随机过程试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、设随机变量X 的特征函数为 ()(1)it

n

X t p pe ϕ=-+，则EX = 。 2、设{((),()),}X t Y t t T ∈为二维实值随机过程，则它们的互协方差函数为

12(,)XY C t t = 。

3、设{()X n ，1,2,n = }是独立同分布的随机变量序列，{}()1P X n p ==，

{}()01P X n p ==-，则对m n ≠，X 的自相关函数(),X R m n = 。

4、全期望公式为 ()E E Y X ⎡⎤⎣⎦= 。

5、非齐次泊松过程{(),0}N t t ≥，其中强度函数为()sin (0)t t at a λ=+≠，则

[()]E N t =

。

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ ）

（A ）严平稳过程 （B ）宽平稳过程 （C ）正态过程 （D ）泊松过程

2、关于齐次马氏链的遍历性与平稳分布，下面说法正确的是（ ） （A ）平稳分布即为稳态概率

（B ）平稳分布存在，则齐次马氏链具有遍历性 （C ）马氏链不具有遍历性时，其平稳分布也可能存在 （D ）平稳分布是唯一的

3、已知标准正态分布随机变量的特征函数为2

2

()e υ

ϕυ-

=，则2(2,)X N μσ 的特征

函数为 ()X ϕυ=（ ） （A ）{}2

2

2

exp i συ

μυ-+

（B ）{}2

22

exp i συ

μυ-

（C ）{}2

2

2

exp i συ

μυ-2+

（D ）{}2

2

2

exp i συ

μυ-

2

4、下面的随机过程中不一定是马尔可夫过程的是（ ） （A ）宽平稳过程 （B ）非齐次泊松过程 （C ）维纳过程 （D ）泊松过程

5、设()

1

()()N t n Y t X n ==

∑

是复合泊松过程，2(|()|),1,2,E X n n <+∞= ，则下面说法错误

的是（ ）

（A ）()((1))Y m t tE X λ= （B ）()((1))Y D t tD X λ= （C ）()(())Y m t tE X n λ= （D ）2()(())Y D t tE X n λ= 三、计算题

1、（20分）设齐次马氏链{(),1,2,3}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移概率矩阵

1102212033230

5

5P ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

（1） 画出概率转移图； （2）讨论其遍历性，并求平稳分布； （3）求概率{(4)3|(1)1,(2)2}P X X X ===； （4）若已知(1)X 的分布律如下表所示:

分别计算{(1)1,(2)2,(3)3}P X X X ===以及(3)X 的分布律。

2、（15分） 如果顾客按平均率为每分钟2个的泊松过程到达，

（1）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内各有3个顾客来到的概率； （2）求[1,3)和[3,5)两个时间区域内共有3个顾客来到的概率； （3）求相邻两个顾客到达时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率。

3、(9分) 若从0t =开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程

cos(), t ()2 t t X t t π⎧=⎨⎩

时刻抛得正面，

，时刻抛得反面，

(1) 试画出()X t 的两条样本曲线;

（2）分别求出1 12

t t =

=和时的一维分布函数；

4、（18分） 设()cos sin ,X t A t B t t λλ=+-∞<<+∞， 其中,A B 是非单点分布的实

随机变量且相互独立，()()0E A E B ==，2()()D A D B σ==，λ是常数。 试判断：（1）()X t 是否为宽平稳过程？ （2）()X t 是否具有遍历性？

四、证明题（8分）

设{}n X 为独立同分布的实随机变量序列，2

,n n EX D X μσ==，令1

1n

n i

i Y X n

==

∑

，

试证明 l.i.m n n Y μ→∞

=