条件概率 (导学案)
高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.1-2.2.2条件概率与事件的独立性课堂导学案
-2.2.2 条件概率与事件独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能，这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩概率是多少？解析：一个家庭两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个根本领件发生是等可能.根据题意，设根本领件空间为Ω，A=“其中一个是女孩〞，B=“其中一个是男孩〞，那么Ω={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}， A={〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}，B={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕}，AB={〔男，女〕，〔女，男〕}，问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生概率，即求P 〔B|A 〕.由上面分析可知P 〔A 〕=43，P 〔AB 〕=42. 由公式②可得P 〔B|A 〕=, 因此所求条件概率为32. 温馨提示关键是弄清楚P 〔A·B〕及P 〔A 〕.二、事件独立性应用【例2】甲、乙两名篮球运发动分别进展一次投篮，如果两人投中概率都是0.6，计算： 〔1〕两人都投中概率；〔2〕其中恰有一人投中概率；〔3〕至少有一人投中概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲〔或乙〕是否投中，对乙〔或甲〕投中概率是没有影响，也就是说，“甲投篮一次，投中〞与“乙投篮一次，投中〞是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生概率，从而可以得到所求各个事件概率.解：〔1〕设A=“甲投篮一次，投中〞，B=“乙投篮一次，投中〞，那么AB=“两人各投篮一次，都投中〞.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为 P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中〞包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中〔事件A∩B 发生〕，另一种是甲未投中、乙投中〔事件A∩B 发生〕。
条件概率----导学案
6.掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率。
7.若10件产品中包含2件废品，今在其中任取两件，求： ⑴取出的两件中至少有一件是废品的概率;⑵已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的概率； ⑶已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率.8.设一个班级中有31的女生，51的三好学生，而三好学生中女生占31，若从此班级中任选一名代表参加夏令营活动，试问在已知没有选上女生的条件下，选的是一位三好学生的概率是多少？2.2.1条件概率班级_______姓名_______学号_____ 【学习目标】1.理解条件概率，P （B|A ）表示事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率；2.记住条件概率公式P （B|A ）=）（）（A P B A P ，P （A ）＞0即“事件B 在事件A 已发生的条件下的”概率=发生的概率事件也发生的概率发生事件事件A B A3.通过条件概率的形成过程，体会由特殊到一般的思维方法。
【重点难点】重点：对条件概率的理解，以及如何求条件概率 难点：条件概率的理解及应用【自学导引】自学课本P481.通过图2-2可知，P （A ）=________，P （B ）=_______.事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率=_______.2.理解好事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。
写出条件概率的概念：_________________________________________________________________________________3.事件A 与事件B 的交（或积）的理解_______________________________________________________________________________ 在这个试验中，我们可以得到P （A ∩B ）=___________.4.由此总结条件概率公式：____________________，注意其变形公式为：_________________.【精讲点拨】例1：一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？NO.10小结：求解条件概率的一般步骤：1.确定问题是条件概率2.设出事件A 和B3.求P （A ）和P （A ∩B ）4. 求P （B|A ）=）（）（A P B A P例2:设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1） 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2） 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？【巩固练习】1.把一枚硬币任意抛两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，求P （B|A ）2.抛掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现四点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，求P （A|B ）。
《条件概率》导学案
8.2 条 件 概 率 导学案+作业学习目标：1.了解条件概率的概念,理解条件概率的计算公式的推导过程.2.掌握条件概率的计算公式.3.能够运用条件概率公式的两种形式解决实际问题中的条件概率,做到学以致用.一、讲授新知例1：抛掷一枚质地均匀的骰子一次。
（1）抛掷出3的概率。
（2）已知抛出了奇数，则抛出的是3的概率是多少？（3）已知抛出了偶数，则抛出的是3的概率是多少？(|)A B A B P B A A B 问题一：条件概率概念对任意事件和事件，在已知事件发生的条件下,事件发生的条件概率叫做条件概率。
记作。
读作发生的条件下发生的概率问题2:条件概率的计算()()()()()n AB n A B P B A n A n A ⋂==法一：主要——采用缩减样本空间的办法计算 ()()()P A B P B A P A ⋂=法二： 随堂练习 练习1：高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会。
每个人参加一个不同的项目，且每个人是否获得冠军是等可能的。
现已知只有一名女生获得冠军，求高一女生获得冠军的概率。
二、典例精讲 31212X X 例2：已知张奖券、、，抽到表示中奖，三个人依次不放回抽取一张。
（）最后一个人中奖的概率。
（）已知第一个抽取的人没有中奖，则最后一个人中奖的概率是多少？练习2：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。
例3. 掷两颗均匀骰子,问:“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？练习3：考虑恰有两个小孩的家庭.（假定生男生女为等可能）（1）若已知某家第一个是女孩，求这家有两个女孩的概率（2）若已知某一家有一个女孩，求这家另一个是女孩的概率；()()()124,,,?35A B P B A P A P AB ===例：已知事件且，求练习4、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% ,从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．8.2 条 件 概 率 作业1：一副扑克去掉大小王后剩下52张牌，任取一张。
条件概率优秀教学设计
2.2.1条件概率
教学过程
授课教师
授课班级
问题1：概率变化的原因是什么？
【探究2】从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A表示“取到的数字1”，事件B表示“取到的两个数之和为偶数”，则：
（1）事件A发生的概率是多少？
（2）事件A发生并且事件B发生的概率是多少？
（3）在事件A发生的情况下，事件B发生的概率为多少？
（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次也抽到理科题的概率.
问题3：求解条件概率的一般步骤是什么？
教学目标
知识与技能：了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能运用公式解决简单的概率问题.
过程与方法：通过实例探究，抽象出条件概率的一般概念；配套例题巩固训练，加深理解并能熟练应用；在题目中启发学生归纳条件概率的性质及解题技巧.
情感、态度与价值观：在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的数学抽象能力、规范逻辑推理能力及数学运算和数据分析能力，渗透归纳、转化、数学建模等数学思想方法．
教学重点、难点
重点：条件概率的概念及计算.
难点：条件概率计算公式的简单应用.
教学方法、手段
方法：学案导学、探究讲授
手段：多媒体课件、一体机
教学过程
四、总结提升
1.定义
条件概率：2.计算公式
有界性
3.性质乘法公式
可加性
注意：（1）P(AB)或n(AB)；
（2）P(AB)与P(A)原样本空间下的概率.
板
书
设
计
2.2.1条件概率
（一）条件概率的定义：
或
（2）发现条件概率的性质：
（1）有界性：0≤P(B|A)≤1
（2）乘法公式：
（3）可加性：B和C互斥，P(B∪C |A)= P(B|A)Biblioteka P(C|A)1、复习旧知
2020年2月高中数学导学案全国版人教版精品课件必修2-3第二章第3课时条件概率
课前预学 课堂导学 课上固学 课后思学
预学 1: 条件概率 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=���������(������(���������������))为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
故 P(A)=34,P(AB)=14.
1
由条件概率公式,得
P(B|A)=������(������������)=
������(������)
4 3
=1.
3
4
课前预学 课堂导学 课上固学 课后思学
3.设某动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.9,活到 25 岁的概率为 0.45,现有一只 20 岁的 该种动物,则它活到 25 岁的概率是 0.5 .
2020
导学案教学用课件
选修2-3
第二章 随机变量及其分布
第3课时1 条件概率
1
3 课上固学
4 课后思学
课前预学 课堂导学 课上固学 课后思学
序号
知识目标
学法建议
能力素养
通过分析具体事件,理解条件
1
多分析实例,通过实例理解概念
概率的定义
通过对概念的理解培养数 学抽象的素养
预学 4: P(B|A)与 P(AB) P(B|A)不一定等于 P(AB),如图所示,事件(B|A)中的基本事件空间为 A,相对于原来的总空间 Ω 而言,已经缩小了,而事件 AB 所包含的基本事件空间不变,故 P(B|A)≠P(AB).
课前预学 课堂导学 课上固学 课后思学
1.条件概率中,P(A|B)与 P(B|A)的关系是( C ). A.P(A|B)=P(B|A) B.P(A|B)+P(B|A)=1 C.P(A|B)∶P(B|A)=P(A)∶P(B) D.以上都不对
条件概率 教案
条件概率教案教案标题：条件概率教学目标：1. 理解条件概率的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握条件概率的计算方法。
3. 能够运用条件概率解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书工具及白板。
3. 学生练习题集。
教学过程：引入活动：1. 引导学生回顾概率的基本概念，并与实际生活中的例子联系起来。
2. 提出问题：当我们已知某个事件A已经发生时，另一个事件B发生的概率会受到影响吗？知识讲解：1. 解释条件概率的概念：条件概率是指在某个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。
2. 介绍条件概率的计算公式：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
3. 通过实际例子演示如何计算条件概率。
示例练习：1. 提供一些练习题，让学生通过计算条件概率来解决实际问题。
2. 引导学生思考如何应用条件概率解决实际生活中的问题，例如天气预报、医学诊断等。
讨论与总结：1. 引导学生讨论他们在解决练习题过程中的思路和方法。
2. 总结条件概率的重要性及其在实际生活中的应用。
3. 鼓励学生提出问题和疑惑，并进行解答和讨论。
作业布置：1. 布置一些练习题，要求学生运用条件概率解决问题。
2. 鼓励学生在日常生活中观察和思考条件概率的应用场景，并记录下来。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步研究条件概率的相关知识，如贝叶斯定理等。
2. 推荐相关阅读材料或在线资源，以加深学生对条件概率的理解。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂讨论和练习中的表现。
2. 学生提交的作业练习。
教学资源：1. PowerPoint演示文稿。
2. 板书内容的照片或复印件。
3. 学生练习题集。
教学反思：1. 教师应根据学生的理解情况和学习进度，适时调整教学内容和节奏。
2. 教师应鼓励学生积极参与讨论和思考，提高他们的问题解决能力和创造力。
高二数学下册§2.2.1条件概率(一)公开课导学案
§2.2.1条件概率（一）使用时间：2014年5月13日班级姓名一.学习目标1. 理解条件概率的定义.2. 掌握条件概率的计算方法.3. 利用条件概率解决一些简单的实际问题.二. 课前准备回忆古典概型、几何概型的特点，以及如何求这两种概率模型的概率？例如：（1）袋中有红、黄、蓝三个不同的小球，从中不放回的任取两个小球，取到红球的概率是多少？（2）在区间(0,1)上任取一个数，这个数落在区间1(0,)4的概率是多少？三. 新课探究问题1. 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？（记事件B表示“最后一名同学抽到中奖奖券”）问题2. 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？（记事件A表示“第一名同学没有抽到中奖奖券”，记“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为()P B A）问题3. 对上面的事件A和事件B,()P B A与它们的概率有什么关系？条件概率定义：一般地，设A,B 为两个事件，且()0P A >,称()()()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率. 条件概率性质：（1）0()1P B A ＃（2）若B,C 是互斥事件，则()P B C A =()P B A +(C )P A四. 典型例题例1. 在5道题中有3道理科和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：（1）第一次抽到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.例2. 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，求：（1）先摸出1个白球不放回，再摸出一个白球的概率；（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率.练习：抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率.。
条件概率与独立事件导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：3.条件概率与独立事件【学习目标】1、在具体情境中，了解条件概率的意义；2、学会应用条件概率及相互独立事件的概率解决实际问题3、理解独立事件概念以及其与互斥，对立事件的区别与联系．【重点、难点】条件概率、独立事件的理解与运用【使用说明与学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※为选做题;【自主探究】1、在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率为：)BP=(A2、设BA,为两个事件，如果，则称事件A与事件B的相互独立．【合作探究】1、在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．变式：在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率？2、天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是2.0，乙地的降雨概率是3.0，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）其中至少一个地方降雨的概率．3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．变式：任意按最后一位数字，第3次就按对的概率？【巩固提高】1、下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的点是2点”；（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；（3）在一个口袋内有3白球、2黑球，则“从中任意取1个球得到白球”与“从中任意取1个得到黑球2、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为52，既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，求：（1）)(B A P ； （2）)(A B P ．3、100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率．4、某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为6.0,7.0,8.0，且各题答对与否相互之间没有影响．（1）求这名同学得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率．课堂小结————————————————————————————。
条件概率与全概率公式导学案(山东新课标二轮复习)
相互独立、条件概率与全概率公式
1．(2021·大庆实验中学高二月考)近来，受冷空气影响，某市气温变化异常，时有降雨及
大风天气，经预报台统计，该市每年四月份降雨的概率为415，出现四级以上大风天
气的概率为215，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为116，则在已知降雨
的条件下，出现四级以上大风天气的概率为( )
A.1532
B.132
C.14
D.12
2．(2021.合肥质检）小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中两个腊肉馅子和三个豆
沙馅,小明随机取出两个,事件A ＝“取到的两个为同一种馅”,事件B ＝“取得
的两个都是豆沙馅”,则P (B |A )＝( )
A ．
B ．
C ．
D ．
命题点（二）相互独立
例2 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放
回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表
示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
( ) A ．甲与丙相互独立
B ．甲与丁相互独立
C ．乙与丙相互独立
D ．丙与丁相互独立
跟踪训练
1.(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有( )
A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝ “出
现的点数为偶数”
B ．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M
＝“第1次摸到红球”，事件N ＝“第2次摸到红球”。
高中数学选修2-3导学案,正规模版2.2
【学习目标 】
1．在具体情境中，了解条件概率的意义；
2．学会应用条件概率解决实际问题．
【重点难点】
1．在具体情境中，了解条件概率的意义；
2．学会应用条件概率解决实际问题．
【学法指导】
（预习教材P58~P61，找出疑惑之处）
复习1：下面列出的表达式是否是离散型随机变量 的分布列（）．
C．
D．
【教学过程】
（一）导入
探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学有放回地抽取，事件 为“第一名同学没有抽到奖券”，事件 为“最后一名同学抽到奖券”，事件 的发生会影响事件 发生的概率吗？
新知1：事件 与事件 的相互独立：
设 为两个事件，如果，则称事件 与事件 的相互独立．
注意：
①在事件 与 相互独立的定义中， 与 的地位是对称的；
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
复习2：设随机变量的分布如下：
1
2
3
…
P
…
求常数 ．
【教学过程】
（一）导入
探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
若抽到中奖奖券用“ ”表示，没有抽到用“ ”表示，则所有可能的抽取情况为 ，用 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则
②不能用 作为事件 与事件 相互独立的定义，因为这个等式的适用范围是 ；
③如果事件 与 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都相互独立．
试试：分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设 是事件“第1枚为正面”， 是事件“第2枚为正面”， 是事件“2枚结果相同”，问： 中哪两个相互独立？
小结：判定相互独立事件的方法：
《2.2.1 条件概率》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1 条件概率》导学案2【课标要求】1．在具体情境中，了解条件概率的概念． 2．掌握求条件概率的两种方法．3．利用条件概率公式解一些简单的实际问题．【核心扫描】1．条件概率的概念．(难点) 2．条件概率的求法及应用．(重点)自学导引1．条件概率一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．对于古典概型，有P (B |A )＝n ABn A.想一想：事件A 发生的条件下，事件B 发生等价于事件AB 同时发生吗？P (B |A )＝P (AB )吗？提示 事件A 发生的条件下，事件B 发生，等价于事件A 与事件B 同时发生，即AB 发生，但P (B |A )≠P (AB )，这是因为事件(B |A )中的基本事件空间为A ，相对于原来的总空间Ω而言，已经缩小了，而事件AB 所包含的基本事件空间不变，故P (B |A )≠P (AB )．2．条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1. (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 试一试：如图所示，向正方形区域内随机投点，若已知事件A 发生，你能探求一下事件B 发生的概率吗？提示 由于向正方形区域内随机投点，故该概率模型属于几何概型．由几何概型的概率公式可知P (B |A )＝S AB S A ＝S ABS ΩS A S Ω＝P ABP A.名师点睛1．对条件概率的理解(1)事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息可知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．(2)条件概率公式揭示了条件概率P (B |A )与事件概率P (A )，P (AB )三者之间的关系．由条件概率公式可以解决下列两类问题：一是已知P (A )，P (AB )去求P (B |A )；二是已知P (A )，P (B |A )去求P (AB )．2．条件概率计算中注意的问题(1)条件概率的判断：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．如：有含5件次品的20件产品，从中任取两件，其中一件经检验为次品，求两件都是次品的概率．题目中虽没有明显的条件提示，但是却有“其中一件经检验为次品”，此事件的出现影响了所求事件——两件都是次品的概率，故此题应为条件概率．(2)在具体题目中，必须弄清谁是A ，谁是B ，即：是在哪个事件发生的条件下，哪个事件的概率．题型一 利用定义求条件概率【例1】 抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )、P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ [思路探索]借助图形，按古典概型求概率的方法求出P (A )、P (B )、P (AB )后由条件概率的定义求概率．解 (1)掷两颗骰子共有36种不同的情况，它们是等可能的． 故P (A )＝26＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536，(2)法一 P (B |A )＝n AB n A ＝512.法二 P (B |A )＝P AB P A ＝53613＝512.[规律方法] (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数．(2)条件概率的定义揭示了P (A )、P (AB )及P (B |A )三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系．(3)抛掷两颗骰子，用数形结合的方法找基本事件很直观．【变式1】 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则 (1)因为100件产品中有70件一等品，P (B )＝70100＝710.(2)法一 因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB ＝B ，∴P (B |A )＝7095＝1419.法二 P (B |A )＝P ABP A ＝7010095100＝1419.题型二 利用缩小样本空间的观点计算P (B |A )【例2】 一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．[思路探索] 由P (B |A )＝n ABn A求解．解 令A i ＝{第i 只是好的}，i ＝1,2. 法一 n (A 1)＝C 16C 19，n (A 1A 2)＝C 16C 15，故P (A 2|A 1)＝n A 1A 2n A 1＝C 16C 15C 16C 19＝59.法二 因事件A 1已发生(已知)，故我们只研究事件A 2发生便可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (A 2|A 1)＝C 15C 19＝59.[规律方法] 条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把即定事件A 所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B 便缩小为事件AB ，如图所示，从而P (B |A )＝n ABn A.【变式2】 盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？解 设事件A ：“任取一球，是玻璃球”；事件B ：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：红球 蓝球 小计 玻璃球 246木质球 3 7 10 小计51116由表知n (AB )＝4，n ∴P (A |B )＝n AB n B ＝411.题型三 条件概率的综合应用【例3】 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．审题指导 通过考试时可答对4道、5道、6道，考试获得优秀可答对5道或6道，再利用条件概率计算公式计算．[规范解答] 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题”，事件C 为“该考生答对了其中4道题”．事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，(4分)且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B .(6分)则P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620.(8分) P (ED )＝P (E )＝P (A )＋P (B )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＝2 730C 620，(10分)P (E |D )＝P ED P D ＝2 73012 180＝1358.故在考试通过的情况下他获得优秀成绩的概率为1358.(12分)【题后反思】 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．【变式3】 高三(1)班和高三(2)班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率．解 在碰到(1)班同学时，正好碰到一名女同学的概率即为A 发生的条件下，B 发生的概率，由图表可知Ω(A )＝70，Ω(AB )＝30.由条件概率公式求得 P (B |A )＝ΩAB ΩA ＝3070＝37.误区警示 未理解题意致错【示例】 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，求出现的点数是奇数的概率．[错解] 令点数不超过4为事件A ，点数为奇数为事件B ，则P (B |A )＝26＝13.把事件B |A 误认为事件AB .[正解] P (A )＝46＝23，P (AB )＝26＝13，所以P (B |A )＝P ABP A ＝1323＝12.要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A 发生”、“事件A 发生并且事件B 也发生”、“事件B 在事件A 发生的条件下发生”的概率之间的关系.。
数学九年级上册《等可能条件下的概率(二)》导学案
4.3等可能条件下的概率（二）班级______学号_____姓名___________学习目标：1. 进一步理解等可能事件的意义，了解等可能条件的概率（二）的两个特点——实验结果有无数个和每一个实验结果出现的等可能性。
2. 能把等可能条件的概率（二）（能化归为古典概型的几何概型）转化为等可能条件下的概率（一）即古典概型，并能进行简单的计算。
3. 在具体情境中感受到一类事件发生的概率（即几何概型）的大小与面积大小有关。
学习重点：会求等可能条件下的几何概型（转盘、方格）的概率.学习难点：把等可能条件下,实验结果无限个的几何概型通过等积分割转化为古典概型. 学习过程：一、自主学习问题：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球出颜色外相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率.解：我们可以把2个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果：由表格可知，共有_____种可能出现的结果，并且它们都是等可能的. “两次都摸到红球”记为事件B ，它的发生有_______种可能，所以事件B 发生的概率P(B)= ___________， 即两次都摸到红球的概率_____________.思考：你能用其他方法解决这个问题吗？请写出解题过程。
二、合作探究活动一：想一想我们随机地看一下走着的手表的分针的位置，它可能指向任何一个时刻。
这时，所有可能的结果有多少个？每个结果出现的机会均等吗？我们如何求此类等可能事件的概率？活动二：探一探如图，2个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成8个相等的扇形。
任意转动每个转盘，当转盘停止转动时，哪一个转盘的指针指向红色区域的概率大？(1)转动每个转盘的实验所有等可能出现的结果数？(2)事件指针指向红色区域可能发生几次？(3)怎样求各自的概率?白 红1 红2 白 （ ， ） （ ， ） （ ， ） 红1 （ ， ） （ ， ） （ ， ） 红2 （ ， ） （ ， ） （ ， ） 结果 第一 次摸 球 第二 次摸球左面的转盘，P （指针指向红色区域）＝________.右面的转盘，P （指针指向红色区域）＝________.活动三：例题解析某商场制作了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为16个相同的扇形，其中红色扇形1个、蓝色扇形2个、黄色扇形4个、白色扇形9个.商场规定：顾客每购满1000元的商品，可获得一次转动转盘的机会；当转盘停止转动时，指针落在红、蓝、黄区域，顾客可分别获得1000元、200元、100元的礼品. 某顾客购物1400元，他获得礼品的概率是多少？获得1000元、200元、100元礼品的概率各是多少？解：该顾客购物1400元，可以获得一次转动转盘的机会.由于转盘被分成16个相同的扇形，当转盘停止转动时，指针落在16个扇形中的任何1个的可能性都相等，因此P(获得礼品)=_______________；P(获得1000元礼品)=_______________；P(获得200礼品)=_______________；P(获得100礼品)=_______________.即该顾客获得礼品的概率是______，获得1000元、200元、100元礼品的概率各是______、________、__________.活动四：做一做1.如果小明将飞镖任意投中如图所示的正方形木板，那么飞镖落在阴影部分的概率是_________.2.在4m 远处向地毯扔沙包（如图地毯中每一块小正方形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一块小正方形是等可能的. 扔沙包１次，击中红色区域的概率多大？3．如图，一只飞虫在画有图案的纸上任意爬行，它刚好爬行在阴影部分上的概率是多少？活动五：拓展提升：设计一个转盘，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时使得指针：（1）指向红色区域的概率为21，指向黄色区域的概率为41，指向蓝色区域的概率为41； (第1题) (第2题) (第3题)（2）指向红色区域的概率为21，指向黄色区域的概率为41，指向蓝色区域的概率为61．三：达标反馈1、 如图，正方形ABCD 花坛中，AE=AH=2cm,EB=3cm,一只小鸟任意落下，落在阴影内的概率为（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）1225 （D ）13252、如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则 P(3) P(4),(填“>”、“=”或“<”)3、小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．（2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．4、小明和小刚想要利用如图的两个转盘玩游戏，请你帮助他们设计一个游戏，使游戏的规则对双方是公平的。
高中数学条件与概率教案
高中数学条件与概率教案
教学内容：条件与概率
教学目标：学生能够理解条件概率的概念，能够利用条件概率解决问题。
教学重点：条件概率的计算方法
教学难点：条件概率的应用
教学准备：教师准备好教学课件、习题、实验器材
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师可以举一个例子引入条件概率的概念，让学生了解条件概率的定义。
二、讲解（20分钟）
1. 条件概率的定义：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2. 条件概率的计算方法：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
3. 条件概率的性质：P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = P(A|B)P(B) / P(A)。
三、练习（20分钟）
1. 让学生做一些基础的计算题，巩固条件概率的计算方法。
2. 给学生一些实际问题，让他们利用条件概率解决问题。
四、讨论与总结（10分钟）
1. 教师与学生一起讨论实际问题的解答，解决学生在计算过程中遇到的问题。
2. 总结本节课的知识点，强调条件概率在实际生活中的应用。
五、作业布置（5分钟）
布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
教学过程中，教师要根据学生的实际情况，灵活调整教学方法，提高教学效果。
同时，鼓励学生积极思考问题，勇于提问，提高学生的自主学习能力。
高中数学《条件概率》导学案
2．2.1条件概率知识点条件概率的定义一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作□01A发生的条件下，B发生的概率，变形公式(即乘法公式)：P(AB)＝□02P(A)·P(B|A)．知识点条件概率的性质性质1：□010≤P(B|A)≤□021.性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝□03P(B|A)＋P(C|A)．每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分已经知道，即在原随机试验的条件又加上一定的条件，已知事件A发生，在此条件下事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件，空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A).1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．()(3)P(B|A)≠P(AB)．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)等于________．(2)把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面)，事件B＝(第二次出现反面)，则P(B|A)＝________.(3)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.答案(1)215(2)12(3)2335解析(1)P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.(2)P(A)＝12，P(AB)＝14，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12.(3)由条件概率的概念可知，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝0.120.18＝23，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.120.2＝35.探究1条件概率的计算例15个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．[解]记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.(1)P(A)＝3 5.(2)P(B)＝3×2＋2×35×4＝35.(3)解法一：因为P(AB)＝3×25×4＝310，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.解法二：因为n(A)＝C13C14＝12，n(AB)＝C13C12＝6，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12. 拓展提升计算条件概率的两种方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )＝事件AB 所含基本事件的个数事件A 所含基本事件的个数；(2)在原样本空间Ω中，先计算P (AB )，P (A )，再按公式P (B |A )＝P (AB )P (A )计算，求得P (B |A )．[跟踪训练1] 从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机取出1张，用A 表示“取出的牌是Q ”，用B 表示“取出的牌是红桃”，求P (A |B )．解 解法一：由于52张牌中有13张红桃，则B 发生(即取出的牌是红桃)的概率为P (B )＝1352＝14.而52张牌中，既是红桃又是“Q ”的牌只有一张，故P (AB )＝152，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝152÷14＝113.解法二：根据题意，即求“已知取出的牌是红桃”的条件下，事件A ：“取出的牌是Q ”的概率．∵n (A ∩B )＝1，n (B )＝13，从而P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝113.探究2 有关几何概型的条件概率例2 一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )，P (A |B )．[解] 如图，n (Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1，∴P(AB)＝19，P(A|B)＝n(AB)n(B)＝14.拓展提升本例是面积型的几何概型，利用小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．[跟踪训练2]如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.答案(1)2π(2)14解析(1)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.探究3 条件概率的实际应用例3 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． [解] 设第i 次按对密码为事件A i (i ＝1,2)，则A ＝A 1∪(A －1A 2)表示不超过2次按对密码．(1)因为事件A 1与事件A －1A 2互斥，由概率的加法公式得P (A )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＝110＋9×110×9＝15.(2)用B 表示最后一位按偶数的事件，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P ((A －1A 2)|B )＝15＋4×15×4＝25. 拓展提升若事件B ，C 互斥，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[跟踪训练3] 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另1道题答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620＝12180C620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P(A)P(D)＋P(B)P(D)＝210C62012180C620＋2520C62012180C620＝1358.故所求的概率为1358.1.条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.3.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.1．已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)等于()A.316 B.1316 C.34 D.14答案 C解析由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝34.2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为()A.8225 B.12 C.38 D.34答案 C解析 设A 为下雨，B 为刮风，由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.故选C.3．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )A.14B.13C.12D.35 答案 B解析 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为13.4．在区间(0,1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14<x <34，则P (B |A )等于________．答案 12解析 P (A )＝121＝12.∵A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14<x <12， ∴P (AB )＝141＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？解 记事件A ＝“最后从2号箱中取出的是红球”，事件B ＝“从1号箱中取出的是红球”，则P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13，P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝13，从而P (A )＝P (AB )＋P (A B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝1127.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125% 答案 C解析 记“任选一件产品是合格品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A －)＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B .由于一级品必是合格品，所以事件A 包含事件B ，故P (AB )＝P (B )．由合格品中75%为一级品知P (B |A )＝75%；故P (B )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝96%×75%＝72%.2．下列式子成立的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1 C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A ) D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) 答案 C解析 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 3．某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )A ．0.32B ．0.5C ．0.4D ．0.8 答案 B解析 记事件A 表示“该动物活到20岁”，事件B 表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A 包括事件B ，从而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.40.8＝0.5.4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18 B.14 C.25 D.12答案 B解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1 4.5．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.49 B.29 C.12 D.13答案 C解析由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.∴P(A|B)＝n(AB)n(B)＝612＝12.二、填空题6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．答案1 4解析设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)．由于P(B|A)＝P(AB)P(A)，而P(A)＝2A44A55＝25，P(AB)＝2A33A55＝110，所以P(B|A)＝11025＝14.7．当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，则正好出现3个正面的概率为________．答案5 13解析 设A ＝{至少出现两个正面}，B ＝{正好出现3个正面}，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 3525－6＝1026＝513. 8．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于________．答案 6091解析 三颗骰子各掷一次，点数共有6×6×6＝216种，事件B －表示“三次都没有出现3点”，共有5×5×5＝125种，事件AB 表示出现一个3点，且三个点数都不相同共C 25A 33＝60种，则P (B )＝1－P (B －)＝1－125216＝91216，P (AB )＝60216＝518，所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝6091. 三、解答题9．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.B 级：能力提升练10．一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率； (4)抽到颜色相同的球的概率．解 设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}，则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .从5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 25＝20，数学·选修2-3[A](1)由分步乘法计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12， 于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35. (2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝310. (3)解法一：在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12. 解法二：P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12. (4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球)＝3×220＋2×120＝25.。
《221条件概率》导学案.doc
2. 2.1条件概率备课：李华中审核：高二数学组FI期：2013.11」3班级组别姓名学习目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义.2、自主学习、合作交流，掌握一些简单的条件概率的计算.3、激情投入、高效学习,通过对实例的分析，会进行简单的应用.学习重点与难点：重点：条件概率定义的理解.难点：条件概率计算公式的应用.【使用说明】1・课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟；AA完成所有题目，BB完成除（衫）外所有题目，CC完成不带S）题目2•认真限时完成, 书写规范；3•小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏.学习过程：复习必修三概率相关知识，回答下列问题：1.什么是和事件？什么是积事件？什么是互斥事件？互斥事件的加法公式你还知道吗？2•什么是古典概型，如何计算古典概型? 11 3.五一假期你妈妈带你到她的一个朋友家做客，闲谈间正巧碰到她的女儿回家，这时主人介绍说：“这是我的一个女儿，我还有一个孩子呢.”这个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问这时另一个孩子也是女孩的概率为多大？一、基本概念问题1:三张奖券屮只有一张能屮奖，现分别由三名同学无放冋地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？3名同学抽到中奖奖券的概率分别为多少？问题2：如杲已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？冇影响吗？(2)问题3：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到屮奖奖券的概率呢？(**)问题4：对于上面的事件A和事件B, P ( B|A)与它们的概率有什么关系呢？(P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率・)其中A表示事件“第一名同学没有抽到屮奖奖券”・B表示事件“最后一名同学抽到奖券”.问题5：条件概率的定义:问题6：条件概率的性质：(1)非负性：___________________________ ;(2)可列可加性：如果B和C是两个互斥事件，则 _____________________2问题7：概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系?1 .条件概率的定义二、矢［］识应用例1、在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定，若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？例2、在5道题中有3道理科题和2道文科题•如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.归纳小结:2.条件概率的性质:3.条件概率的计算方法:作业布置：全能学案作业及课时作业十三.1.掷两颗均匀骰子，已知第一颗掷出6点条件下，问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少？(*) 2.甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？(**) (3)甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？通过本节课的学习，我还存在以下疑惑:。
高中数学选择性必修三 7 1 1 条件概率 导学案
7.1.1 条件概率1.通过实例,了解条件概率的概念；2.掌握求条件概率的两种方法；3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.重点：运用条件概率的公式解决简单的问题难点：条件概率的概念1.条件概率一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,.称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B)P(B)2. 概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.3.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.一、问题探究在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ）如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手.问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 301545问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，A A B即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）=n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有P（B|A）=n(AB)n(W)n(A)n(W)=P(AB)P(A).一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=P(AB)P(A).问题1. 如何判断条件概率?问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?条件概率与事件独立性的关系探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。
-条件概率示范教案
2.2.1 条件概率(1)教材分析本节内容是数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布第二节 二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题.教学目标重点: 条件概率的概念.难点：条件概率计算公式的应用．知识点：条件概率.能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵.考试点：求解决具体问题中的条件概率.易错易混点：利用公式时()n A 易计算错.拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ．师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？生：包含两个基本事件：1221,X X Y X X Y ．师：如何计算事件B 的概率？ 生：由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3P B =师：每个同学抽到的概率一样吗？ 生：每个同学抽到的概率一样，都是13请同学们思考下面问题思考：如果已经知道第一名同学没抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？【师生活动】师：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件是什么？生：可能出现的基本事件有12122121,,,,X X Y X YX X X Y X YX师：“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是什么？生：“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是1221,X X Y X X Y ， 师：由古典概率计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是24，即12. 若用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”则将“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券” 的概率记为(|)P B A .请同学们考虑：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得(|)()P B A P B ≠我们这节课就来研究在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：(|)P B A【设计意图】 通过学生身边的抽签问题引入两个事件的概率的求法，学生感到亲切，激发了学生主动探究的学习兴趣．通过学生自己的计算发现不同，进而引出本节课的课题．二、探究新知对于刚才的问题请同学们回顾并思考：（1）求概率时均用了什么概率公式？（2）事件A 的发生使得样本空间前后有何变化？（3）事件A 的发生使得事件B 有何变化（4）对于上面的事件A 和事件B ，(|)P B A 与它们的概率有什关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由六个基本事件组成，即121221211221{,,,,,}X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X Ω=既然已知事件A 必然发生，那么只需在12122121{,,,}A X X Y X YX X X Y X YX =的范围内考虑问题，即只有四个基本事件12122121,,,X X Y X YX X X Y X YX ，在事件A 发生的情况下,事件B 发生等价于事件A和事件B 同时发生.而事件AB 中含有1221,X X Y X X Y 两个基本事件，因此 2()(|)4()n AB P B A n A ==， 其中()n A 和()n AB 分别表示事件A 和事件AB 所包含的基本事件个数.另一方面，根据古典概型的计算概率的公式可知，()()(),(),()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中()n Ω表示Ω中包含的基本事件个数，所以()()()()(|)()()()()n AB n AB P AB n P B A n A n A P A n Ω===Ω 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示(|)P B A .条件概率定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()(|)()P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率， (|)P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率. 条件概率性质：1、0(|)1P B A ≤≤.2、如果B 和C 是两个互斥事件，则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+.[设计意图] 给学生充分的思考,展示公式的发现过程, 通过学生计算发现共性,进而归纳出概念、公式， 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．激发学生主动学习兴趣，体现学生的主体地位.三、理解新知(1) ()(|)()P AB P B A P A = (2)．()(|)()n AB P B A n A =(3) 条件概率的性质[设计意图]梳理、回顾条件概率的定义、公式、性质，为下面例题的教学，作必要的准备.四、运用新知例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题。
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条件概率导学案
一、教学目标 1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义； 2、掌握一些简单的条件概率的计算。
二、自学引入：阅读教材51—53页 问题：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问： （1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？ （2）若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？ （3）在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？ 引入概念： 1.对于任何两个事件A 和B ，在 的概率叫做条件概率，记作 。
读作_____________________________ 2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交（或积），记作__________
（或 ）。
3. 条件概率计算公式：
.
0A P ,)A ()B A (A B A A B A A B A )A |B (P >===
=
）（总数包含的基本事件数总数包含的基本事件数包含的基本事件数
包含的基本事件数
数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在P P
4.条件概率的性质：
（1）范围： )|(A B P ；
（3）可列可加性：如果B 和C 是两个互斥事件,则)|(A C B P = 。
三、典例解析：
例 1一盒子装5只产品，其中3只一等品，2只二等品从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，设事件A={第一次取到一等品}，事件B={第二次取到一等品}，试求条件概率P （B|A ）。
变式训练 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?
例2. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：
(l ）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 变式训练、一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 四、当堂检测 1.抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
2、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次抽一张，已知第一次抽到A ，求第二次也抽到A 的概率。
3、100件产品中有5件次品，不放回的抽取两次，每次抽一件，已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出的是正品的概率。
4.在一个盒子中有大小一样的15个球，其中10个红球，5个白球。
甲，乙两人依次各摸出1个球。
（1）求甲得红球，乙得白球的概率 （2）已知甲得红球，则乙得白球的概率
学后反思：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。