情况：(10，9)，(10，7)，(10，5)，(8， 9)，(8，7)，(8，5)，(6，9)，(6，7)，(6，5).小齐获胜情况有(8，9)，(6，9)， (6，7)共三种，所以小齐获胜的概率为 P1＝39 ＝13
(2)根据题意，小亮的出牌顺序为 6，8，10 时，小齐随机出牌有 6 种情况： (9，7，5)，(9，5，7)，(7，9，5)，(7，5，9)，(5，9，7)，(5，7，9)， 小齐获胜的情况只有(7，9，5)一种，所以小齐获胜的概率为 P2＝16
25.1随机事件与概率(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与随机事件与概率相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的抛硬币实验。这个实验将演示概率的基本原理。
3.概率的计算：掌握计算简单事件概率的方法，如枚举法、几何概率等。
4.概率的性质：了解概率的基本性质，如加法公式、乘法公式等。
5.实际问题中的应用：能运用概率知识解决一些简单的实际问题，如抛硬币、掷骰子等。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述随机现象和随机事件的能力，提高数学表达和交流的核心素养。
在学生小组讨论环节，我还发现了一些有创意的想法和解决问题的方法，这让我深感学生们具有很大的潜力。因此，在今后的教学中，我会更加注重发挥学生的主观能动性，鼓励他们提出自己的观点和解决问题的方法。
最后，关于课后作业的布置，我会在课后针对今天的教学内容，设计一些具有挑战性的问题，让学生在课后进行巩固。同时，我也会关注学生的作业完成情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“随机事件与概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.培养学生运用概率知识进行问题分析、解决的能力，提升数学逻辑思维和推理的核心素养。
华师版数学九年级上册第25章 章目标总览教案与反思牛老师牛老师
第25章随机事件的概率
人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》
江缘学校陈思梅
本章的主要内容包括：确定事件与随机事件的有关概念；概率及其意义；频率与概率的关系；用列举法求概率．
在学生掌握了数据的收集、整理与表示的基础上，通过对数据的分析引入随机事件的概念，通过对随机事件发生的可能性大小的分析，推出概率的含义及求法．在中考中，本章重点在考查概率的相关概念、用列举法求简单事件的概率以及通过频率估计概率．
【本章重点】
概率的含义、用列举法求随机事件的概率．
【本章难点】
用恰当的方法求概率以及利用概率知识解决实际问题．
【本章思想方法】
1．掌握数形结合思想，如：通过列表、画树状图或计算几何图形的面积来求简单事件的概率．
2．体会转化思想，如：在进行模拟试验时，常将不易进行的试验转化为用替代物来进行模拟试验；在计算与图形有关的简单事件的概率时，常转化为求图形的面积来计算．
25.1 在重复试验中观察不确定现象 2课时
25.2 随机事件的概率 3课时
【素材积累】
宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
摘近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站摘一起，为祖国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，摘中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。
宋庆龄因此被誉为20世纪最伟大的女性之一。